3.2.2 雙曲線的簡單幾何性質-2020-2021學年高二數(shù)學重難點手冊（圓錐曲線篇人教A版2019選擇性必修第一冊）

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質知識儲備雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程(a＞0，b＞0)(a＞0，b＞0)圖形性質范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點頂點坐標：A1(－a,0)，A2(a,0)頂點坐標：A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±xy＝±x離心率e＝，e∈(1，＋∞)a，b，c的關系c2＝a2＋b2實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長若將雙曲線的定義中的“差的絕對值等于常數(shù)”中的“絕對值”去掉，則點的集合是雙曲線的一支，具體是左支還是右支視情況而定．設雙曲線上的點M到兩焦點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值為2a，則0＜2a＜|F1F2|，這一條件不能忽略．①若2a＝|F1F2|，則點M的軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線；②若2a＞|F1F2|，則點M的軌跡不存在；③若2a＝0，則點M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.[熟記常用結論]1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.2．若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.3．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于長軸的弦)，其長為；異支的弦中最短的為實軸，其長為2a.4．若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則S△PF1F2＝，其中θ為∠F1PF2.5．若P是雙曲線(a＞0，b＞0)右支上不同于實軸端點的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，I為△PF1F2內切圓的圓心，則圓心I的橫坐標為定值a.6．等軸雙曲線(1)定義：中心在原點，以坐標軸為對稱軸，實半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．(2)性質：①a＝b；②e＝；③漸近線互相垂直；④等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩焦點距離的等比中項．7．共軛雙曲線(1)定義：如果一條雙曲線的實軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實軸，那么這兩條雙曲線互為共軛雙曲線．(2)性質：①它們有共同的漸近線；②它們的四個焦點共圓；③它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1.典例剖析eq\a\vs4\al(考點三雙曲線的幾何性質)[考法全析]考法(一)求雙曲線的離心率(或范圍)[例1](1)已知點F是雙曲線(a＞0，b＞0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A．(1，＋∞) B．(1,2)C．(2,1＋) D．(1,1＋)(2)設雙曲線C：(a＞0，b＞0)的左焦點為F，直線4x－3y＋20＝0過點F且與雙曲線C在第二象限的交點為P，O為原點，|OP|＝|OF|，則雙曲線C的離心率為()A．5 B.C. D.【答案】BA【解析】(1)若△ABE是銳角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，則＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，則e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，則1＜e＜2，故選B.(2)根據直線4x－3y＋20＝0與x軸的交點F為(－5,0)，可知半焦距c＝5，設雙曲線C的右焦點為F2，連接PF2，根據|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，△PFF2為直角三角形，如圖，過點O作OA垂直于直線4x－3y＋20＝0，垂足為A，則易知OA為△PFF2的中位線，又原點O到直線4x－3y＋20＝0的距離d＝4，所以|PF2|＝2d＝8，|PF|＝＝6，故結合雙曲線的定義可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以a＝1，故e＝＝5.考法(二)求雙曲線的漸近線[例2](2020·武漢調研)已知雙曲線C：(m＞0，n＞0)的離心率與橢圓的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線C的漸近線方程為()A．4x±3y＝0B．3x±4y＝0C．4x±3y＝0或3x±4y＝0D．4x±5y＝0或5x±4y＝0【答案】A【解析】由題意知，橢圓中a2＝25，b2＝16，∴橢圓的離心率e＝＝，∴雙曲線的離心率為＝，∴，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故選A.考法(三)求雙曲線的方程[例3]已知雙曲線(a＞0，b＞0)的左焦點為F，離心率為.若經過F和P(0,4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為()A. B.C. D.【答案】B【解析】由離心率為，可知a＝b，c＝a，所以F(－a,0)，由題意知kPF＝＝1，所以a＝4，解得a＝2，所以雙曲線的方程為.[規(guī)律探求]看個性考法(一)：求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝轉化為關于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)；考法(二)：求漸近線時，利用c2＝a2＋b2轉化為關于a，b的方程．雙曲線漸近線的斜率與離心率的關系：k＝±＝±＝±＝±；考法(三)：求雙曲線的方程時，將已知條件中的雙曲線的幾何性質和幾何關系轉化為關于a，b，c的關系式，結合c2＝a2＋b2，列出未知參數(shù)的方程，解方程后即可求出雙曲線方程找共性求解雙曲線的幾何性質問題，其通用的方法是利用方程思想解題，其思維流程是：能力檢測姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，考試時間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．設雙曲線的右焦點為，點.已知點在雙曲線的左支上，且，，不共線，若的周長的最小值是，則雙曲線的離心率是（）A．3 B． C．5 D．【答案】D【解析】如圖，設為的左焦點，連接，，則，，所以的周長.因為，所以的周長.因為的周長的最小值是，所以，所以，所以雙曲線的離心率是.故選D2．已知點為雙曲線：（，）的右焦點，點到漸近線的距離是點到左頂點的距離的一半，則雙曲線的離心率為（）A．或 B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，雙曲線的漸近線方程為，即.∵點到漸近線的距離是點到左頂點的距離的一半∴，即.∴，即.∴∴雙曲線的離心率為.故選B.3．已知雙曲線，其虛軸長為2，則雙曲線的離心率是（）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】由題可知，因為虛軸長為2，所以，所以，得，所以離心率，故選：A4．點到雙曲線的一條漸近線距離為（）A． B． C．4 D．3【答案】B【解析】雙曲線的漸近線方程為，可以求得點到直線的距離為，故選：B.5．當變化時，對于雙曲線，值不變的是（）A．實軸長 B．虛軸長 C．焦距 D．離心率【答案】D【解析】由題意可得，故選：D.6．雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．3【答案】B【解析】由題知：，，則，所以.故選：B7．已知第一象限內的點M既在雙曲線上，又在拋物線上，設的左、右焦點分別為、，若的焦點為，且是以為底邊的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為的左、右焦點分別為、，的焦點為，所以拋物線的準線方程為：，又因為是以為底邊的等腰三角形，過M作MA垂直準線，如圖所示：則，所以四邊形是正方形，則是等腰直角三角形，所以，所以，又，所以，即，解得.故選：A8．已知F為雙曲線的左焦點，過點F的直線與圓于A，B兩點（A在F，B之間），與雙曲線E在第一象限的交點為P，O為坐標原點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，由圓的方程，得圓的半徑為．過作的垂線，則為的中點，又，為的中點，設雙曲線的右焦點為，連接，則為三角形的中位線，可得，則，由，可得．，則，由勾股定理可得：，整理得：．解得：或（舍．故選：．9．若雙曲線的離心率，則該雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．【答案】B【解析】因為雙曲線的離心率，所以，，所以該雙曲線的漸近線方程為，故選B.10．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過的直線與雙曲線的左支交于、兩點，若，則的內切圓半徑為（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】設內切圓的圓心為，設圓與三角形的邊分別切于，，，如圖所示：連接，，，由內切圓的性質可得：，，，所以，，所以，由雙曲線的定義可知：，所以可得，重合，所以，所以.故選：．11．設雙曲線（）的焦距為12，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因為可化為，所以，則.故選：B.二、多選題12．曲線與的離心率分別為，，下列結論正確的是（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由曲線，可得，則，可得離心率，由曲線，可得，則，可得離心率，因為，故A錯誤；因為，故B正確；因為，故C正確；因為，故D錯誤.故選：BC.三、填空題13．已知雙曲線：的焦點關于一條漸近線的對稱點在軸上，則該雙曲線的離心率為____________．【答案】【解析】設焦點坐標是，其中一條漸近線方程是，設焦點關于漸近線的對稱點是，則，得：，解得：，所以，，所以雙曲線的離心率是.故答案為：.14．雙曲線的漸近線方程為_______.【答案】【解析】根據雙曲線的方程得則其漸近線方程為故答案為：15．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為坐標原點，是雙曲線在第一象限上的點，直線，分別交雙曲線左、右支于另一點，，，且，則雙曲線的離心率為________.【答案】【解析】由題意，，，，，，，由余弦定理可得，，．故答案為：．16．己知雙曲線的左、右焦點分別為，直線是雙曲線過第一、三象限的漸近線，記直線的傾斜角為，直線，，垂足為，若在雙曲線上，則雙曲線的離心率為_______【答案】【解析】設，則，即，解得，則，所以，即，代入雙曲線的方程可得，所以所以解得.故答案為：四、解答題17．已知命題表示雙曲線，命題表示焦點在軸上的橢圓；（1）若p且q為真命題，則p是q的什么條件？（2）若p或q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）必要而不充分條件；（2）或.【解析】（1）因為p且q為真命題，故為真命題，為真命題.所以表示雙曲線是真命題，所以．解得．又命題表示焦點在軸的橢圓是真命題，所以，解得．因為，所以p是q的必要而不充分條件．（2）∵p或q假命題，∴假且假．當假時，由（1）可知，有或①，當為假，有或②，由①②解得或.18．已知是拋物線的焦點，恰好又是雙曲線的右焦點，雙曲線過點，且其離心率為．（1）求拋物線和雙曲線的標準方程；（2）已知直線過點，且與拋物線交于，兩點，以為直徑作圓，設圓與軸交于點，，求的最大值．【答案】（1）拋物線E的標準方程為，雙曲線C的標準方程為（2）【解析】（1）由雙曲線過點，且其離心率為．，，，聯(lián)立解得：，．雙曲線的標準方程為：．由，可得，解得．拋物線的標準方程為：．（2）①當直線的斜率不存在時，直線的方程為：．此時，．的方程為：．可得，．．②當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，由題意可得：．聯(lián)立，化為：．設，，，．則，．，．設的半徑為，則．過點作，垂足為．在中，．，則．綜上可得：的最大值為．19．已知雙曲線C：的離心率為，點是雙曲線的一個頂點．(1)求雙曲線的方程；(2)經過雙曲線右焦點F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，求.【答案】(1)；(2)【解析】(1)因為雙曲線C：的離心率為，點是雙曲線的一個頂點，所以解得，所以雙曲線的方程為(2)雙曲線的右焦點為所以經過雙曲線右焦點F2且傾斜角為30°的直線的方程為．聯(lián)立得.設，則.所以.20．已知橢圓的方程為，雙曲線的一條漸近線與軸所成的夾角為，且雙曲線的焦距為.(1)求橢圓的方程；(2)設分別為橢圓的左，右焦點，過作直線(與軸不重合)交橢圓于，兩點，線段的中點為，記直線的斜率為，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)一條漸近線與軸所成的夾角為知，即，又，所以，解得，，所以橢圓的方程為.(2)由(1)知，設，，設直線的方程為.聯(lián)立得，由得，∴，又，所以直線的斜率.①當時，；②當時，，即.綜合①②可知，直線的斜率的取值范圍是.21．已知雙曲線（1）若，求雙曲線的焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程；