利用空間向量研究距離、夾角問題二同步練習(xí)-2022-2023學(xué)年高二年級上冊數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

L4.2利用空間向量研究距離、夾角問題（2）

一、單選題

1.如圖，在棱長為1的正方體A8cO—AgG"中，M，N分別為4同和的中點(diǎn)，那

么直線AM與CN夾角的余弦值為（）

AgR屈「32

A.15.-----Lx.-U.一

21055

2.在各棱長均相等的直三棱柱ABC-A4G中，已知M是巴與的中點(diǎn),N是楂4c的中點(diǎn),

則異面直線AM與BN所成角的正切值為（）

A.6B.1C.—D.—

32

3.四棱錐尸—ABC。中，底面4BCO為直角梯形，ABLAD,3C〃A。，且A1B=8C=2,

AD=3,尸A_L平面A8c。且外=2,則P5與平面PC。所成角的正弦值為（）

A阮Kc也I)6

A?------D.C.D.

7733

4.如圖,長方體ABC?！?81GA中，A4=AB=2,AD=1,點(diǎn)2F,G分別是OR,A8,CG

的中點(diǎn)，則異面直線AE與GF所成角的余弦值是（）

J------

5

5.如圖，在正方體A8C￡>—4片GD中，二面角G-A8-。的平面角等于（）

A.30°B.45°C.60D.90°

6.在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“鱉脯”，

在鱉膈A—BCD中，A8_L平面BCD,BD1CD,且AB=BD=CD,M為人。的中點(diǎn),

則二面角M—8C—O的正弦值為（）

A.正B.在C.如DJ

233

7.如圖，在三棱錐A—3C。中，平面ABCJ■平面8。，△BAC與△BCD均為等腰直角

三角形，且NB4C=NB8=90°,BC=2,點(diǎn)P是線段上的動點(diǎn)，若線段CO上存在

點(diǎn)、Q,使得異面直線尸。與AC成30°的角，則線段P4長的取值范圍是（）

A.（0號B.[0,壽C.（冬氏D.停,血）

8.已知長方體ABCO-ABCQI，AD=AA,=1,AB=3,E為線段48上一點(diǎn)，且

AE=^AB,則OG與平面"EC所成的角的正弦值為（）

9.如圖，在三棱錐A-8CZ）中，三條棱D4、DB、OC兩兩垂直，且DA=DB=DC,M、N

分別是楂8C、40的中點(diǎn)，則異面直線AM與助V所成角的余弦值為（）

10.已知三棱柱ABC-的側(cè)棱與底面垂直，體積為2,底面是邊長為J5的正三角

形，若P為底面A4G的中心，則下列選項(xiàng)正確的是（）1

A.AAt=3

B.直線PA與平面BCG與所成角的大小為?

C.異面直線PA與BG所成角的余弦值為Y

12

D.二面角8—AP—C的正弦值為匕

13

二、多選題

）

11.如圖，在直三棱柱A3C-A用G中，AA=4C==；A8=2,AB_LAC,點(diǎn)O,E分

別是線段上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且空

8C,=2j則下列說法正確的是（）

A.ED//平面AC&

B.該三棱柱的外接球的表面積為68萬

3

C.異面直線8c與A4所成角的正切值為：

4

D.二面角A-EC-。的余弦值為一

13

三、填空題

12.正方體A8CO—A4的棱長為2,點(diǎn)"和N分別是耳〃和gC的中點(diǎn)，則異面

直線AM和CN所成角的余弦值為.

13.已知正四楂錐的側(cè)棱與底面所成角為60。，M為州的中點(diǎn)，連接。M,則

OM與平面尸AC所成角的大小是.

14.將邊長為1的正方形AAG。（及其內(nèi)部）繞OQ旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，

ZAOC=120°,乙4>。4=60°,其中與與C在平面A4,。。的同假!，則異面宜線3c與人4

所成角的大小是.

15.將邊長為。的正方形沿對角線8。折疊成三棱錐A-8CZ）,折后ACR,則二面角

A--。的余弦值為.

16.如圖，在矩形A8co中，AB=2,AD=1,E,尸分別是邊AB,CZ）的中點(diǎn)，將正方

形AZ）在沿E尸折到4A此位置，使得二面角A—E/一B大小為120°,則異面直線A尸與

CE所成角的余弦值為.

D.....______c

：Di</\~7\

B

4

17.如圖，已知E是棱長為2的正方體ABC?！?瓦GA的棱BC的中點(diǎn)，尸是棱8片的中

點(diǎn)，則點(diǎn)。到面AEA的距離d=,直線OE與面AE2所成的角夕的正弦值

sin^=.

18.在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCO中，ZABC=90°fAD//BC,SAJ?平面

ARCO,SA=AR=RC=\,=則平面SC。與平面S4R所成銳二面角的余弦值是

2

19.在正三棱柱ABC—A4G中，已知45=1,。在棱上，且3。=1,則A。與平面

AAG。所成的角的正弦值為,平面ACD與平面ABC麻成二面角的余弦值為

四、解答題

20.在棱長為2的正方體A8CD—A18cl。中，E,尸分別為4與，CO的中點(diǎn).

⑴求I方I;

(2)求直線EC與4戶所成角的余弦值;

(3)求二面角E—AF—B的余弦值.

21.如圖，在四棱錐尸―ABCZ)中，底面ABCD是平行四邊形，

N43C=12O°,AB=1,BC=4,PA=A，M,N分別為8C,PC的中點(diǎn),

PD1DC,PM1MD.

⑴證明：ABA.PM；

(2)求直線AN與平面PQM所成角的正弦值.

22.已知瓦尸分別是正方體ABCD-A片G4的棱8C和CO的中點(diǎn)，求:

⑴A。與EF所成角的大??；

(2)4石與平面男尸8所成角的余弦值.

23.如圖，在四棱錐產(chǎn)一ABCD中，PA_L面A3CO,AB//CD,且CD=2,AB=1,

BC=2>/2,PA=1,AB1BC,N為PD的中點(diǎn).

⑴求證：AN〃平面尸5C

(2)在線段尸。上是否存在一點(diǎn).M,使得直線CM與平面P8C所成角的正弦值是迤，若存

26

在求出2M的值，若不存在說明理由.

DP

(3)求平面尸4。與平面PBC所成二面角的余弦值.

答案和解析

1.【答案】。

解：設(shè)直線AM與CN所成的角為。,

在正方體中，湎？=麗+；4瓦，函=函+^砥,

則而.麗=（麗＞+gG）?（而+；甌）=涵?而+；麗.西+g?！?麗+；麗.甌

=0+—+0+0=--?

22

|磁?兩

所以cos?=

\AM\-\CN\

故選D.

2.【答案】C

解：各棱長均相等的直三棱柱A8C-AB|G中，

設(shè)棱長為2,

以A為原點(diǎn)，AC為y軸，AA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則4i（0,0,2）,M（V5,1J）,81羯1,0）,N（0,l,0）,

初甜=（一遍0,0）,

設(shè)異面直線AM與BN所成角為

陽網(wǎng)3^15

則6"海,同=^^=丁

異面直線AM與8N所成角的正切值為彳

故選C.

3.【答案】B

解：依題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,AD,AP

為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一型，AB=BC=2,AD=3,PA=2,則尸(0,0,2),

5(2,0,0),C(2,2,0),￡>(0,3,0),

從而方=(2,0,-2),PC=(2,2,-2),PD=(0,3,-2),

n?PC=0

設(shè)平面PCO的法向量為”=3,仇C),一

iiPD=0

［如+比—比=0

⑷［能一％=0'

不妨取c=3,則6=2,。=1,

所以平面PCD的一個(gè)法向量為n=(1,2,3),

所以P8與平面PCO所成角的正弦值

sin0=|cos<PB，

722+(-2)2-Vl2+22+3277

故選B.

4.【答案】D

解：解法一：以DA,DC,。0所在直線方向?yàn)閤,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

B

則可得4(1，0,2)，￡(o,o,l),G(0,2,l),尸(1,1,0),

.?.平GF=(1,-1,-1),

設(shè)異面直線AE與G尸所成角的為仇

則cos04cos<\E,GF>|=0,

解法二：???￡>0_1平面4。04，&Eu平面AORA，

..DC±AiE,

-EGIIDC,

EG±A[E,

AE=V5,AE=V2,AAi=2,

由勾股定理知A￡1AE,

又AEcEG=E,AE.￡Gu平面A8G石，

:.A?J_平面45GE,

又???6/(=平面ABGE,

:.A,E1GF,

異面直線AE與G尸所成角的余弦值是0.

故選：D

5.【答案】B

解：以。為原點(diǎn)，DA為x軸，。。為y軸，0n為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體A3CO-AgGA中棱長為1,

則41,0,0)，B(l,l,0),CI(0,1,1),

初=(0,1,0),(-1,1,1),

設(shè)平面ABC.的法向量a=(x,y,z)

n?AB=y=0

則《

n?AC】=-x+y4-z=0

取x=l,得了=(1,0,1),

平面ABD的法向量而=(0,0,1),

設(shè)二面角C.-AB-D的平面角為0

Iih'n\_1

則cos0=也

I歷W”「正2

，e=45°,

二面角C.-AB-D的平面角等于45；

故選B.

6.【答案】C

解：取5。的中點(diǎn)M連接

則MV_L平面BCD,

作M7_LBC,"為垂足，連接M”.可知BCJL平面

則3C_LM”，所以NMHN是二面角M—3C—。的平面角.

不妨設(shè)A8=80=8=2,根據(jù)題意可知

MN=\,NH=—,

2

MH=—,sinZMHN=^=—;

2逅3

~T

故選C.

7.【答案】B

解：以。為原點(diǎn)，CO為x軸，C8為），軸，過C作平面8CO的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,1,1),5(0,2,0),C(0,0,0),

設(shè)Q(g,0,0)((?42),AP=A=(0,2,-2)((^!k1),

則尸(0,4+1,1—4),

則而=質(zhì)-而

=(^0,0)-(0,/I+1,1-2)=(^,-1-2,2-1)，

???異面直線PQ與4C成30°的角,

2

.'.cos30°=

\CA\APQ\夕2+(1+4]+(4-1)2荷+2萬+22

:.q2+2A2+2=^,—j-2A2e[0,4],

又假劭2,啖收1,

o

--2Z2..Or-

:,解得0麴丸—,

則

：-2死,43

.,.|而|二&6［0,半］,

線段PA長的取值范圍是［0,乎］.

故選：B.

8.【答案】A

解:以。為原點(diǎn)，DA,DC,DQ為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則片(1,3,1),2(0,0/)，E(l,l,0),C(0,3,0),G(0,3,l)，

..CE=(l,-2,0),瓦=(0,3,-1),西=(0,3,1),

設(shè)平面D、EC的一個(gè)法向量為n=(a,b,c),

討W=3d-c=0

由n晶，取〃=2,得力=(2』,3),

而,強(qiáng)=。-26=0

..DC,與平面D.EC所成的角的正弦值為：

,一元尸?\n-DCx\63后

cos<n,DC.>=----.=—T=———=--------.

他HDCJV10xVl435

故選：A

9.【答案】D

解：以。為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為)，軸，OA為z軸，構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)DA=DB=DC=2,則。(0.0,0)：4(0,03),8(20,0),0(0,2,0),

則N(0,0,l),M(l,l,0),

所以麗—1,1,0)-(0,0,2)=(1,1,-2),BA?=(0,0,1)-(2,0,0)=(-2,0,1),

設(shè)異面直線AM與BN所成角為6,

|堿?麗|11x(—2)+(—2)xl|_2屈

所以cos0-

|加麗|712+12+27.>/22+12__15"

故選D

10.【答案】D

解:如圖所示，連接4尸，并延長&P交旦G于點(diǎn)。,

根據(jù)題意，可知：點(diǎn)。為4G的中點(diǎn)，

g

?：_L底面A^C1,

?,.S…旦（@2=迪，

?AMG44

373..9

咚棱柱A8C-AMG=MXS.ABG=-------AA=一，

14-4

解得A4,=G，故A錯(cuò)誤；

延長AG到R,使得AG=G。連接gR,則

分別以耳A,BlDl,B]B為x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系，如圖，

X

則4（0,0,0）,3（0,0,回A（￡,O,B，eg,.）,

,o）,A（6,0,0）.

2222

??麗=凈一：,6）,1匕=（匏,-?麻=（孚1回卒=（-￥，攝0

?.?△AgG為正三角形，夕為底面的中心,

尸，與G，

?.?側(cè)棱8避與底面A與G垂直，APu底面AB。1，

又B[BcB\C、=B[,B、B、B[Clu平面BCClBi,

.?.42_1平面3。。蜴，故帚為平面Bcqq的一個(gè)法向量，

Y」i

故直線PA與平面BCG4所成角的正弦值為Icos（麻卡＞|=44=-

2x12

故直線PA與平面BCC出所成角為王，故8錯(cuò)誤；

6

33

|------3117

異面直線如與BG所成角的余弦為Icos（E4,Bq）|=44-=—＞故。錯(cuò)誤;

2xj64

設(shè)平面ABP的法向量為in=（x,y,z）,

麗二（60,0）,

nt,亙4=VZx-0

rS,司=-x一;?+VS才=0

令z=l,得比=（0,2百,1）,

設(shè)平面ACP的法向量為萬=（工],,，馬），

定=（0,1,回

7?，PC）=譏+V3Zi=0

H,芭t=g譏+V3zi=0

b

令Z]=l,得萬=（-3,—

\m-n\

則Icos<沅,n>|=

\fn\\n\

|-6+1|5

-713x713-13，

1?

則二面角8—AP-C的正弦值為一，故O正確.

故選D.

11.【答案】AD

解:在直三棱柱/6C—44G中，四邊形是矩形，

ECDC,

因?yàn)?所以￡0〃叫〃4V

4cBC

因?yàn)?9不在平面zcq內(nèi)，44IU平面4CG，

所以EO〃平面4CG，A項(xiàng)正確；

2

因?yàn)殛?NC=生48=2,所以,45=3,

因?yàn)?5_L/C，所以BC=)22+32=曬，

所以4C=J13+4二折,

連接BG，B.C,設(shè)其交點(diǎn)為0,連接04,0A，4G，AC,

由直棱柱的性質(zhì)知平行四邊形8CC4是矩形，

OB=0C]=OB、=0C,

又AA,平面ABC,44u平面ACG4,

則平面A8C_L平面ACGA，

又平面A3Cc平面ACGA=AC,ABYAC,

則48，平面4?！?,

又AGu平面ACCA，則A8_LAG，

則△ABG是直角三角形，又。為BG的中點(diǎn)，則0A=08,

同理，在直角三角形4片。中，。4=。4，

綜上所述，0A=OB=0C=0A=0B]=0G,

則0為直三棱柱ABC-A4G外接球的球心，

則4C是三棱柱外接球的直徑,

所以三棱柱外接球的表面積為4兀閣e(阿=17-所以B項(xiàng)錯(cuò)誤;

因?yàn)锳AJIBB],所以異面直線4c耳眼所成角為N5%C-

在RL8"C中，B4=2,BC=曬，

所以3/班0=生=姮，所以。項(xiàng)錯(cuò)誤；

1叫2

二面角Z-EC-O即二面角/一qC-3,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以反萬，AC,羽的方向分別為X,y,Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖，則4(0,0,0),8(3,0,0),C(0,2,0),4(3,0,2),

.?.鬲=(3,0,2),5C=(-3,2,0),就=(-3,2,-2),

設(shè)平面的法向量為=(%y,z),

針,AB；=0/恥+2=0

彳,確=0，L3+加_2z=0，

令x=2可得”=(2,0,—3)；

設(shè)平面BByC的一個(gè)法向量為m=(a,b,c),

［而,前=01-配+為=0

則［君,氤=0'即I_加+為—處=0，

令。=2可得玩=(2,3,0),

2x24

故二面角/一EC-O的余弦值為『一L二二，所以。項(xiàng)正確.

如x岳13

故選AD

12.【答案】叵

10

解:以。為原點(diǎn)，0A為x軸，0c為)，軸，0A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

X

則4(2,0,0),C(0,2,0),N(l,2,2),

AAf=(-lJ,2),函二(1,0,2),

設(shè)異面直線AM和CN所成角為。，

|而?西3_x/30

則cos0=

|AM|-|C7V|\[6xy/510

同

異面直線AM和CN所成角的余弦值為

~W-

故答案為：堂.

10

13.【答案】45°

解：設(shè)底面正方形的邊長為a,由已知可得正四棱錐的高為旦a,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

2

則平面PAC的法向量為萬=（1,0,0）,力（一苧缶0,0）,A（0,—爭,0),

P（0Q%＞耳卜手亭＞加=件_白洛）

_旦

所以cos〈DM,斤〉_n^DM_2=也，

\n\\DM\a2

/.DM與平面PAC所成角的正弦值為立

2

所以O(shè)M與平面P4C所成角為45°.

故答案為45°.

14.【答案】45

解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.

，,

C丹

0(0,0,0),A(0,l,0),A(°，1,1)，

c吟,-；，0),B、吟,;,1)

.,.麗=(0,0,1),璃=(0』」).

設(shè)異面直線gc與AA所成角為夕

.，.cos0=—=^-.

1x722

又?！?0。,90。］,

所以。=45。.

故答案為：45°.

15.【答案】—

3

解：取B。中點(diǎn)O,在△AOC中，AC=a,AO=CO=—at

2

..AC2=AO2+CO\

AOICO,

又3。是正方形ABCD的對角線，

AO1BD,

又BDcCO=O,皮)u平面BCQ,COu平面BCD,

/.AO_L平面BCD,

則OC,OA,兩兩互相垂直，

如圖，以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。-型，

A

則。(0,0,0),4(0,0,J。)，C(—1/,0,0),

22

D(O，T.O),

OA=(0,0,—a)是平面BCD的一個(gè)法向量,

2

67,0,----6?),BC—-<7,0)?

222

設(shè)平面ABC的法向量萬=(x,y,z),

則歷反=0,n-AC=0,

圣,0)=0

3，"⑷

即,

(七,丹力?(等。1°’一￥°)=°

所以y=-x,且2=%,

令x=l,則y=T,z=

解得另=(1,一［1),

從而…肉＞=甫=了,

易知二面角A—BC—D為銳二面角:

二面角A-BC-D的余弦值為—

3

故答案為正

3

3

16.【答案】-

4

解：在矩形48co中，AB=2,AD=1,E,/分別是邊48,CO的中點(diǎn)，

將正方形ADFE沿EF折到ARFE位置，使得二面角\-EF-B大小為120°,

以E為原點(diǎn)，在平面AEB中，過E作EB的垂線為x軸，EB為y軸，即為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，

>

y

/O1

A(—,——,0),尸(0,0,1),C(0,l,l),E(0,0,0),

22

*二(4，g,l)，CE=(0,-l,-I),

設(shè)異面直線A尸與CE所成角為e,

3

則|cosd|=巨.辿=導(dǎo)胃=2,

\\F[\CE\V2.V24

3

，異面直線4尸與CE所成角的余弦值為己.

4

故答案為3.

4

4

17.【答案】一

3

475

IF

解:連接OR根據(jù)正方體的性質(zhì)，不妨以。點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以DA,DC,。2所在直線為坐標(biāo)

軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

由圖可知，4(2,0,0),0(0,0,2),D(0,0,0),尸(2,2,1),￡(1,2,0),

..而=(-2,0,0),DF=(2,2,1),AE=(-1,2,0),=(-2,0,2),

設(shè)平面AER的法向量為玩=(x,y,z),

訪?福=0

m-AE=0'

.(一2?+2方=0

?,[-夕+物=0，

取x=2,

..玩=(212),

平面AED,的法向量為玩=(2,1,2),

則隼當(dāng)再吟

\m\33

易知詼與玩所成角(或其補(bǔ)角)的余角是直線DE與面AER所成的角,

??DE=(1,2,0),且同0,2],

2

,血°=|鼠成砌=[與,"]==於

'，|理,同述*315

故答案為々逆.

315

18.【答案】—

3

解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,

則依題意可知，0&0,0)，C(1,LO),S(O,O,1),

可知言=是平面SA8的一個(gè)法向量.

設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量弁=(x,y,z),

因?yàn)?=(飆-1),虎=(暴0),

",界=0,

所以即

而?覺=。,/?=0?

令x=2,則有y=-l,Z=l,所以歷=(2,—1,1).

設(shè)平面SCD與平面SA8所成的銳二面角為。，則

.福?宿Jx2+0x(-l)+0xl厭

麗^7?3

故平面SCO與平面SA3所成銳二面角的余弦值是漁

3

19.【答案】—

4

叵

解：取AC的中點(diǎn)E,BE為x軸，BE的垂線為），軸，8g為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

在正三棱柱—中，48=1，。在棱B片上，且比）=1,

則上（乎,0,0）,4乎,；,0）,。。0,1）,

正三棱柱A8C-AgG中，E為AC中點(diǎn)，

故此1.AC,且由正三棱柱的性質(zhì)可得CG_L3E,

而ACcC*G=C，且AC，CGu平面A4[C]C,

故平面AAG。，

故平面44CC的法向量可以為：萬二（孝,0,0）,

又而=（-§,-：/），

22

則AD與平間A4C；C'所成的角的止弦值為：

__3

萬?AD一工|=瓜

而同一爭聆工+J，

連接。E,因?yàn)锳C_L8E,AC1BD,且BEcBD=B,BE,BDu平面BDE,

所以AC_L平面8?！?/p>

又OEu平面BOE,所以AC_L0E

所以NHEO是平面ACD與ABC所成二面角的平面角，且為銳角.

在Rt△班）E中，BE=—,80=1,所以DE=".

22

所以COSN8E0=￡^=畫

DE7

故答案為：---：----

47

20.【答案】解：（1）在棱長為2的正方體ABC。-44G。中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

y

則42,0,0),尸(0,1,0),C(0,2,0),￡(2,1,2),而=(2,-1,2),

..|CE|=722+(-1)2+22=3

(2)vCE=(2,-l,2),AF=(-2,1,0),

cos<AF,CE>=/_U_!_==

7(-2)2+12^22+(-1)2+223

直線EC與A尸所成角的余弦值為正.

3

(3)平面ABCD的一個(gè)法向量為元=(0,0,1),

設(shè)平面4￡尸的一個(gè)法向量為%=(x9y,z),

vAF=(-2,1,0),通=(0,1,2),

—2x+v=0—

,令x=l,則y=2,z=—1=>?I>=(1,2,—1),

y+2z=0

u.i——,n.?it,—1v6

則cos<?,,%>=」二=/=-----

仙||%|V1+4+16

由圖知二面角石一4/一3為銳二面角，其余弦值為

21.【答案】解：

(1)證明：?/ZABC=120°,AB=1,BC=4,

.,.在△￡)(%;中，DC=1,CM=2,NDCM=60°,由余弦定理可得。M=,

則?！?。。2=。河2,

:.DM工DC,

由題意可知。C_LPD,且PDcZW=O,

PD,￡>Mu平面PDM,

.?.￡>C_L平面尸OM,而PMu平面PDM,

..DCYPM,又AB//DC,

..AB1PM.

(2)由尸DC1PM,而0c與0M相交，OCZWu平面ABC。，

:.PM上平面ABCD,

?,?/ABC=120\AB=1,BM=2,

?：AM=近,

:.PM=20

取4。中點(diǎn)為E,連接ME,則ME，DM,PM兩兩垂直，以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖所示：

則4一百20),尸(0,0,2&),。(石,0,0),

M(0,0,0),C(V3,-1,O),

又N為PC中點(diǎn)，

..N*T，&),麗=(攣揚(yáng)，

2222

由⑴得CD_L平面PDM,可得CD可作為平面PQM的一個(gè)法向量n=(0,1,0),

從而直線AN與平面尸DM所成角的正弦值為:

5

\AN-n\

sin<AN網(wǎng)>-

I利“萬I

22.【答案】解：⑴以分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體ABCO—A與G。的棱長為2小

則A(0,0,2a),D(0,2a,0),E(2a,a,0),F(a,2a,0),

所以麗=(0,2n,-2a),甫=(—a,a,0),

設(shè)4。與E尸所成角的大小為a