2.2 基本不等式-2020-2021學年高一數(shù)學同步練習和分類專題教案（人教A版2019必修第一冊）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式課時2.2基本不等式1.掌握基本不等式ab≤a+2.掌握基本不等式及其變形的應用,能熟練運用基本不等式來比較兩個實數(shù)的大小.3.能用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題,能夠運用基本不等式解決生活中的應用問題.基礎過關練題組一對基本不等式的理解1.若a,b∈R,且ab>0,則下列不等式恒成立的是()A.a2+b2>2ab B.a+b≥2abC.1a+1b>2ab D.b2.不等式(x-2y)+1x-2A.x≥2y B.x>2yC.x≤2y D.x<2y3.下列各式中,對任何實數(shù)x都成立的一個式子是()A.x+1≥2x B.x2+1>2xC.1x2+1≤1 4.“a,b為正數(shù)”是“a+b>2ab”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件題組二利用基本不等式比較大小5.已知a,b∈R,則a2+b2與2|ab|的大小關系是()A.a2+b2≥2|ab| B.a2+b2=2|ab|C.a2+b2≤2|ab| D.a2+b2>2|ab|6.設0<a<b,且a+b=1,則下列四個數(shù)中最大的是()A.12 B.a2+bC.2ab D.a7.若0<a<b,則下列不等式一定成立的是()A.b>a+b2>a>ab B.b>abC.b>a+b2>ab>a D.b>a>8.若a>b>c,則a-c2與(題組三利用基本不等式求最值9.已知函數(shù)y=x+4x-1A.42 B.42+1C.5 D.910.若正數(shù)x,y滿足x+4y-xy=0,則當x+y取得最小值時,x的值為()A.9 B.8 C.6 D.311.對任意正數(shù)x,不等式ax≤x2+1恒成立,則實數(shù)a的最大值為()A.1 B.2 C.2 D.212.若a,b都是正數(shù),則1+baA.5 B.7 C.9 D.1313.若正數(shù)x,y滿足x+y=1,則4x+1+1A.447 B.275 C.143 14.設0<x<2,則函數(shù)y=3x(8-3x題組四利用基本不等式證明不等式15.設x>0,求證:x+22x+116.已知a,b,c均為正數(shù),a,b,c不全相等.求證:bca+acb+17.已知x,y,z是互不相等的正數(shù),且x+y+z=1,求證:1x18.已知a,b,c為不全相等的正數(shù),且abc=1.求證:a+b+c<1a+1b+題組五利用基本不等式解決實際問題19.某人要用鐵管做一個形狀為直角三角形且面積為1m2的鐵架框(鐵管的粗細忽略不計),在下面四種長度的鐵管中,最合理(夠用,又浪費最少)的是()A.4.6m B.4.8m C.5m D.5.2m20.為滿足人民日益增長的美好生活需要,實現(xiàn)群眾對舒適的居住條件、更優(yōu)美的環(huán)境、更豐富的精神文化生活的追求,某大型廣場計劃進行升級改造.改造的重點工程之一是新建一個矩形音樂噴泉綜合體A1B1C1D1,該項目由矩形核心噴泉區(qū)ABCD(陰影部分)和四周的綠化帶組成.規(guī)劃核心噴泉區(qū)ABCD的面積為1000m2,綠化帶的寬分別為2m和5m(如圖所示).當整個項目A1B1C1D1占地面積最小時,核心噴泉區(qū)的邊BC的長度為()A.20m B.50mC.1010m D.100m21.某公司租地建倉庫,每月租地費用與倉庫到車站的距離成反比,而每月貨物的運輸費用與倉庫到車站的距離成正比.若在距離車站10km處建倉庫,則每月的租地費用和運輸費用將分別為2萬元和8萬元.那么要使每月的兩項費用之和最小,倉庫應建在離車站處.

22.某建筑公司用8000萬元購得一塊空地,計劃在該地塊上建造一棟至少12層,每層建筑面積為4000平方米的樓房.經初步估計得知,若將樓房建為x(x≥12,x∈N*)層,則每平方米的平均建筑費用s=3000+50x(單位:元).為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少,該樓房應建為多少層?每平方米的平均綜合費用的最小值是多少?注:平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用,平均購地費用=購地總費用建筑總面積能力提升練題組一利用基本不等式求最值1.已知x>0,y>0,且2x+y=1,則xy的最大值是()A.14 B.4C.18 2.設a,b滿足2a+3b=6(a>0,b>0),則2a+3bA.256 B.8C.113 3.(多選)若正數(shù)a,b滿足a+b=1,則下列說法正確的是()A.ab有最大值1B.a+b有最小值2C.1a+1D.a2+b2有最小值24.設正數(shù)a,b滿足a2+4b2+1ab=4,則a=,b=5.設正數(shù)a,b,c滿足a+b≥c,則ba+ab+6.已知a>0,b>0,且a+b=8,則3aba+47.已知x>y>0,求x2+4y題組二利用基本不等式證明不等式8.已知a,b為正數(shù),求證:1a+4b≥9.若a>b,且ab=2,求證:a210.已知a,b,c均為正數(shù),求證:2b+3c-a11.(1)已知a,b,c∈R,求證:a2+b2+b2(2)若0<x<1,a>0,b>0,求證:a2x+b2題組三基本不等式在實際問題中的應用12.《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(用幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據,通過這一方法,很多代數(shù)公理、定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明,因此這種方法也被稱之為“無字證明”.如圖所示,AB是半圓O的直徑,點C是AB上一點(不同于A,B,O),點D在半圓O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于點E,設AC=a,BC=b,則該圖形可以完成的“無字證明”為()A.ab≤a+B.a+b2C.2aba+D.2aba+b<13.一批貨物隨17列火車從A市均以v千米/時的速度勻速直達B市,已知兩地鐵路線長400千米,為了安全,每兩列火車的間距不得小于v202千米(火車的長度忽略不計),那么這批貨物全部運到B市,最快需要14.物聯(lián)網(InternetofThings,縮寫:IOT)是基于互聯(lián)網、傳統(tǒng)電信網等信息承載體,讓所有能行使獨立功能的普通物體實現(xiàn)互聯(lián)互通的網絡,其應用領域主要包括運輸和物流、工業(yè)制造、健康醫(yī)療、智能環(huán)境(家庭、辦公、工廠)等,具有十分廣闊的市場前景.現(xiàn)有一家物流公司計劃租地建造倉庫儲存貨物,經過市場調查了解到下列信息:倉庫每月土地占地費為y1(單位:萬元),倉庫到車站的距離為x(單位:千米),x>0,其中y1與x+1成反比,每月庫存貨物費y2(單位:萬元)與x成正比,若在距離車站9千米處建倉庫,則y1和y2分別為2萬元和7.2萬元.這家公司應該把倉庫建在距離車站多少千米處,才能使兩項費用之和最少?最少費用是多少?深度解析15.2020年1月,在抗擊新型冠狀病毒感染的肺炎疫情中,武漢市為了落實“四類人員”分類集中管理措施,迅速啟動“方艙醫(yī)院”建設.某單位決定用募捐的18.8萬元把一會展中心(長方體狀,高度恒定)改造成方艙醫(yī)院,假設方艙醫(yī)院的后墻利用原墻不花錢,正面用一種復合板隔離,每米造價40元,兩側用磚砌墻,每米造價45元,頂部每平方米造價20元.問:(1)改造后方艙醫(yī)院的面積S的最大值是多少?(2)為使S達到最大,且實際造價又不超過預算,那么正面復合板應設計為多長?

答案全解全析基礎過關練1.D∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A不符合題意;當a<0,b<0時,明顯B,C不符合題意;∵ab>0,∴ba>0,ab>0,∴ba+a2.B因為不等式成立的前提條件是x-2y和1x3.C對于A,當x≤0時,無意義,故A不成立;對于B,當x=1時,x2+1=2x,故B不成立;對于C,x2+1≥1,所以1x4.D若a,b為正數(shù),取a=1,b=1,則a+b=2ab,則“a,b為正數(shù)”不是“a+b>2ab”的充分條件;若a+b>2ab,取a=1,b=0,則b不是正數(shù),則“a,b為正數(shù)”不是“a+b>2ab”的必要條件.故“a,b為正數(shù)”是“a+b>2ab”的既不充分也不必要條件,故選D.5.A∵a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,∴a2+b2≥2|ab|(當且僅當|a|=|b|時,等號成立).6.B解法一:因為0<a<b,所以1=a+b>2a,所以a<12.又因為a2+b2≥2ab,所以四個數(shù)中的最大數(shù)一定不是a和2ab.又因為1=a+b>2ab,所以ab<14,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-12=即a2+b2>12解法二:特值檢驗法:取a=13,b=23,則2ab=49,a2+b2=59.因為59>12>497.C∵0<a<b,∴2b>a+b,∴b>a+b2∵b>a>0,∴ab>a2,∴ab>a.故b>a+b28.答案a-c解析因為a>b>c,所以a-c2=(9.C因為x>1,所以y=x+4x-1=(x-1)+4x當且僅當x-1=4x10.C∵x>0,y>0,x+4y=xy,∴4x+1∴x+y=(x+y)4x+1y=5+xy+4yx11.C∵x>0,ax≤x2+1,∴a≤x2+1x又∵x+1x≥2x·1x=2當且僅當x=112.C因為a,b都是正數(shù),所以1+ba1+4ab=5+13.D∵x>0,y>0,x+y=1,∴x+1+y=2,∴4x+1+1y=x+1+y2·4x+1+1y=12·1+4+4y14.答案4解析∵0<x<2,∴0<3x<6,8-3x>2>0,∴y=3x(8-3x)≤當且僅當3x=8-3x,即x=43∴當x=43時,y=315.證明因為x>0,所以x+12所以x+22x+1=x+1x+12=x+12+1x當且僅當x+12=1x+12,即x=116.證明∵a>0,b>0,c>0,∴bca+acb≥2acb+abc≥2bca+abc≥2當且僅當a=b=c時上式等號均成立,又a,b,c不全相等,故上述等號至少有一個不成立.∴bca+acb+17.證明因為x,y,z是互不相等的正數(shù),且x+y+z=1,所以1x-1=1?xx=y1y-1=1?yy=x1z-1=1?zz=x由①×②×③,得1x18.證明因為a,b,c都是正數(shù),且abc=1,所以1a+1b≥21ab1b+1c≥21bc1a+1c≥21ac三個不等式左、右兩邊分別相加,得21a+1b+1c當且僅當a=b=c時,等號成立.又因為a,b,c不全相等,所以a+b+c<1a+1b+19.C設直角三角形兩直角邊長分別為xm,ym,則12周長l=x+y+x2+y2≥2xy+當且僅當x=y時等號成立.結合實際問題,可知選C.20.B設BC=xm,則CD=1000x所以S矩形A=1040+4x+10000≥1040+24x當且僅當4x=10000x所以當x=50時,整個項目占地面積最小.故選B.21.答案5km解析設倉庫建在離車站xkm處,每月租地費用y1=k1x(k1≠0),每月運輸費用y2=k2x(k2≠0).把x=10,y1=2代入y1=k1x,得k1=20;把x=10,y2=8代入y2=k2x,得k故每月兩項費用之和y=20x+45x≥220x·422.解析設樓房每平方米的平均綜合費用為y元.依題意得y=s+8000×100004000x=50x+20000x因為50x+20000x≥2×50x當且僅當50x=20000x所以當x=20時,y取得最小值5000.所以為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少,該樓房應建為20層,每平方米的平均綜合費用的最小值為5000元.能力提升練1.C由題意得,xy=12×2xy≤12×2x+y22當且僅當x=14,y=12時等號成立,所以xy的最大值是2.A∵2a+3b=6,∴a3+b∴2a+3b=2a+3ba3+b2=136+當且僅當ba=ab,即a=b=65時,等號成立,所以2a+3.AC∵a>0,b>0,且a+b=1,∴1=a+b≥2ab,∴ab≤14當且僅當a=b=12時,等號成立,∴ab有最大值14∵(a+b)2=a+b+2ab≤a+b+2·a+b2=2當且僅當a=b=12∴a+b≤2,即a+b有最大值2,∴B錯誤;∵1a+1b=a+bab=1ab≥1a+b22∵a2+b2≥2ab當且僅當a=b=12時,等號成立,2ab≤12,∴a2+b2的最小值不是224.答案1;1解析a2+4b2+1ab=(a-2b)2+4ab+1ab≥(a-2b)2+24ab·1ab=(a-2b)所以a=1,b=125.答案2-1解析∵a,b,c是正數(shù),且滿足a+b≥c,∴a+2b≥b+c,∴ba+ab+c≥ba+=122ba+1+11+2當且僅當a+b=c且b=2-1故答案為2-126.答案8解析∵a>0,b>0,且a+b=8,(a+b)·4a+1b=5+4b當且僅當4ba=ab,即a=2b時,等號成立,所以4a+1b的最小值為98,所以3aba+4b=3a7.解析因為x>y>0,所以x-y>0,所以0<y(x-y)≤y+(x-所以x2+4y(x-y)≥x當且僅當y=x-故x2+4y8.證明因為a>0,b>0,所以(2a+b)1a+4b=6+ba+8ab≥6+2ba·因為2a+b>0,所以1a+4b≥9.證明a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-所以a210.證明∵a,b,c均為正數(shù),∴2ba+3ca+3c2b以上三式相加,得2ba+a2b+3c∴2ba+a2b-1+3c即2b+3c-a11.證明(1)∵a+b2≤a2+b2同理,b2+c2≥22三式相加得a2+b2+b2+c2+=2(a+b+c)(當且僅當a=b=c時,等號成立).(2)∵0<x<1,∴1-x>0.又∵a>0,b>0,∴左邊=(x+1-x)a2x+b21?x=a2+b2+x1?x·b2+1?xx·a2≥a2+b2+2x1?x·b2·1?xx·故a2x+b212.D由AC=a,BC=b,可得半圓O的半徑DO=a+易得DC=A