5.1 三角函數(shù)的定義（精練）（教師版）

5.1三角函數(shù)的定義（精練）1．（2023春·江西贛州）把快了10分鐘的手表校準(zhǔn)后，該手表分針轉(zhuǎn)過(guò)的角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】分針旋轉(zhuǎn)為順時(shí)針，但快了10分鐘校準(zhǔn)就需要逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，角度為為周角的六分之一，所以該手表分針轉(zhuǎn)過(guò)的角為：.故選：B.2．（2023·福建）已知角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，那么，下列各角與角終邊相同的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榕c角終邊相同的角的集合為，當(dāng)時(shí)，得到，又，所以易知BCD均不符合題意.故選：A.3．（2023春·天津）下列命題中正確的是（

）A．如果我們把相等的角視為同一個(gè)角，則弧度制建立了一個(gè)從任意角的集合到實(shí)數(shù)集的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系B．弧度制表示角時(shí)，不同大小的弧度可以表示同一個(gè)角C．終邊相同的角的弧度制表示相差D．終邊相同的角的弧度都相同【答案】A【解析】如果我們把相等的角視為同一個(gè)角，則弧度制建立了一個(gè)從任意角的集合到實(shí)數(shù)集的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，故A正確，B錯(cuò)誤，終邊相同的角的弧度制表示相差的整數(shù)倍，故C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；故選：A4．（2023春·云南）下列說(shuō)法正確的有幾個(gè)（

）（1）第一象限的角都是銳角；（2）銳角都是第一象限的角；（3）銳角是大于小于的角；A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【解析】第一象限角的集合為，銳角是大于小于的角，銳角的集合為所以（1）錯(cuò)誤，（2）正確，（3）正確故選：C.5．（2023春·山東）已知點(diǎn)A在以原點(diǎn)為圓心的圓周上，從x軸正半軸，沿著逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，速度為每分鐘轉(zhuǎn)角.若點(diǎn)A在2分鐘時(shí)落在第三象限，18分鐘時(shí)回到出發(fā)位置，則大小是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】由題意得，，故，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?8分鐘時(shí)回到出發(fā)位置，所以，故，可得，所以，因?yàn)?，所以或，或，即?故選：C.6．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示，將一個(gè)半徑為1的圓盤(pán)固定在平面上，圓盤(pán)的圓心與原點(diǎn)重合，圓盤(pán)上纏繞著一條沒(méi)有彈性的細(xì)線，細(xì)線的端頭（開(kāi)始時(shí)與圓盤(pán)上點(diǎn)重合）系著一支鉛筆，讓細(xì)線始終保持與圓相切的狀態(tài)展開(kāi)，切點(diǎn)為，細(xì)繩的粗細(xì)忽略不計(jì)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】展開(kāi)過(guò)程中：,,故選：D.7．（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小正值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，而，所以角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)可寫(xiě)為：，所以，因此的最小正值為.故選：D8．（2023·山東菏澤）已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B．4 C．或3 D．或4【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，解得．故選：D．9．（2023秋·山西長(zhǎng)治·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）水滴是劉慈欣的科幻小說(shuō)《三體II·黑暗森林》中提到的由三體文明使用強(qiáng)互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測(cè)器，因?yàn)槠渫庑闻c水滴相似，所以被人類(lèi)稱(chēng)為水滴.如圖所示，水滴是由線段和圓的優(yōu)弧圍成，其中恰好與圓弧相切.若圓弧所在圓的半徑為1，點(diǎn)到圓弧所在圓圓心的距離為2，則該封閉圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)圓弧所在圓的圓心為，連接，依題意得，且，則，所以，所以該封閉圖形的面積為.故選：A.10．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知為角終邊上的一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題易知，，則．故選：D．11．（2023春·北京）設(shè)是第二象限角，則的終邊在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【答案】D【解析】因?yàn)槭堑诙笙藿牵?，，?dāng)時(shí)，，在第一象限；當(dāng)時(shí)，，在第二象限；當(dāng)時(shí)，，在第四象限；故選：D12．（2023春·北京海淀·高三清華附中校考階段練習(xí)）已知直線與圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，若弧的長(zhǎng)度為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)榛〉拈L(zhǎng)度為，所以，又，所以為等邊三角形，所以頂點(diǎn)到邊的距離為，所以，所以，故選：A.13．（2023·江蘇無(wú)錫·輔仁高中?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與的非負(fù)半軸重合，將角的終邊按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到的角終邊與圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)，由.故選：A14．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知銳角終邊上一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由銳角終邊上一點(diǎn)，所以，所以，所以，故選：B.15．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闀r(shí)，，，所以，又，所以故選：D16．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，將線段繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為_(kāi)___________.【答案】【解析】易知在單位圓上，記終邊在射線上的角為，如下圖所示：根據(jù)三角函數(shù)定義可知，；繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，則終邊在射線上的角為，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為.故答案為：17．（2023·廣西柳州·柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）圣彼得大教堂坐落在梵蒂岡城內(nèi)，是世界上最大的天主教教堂作為最杰出的文藝復(fù)興建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特點(diǎn)之一就是窗門(mén)處使用尖拱造型，其結(jié)構(gòu)是由兩段不同圓心的圓弧組成的對(duì)稱(chēng)圖形．如圖，所在圓的圓心O在線段AB上，若，，則扇形OAC的面積為_(kāi)__．【答案】【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作，設(shè)所在圓的半徑為，則，在中，，，所以，，所以，.在中，有，即，整理可得，.因?yàn)椋?，所以，扇形OAC的面積為.故答案為：.18．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）葫蘆是一種爬藤植物，在我國(guó)傳統(tǒng)文化中，其枝密集繁茂，象征著兒孫滿堂、同氣連枝；其音近于“福祿”，寓意著長(zhǎng)壽多福、事業(yè)發(fā)達(dá)；其果口小肚大，代表著心胸開(kāi)闊、和諧美滿．如圖，一個(gè)葫蘆的果實(shí)可以近似看做兩球相交所得的幾何體，其中的下半部分是半徑為的球的一部分，的上半部分是半徑為3的球的一部分，且，則過(guò)直線的平面截所得截面的面積為_(kāi)_________．【答案】【解析】設(shè)N是兩球面的一個(gè)公共點(diǎn)，且位于截面上，由，得，故，從而．所以截面面積為．故答案為：19．（2023·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)二中?？寄M預(yù)測(cè)）已知，將繞原點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°到的位置，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】【解析】由向量，可得，設(shè)，可得，將繞原點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到的位置，可得，可得，，設(shè)，可得，即.故答案為：.20．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與圓相交于點(diǎn)，則___________.【答案】【解析】因?yàn)榻堑慕K邊與圓相交于點(diǎn)，則，所以.故答案為：.21．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在內(nèi)，使成立的的取值范圍是____【答案】【解析】根據(jù)三角函數(shù)線，角度終邊落在直線右下方時(shí)，滿足，又當(dāng)在時(shí)，成立的的取值范圍是，如下圖所示，當(dāng)角度終邊落在陰影部分時(shí)（不含邊界），滿足，又當(dāng)在時(shí)，成立的的取值范圍是綜上所述，所求范圍為.故答案為：.22．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，那么點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________，若直線的傾斜角為，則其斜率為_(kāi)_________．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，如圖所示，．由三角函數(shù)的定義可知：，，則，則直線的傾斜角為，將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，得直線的傾斜角為，且點(diǎn)在角的終邊上，由三角函數(shù)定義可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，且，則．故答案為：．1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）用一個(gè)圓心角為，面積為的扇形（為圓心）圍成一個(gè)圓錐（點(diǎn)恰好重合），該圓錐頂點(diǎn)為，底面圓的直徑為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，高為．∵扇形的圓心角為∴，∴∵扇形的弧長(zhǎng)等于它圍成的圓錐的底面周長(zhǎng)∴，∴∴∴∴．故選：A．2．（2023·吉林·吉林省實(shí)驗(yàn)校考模擬預(yù)測(cè)）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令函數(shù)，則恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，則，于是，即；當(dāng)時(shí)，，則，所以，而，于是，即；綜上：.故選：C3．（2023春·云南昆明·高三?？茧A段練習(xí)）（多選）如圖，A，B是在單位圓上運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn).初始時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)A在（1，0）處，質(zhì)點(diǎn)B在第一象限，且.質(zhì)點(diǎn)A以的角速度按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)B同時(shí)以的角速度按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，則（

）A．經(jīng)過(guò)1后，扇形AOB的面積為B．經(jīng)過(guò)2后，劣弧的長(zhǎng)為C．經(jīng)過(guò)6后，質(zhì)點(diǎn)B的坐標(biāo)為D．經(jīng)過(guò)后，質(zhì)點(diǎn)A，B在單位圓上第一次相即【答案】BD【解析】對(duì)于，由題意可知：經(jīng)過(guò)1后，，所以此時(shí)扇形AOB的面積為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，經(jīng)過(guò)2后，，所以此時(shí)劣弧的長(zhǎng)為，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，經(jīng)過(guò)6后，質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，結(jié)合題意，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)為角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，所以質(zhì)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，經(jīng)過(guò)后，質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，因?yàn)?，所以?jīng)過(guò)后，質(zhì)點(diǎn)，在單位圓上第一次相遇，故選項(xiàng)正確，故選：.4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角為銳角，角、2、的始邊均與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且角的終邊與角的終邊關(guān)于角的終邊對(duì)稱(chēng)，則的值為（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【解析】∵角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴．由，解得或．∵，∴，∴，即（舍），故．∵角的終邊與角的終邊關(guān)于角的終邊對(duì)稱(chēng)，∴，解得．∴.故選：A．5．（2023春·遼寧大連·高一育明高中?？计谥校┫铝姓f(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．角終邊在第二象限或第四象限的充要條件是B．圓的一條弦長(zhǎng)等于半徑，則這條弦所對(duì)的圓心角等于C．經(jīng)過(guò)4小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)了D．若角和角的終邊關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則有，【答案】C【解析】對(duì)于A，因?yàn)榻墙K邊在第二象限或第四象限，此時(shí)終邊上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)異號(hào)，故；因?yàn)?，所以或，故角終邊上點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)為：或即或，所以角終邊在第二象限或第四象限，綜上，角終邊在第二象限或第四象限的充要條件是，故A正確；對(duì)于B，圓的一條弦長(zhǎng)等于半徑，故由此弦和兩條半徑構(gòu)成的三角形是等邊三角形，所以弦所對(duì)的圓心角為，故B正確；對(duì)于C，鐘表上的時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周是，其中每小時(shí)旋轉(zhuǎn)，所以經(jīng)過(guò)4小時(shí)應(yīng)旋轉(zhuǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，角和角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則，，故D正確.故選：C6．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考二模）蚊香具有悠久的歷史，我國(guó)蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān).如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫(huà)法如下：在水平直線上取長(zhǎng)度為1的線段AB，作一個(gè)等邊三角形ABC，然后以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧交線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D（第一段圓弧），再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，再以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧…….以此類(lèi)推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?1段圓弧時(shí)，“蚊香”的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知：每段圓弧的圓心角為，設(shè)第段圓弧的半徑為，則可得，故數(shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，則，則“蚊香”的長(zhǎng)度為.故選：D.7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】先證明：當(dāng)0＜x＜時(shí)，如圖，角x終邊為OP，其中點(diǎn)P為角x的終邊與單位圓的交點(diǎn)，PM⊥x軸，交x軸與點(diǎn)M，A點(diǎn)為單位圓與x軸的正半軸的交點(diǎn)，AT⊥x軸，交角x終邊于點(diǎn)T，則有向線段MP為角x的正弦線，有向線段AT為角x的正切線，設(shè)弧PA＝l＝x×1＝x，由圖形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即所以＜＜，即所以又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以又由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則所以所以，即故選：C．8．（2023·吉林長(zhǎng)春·吉林省實(shí)驗(yàn)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）如圖所示，設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，，P，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．扇形的面積為C．D．當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為【答案】AD【解析】由題意圓的半徑選項(xiàng)A：由題意得所以所以，故A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以扇形的面積，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以故D正確故選：