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5.1.2弧度制【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.理解弧度制的概念;2.能進(jìn)行角度與弧度的互化;3.會(huì)利用弧度制證明并應(yīng)用扇形周長(zhǎng)及面積公式.1.直觀想象2.數(shù)學(xué)運(yùn)算【自主學(xué)習(xí)】一.度量角的兩種制度角度制:1度角等于周角的:長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做二.弧度數(shù)的計(jì)算三.角度與弧度的互化180°=rad1°=rad;1rad=()°四.弧度制下的弧長(zhǎng)與扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為R,弧長(zhǎng)為l,α(0<α<2π)為其圓心角,則(1)弧長(zhǎng)公式:l=(2)面積公式:S==【小試牛刀】判斷正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)【經(jīng)典例題】題型一角度制與弧度制的互化例1.【跟蹤訓(xùn)練】1已知α=15°,β=eq\f(π,10),γ=1,θ=105°,φ=eq\f(7π,12),試比較α,β,γ,θ,φ的大小.題型二用弧度制表示有關(guān)的角例2將-1125°寫成α+2kπ(k∈Z)的形式,其中0≤α<2π.并判斷它是第幾象限角?【跟蹤訓(xùn)練】2用弧度制表示終邊落在如圖(右)所示陰影部分內(nèi)的角θ的集合.利用弧度制證明并利用扇形公式:例3【跟蹤訓(xùn)練】3(1)已知一扇形的圓心角是72°,半徑為20,求扇形的面積.(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10cm,面積為4cm2,求扇形圓心角的弧度數(shù).【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.自行車的大鏈輪有88齒,小鏈輪有20齒,當(dāng)大鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)一周時(shí),小鏈輪轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)()A.eq\f(5π,11)B.eq\f(44π,5)C.eq\f(5π,22)D.eq\f(22π,5)2.(多選)下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中,正確的是()A.2kπ+45°(k∈Z)B.k·360°+eq\f(9π,4)(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z) D.2kπ+eq\f(π,4)(k∈Z)3.-135°化為弧度為_(kāi)_____,eq\f(11π,3)化為角度為_(kāi)_______.4.已知一扇形的周長(zhǎng)為4,當(dāng)它的半徑與圓心角取何值時(shí),扇形的面積最大?最大值是多少?【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】度弧度半徑長(zhǎng)正負(fù)02π360°π180°αR【小試牛刀】√×√√【經(jīng)典例題】例1課本例題【跟蹤訓(xùn)練】1解α=15°=15×eq\f(π,180)=eq\f(π,12),θ=105°=105×eq\f(π,180)=eq\f(7π,12),∵eq\f(π,12)<eq\f(π,10)<1<eq\f(7π,12),∴α<β<γ<θ=φ.例2解-1125°=-1125×eq\f(π,180)=-eq\f(25π,4)=-8π+eq\f(7π,4).其中eq\f(3π,2)<eq\f(7π,4)<2π,因?yàn)閑q\f(7π,4)是第四象限角,所以-1125°是第四象限角.【跟蹤訓(xùn)練】2解終邊落在射線OA上的角為θ=135°+k·360°,k∈Z,即θ=eq\f(3π,4)+2kπ,k∈Z.終邊落在射線OB上的角為θ=-30°+k·360°,k∈Z,即θ=-eq\f(π,6)+2kπ,k∈Z,故終邊落在陰影部分的角θ的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(-\f(π,6)+2kπ≤θ≤\f(3π,4)+2kπ,k∈Z))))例3課本例題【跟蹤訓(xùn)練】3(1)解設(shè)扇形弧長(zhǎng)為l,因?yàn)閳A心角72°=72×eq\f(π,180)=eq\f(2π,5)rad,所以扇形弧長(zhǎng)l=|α|·r=eq\f(2π,5)×20=8π,于是,扇形的面積S=eq\f(1,2)l·r=eq\f(1,2)×8π×20=80π.(2)解設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0<θ<2π),弧長(zhǎng)為lcm,半徑為Rcm,依題意有eq\b\lc\{\rc\
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