雙休作業(yè)三2相似三角形判定的七種常見應(yīng)用市公開課一等獎(jiǎng)省一等獎(jiǎng)?wù)n件

方法技巧訓(xùn)練2

相同三角形判定七種常見應(yīng)用第二十七章相同第1頁1234657第2頁平行關(guān)系在判定三角形相同中應(yīng)用1．(中考·衢州)如圖，AB為半圓O直徑，C為BA延長線上一點(diǎn)，CD切半圓O于點(diǎn)D，連接OD.作BE⊥CD于點(diǎn)E，交半圓O于點(diǎn)F.已知CE＝12，BE＝9.(1)求證△COD∽△CBE；(2)求半圓O半徑r長．1應(yīng)用第3頁(1)證實(shí)：∵CD切半圓O于點(diǎn)D，∴CD⊥OD.∵BE⊥CD，∴OD∥BE.∴△COD∽△CBE.第4頁(2)解：在Rt△BEC中，CE＝12，BE＝9，∴BC＝

＝15.∵△COD∽△CBE，∴

，即

，解得r＝.返回第5頁2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D(2，－1)，P(2，2)．(1)△ADP與△ABC相同嗎？說明理由．(2)在圖中標(biāo)出點(diǎn)D關(guān)于y軸對稱點(diǎn)D′，連接AD′，CD′，判斷△ACD′形狀，并說明理由．(3)求∠OCA＋∠OCD度數(shù)．2應(yīng)用三邊關(guān)系在判定三角形相同中應(yīng)用第6頁解：(1)相同．理由以下：∵AD＝

，AB＝2，AP＝

，AC＝

，PD＝3，CB＝3，∴

.∴△ADP∽△ABC.(2)如圖，△ACD′是等腰直角三角形．理由：∵AD′＝

，AC＝

，D′C＝2，第7頁∴AD′＝AC，AD′2＋AC2＝()2＋()2＝20＝D′C2.∴△ACD′是等腰直角三角形．(3)∵點(diǎn)D與點(diǎn)D′關(guān)于y軸對稱，∴∠OCD＝∠OCD′.∴∠OCA＋∠OCD＝∠OCA＋∠OCD′＝∠ACD′＝45°.返回第8頁3．(中考·黃石)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2∠DAE＝2α.(1)如圖①，若點(diǎn)D關(guān)于直線AE對稱點(diǎn)為F，求證△ADF∽△ABC.(2)如圖②，在(1)條件下，若α＝45°，求證DE2＝BD2＋CE2.3應(yīng)用邊角關(guān)系在判定三角形相同中應(yīng)用第9頁(3)如圖③，若α＝45°，點(diǎn)E在BC延長線上，則等式DE2＝BD2＋CE2還能成立嗎？請說明理由．第10頁(1)證實(shí)：∵點(diǎn)D，F(xiàn)關(guān)于直線AE對稱，∴AD＝AF，∠DAE＝∠FAE＝α.∴∠DAF＝2α＝∠BAC.又∵AB＝AC，AD＝AF，∴.∴△ADF∽△ABC.第11頁(2)證實(shí)：由(1)知∠DAF＝2α＝∠BAC，∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠BAD＝∠CAF.又∵AB＝AC，AD＝AF，∴△BAD≌△CAF(SAS)．∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF.∵∠BAC＝2×45°＝90°，AB＝AC，第12頁∴∠ABD＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝45°.∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝90°.∴EF2＝CE2＋CF2.∵點(diǎn)D，F(xiàn)關(guān)于直線AE對稱，∴DE＝EF.∴DE2＝BD2＋CE2.(3)解：還能成立．理由以下：作點(diǎn)F，使點(diǎn)D，F(xiàn)關(guān)于直線AE對稱，連接AF，EF，CF，第13頁則AD＝AF，DE＝EF，∠FAE＝∠DAE＝α.∴∠DAF＝2α＝∠BAC.∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠CAF＝∠BAD.又∵AB＝AC，AD＝AF，∴△BAD≌△CAF(SAS)．∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF.第14頁∵∠BAC＝2×45°＝90°，AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB＝45°.∴∠ACF＝45°.∴∠ECF＝180°－∠ACB－∠ACF＝90°.∴EF2＝CF2＋CE2.∵EF＝DE，CF＝BD，∴DE2＝BD2＋CE2.返回第15頁4．(中考·淄博)如圖，以AB為直徑⊙O外接于△ABC，過點(diǎn)A切線AP與BC延長線交于點(diǎn)P.∠APB角平分線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，其中AE，BD(AE<BD)長是一元二次方程x2－5x＋6＝0兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)求證PA·BD＝PB·AE.4應(yīng)用角關(guān)系在判定三角形相同中應(yīng)用第16頁(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形ADME是菱形？若存在，請給予證實(shí)，并求其面積；若不存在，說明理由．第17頁(1)證實(shí)：∵AP與⊙O相切，∴∠DAP＝90°.∴∠BAC＋∠PAE＝90°.∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°.∴∠BAC＋∠B＝90°.∴∠B＝∠PAE.又∵∠APD＝∠BPD，∴△PAE∽△PBD.∴

，即PA·BD＝PB·AE.第18頁(2)解：存在．如圖，過點(diǎn)D作DM⊥BP于點(diǎn)M，連接EM.∵∠ACB＝90°，∴AC∥DM.∵△PAE∽△PBD，∴∠AEP＝∠BDP.∴∠AED＝∠ADE.∴AD＝AE.∵AD⊥AP，DM⊥BP，PD平分∠APB，∴AD＝DM，∴AE＝DM.第19頁又∵DM∥AC，∴四邊形ADME是平行四邊形．∵AD＝DM，∴四邊形ADME是菱形．解x2－5x＋6＝0，得x＝2或x＝3.∴AE＝2，BD＝3.∴DM＝AD＝2.由勾股定理得BM＝.∵DM∥AC，∴.∴MC=.∴菱形ADME面積＝×2＝.返回第20頁5．(中考·聊城)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，作ED⊥EB交AB于點(diǎn)D，⊙O是△BED外接圓．(1)求證：AC是⊙O切線；(2)已知⊙O半徑為2.5，BE＝4，求BC，AD長．5應(yīng)用相同三角形判定和性質(zhì)在圓中計(jì)算應(yīng)用第21頁(1)證實(shí)：如圖，連接OE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠EBC.∴∠OEB＝∠EBC.∴OE∥BC.∵∠C＝90°，∴∠OEA＝90°，即AC⊥OE.又∵OE是⊙O半徑，∴AC是⊙O切線．第22頁(2)解：在△BCE與△BED中，∵∠C＝∠BED＝90°，∠EBC＝∠DBE，∴△BCE∽△BED.∴

.∵在⊙O中，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O直徑，即BD＝5，∴

，解得BC＝.第23頁又∵OE∥BC，∴.∵AO＝AD＋2.5，AB＝AD＋5，∴

，解得AD＝.返回第24頁6．(中考·大連)閱讀以下材料：小明碰到這么一個(gè)問題：如圖①，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC邊上，∠DAB＝∠ABD，BE⊥AD，垂足為E，求證：BC＝2AE.小明經(jīng)探究發(fā)覺，過點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為F，得到∠AFB＝∠BEA，6應(yīng)用結(jié)構(gòu)相同三角形法在求比值中應(yīng)用第25頁從而可證△ABF≌△BAE(如圖②)，使問題得到處理．(1)依據(jù)閱讀材料回答：△ABF與△BAE全等條件是____________(填“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”或“HL”)．參考小明思索問題方法，解答以下問題：(2)如圖③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為BC中點(diǎn)，E為DC中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC延長線上，且∠CDF＝∠EAC，若CF＝2，求AB長；AAS或ASA第26頁(3)如圖④，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D，E分別在AB，AC邊上，且AD＝kDB(其中0＜k＜)，∠AED＝∠BCD，求

值(用含k式子表示)．第27頁解：(2)如圖①，作EH⊥DC交AC于H.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，BC＝

AC.∴∠BCF＝135°.∵D是BC中點(diǎn)，∴AC＝

CD.∵EH⊥BC，∠ACB＝45°，第28頁∴∠CHE＝45°.∴CE＝EH，CH＝

CE＝

EH，∠AHE＝135°.∴∠BCF＝∠AHE.又∵∠EAC＝∠CDF，∴△AEH∽△DFC.∴.∵E是DC中點(diǎn)，∴CH＝

CE＝

CD.第29頁∴AH＝AC－CH＝

CD－

CD＝

CD.∴

.∵CF＝2，∴EH＝.∴CE＝.∴CD＝2.∴AB＝AC＝

CD＝×2＝4.第30頁(3)如圖②，作DK∥BC交AC于點(diǎn)K，作AL⊥DK于點(diǎn)L.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠ACB＝30°.∵DK∥BC，∴∠ADK＝∠AKD＝30°.∵AL⊥DK，∴AL＝

AK.∴LK＝

AK.∴DK＝

AK.第31頁∵DK∥BC，∴.∵AD＝kDB，∴AK＝kKC.設(shè)AK＝m，則DK＝

m，KC＝.∵DK∥BC，∴∠DCB＝∠KDC.∵∠DCB＝∠AED，∴∠AED＝∠KDC.又∵∠DKE＝∠CKD，∴△DKE∽△CKD.∴.第32頁∴DK2＝KE·KC.∴

＝

KE.∴KE＝3km.∴AE＝AK＋KE＝m＋3km，EC＝KC－KE＝

－3km.∴.返回第33頁7．(中考·舟山)我們定義：有一組鄰角相等凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”．(1)概念了解：請你依據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形例子：________________；(2)問題探究：如圖①，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC中垂線恰好交于AB邊上7應(yīng)用相同三角形判定和性質(zhì)在新定義中應(yīng)用矩形(答案不唯一)第34頁一點(diǎn)P，連接AC，BD，試探究AC與BD數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)應(yīng)用拓展：如圖②，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，將Rt△ABD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α(0°<∠α<∠BAC)，得到Rt△AB′D′(如圖③)，當(dāng)凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時(shí)，求出它面積．第35頁解：(2)AC＝BD.理由以下：如圖①，連接PD，PC.∵PE是AD中垂線，PF是BC中垂線，∴PA＝PD，PC＝PB.∴∠PAD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB.∴∠DPB＝2∠PAD，∠APC＝2∠PBC.第36頁∵∠PAD＝∠PBC，∴∠APC＝∠DPB.∴△APC≌△DPB(SAS)．∴AC＝BD.(3)(I)如圖②，當(dāng)∠AD′B＝∠D′BC時(shí)，延長AD′，CB交于點(diǎn)E，則∠ED′B＝∠EBD′.∴EB＝ED′.設(shè)EB＝ED′＝x.第37頁由勾股定理可得AC＝AD＝AD′＝4.在Rt△ACE中，AC2＋CE2＝AE2，