北京市第一○一中學(xué)2025屆高三上學(xué)期開學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析）

北京一零一中2025屆高三數(shù)學(xué)統(tǒng)考一一、選擇題共10小題.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得，結(jié)合交集的定義與運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意知，，又，所以.故選：B2.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，排除ABD，再根據(jù)不等式性質(zhì)判斷C即可.【詳解】對(duì)ABD，因?yàn)?，故，又，故，故，即，故ABD錯(cuò)誤；對(duì)C，，故，又，因?yàn)?，且，故，故，即，則，故C正確；故選：C3.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)在單位圓上按逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，每12分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一周.若點(diǎn)的初始位置坐標(biāo)為，則運(yùn)動(dòng)到分鐘時(shí)，動(dòng)點(diǎn)所處位置的坐標(biāo)是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出運(yùn)動(dòng)分鐘時(shí)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角，再利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.【詳解】每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一周，則運(yùn)動(dòng)到分鐘時(shí)，轉(zhuǎn)過(guò)的角為.設(shè)點(diǎn)的初始位置的坐標(biāo)為，則，，運(yùn)動(dòng)到3分鐘時(shí)動(dòng)點(diǎn)所處位置的坐標(biāo)是.由誘導(dǎo)公式可得，，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求解，考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4.如圖所示，1，2，3表示三個(gè)開關(guān)，若在某段時(shí)間內(nèi)它們每個(gè)正常工作的概率都是0.9，那么此系統(tǒng)的可靠性是（）A.0.999 B.0.981 C.0.980 D.0.729【答案】B【解析】【分析】求出開關(guān)1、2均正常工作的概率及開關(guān)3正常工作的概率，由相互獨(dú)立事件概率公式、對(duì)立事件的概率公式即可得解.【詳解】由題意，開關(guān)1、2在某段時(shí)間內(nèi)均正常工作的概率，開關(guān)3正常工作的概率，故該系統(tǒng)正常工作的概率,所以該系統(tǒng)的可靠性為.故選：B.5.若函數(shù)y＝(a>0，a≠1)的定義域和值域都是[0，1]，則loga＋loga＝()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先分析得到a＞1，再求出a=2,再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算求值得解.【詳解】由題意可得a－ax≥0，ax≤a，定義域?yàn)閇0，1]，所以a>1，y＝在定義域?yàn)閇0，1]上單調(diào)遞減，值域是[0，1]，所以f(0)＝＝1，f(1)＝0，所以a＝2，所loga＋loga＝log2＋log2＝log28＝3.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.6.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，若至少存在一組使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得，即求，利用基本不等式，可解得，進(jìn)而得到，進(jìn)而可求解.【詳解】至少存在一組使得成立，即，又由兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，，故有，解得，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C.7.設(shè)是定義在上的周期為的偶函數(shù)，已知當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，由可得出的表達(dá)式；當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的周期性和奇偶性可得出.綜合可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，綜上所述，當(dāng)時(shí)，.故選：C.8.2022年北京冬奧會(huì)拉開帷幕，動(dòng)作觀賞性強(qiáng)?視覺(jué)沖擊力大的自由式滑雪大跳臺(tái)是目前“冬奧大家族”中最年輕的項(xiàng)目.首鋼滑雪大跳臺(tái)實(shí)現(xiàn)了競(jìng)賽場(chǎng)館與工業(yè)遺產(chǎn)再利用?城市更新的完整結(jié)合，見(jiàn)證了中外運(yùn)動(dòng)員在大跳臺(tái)“沖天一跳”的精彩表現(xiàn)和北京這座世界上獨(dú)一無(wú)二“雙奧之城”的無(wú)上榮光.如圖為大跳臺(tái)示意圖，為測(cè)量大跳臺(tái)最高處點(diǎn)的高度，小王在場(chǎng)館內(nèi)的兩點(diǎn)測(cè)得的仰角分別為（單位：），且，則大跳臺(tái)最高高度（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別在和中，求得OB，OA，然后在中，利用余弦定理求解.【詳解】解：在中，，在中，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，故選：C9.若函數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分析可知為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，分析可知等價(jià)于，即可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)镽，且，若，則，可知，若，同理可得，所以為奇函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象可知在R上單調(diào)遞增，若，等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于，所以“”是“”的充要條件.故選：C.10.已知,,若存在,使得,則稱函數(shù)與互為“度零點(diǎn)函數(shù)”.若與互為“1度零點(diǎn)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)取值范圍為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】由題意可知，且f(x)在R上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)2.即，得．函數(shù)在區(qū)間(1,3)上存在零點(diǎn)，由=0，得令，，所以h(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間（2,3）上單調(diào)遞減，,，所以只需即有零點(diǎn)．選B.【點(diǎn)睛】要學(xué)會(huì)分析題中隱含的條件和信息，如本題先觀察出f(x)的零點(diǎn)及單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間(1,3)上存在零點(diǎn)，再進(jìn)行參變分離，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決．二、填空題共5小題.11.已知復(fù)數(shù)，則______．【答案】2【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的定義計(jì)算求出結(jié)果即可.【詳解】由題意可得，所以，所以，故答案為：2.12.已知二項(xiàng)式的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且展開式中項(xiàng)的系數(shù)為20，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的特點(diǎn)得到，然后利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)列方程，解方程即可得到.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以展開式中項(xiàng)為，，解得.故答案為：.13.設(shè)D為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積比為__________.【答案】【解析】【分析】先由已知求得，接著以為鄰邊作平行四邊形，連接交于點(diǎn)，于是有，從而推出，再結(jié)合和三角形同高即可得解.【詳解】由題得，所以，所以即，如圖所示，以為鄰邊作平行四邊形，連接交于點(diǎn)，則，所以即，又和高相等，所以.故答案為：.14.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，能說(shuō)明“若為遞增數(shù)列，則”為假命題的一組和公比的值為_______，_______．【答案】①.②.（答案不唯一）【解析】【分析】由題意，等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，取一組符合條件的和公比即可.【詳解】“若為遞增數(shù)列，則”為假命題，所以若為遞增數(shù)列，則，，則，等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，則和公比，滿足題意.故答案為：；15.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則在下列四個(gè)結(jié)論中，①；②是遞增數(shù)列；③；④.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】②③④【解析】【分析】利用遞推公式計(jì)算可得①錯(cuò)誤；由的結(jié)果可得②正確；把的結(jié)果進(jìn)行放大和縮小可得③④正確.【詳解】對(duì)于①：由已知可得，解得，因?yàn)椋?，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：，又，所以，即是遞增數(shù)列，故②正確；對(duì)于③：由②可得，因?yàn)椋?，故③正確；對(duì)于④：因?yàn)?，所以，所以，即，故④正確；故答案為：②③④.三、解答題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.16.已知{an}等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列{bn}滿足，，且是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}（2）求數(shù)列{bn}的前【答案】（1），；（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求得公差和公比，即得到結(jié)論;（2）利用分組求和法，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列{bn}試題解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得d===3．∴an=a1+（n﹣1）d=3n設(shè)等比數(shù)列{bn﹣an}的公比為q，則q3===8，∴q=2，∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1，∴bn=3n+2n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=3n+2n﹣1，∵數(shù)列{3n}的前n項(xiàng)和為n（n+1），數(shù)列{2n﹣1}的前n項(xiàng)和為1×=2n﹣1，∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為；考點(diǎn)：1.等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用；2.等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用；3.數(shù)列求和．17.已知函數(shù)，其中，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，使存在，并完成下列兩個(gè)問(wèn)題．（1）求的值；（2）若，函數(shù)在區(qū)間上最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．條件①：對(duì)任意的，都有成立；條件②：；條件③：．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)所選條件分別計(jì)算能否使fx成立，從而可求解（2）根據(jù)（1）中可得，再利用整體代換法得，從而可求得，再結(jié)合m>0，從而可求解.【小問(wèn)1詳解】由，若選條件①：可知當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，即，且?duì)任意，都有恒成立，故選條件①時(shí)fx存在，故可選①；若選條件②：，解得或，，因?yàn)?，所以與條件矛盾，故不選②；若選條件③：，所以，因?yàn)?，可得，故條件③能使fx成立，故可選③；綜上所述：故可選擇條件①或③，此時(shí).【小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，，且fx的最小值為，所以可得，解得，又m>0，所以，所以的取值范圍為.18.在中，，.求：（1）的值；（2）和面積的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用輔助角公式將題設(shè)化成，根據(jù)內(nèi)角范圍求出角即得；（2）由正弦定理求得，結(jié)合條件確定依次求出角和邊、.【小問(wèn)1詳解】由可得，即.又則故或解得或因，則不是最大角，故得，所以【小問(wèn)2詳解】由正弦定理，可得.則因?yàn)?，由余弦定理，，則故則19.某科目進(jìn)行考試時(shí)，從計(jì)算機(jī)題庫(kù)中隨機(jī)生成一份難度相當(dāng)?shù)脑嚲?規(guī)定每位同學(xué)有三次考試機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過(guò)，該科目成績(jī)合格，無(wú)需再次參加考試，否則就繼續(xù)參加考試，直到用完三次機(jī)會(huì).現(xiàn)從2022年和2023年這兩年的第一次、第二次、第三次參加考試的考生中，分別隨機(jī)抽取100位考生，獲得數(shù)據(jù)如下表：2022年2023年通過(guò)未通過(guò)通過(guò)未通過(guò)第一次60人40人50人50人第二次70人30人60人40人第三次80人20人人人假設(shè)每次考試是否通過(guò)相互獨(dú)立.（1）從2022年和2023年第一次參加考試的考生中各隨機(jī)抽取一位考生，估計(jì)這兩位考生都通過(guò)考試的概率；（2）小明在2022年參加考試，估計(jì)他不超過(guò)兩次考試該科目成績(jī)合格的概率；（3）若2023年考生成績(jī)合格的概率不低于2022年考生成績(jī)合格的概率，則的最小值為下列數(shù)值中的哪一個(gè)？（直接寫出結(jié)果）的值838893【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立的事件的概率求解即可；（2）根據(jù)相互獨(dú)立的事件的概率求解即可；（3）分別求出2022年和2023年考生成績(jī)的合格率，列出不等式即可求解.【小問(wèn)1詳解】記事件：“2022年第次參加考試的考生通過(guò)考試”，，記事件：“2023年第次參加考試的考生通過(guò)考試”，，則，，從2022年和2023年第一次參加考試的考生中各隨機(jī)抽取一位考生，估計(jì)這兩位考生都通過(guò)考試的概率為；【小問(wèn)2詳解】，，，小明在2022年參加考試，估計(jì)他不超過(guò)兩次考試該科目成績(jī)合格的概率為；【小問(wèn)3詳解】2022年考生成績(jī)合格的概率為,2023年考生成績(jī)合格的概率為，要使2023年考生成績(jī)合格的概率不低于2022年考生成績(jī)合格的概率，則，解得.故的最小值為.20.設(shè)函數(shù)，.曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求a的值；（2）求證：方程僅有一個(gè)實(shí)根；（3）對(duì)任意，有，求正數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)切點(diǎn)在曲線和切線上可得；（2）分，，，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，通過(guò)單調(diào)性討論即可得證；（3）令，分，兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)討論最值即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以，又點(diǎn)在切線上，所以，所以，即.【小問(wèn)2詳解】證明：欲證方程僅有一個(gè)實(shí)根，只需證明僅有一個(gè)零點(diǎn)，令，則，令，則，討論：（1）當(dāng)時(shí)，，所以hx在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，即，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，，即此時(shí)無(wú)零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，gx<0綜上可得，僅有一個(gè)零點(diǎn)，得證.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，，即令，則，由（Ⅱ）可知，x∈0,+∞所以，討論：（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，即，所以，即?dāng)時(shí)，，所以在x∈0,+所以恒成立，即滿足條件，（2）當(dāng)時(shí)，由可知，又，所以存在，使得，所以，當(dāng)x∈0,x0時(shí)，當(dāng)x∈x0,+∞所以，即不能保證恒成立，綜上可知，正數(shù)k的取值范圍是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍常用方法：（1）參變分離，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化函數(shù)最值問(wèn)題；（2）根據(jù)參數(shù)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值即可求解.21.定義為有限項(xiàng)數(shù)列的波動(dòng)強(qiáng)度.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若數(shù)列滿足，求證：；（3）設(shè)各項(xiàng)均不相等，且交換數(shù)列中任何相鄰兩項(xiàng)的位置，都會(huì)使數(shù)列的波動(dòng)強(qiáng)度增加，求證：數(shù)列一定是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）直接根據(jù)絕對(duì)值的定義可得；（2）要證明題設(shè)不等式，可通過(guò)作差，去掉絕對(duì)值可得，同理當(dāng)也類似討論可得結(jié)論；（3）我們首先對(duì)（2）重新認(rèn)識(shí)，由（2）易知對(duì)于四個(gè)數(shù)的數(shù)列，若第三項(xiàng)的值介于前兩項(xiàng)的值之間，則交換第二項(xiàng)與第三項(xiàng)的位置將使數(shù)列波動(dòng)強(qiáng)度減小或不變．（將此作為引理），遞增與遞減只要證一個(gè)，另一個(gè)同理可得，如我們證遞減，當(dāng)時(shí)，先證明，再用反證法即可證明.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)椋?，所以因?yàn)?，所以，?