安徽省六校教育研究會(huì)2025屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（解析）

安徽六校教育研究會(huì)2025屆高三年級(jí)入學(xué)素質(zhì)測(cè)試數(shù)學(xué)試題2024.9注意事項(xiàng)：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A，利用交集的定義直接求解即得.【詳解】依題意，集合，而，所以.故選：C2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)求解即可.【詳解】由，可得，故.故選：B3.設(shè)公差的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，根據(jù)求解即可.【詳解】因?yàn)楣畹牡炔顢?shù)列an中，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以.故選：A.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】切化弦，通分即可求解.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)椋?故選：A.5.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，則該四棱錐外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)幾何體結(jié)構(gòu)特征補(bǔ)形為長(zhǎng)方體得外接球球心在中點(diǎn)處，求出即可得球的半徑，進(jìn)而由球的體積公式即可得解.【詳解】根據(jù)幾何體結(jié)構(gòu)特征，將幾何體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，顯然四棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，所以外接球球心在中點(diǎn)處，又，故外接球半徑，所以.故選：D.6.已知函數(shù)，若，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求導(dǎo)后結(jié)合輔助角公式得到原函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，再對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算求解即可；【詳解】因?yàn)?，故，其中，因此為減函數(shù)，因?yàn)?，故，所以，所?故選：B.7.若當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有且僅有4個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，然后找出有4,5個(gè)交點(diǎn)臨界狀態(tài)的解即可.【詳解】如圖所示，畫出在的圖象，也畫出的草圖，函數(shù)與的圖象有且僅有4個(gè)交點(diǎn)，則將的第4個(gè)，第5個(gè)與x軸交點(diǎn)向處移動(dòng)即可.滿足，解得．故選：C．8.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.0【答案】D【解析】【分析】由條件可以推出和關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱，進(jìn)而可得關(guān)于直線對(duì)稱.再用賦值法求值即可.【詳解】由于，所以，則，因此.令，則，故.由于為奇函數(shù)，故，即，故關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱.由題，，故關(guān)于直線對(duì)稱，因此當(dāng)時(shí)，，故，因此.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若隨機(jī)變量且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.的最小值為50C.D.若，則【答案】BC【解析】【分析】利用期望的性質(zhì)計(jì)算判斷A；由對(duì)稱性求出，再由不等式的性質(zhì)求出最小值判斷B；利用正態(tài)分布的對(duì)稱性判斷CD.【詳解】隨機(jī)變量，對(duì)于A，，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的最小值為50，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，，所以，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，因?yàn)殡S機(jī)變量，所以正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為直線，因?yàn)?，所以，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10.1694年瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利描述了如圖的曲線，我們將其稱為伯努利雙紐線，定義在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，已知點(diǎn)Px0,y0是時(shí)的雙紐線上一點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.雙紐線的方程為B.C.雙紐線上滿足的點(diǎn)有2個(gè)D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)定義將代入，化簡(jiǎn)后即可判斷A；根據(jù)，判斷B；由，可得在線段的中垂線即上，將代入方程求解后，即可判斷C；利用向量和余弦定理判斷D.【詳解】解：由到定點(diǎn)的距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，當(dāng)時(shí)，則雙紐線的方程為，化簡(jiǎn)可得，故A正確；由等面積法得，則，所以，故B正確；因?yàn)?，，所以在線段的中垂線即上，令，得，解得，所以雙曲線上滿足的點(diǎn)有一個(gè)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)樵诰€段的中點(diǎn)，所以，所以，由余弦定理得，即，，所以，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，則下列說法正確是（）A.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)B.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像沒有公切線C.函數(shù)，則有極大值，且極大值點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，恒成立【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A，利用與的圖象，知時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得，即可求解；選項(xiàng)B，設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，將問題轉(zhuǎn)化成求方程解的個(gè)數(shù)，即可求解；選項(xiàng)C，令，對(duì)求導(dǎo)，求出的單調(diào)區(qū)間，再利用極值的定義，即可求解；選項(xiàng)D，構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到，且等號(hào)不能同時(shí)取到，再利用與圖象間的關(guān)系，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，易知當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖像有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，則，由，得到，由，得到，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在時(shí)取最小值，即，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖像沒有公共點(diǎn)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)與切于點(diǎn)，與切于點(diǎn)則，化簡(jiǎn)得：，判斷方程根的個(gè)數(shù)即為公切線條數(shù)，令，則，易知在上恒小于0，當(dāng)時(shí)，令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，所以在上有使得，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)，所以方程有兩解，與的圖像有兩條公切線，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，令，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以存在，使得，即，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有極大值，且極大值點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，，則，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，令，則在區(qū)間上恒成立，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，當(dāng)時(shí)，與重合，當(dāng)時(shí)，的圖象由向右平移，此時(shí)圖象恒在下方，所以，且等號(hào)不能同時(shí)取到，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，從高考來看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何相聯(lián)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題；（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.平面四邊形中，，則______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，將整理成，利用余弦定理求出和，最后利用向量數(shù)量積的定義計(jì)算即得.【詳解】設(shè)，則（*）,由余弦定理，，,則由（*）可得：.故答案為：.13.傾斜角為銳角的直線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)，分別交雙曲線的兩條漸近線于兩點(diǎn)，若線段的垂直平分線經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，則直線的斜率為______.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，，依題意，利用點(diǎn)差法推出，結(jié)合圖形得到，即得，與前式聯(lián)立消去，計(jì)算即得.詳解】設(shè)中點(diǎn)為，兩漸近線可寫成，設(shè)，則，且①-②可得，整理得，，即(*)，如圖，在中，，則,故，即，將此式代入（*）得，解得依題意，，則.故答案為：.14.我國(guó)河流旅游資源非常豐富，夏季到景點(diǎn)漂流是很多家庭的最佳避暑選擇某家庭共6個(gè)人，包括4個(gè)大人，2個(gè)小孩，計(jì)劃去貴州漂流.景點(diǎn)現(xiàn)有3只不同的船只可供他們選擇使用，每船最多可乘3人，為了安全起見，小孩必須要大人陪同，則不同的乘船方式共有______種.【答案】348【解析】【分析】分兩類：①若6人乘坐3只船和②若6人乘坐2只船，即可利用分組分配問題，即可求解.【詳解】①若6人乘坐3只船：先將4個(gè)大人分成三組有種方法，然后將三組排到3只船有種方法，再將兩個(gè)小孩排到3只船有種方法，所以共有種方法.②若6人乘坐2只船：共有種方法綜上共有：種方法.故答案為：348四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在中，角的對(duì)邊分別為.（1）求角；（2）若的面積，若，且，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角再結(jié)合兩角和的正弦公式即可求出，進(jìn)而求出角.（2）先由三角形面積公式得，再由題意得，兩邊平方化簡(jiǎn)后結(jié)合即可求出，進(jìn)而得，從而得解.【小問1詳解】由正弦定理有，所以，所以，又，故，所以，由于，故.【小問2詳解】由（1）得，故，又，且，所以，又，所以，所以，結(jié)合解得或，當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)三角形周長(zhǎng)為；當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)三角形周長(zhǎng)為.16.如圖，在三棱臺(tái)中，上?下底面是邊長(zhǎng)分別為4和6的等邊三角形，平面，設(shè)平面平面，點(diǎn)分別在直線和直線上，且滿足.（1）證明：平面；（2）若直線和平面所成角的余弦值為，求該三棱臺(tái)的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，再結(jié)合線面垂直的判定定理可得結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，利用線面角的向量求法及棱臺(tái)的體積公式可得結(jié)果.【小問1詳解】由三棱臺(tái)知，平面，因?yàn)槠矫?，且平面平面，所以，因?yàn)?，所以，又，平面，所以平面；【小?詳解】取中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)做軸垂直于平面，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)三棱臺(tái)的高為，則設(shè)平面的法向量為n=x則，即，令，可得平面的一個(gè)法向量，易得平面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面夾角為，，所以由，得，由（1）知，所以，解得，所以三棱臺(tái)的體積.17.已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，滿足，當(dāng)為上頂點(diǎn)時(shí)，的面積為8.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（與不重合），直線分別與直線交于兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，取橢圓上頂點(diǎn)列式求出即可得解.（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理計(jì)算即得.【小問1詳解】不妨設(shè)橢圓上頂點(diǎn)，此時(shí)，因?yàn)榈拿娣e為8，所以，聯(lián)立解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】依題意，直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線的方程為，由消去并整理得，設(shè)，則，直線的方程為y=y1x1+4x+4則，同理得，所以.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)有唯一極值點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）兩函數(shù)圖像在公共點(diǎn)處的公切線稱為“合一切線”.若曲線與曲線存在兩條互相垂直的“合一切線”，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，確定極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）利用函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，求零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）由題意設(shè)曲線y=fx與曲線的兩條互相垂直的“優(yōu)切線”的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，其斜率分別為，則，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系，以及函數(shù)值，導(dǎo)數(shù)值之間的關(guān)系即可求解.【小問1詳解】函數(shù)，有，則φx在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有，即.當(dāng)時(shí)，由，得，且.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椋詅'x因?yàn)閷?duì)任意x∈R恒成立，所以當(dāng)時(shí)，f'則在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，所以是的唯一極值點(diǎn).【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以由零點(diǎn)存在定理知在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，有h'x>0，所以hx又因?yàn)椋源嬖谑沟?，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，故在上無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述：在上有且只有2個(gè)零點(diǎn).【小問3詳解】設(shè)曲線y=fx與曲線的兩條互相垂直的“合一切線”的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為其斜率分別為，則.因?yàn)椋?所以.不妨設(shè)，則.因，由“合一切線”的定義可知，.所以.由“合一切線”的定義可知，，所以.當(dāng)時(shí)，取，則，符合題意.所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，從高考來看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何相聯(lián)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題；（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．19.若數(shù)列滿足，則稱該數(shù)列為邊界為1的數(shù)列.對(duì)于邊界為1的有窮數(shù)列，從該數(shù)列中任意去掉兩項(xiàng)，同時(shí)添加作為該數(shù)列的末項(xiàng)，可以得到一個(gè)項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)的新數(shù)列，稱此過程為對(duì)數(shù)列實(shí)施一次“降維”.規(guī)定這種“降維”只能實(shí)施于邊界為1的數(shù)列.如果數(shù)列經(jīng)過若干次“降維”后成為只有一項(xiàng)的數(shù)列，即得到一個(gè)實(shí)數(shù)，則稱該實(shí)數(shù)為數(shù)列的一個(gè)“坍縮數(shù)”.（1）設(shè)數(shù)列的遞推公式為，我們知道：當(dāng)取不同的值時(shí)，可以得到不同的數(shù)列，若取某實(shí)數(shù)時(shí)，該數(shù)列是一個(gè)只有3項(xiàng)的有窮數(shù)列，求該數(shù)列的所有可能的“坍縮數(shù)”.（2）試證明：對(duì)于任意一個(gè)邊界為1的有窮數(shù)列，都可以對(duì)其持續(xù)進(jìn)行“降維”，直至得到該數(shù)列的一個(gè)“坍縮數(shù)”.（3）若數(shù)列的共有項(xiàng)，其通項(xiàng)公式為，求證：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列的“坍縮數(shù)”一定為正；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列的“坍縮數(shù)”一定為負(fù).【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)列的新定義和遞推公式，即可求解；（2）設(shè)，求得，結(jié)合數(shù)列的新定義，即可求解；（3）定義運(yùn)算#：，證得，即運(yùn)算“#”滿足結(jié)合律，根據(jù)給定的數(shù)列，且，分為偶數(shù)和為奇數(shù)，結(jié)合數(shù)列的新定義，即可得證.【小問1詳解】解：由題意，可得該數(shù)列第3項(xiàng)，由遞推公式，可得，經(jīng)計(jì)算，無論降維過程如何進(jìn)行，最終得到的坍縮數(shù)都是.【小問2詳解】解：設(shè)，則，故，所以，，所以，即，所以當(dāng)數(shù)列滿足時(shí)，經(jīng)過一次“降維”后得到的新數(shù)列仍然是邊界為1的數(shù)列，故這種“降維”可以持續(xù)進(jìn)行，直至得到一個(gè)只有一項(xiàng)的數(shù)列，從而得到“坍縮數(shù)