中考數(shù)學(xué)考前必刷題型突破方案(安徽專版)考點(diǎn)沖刺過(guò)關(guān)08圓(3大考點(diǎn)模擬25題中考真題15題)特訓(xùn)(原卷版+解析)

考點(diǎn)沖刺過(guò)關(guān)08圓（3大考點(diǎn)模擬25題中考真題15題）【安徽十年真題考點(diǎn)及分值細(xì)目表】考點(diǎn)1：圓的有關(guān)性質(zhì)（10年10考，4~13分）考點(diǎn)2：與圓有關(guān)的位置關(guān)系（10年5考，4~10分）考點(diǎn)3：與圓有關(guān)的計(jì)算題（10年4考，4~5分）【安徽最新模擬練】一、單選題1．（2023·安徽淮北·統(tǒng)考一模）如圖，是的中點(diǎn)，，若，，則所在圓的半徑為（

）A． B．4 C．5 D．2．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）是半圓的直徑，與半圓相切于點(diǎn)，交半圓于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，直線與相切于點(diǎn)，是的一條弦，且，連接．若的半徑為，，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．4．（2023·安徽阜陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，是半圓O的直徑，平分，且，則弧的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），垂直交于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．的最小值為6．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）動(dòng)點(diǎn)在等邊的邊上，，連接，于，以為一邊作等邊，的延長(zhǎng)線交于，當(dāng)取最大值時(shí)，的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．7．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，以為邊作等腰直角，連，則的最大值是（

）A． B． C． D．8．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形是的內(nèi)接正方形，直線且平分，交于點(diǎn)，．若，則陰影部分面積為（

）A． B．C． D．二、填空題9．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）《夢(mèng)溪筆談》是北宋的沈括所著的筆記體綜合性科學(xué)著作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，弧是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，是弦的中點(diǎn)，在弧上，且．“會(huì)圓術(shù)”給出弧的弧長(zhǎng)的近似值的計(jì)算公式：．當(dāng)，時(shí)，____________．10．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙的上點(diǎn)，，，若⊙的半徑為5，則的長(zhǎng)是______．11．（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，直徑與弦交于點(diǎn)E，，四邊形是菱形，則的長(zhǎng)是_____．12．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，M，N分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)E，且．（1）___________．（2）連接，則的最小值為___________．13．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，內(nèi)接于圓O．若，，，則的弧長(zhǎng)為___________．14．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考二模）如圖，在平行四邊形中，，，，則陰影部分的面積為_______________．15．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考二模）如圖，，，，，連接，其中的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．（1）______．（2）若點(diǎn)P為的中點(diǎn)，則的最小值是______．三、解答題16．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考二模）如圖，是的外接圓，直徑的長(zhǎng)為6，過(guò)點(diǎn)C的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，求證：．17．（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考二模）如圖，中，，以為直徑作，與邊交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．18．（2023·安徽阜陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，以的邊為直徑作半圓O交于點(diǎn)D，且，半圓O交于點(diǎn)E．(1)求證：．(2)若，，求半圓O的半徑r．19．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中學(xué)校考一模）如圖，是的直徑，，都是上的點(diǎn)，平分，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的值．20．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，在中，，以為弦作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且，．(1)求證：為的切線；(2)若的半徑為，，求劣弧的長(zhǎng)．21．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為原點(diǎn)，，，．(1)將先向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到，請(qǐng)?jiān)趫D中作出；(2)將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，請(qǐng)?jiān)趫D中作出（點(diǎn)、、分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、），求點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)歷的總路程．22．（2023·安徽馬鞍山·?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)B為圓O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作圓O的切線，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)C，若與垂直．(1)求證：；(2)若，圓O的半徑為8，求的長(zhǎng)．23．（2023·安徽合肥·合肥38中?？级＃┮阎妊?，，且，連接交于點(diǎn)E，以為直徑的上有一點(diǎn)F，使得，連接交于點(diǎn)G，若．(1)判斷與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，求的值．24．（2023·安徽合肥·校考一模）（1）【初步體驗(yàn)】如圖1，正方形中，點(diǎn)，分別是、邊上，且于點(diǎn)，求證：．（2）【思考探究】如圖2，在（1）的條件下，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若點(diǎn)為邊中點(diǎn)，求證：．（3）【靈活運(yùn)用】如圖3，在（2）的條件下，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求的值．25．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）是的直徑，是的切線，連接交于點(diǎn)，連接．(1)如圖1，若，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，作的角平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的值．【安徽實(shí)戰(zhàn)真題練】一、單選題1．（2020·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)在上．則下列命題為真命題的是（

）A．若半徑平分弦．則四邊形是平行四邊形B．若四邊形是平行四邊形．則C．若．則弦平分半徑D．若弦平分半徑．則半徑平分弦2．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點(diǎn)P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（

）A． B．4 C． D．53．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為，，，．若，則線段OP長(zhǎng)的最小值是（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2015·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C在半徑為9的⊙O上，的長(zhǎng)為，則∠ACB的大小是___．5．（2019·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若☉O的半徑為2，則CD的長(zhǎng)為_____6．（2021·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓O的半徑為1，內(nèi)接于圓O．若，，則______．7．（2017·安徽·中考真題）如圖，已知等邊的邊長(zhǎng)為6，以AB為直徑的⊙O與邊AC，BC分別交于D，E兩點(diǎn)，則劣弧DE的長(zhǎng)為_________．8．（2018·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABOC的AB，AC分別與⊙O相切于點(diǎn)D、E，若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則∠DOE=__________.三、解答題9．（2020·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，是半圓的直徑，是半圓上不同于的兩點(diǎn)與相交于點(diǎn)是半圓所在圓的切線，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，求證：；若求平分．10．（2019·安徽·統(tǒng)考中考真題）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖1，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖2，筒車盛水桶的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓.已知圓心在水面上方，且圓被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，∠OAB=41.3°，若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)（C，O的連線垂直于AB），求點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）11．（2021·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓O中兩條互相垂直的弦AB，CD交于點(diǎn)E．（1）M是CD的中點(diǎn)，OM＝3，CD＝12，求圓O的半徑長(zhǎng)；（2）點(diǎn)F在CD上，且CE＝EF，求證：．12．（2014·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，半徑OC與弦AB垂直，垂足為E，以O(shè)C為直徑的圓與弦AB的一個(gè)交點(diǎn)為F，D是CF延長(zhǎng)線與⊙O的交點(diǎn)．若OE=4，OF=6，求⊙O的半徑和CD的長(zhǎng)．13．（2015·安徽·統(tǒng)考中考真題）在⊙O中，直徑AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如圖1，當(dāng)PQ∥AB時(shí)，求PQ的長(zhǎng)度；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，求PQ長(zhǎng)的最大值．14．（2018·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O為銳角△ABC的外接圓，半徑為5．（1）用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線，并標(biāo)出它與劣弧BC的交點(diǎn)E(保留作圖痕跡，不寫作法)；（2）若（1）中的點(diǎn)E到弦BC的距離為3，求弦CE的長(zhǎng)．15．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD．(1)如圖1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的長(zhǎng)；(2)如圖2，若DC與⊙O相切，E為OA上一點(diǎn)，且∠ACD＝∠ACE，求證：CE⊥AB．考點(diǎn)沖刺過(guò)關(guān)08圓（3大考點(diǎn)模擬25題中考真題15題）【安徽十年真題考點(diǎn)及分值細(xì)目表】考點(diǎn)1：圓的有關(guān)性質(zhì)（10年10考，4~13分）考點(diǎn)2：與圓有關(guān)的位置關(guān)系（10年5考，4~10分）考點(diǎn)3：與圓有關(guān)的計(jì)算題（10年4考，4~5分）【安徽最新模擬練】一、單選題1．（2023·安徽淮北·統(tǒng)考一模）如圖，是的中點(diǎn)，，若，，則所在圓的半徑為（

）A． B．4 C．5 D．【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理可得過(guò)圓心O，，連接，如圖，設(shè)圓的半徑為x，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理列方程求解即可；【詳解】解：∵是的中點(diǎn)，，∴過(guò)圓心O，，連接，如圖，設(shè)圓的半徑為x，則，在直角三角形中，∵，∴，解得：；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理以及勾股定理，屬于?？碱}型，熟練掌握垂徑定理、列出方程是解題的關(guān)鍵.2．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）是半圓的直徑，與半圓相切于點(diǎn)，交半圓于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，得到，互余關(guān)系，求出，等邊對(duì)等角，求出，鄰補(bǔ)角求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵是半圓的直徑，與半圓相切于點(diǎn)，交半圓于點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，互余關(guān)系，鄰補(bǔ)角．熟練掌握切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，是解題的關(guān)鍵．3．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，直線與相切于點(diǎn)，是的一條弦，且，連接．若的半徑為，，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，作于，可得，，結(jié)合圖形可求出扇形的面積，的面積，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，作于，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，∵直線與相切于點(diǎn)，，∴在同一條直線上，且，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，，∴，

∴陰影部分的面積為，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握垂進(jìn)定理，平行線的性質(zhì)，特殊角的直角三角形，扇形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．4．（2023·安徽阜陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，是半圓O的直徑，平分，且，則弧的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，，證明是等邊三角形，套用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】連接，，∵平分，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴，∵是半圓O的直徑，∴，∴，∴，解得∴，∴是等邊三角形，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰梯形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．5．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），垂直交于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．的最小值為【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理求得，再利用三角形的等面積法求解可判斷A；根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)證得，再證明，，，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可判斷B；設(shè)，則，，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，結(jié)合題意以及直角三角形的性質(zhì)，利用全等三角形的判定證明得到，再證明，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)可判斷C；當(dāng)最短時(shí)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，進(jìn)而求解即可判斷D．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，∵，∴，∵，，∴，∵垂直，∴，∴，∴，故A正確，不符合題意；如圖，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)M，當(dāng)時(shí)，∴是的中位線，∴，∵，垂直，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故B正確，不符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，∴，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∴，∴，∵，∴，∴，又，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故C正確，不符合題意；∵，∴點(diǎn)H在以為直徑的圓上，當(dāng)最短時(shí)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，∴，∴，∴的最小值為，故D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了勾股定理、三角形面積公式、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、圓的基本知識(shí)等知識(shí)，熟練掌握勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）動(dòng)點(diǎn)在等邊的邊上，，連接，于，以為一邊作等邊，的延長(zhǎng)線交于，當(dāng)取最大值時(shí)，的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別連接，，作

，交的延長(zhǎng)線于，利用等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到，；證明，則，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)得到，從而得到，，，四點(diǎn)共圓，利用圓中最長(zhǎng)的弦為直徑得到當(dāng)取最大值時(shí)，則等于直徑，利用勾股定理即可求得結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接，，作，交的延長(zhǎng)線于，∵和是等邊三角形，∴，，，，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴點(diǎn)為中點(diǎn)，∵，∴，∴，∴，∴，，，四點(diǎn)共圓，∴當(dāng)取最大值時(shí)，則等于直徑，此時(shí)為中點(diǎn)，，∵，∴，∴．∴的長(zhǎng)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓內(nèi)接四邊形等知識(shí)．利用全等三角形的判定定理準(zhǔn)確找出圖中的全等三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，以為邊作等腰直角，連，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示，以為斜邊，在右側(cè)作等腰直角，過(guò)點(diǎn)O作交延長(zhǎng)線于E，連接，則，，先證明點(diǎn)B在以O(shè)為圓心，為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)（右側(cè)），故當(dāng)點(diǎn)O在線段上時(shí)，最大，再求出的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，以為斜邊，在右側(cè)作等腰直角，過(guò)點(diǎn)O作交延長(zhǎng)線于E，連接，∴，，∵，∴點(diǎn)B在以O(shè)為圓心，為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)（右側(cè)），∴當(dāng)點(diǎn)O在線段上時(shí)，最大，∵是以為邊的等腰直角三角形，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴的最小值，故選D．【點(diǎn)睛】不能退主要考查了圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最大值問(wèn)題，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線確定點(diǎn)B的軌跡是解題的關(guān)鍵．8．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形是的內(nèi)接正方形，直線且平分，交于點(diǎn)，．若，則陰影部分面積為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】連接，，由題意可知，為等邊三角形，推出，即可求出答案．【詳解】解：如圖：連接，，直線且平分，，，，為等邊三角形，，邊上的高為：，∵四邊形是的內(nèi)接正四邊形，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，解直角三角形，正確運(yùn)用扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）《夢(mèng)溪筆談》是北宋的沈括所著的筆記體綜合性科學(xué)著作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，弧是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，是弦的中點(diǎn)，在弧上，且．“會(huì)圓術(shù)”給出弧的弧長(zhǎng)的近似值的計(jì)算公式：．當(dāng)，時(shí)，____________．【答案】3【分析】連接，根據(jù)計(jì)算，證明O、C、D三點(diǎn)共線，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)，得，代入計(jì)算即可．【詳解】連接，∵，，是弦的中點(diǎn)，∴，，，∵，∴O、C、D三點(diǎn)共線，∴，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙的上點(diǎn)，，，若⊙的半徑為5，則的長(zhǎng)是______．【答案】【分析】由題意可得，由，可得，，進(jìn)而可得，，，再結(jié)合弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴的長(zhǎng)為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求弧長(zhǎng)，平行線的性質(zhì)及利用等邊對(duì)等角求角度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．11．（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，直徑與弦交于點(diǎn)E，，四邊形是菱形，則的長(zhǎng)是_____．【答案】/【分析】先說(shuō)明是等邊三角形可得,再根據(jù)題意求得,最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴的長(zhǎng)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，求得和是解答本題的關(guān)鍵．12．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，M，N分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)E，且．（1）___________．（2）連接，則的最小值為___________．【答案】/90度2【分析】（1）由，推出，最后利用矩形的性質(zhì)即可得解；（2）先確定E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是個(gè)圓，再利用圓的知識(shí)和兩點(diǎn)這間線段最短確定最短長(zhǎng)度，然后利用勾股定理即可得解．【詳解】（1）∵，，∴，∴.∵四邊形是矩形，∴，，∴，故答案為．（2）∵，點(diǎn)E在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為O，則當(dāng)O，E，C三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)∵，，∴，∴，∴，故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，最短距離，圓等知識(shí)的應(yīng)用，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．13．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，內(nèi)接于圓O．若，，，則的弧長(zhǎng)為___________．【答案】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)，連接，得到，證得是等腰直角三角形，求出，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算可得．【詳解】解：∵，，∴，連接，∴，∵，∴是等腰直角三角形，，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，弧長(zhǎng)公式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確掌握?qǐng)A周角定理求出是解題的關(guān)鍵．14．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考二模）如圖，在平行四邊形中，，，，則陰影部分的面積為_______________．【答案】【分析】先計(jì)算出扇形的面積，再計(jì)算出平行四邊形的面積，陰影部分的面積等于平行四邊形的面積減去扇形的面積．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作與點(diǎn)F，∵，，∴，∵，，，∴，,∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形和扇形的面積，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形和扇形的面積公式．15．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考二模）如圖，，，，，連接，其中的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．（1）______．（2）若點(diǎn)P為的中點(diǎn)，則的最小值是______．【答案】【分析】（1）由，推出，，再利用等角的余角相等得到，即可證明；（2）由，求得，得到，推出點(diǎn)F在以為直徑的上，當(dāng)O、P、F在同一直線上時(shí)，取得最小值，根據(jù)三角形中位線定理即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴，，∴，且，∴，故答案為：；（2）∵，∴，∴，∴點(diǎn)F在以為直徑的上，當(dāng)O、P、F在同一直線上時(shí)，取得最小值，∵，，，∴，∴，∵是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴的最小值是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，圓周角定理，判斷點(diǎn)F在以為直徑的上是解題的關(guān)鍵．三、解答題16．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考二模）如圖，是的外接圓，直徑的長(zhǎng)為6，過(guò)點(diǎn)C的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先根據(jù)切線的性質(zhì)得到，則利用含角的直角三角形三邊的關(guān)系得到，然后計(jì)算即可；（2）先利用得到，再計(jì)算出，則利用三角形內(nèi)角和可計(jì)算出，所以，從而得到．【詳解】（1）解：∵直徑的長(zhǎng)為6，∴，∵為的切線，∴，∴，∵，∴，∴；（2）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性質(zhì)掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考二模）如圖，中，，以為直徑作，與邊交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）由等邊對(duì)等角，以及三角形內(nèi)角和定理推出，再由圓周角定理推出，據(jù)此即證明結(jié)論；（2）設(shè)，則，，證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴；（2）解：∵為的直徑，∴，∵，∴，設(shè)，則，，∵，∴，連接，則，∴，∵為的直徑，為的切線，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)與判定和三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．18．（2023·安徽阜陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，以的邊為直徑作半圓O交于點(diǎn)D，且，半圓O交于點(diǎn)E．(1)求證：．(2)若，，求半圓O的半徑r．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，三角形相似的判定和性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵的邊為直徑作半圓O交于點(diǎn)D，且，∴，∵，∴，∴．（2）解：的邊為直徑作半圓O交于點(diǎn)D，且，根據(jù)解析（1）可知，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得：，故圓的半徑為6．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，是的直徑，，都是上的點(diǎn)，平分，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由題可知，已經(jīng)是圓上一點(diǎn)，想證為切線，只需證明/ODF-90°即可；（2）連接，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而根據(jù)三角形的中位線定理可得的長(zhǎng)，從而得的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，平分，，，且在上，是的切線；（2）連接，交于，是的直徑，，，，，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，掌握三角形的中位線定理，勾股定理，角平分線的定義，切線的判定等知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．20．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，在中，，以為弦作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且，．(1)求證：為的切線；(2)若的半徑為，，求劣弧的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)劣弧的長(zhǎng)為【分析】（1）如圖所示，連接，可知為的直徑，可證，再根據(jù)角的關(guān)系證明，由此即可求證；（2）連接，根據(jù)題意可得是的中線，根據(jù)的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)可求出的度數(shù)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵，∴，∴為的直徑，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵是的直徑，∴為的切線；（2）解：連接，∵，∴，∵的半徑為2，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴弧的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握切線的證明方法，弧長(zhǎng)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．21．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為原點(diǎn)，，，．(1)將先向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到，請(qǐng)?jiān)趫D中作出；(2)將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，請(qǐng)?jiān)趫D中作出（點(diǎn)、、分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、），求點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)歷的總路程．【答案】(1)見解析(2)見解析；【分析】（1）根據(jù)平移的規(guī)則，找出點(diǎn)平移后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再順次連接即可得到答案；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可作出圖，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可計(jì)算出點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)歷的總路程．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：如圖所示：，點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)歷的總路程．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖—平移變換，旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，弧長(zhǎng)公式計(jì)算弧長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考常考題型．22．（2023·安徽馬鞍山·?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)B為圓O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作圓O的切線，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)C，若與垂直．(1)求證：；(2)若，圓O的半徑為8，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明，再根據(jù)切線的性質(zhì)證明，即可證明．（2）作于H，求出，根據(jù)，圓O的半徑為8，求出，證明，即可解得．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵與圓切于A，∴半徑，∴，∴，∴；（2）解：作于H，∵，∴，∵，圓O的半徑為8，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】此題考查了圓的切線性質(zhì)、三角形相似、等腰三角形的判定、勾股定理，解題的關(guān)鍵是借助輔助線構(gòu)造三角形相似．23．（2023·安徽合肥·合肥38中校考二模）已知等腰，，且，連接交于點(diǎn)E，以為直徑的上有一點(diǎn)F，使得，連接交于點(diǎn)G，若．(1)判斷與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，求的值．【答案】(1)與相切，理由見解析(2)【分析】（1）如圖所示，連接，先由三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等證明，再根據(jù)等邊對(duì)等角證明，即可得到結(jié)論；（2）如圖所示，連接交于H，連接，由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，再證明四點(diǎn)共圓，得到，進(jìn)而證明，則由角平分線的性質(zhì)得到，再證明，推出，則，即可求出，利用勾股定理求出，再由，是的直徑，得到，，則；證明，即可得到．【詳解】（1）解：與相切，理由如下：如圖所示，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴與相切；（2）解：如圖所示，連接交于H，連接，∵是的直徑，∴，∵，∴四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，是的直徑，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24．（2023·安徽合肥·?？家荒＃?）【初步體驗(yàn)】如圖1，正方形中，點(diǎn)，分別是、邊上，且于點(diǎn)，求證：．（2）【思考探究】如圖2，在（1）的條件下，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若點(diǎn)為邊中點(diǎn)，求證：．（3）【靈活運(yùn)用】如圖3，在（2）的條件下，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)證明即可；（2）先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到，再證明得到即可；（3）設(shè)，，根據(jù)（2）中結(jié)論求得，再證明E、A、F、O四點(diǎn)共圓，利用圓周角定理和平行線的性質(zhì)證得，利用等腰三角形的判定和性質(zhì)證得，進(jìn)而求得即可求解．【詳解】（1）證明：如圖1，∵四邊形是正方形，∴，，，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴．（2）如圖2，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∴，，∵，∴，又，∴，∴，而，，∴，又，，∴∴，∴即．（3）如圖3，設(shè)，，則，∵，∴，則，由（2）中得，解得（負(fù)值舍去），∵，∴E、A、F、O四點(diǎn)共圓，∴，又，∴，∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、圓周角定理、解一元二次方程等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，利用全等三角形和相似三角形的性質(zhì)探究邊角間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．25．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）是的直徑，是的切線，連接交于點(diǎn)，連接．(1)如圖1，若，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，作的角平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得到：，由“等邊對(duì)等角”可得：，根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”得：，在中，由邊角關(guān)系即可求出的長(zhǎng)；（2）在中，由勾股定理得，從而得到，在中，由邊角關(guān)系得，連接，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，由“直徑所對(duì)的圓周角是直角得：，由角平分線的定義得，由“同弧所對(duì)的圓周角相等”得，在中，由邊角關(guān)系得，在中，由邊角關(guān)系得在中，由勾股定理得，從而得出：，再證明，得到，即可得的值出．【詳解】（1）解：∵是的直徑，是的切線，∴∴在中，∴在中，，即的長(zhǎng)為；（2）解：在中，在中，連接過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，如圖：則，∵是的直徑，∴，∵是的平分線，∴，∴，在中，在中，，，在中，由勾股定理，得，，∵，∴，∴，∴，∴的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．【安徽實(shí)戰(zhàn)真題練】一、單選題1．（2020·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)在上．則下列命題為真命題的是（

）A．若半徑平分弦．則四邊形是平行四邊形B．若四邊形是平行四邊形．則C．若．則弦平分半徑D．若弦平分半徑．則半徑平分弦【答案】B【分析】根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)、垂徑定理及其推論、特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)依次對(duì)各項(xiàng)判斷即可．【詳解】A．∵半徑平分弦，∴OB⊥AC，AB=BC，不能判斷四邊形OABC是平行四邊形，假命題；B．∵四邊形是平行四邊形,且OA=OC,∴四邊形是菱形，∴OA=AB=OB，OA∥BC，∴△OAB是等邊三角形，∴∠OAB=60o,∴∠ABC=120o,真命題；C．∵，∴∠AOC=120o，不能判斷出弦平分半徑，假命題；D．只有當(dāng)弦垂直平分半徑時(shí)，半徑平分弦，所以是假命題，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查命題與證明，涉及垂徑定理及其推論、菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是會(huì)利用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行推理證明命題的真假．2．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點(diǎn)P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（

）A． B．4 C． D．5【答案】D【分析】連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，先利用垂徑定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，則，，∵PA＝4，PB＝6，∴，∴，∴，在中，，在中，，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理的運(yùn)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為，，，．若，則線段OP長(zhǎng)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得△ABC中AB邊上的高和△PAB中AB邊上的高的值，當(dāng)P在CO的延長(zhǎng)線時(shí)，OP取得最小值，OP=CP-OC，過(guò)O作OE⊥BC，求得OC=，則可求解．【詳解】解：如圖，，，∴=====，∴，設(shè)△ABC中AB邊上的高為，△PAB中AB邊上的高為，則，，∴，∴，∵△ABC是等邊三角形，∴，，∴點(diǎn)P在平行于AB，且到AB的距離等于的線段上，∴當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)線上時(shí)，OP取得最小值，過(guò)O作OE⊥BC于E，∴，∵O是等邊△ABC的中心，OE⊥BC∴∠OCE=30°，CE=∴OC=2OE∵，∴，解得OE=，∴OC=，∴OP=CP-OC=．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，弄清題意，找到P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．（2015·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C在半徑為9的⊙O上，的長(zhǎng)為，則∠ACB的大小是___．【答案】20°．【分析】連接OA、OB，由弧長(zhǎng)公式的可求得∠AOB，然后再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半可得∠ACB．【詳解】解：連接OA、OB，由弧長(zhǎng)公式的可求得∠AOB=40°，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半可得∠ACB=20°．故答案為：20°【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)公式；圓周角定理，題目難度不大，掌握公式正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．5．（2019·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若☉O的半徑為2，則CD的長(zhǎng)為_____【答案】【分析】連接OA，OC，根據(jù)∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=，然后在Rt△ACD中利用三角函數(shù)即可求得CD的長(zhǎng).【詳解】解：連接OA，OC，∵∠COA=2∠CBA=90°，∴在Rt△AOC中，AC=，∵CD⊥AB，∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理以及銳角三角函數(shù)，根據(jù)題意作出常用輔助線是解題關(guān)鍵.6．（2021·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓O的半徑為1，內(nèi)接于圓O．若，，則______．【答案】【分析】先根據(jù)圓的半徑相等及圓周角定理得出∠ABO=45°，再根據(jù)垂徑定理構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)解直角三角形即可【詳解】解：連接OB、OC、作OD⊥AB∵∴∠BOC=2∠A=120°∵OB=OC∴∠OBC=30°又∴∠ABO=45°在Rt△OBD中，OB=1∴BD==∵OD⊥AB∴BD=AD=∴AB=故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、圓周角定理，正確使用圓的性質(zhì)及定理是解題關(guān)鍵7．（2017·安徽·中考真題）如圖，已知等邊的邊長(zhǎng)為6，以AB為直徑的⊙O與邊AC，BC分別交于D，E兩點(diǎn)，則劣弧DE的長(zhǎng)為_________．【答案】【詳解】解：連接OD、OE，∵△ABC是等邊三角形，∴，∵OA=OE=OB=OD=3，∴△OAE和△OBD都是等邊三角形，∴，∴,∴劣弧DE的長(zhǎng)=，故答案為：．8．（2018·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABOC的AB，AC分別與⊙O相切于點(diǎn)D、E，若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則∠DOE=__________.【答案】60°【詳解】【分析】由AB，AC分別與⊙O相切于點(diǎn)D、E，可得∠BDO=∠ADO=∠AEO=90°，根據(jù)已知條件可得到BD=OB，在Rt△OBD中，求得∠B=60°，繼而可得∠A=120°，再利用四邊形的內(nèi)角和即可求得∠DOE的度數(shù).【詳解】∵AB，AC分別與⊙O相切于點(diǎn)D、E，∴∠BDO=∠ADO=∠AEO=90°，∵四邊形ABOC是菱形，∴AB=BO，∠A+∠B=180°，∵BD=AB，∴BD=OB，在Rt△OBD中，∠ODB=90°，BD=OB，∴cos∠B=，∴∠B=60°，∴∠A=120°，∴∠DOE=360°-120°-90°-90°=60°，故答案為60°.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用等，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、解答題9．（2020·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，是半圓的直徑，是半圓上不同于的兩點(diǎn)與相交于點(diǎn)是半圓所在圓的切線，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，求證：；若求平分．【答案】證明見解析；證明見解析．【分析】利用證明利用為直徑，證明結(jié)合已知條件可得結(jié)論；利用等腰三角形的性質(zhì)證明：再證明利用切線的性質(zhì)與直徑所對(duì)的圓周角是直角證明：從而可得答案．【詳解】證明：為直徑，．證明：為半圓的切線，平分．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，弧，弦，圓心角，圓周角之間的關(guān)系，直徑所對(duì)的圓周角是直角，三角形的全等的判定，切線的性質(zhì)定理，三角形的內(nèi)角和定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2019·安徽·統(tǒng)考中考真題）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖1，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖2，筒車盛水桶的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓.已知圓心在水面上方，且圓被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，∠OAB=41.3°，若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)（C，O的連線垂直于AB），求點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）【答案】6.64米【分析】通過(guò)垂徑定理求出AD，再通過(guò)三角函數(shù)解直角三角形，求出AO和OD的值，從而得到點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離.【詳解】解：如圖：連接CO并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)D，∵OD⊥AB，AB=6，∴AD=AB=3，在Rt△OAD中,∠OAB=41.3°，cos∠OAD=，∴AO=，∵sin∠OAD=,∴OD=AO·sin∠OAD=2.64，∴CD=OC+OD=AO+OD=4+2.64=6.64米，答：點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是6.64米.【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和三角函數(shù)的應(yīng)用，通過(guò)垂徑定理求出AD的值是解題關(guān)鍵.11．（2021·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓O中兩條互相垂直的弦AB，CD交于點(diǎn)E．（1）M是CD的中點(diǎn)，OM＝3，CD＝12，求圓O的半徑長(zhǎng)；（2）點(diǎn)F在CD上，且CE＝EF，求證：．【答案】（1）；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)M是CD的中點(diǎn)，OM與圓O直徑共線可得，平分CD，則有，利用勾股定理可求得半徑的長(zhǎng)；（2）連接AC，延長(zhǎng)AF交BD于G，根據(jù)，，可得，，利用圓周角定理可得，可得，利用直角三角形的兩銳角互余，可證得，即有．【詳解】（1）解：連接OC，∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，OM與圓O直徑共線∴，平分CD，．在中．∴圓O的半徑為（2）證明：連接AC，延長(zhǎng)AF交BD于G．，又在中【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，直角三角形的兩銳角互余，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練應(yīng)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．12．（2014·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，半徑OC與弦AB垂直，垂足為E，以O(shè)C為直徑的圓與弦AB的一個(gè)交點(diǎn)為F，D是CF延長(zhǎng)線與⊙O的交點(diǎn)．若OE=4，OF=6，求⊙O的半徑和CD的長(zhǎng)．【答案】9，【分析】由OE⊥AB得到∠OEF=90°，根據(jù)圓周角定理由OC為小圓