2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)沖刺復(fù)習(xí)二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布

2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)沖刺復(fù)習(xí)

二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布課前自主預(yù)習(xí)案課堂互動探究案課前自主預(yù)習(xí)案必

備

知

識1.二項(xiàng)分布(1)伯努利試驗(yàn)只包含______可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為_____________．(2)二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝________________，k＝0，1，2，…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作____________．兩個n重伯努利試驗(yàn)

X～B（n，p）(3)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差①若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝______，D(X)＝________．②若X～B(n，p)，則E(X)＝________，D(X)＝________．pp（1－p）np

np（1－p）2．超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．

X～N（μ，σ2）x＝μx＝μ(3)3σ原則①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝________，D(X)＝________．μσ2

×√√√2．(教材改編)雞接種一種疫苗后，有90%不會感染某種病毒，如果有5只雞接種了疫苗，則恰好有4只雞沒有感染病毒的概率約為(

)A．0.33

B．0.66C．0.5

D．0.45答案：A

3．(教材改編)某學(xué)校高二年級數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測考試成績X～N(80，25)，如果規(guī)定大于或等于85分為A等，那么在參加考試的學(xué)生中隨機(jī)選擇一名，他的成績?yōu)锳等的概率是________．答案：0.1585

答案：B

5．(易錯)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X～N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，則c＝________．

課堂互動探究案1.了解伯努利試驗(yàn)，掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征，并能解決簡單的實(shí)際問題．2．了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實(shí)際問題．3．了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義．問題思考·夯實(shí)技能

【問題1】“二項(xiàng)分布”與“超幾何分布”有什么區(qū)別？提示：有放回抽取問題對應(yīng)二項(xiàng)分布，不放回抽取問題對應(yīng)超幾何分布，當(dāng)總體容量很大時，超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布來處理．【問題2】一個正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定，這兩個參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響？它們反映正態(tài)分布的哪些特征？提示：μ決定了正態(tài)曲線的左右位置，σ決定了正態(tài)曲線的“高矮胖瘦”．它們反映了正態(tài)曲線的集中位置，離散程度．

X0123P

X0123P題型二

超幾何分布例2[2024·安徽安慶模擬]鄉(xiāng)村民宿立足農(nóng)村，契合了現(xiàn)代人遠(yuǎn)離喧囂、親近自然、尋味鄉(xiāng)愁的美好追求．某鎮(zhèn)在旅游旺季前夕，為了解各鄉(xiāng)村的普通型民宿和品質(zhì)型民宿的品質(zhì)，隨機(jī)抽取了8家規(guī)模較大的鄉(xiāng)村民宿，統(tǒng)計得到各家的房間數(shù)如下表：(1)從這8家中隨機(jī)抽取3家，在抽取的這3家的普通型民宿的房間均不低于10間的條件下，求這3家的品質(zhì)型民宿的房間均不低于10間的概率；(2)從這8家中隨機(jī)抽取4家，記X為抽取的這4家中普通型民宿的房間不低于15間的家數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．民宿點(diǎn)甲乙丙丁戊己庚辛普通型民宿16812141318920品質(zhì)型民宿6164101110912

X0123P題后師說(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù)．超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布．(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型．鞏固訓(xùn)練2[2024·河北石家莊模擬]北方某市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動的培訓(xùn)活動，并在培訓(xùn)結(jié)束后對學(xué)生進(jìn)行了考核，記考核成績不小于80分的為優(yōu)秀，為了了解本次培訓(xùn)活動的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了60名學(xué)生的考核成績，如下表(1)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率；(2)用分層抽樣的方法，在考核成績?yōu)閇70，90)的學(xué)生中任取8人，再從這8人中隨機(jī)選取4人，記取到考核成績在[80，90)的學(xué)生為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．成績[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人數(shù)55152510

X1234P題型三

正態(tài)分布例3[2024·河南平頂山模擬]2022屆高校畢業(yè)生規(guī)模首次超過千萬，是近幾年增長人數(shù)最多的一年，就業(yè)壓力暴增，畢業(yè)生的就業(yè)動向成為各界人士關(guān)注的焦點(diǎn)話題．某地從2022年畢業(yè)的大學(xué)生中隨機(jī)抽取1500名，對他們的就業(yè)去向及就業(yè)月薪(單位：千元)進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下表格．1500名畢業(yè)生就業(yè)去向統(tǒng)計表900名畢業(yè)生就業(yè)第一個月的月薪統(tǒng)計表就業(yè)去向考研深造企業(yè)事業(yè)單位其他情況人數(shù)/百人64.531.5月薪/千元[3，4)[4，5)[5，6)[6，7)[7，8]人數(shù)/百人12321

題后師說(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，曲線與x軸之間的面積為1.(2)利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對比聯(lián)系，確定它們屬于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一個．鞏固訓(xùn)練3(1)[2024·重慶沙坪壩模擬]某班學(xué)生的一次的數(shù)學(xué)考試成績ξ(滿分：100分)服從正態(tài)分布：ξ～N(85，σ2)，且P(83<ξ<87)＝0.3，P(78<ξ<83)＝0.12，P(ξ<78)＝(

)A．0.14B．0.18C．0.23

D．0.26答案：C

(2)[2024·河南開封模擬]已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(a，σ2)(a>0)，若P(a<ξ≤a＋1)＝0.3，且f(x)＝x2－2ax＋6的最小值為－3，則P(ξ<2)＝______．答案：0.2解析：因?yàn)閒(x)＝x2－2ax＋6的最小值為－3，所以f(a)＝－a2＋6＝－3，即a2＝9，又a>0，所以a＝3，即根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，正態(tài)分布N(3，σ2)的正態(tài)密度曲線關(guān)于x＝3對稱，即P(ξ>3)＝0.5，而P(3<ξ≤4)＝0.3，所以P(ξ>4)＝0.2，故P(ξ<2)＝P(ξ>4)＝0.2.

答案：C

2．[2021·新高考Ⅱ卷]某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結(jié)論中不正確的是(

)A．σ越小，該物理量在一次測量中在(9.9，10.1)的概率越大B．σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9，10.2)與落在(10，10.3)的概率相等答案：D解析：對于A，σ2為數(shù)據(jù)的方差，所以σ越小，數(shù)據(jù)在μ＝10附近越集中，所以測量結(jié)果落在(9.9，10.1)內(nèi)的概率越大，故正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5，故正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故正確；對于D，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y量結(jié)果落在(9.9，10.0)的概率與落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在(9.9，10.2)的概率與落在(10，10.3)的概率不同，故錯誤．故選D.

答案：BCD

4．[2022·新高考Ⅱ卷]已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝________．答案：0.14解析：由題意可知P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.狀元筆記

二項(xiàng)分布與超幾何分布的辨識(1)超幾何分布的特點(diǎn)①超幾何分布描述的是不放回抽樣問題．②特征：考查對象分兩類；已知各類對象的個數(shù)M，N；已知抽取次數(shù)n；隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù)，③實(shí)質(zhì)是古典概型．(2)二項(xiàng)分布的特點(diǎn)①二項(xiàng)分布描述的是有放回抽樣問題．②特征：做獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；每次試驗(yàn)的“成功概率”p是已知的(或可求的)；已知抽取次數(shù)n；隨機(jī)變量為試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)．③實(shí)質(zhì)是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．例

寫出下列離散型隨機(jī)變量