1.3.2基本不等式 預(yù)備知識課前檢測【新教材】2021-2022學(xué)年北師大版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第一冊

1.3.2基本不等式課前檢測題一、單選題1．已知，若，則的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．22．已知，那么函數(shù)有（）A．最大值2 B．最小值2 C．最小值4 D．最大值43．已知a＞0，b＞0，a+b＝4，則下列各式中正確的是（）A． B． C． D．4．已知，，，則的最大值為（）A． B．4 C．6 D．85．若把總長為的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是（）A．5 B．10 C．20 D．256．已知實數(shù)，滿足，則的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．17．“”是“函數(shù)的最小值大于4”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．若，則（）A．有最大值 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值9．若x，y∈R，2x+2y=1，則x+y的取值范圍是（）A．(﹣∞，﹣2] B．(0，1) C．(﹣∞，﹣0] D．(1，+∞)10．已知都是正數(shù)，若，則的最小值是（）A．5 B．4 C． D．二、填空題11．若，則的最小值是___________.12．已知實數(shù)x，y滿足x2+xy=1，則y2﹣2xy的最小值為___________.13．函數(shù)的最小值是___________.14．已知，且，則的最小值為___________.三、解答題15．已知、都是正數(shù)，求證：（1）如果積等于定值，那么當(dāng)時，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么當(dāng)時，積有最大值.16．（1）用籬笆圍一個面積為的矩形菜園，當(dāng)這個矩形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？（2）用一段長為的籬笆圍成一個矩形菜園，當(dāng)這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？參考答案1．D【分析】根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】解：因為，，所以基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以的最小值是故選：D2．B【分析】利用基本不等式，即可得到答案；【詳解】，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，函數(shù)的最小值2，故選：B.3．B【分析】利用基本不等式逐個分析判斷即可【詳解】解：因為a＞0，b＞0，a+b＝4，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時取等號，B正確，A錯誤；由基本不等式可知ab＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時取等號，故C錯誤；，D錯誤．故選：B．4．B【分析】利用基本不等式化簡已知條件，由此求得的最大值【詳解】因為所以，從而．當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：B5．D【分析】設(shè)矩形的一邊為米，場地面積為,則可得關(guān)于的解析式，結(jié)合基本不等式可求場地面積的最大值.【詳解】設(shè)矩形的一邊為米，則另一邊為米，設(shè)場地面積為，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，．故選：D.6．C【分析】由重要不等式即可求解.【詳解】由重要不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)即或時等號成立，所以的最小值為，故選：C.7．C【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可．【詳解】解：若，則的最小值為；若的最小值大于4，則，且，則，故選：C．8．A【分析】直接根據(jù)基本不等式求解即可．【詳解】解：∵，又，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選：A．9．A【分析】利用基本不等式由2x+2y=1可得，從而可求出x+y的取值范圍【詳解】解：因為，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以x+y的取值范圍是(﹣∞，﹣2].故選：A.10．C【分析】利用將化為積為定值的形式后，由基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以的最小值是.故選：C.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.11．【分析】由，結(jié)合基本不等式即可.【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取等號成立.故的最小值為，故答案為：12．【分析】由已知可得，利用兩元換一元及基本不等式即得．【詳解】由x2+xy=1，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為：.13．4【分析】根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，.所以函數(shù)的最小值是4.故答案為：4【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.14．【分析】首先根據(jù)題意得到，再利用基本不等式求解即可.【詳解】由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.故答案為：15．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）利用基本不等式可證明出結(jié)論成立；（2）利用基本不等式可證明出結(jié)論成立.【詳解】因為、都是正數(shù)，所以.（1）當(dāng)積等于定值時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立.于是，當(dāng)時，和有最小值；（2）當(dāng)和等于定值時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立.于是，當(dāng)時，積有最大值.【點睛】本題考查利用基本不等式證明和與積的最值，在應(yīng)用基本不等式時，要注意“一正二定三相等”三個條件的成立，考查計算能力與邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.16．（1）當(dāng)這個矩形菜園是邊長為的正方形時，最短籬笆的長度為；（2）當(dāng)這個矩形菜園是邊長為的正方形時，最大面積是.【分析】設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為、，籬笆的長度為.（1）由題意得出，利用基本不等式可求出矩形周長的最小值，由等號成立的條件可得出矩形的邊長，從而可得出結(jié)論；（2）由題意得出，利用基本不等式可求出矩形面積的最大值，由等號成立的條件可得出矩形的邊長，從而可得出結(jié)論.