臨界生三角、數(shù)列沖刺練（9）-2024屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

臨界生三角、數(shù)列沖刺練（9）時間：60分鐘班級：___________姓名：___________1．已知數(shù)列an滿足a1=1，an(1)證明：數(shù)列bn為等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Sn，求數(shù)列?1nS2．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，且a2=3，an(1)求an的通項公式；(2)若bn=an2n3．在數(shù)列an中，a1(1)證明：數(shù)列an?n是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列an的前n4．在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,△ABC的面積為S，已知4Stan(1)求角B；(2)若b=3,△ABC的周長為l，求Sl10．如圖，在三棱錐P?ABC中，△PAC為等邊三角形，PB=AC=4,AB=2，∠BAC=60°.(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；(2)點D是棱BC上的動點，當直線BC與平面APD所成角的正弦值為255時，求D12．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E為線段CD中點，現(xiàn)將△ADE沿AE折起，使得點D到點P位置，且AP⊥BE．(1)求證：平面AEP⊥平面ABCD；(2)已知點M是線段CP上的動點（不與點P，C重合），若使平面MAE與平面APE的夾角為π4，試確定點M的位置．參考答案1．【詳解】（1）證明：因為數(shù)列an滿足a1=1，an?an+1=2an所以數(shù)列bn表示首項為1，公差為2（2）解：由（1），可得數(shù)列bn的通項公式為bn=2n?1所以?1當n為偶數(shù)時，Tn=(2+1)(2?1)+(4+3)(4?3)+?+[n+(n?1)][n?(n?1)]=1+2+3+?+n=n(n+1)當n為奇數(shù)時，Tn=(2+1)(2?1)+(4+3)(4?3)+?+[(n?1)+(n?2)][(n?1)?(n?2)]?n=1+2+3+?+(n?1)所以數(shù)列?1nSn的前n2．【詳解】（1）當n=2時，a2即3=3+a1因為an=S所以an=S又an=Sn+Sn?1所以Sn?S又S1所以數(shù)列Sn所以Sn=1+n?1當n≥2時，an當n=1時，a1所以數(shù)列an的通項公式為a（2）由（1）知bn所以Tn所以12所以12Tn=1所以Tn3．【詳解】（1）由an+1=4aa1所以數(shù)列an（2）由（1）得an?n=1?4S==44．【詳解】（1）因為4Stan所以4×1即2ccos由正弦定理，得2sin因為A+B=π?C，所以2sin因為C∈0,π，所以sinC≠0，所以又B∈0,π，所以B=（2）由余弦定理，得b2=a所以9=a+c2?3ac因為S=12ac所以Sl所以Sl又ac≤a+c24所以9=a+c2?3ac≥所以a+c≤6（當且僅當a=c=3時取等號），所以Sl=3即Sl的最大值為35．【詳解】（1）如圖，取AC中點為E，連接PE,BE.因為AC=4，AB=2，∠BAC=60°，在△ABC中，由余弦定理可得BC2=A所以BC=23，且B所以BA⊥BC.又因為△PAC為等邊三角形，AC中點為E，所以，BE=12AC=2，PE⊥AC在△PEB中，有PE所以，PE⊥BE.因為BE?平面ABC，AC?平面ABC，BE∩AC=E，所以，PE⊥平面ABC.因為PE?平面PAC，所以，平面PAC⊥平面ABC.（2）由（1）知，BA⊥BC，PE⊥平面ABC.分別以BA,BC所在的直線為x,y軸，以過點B且與PE平行的直線為z軸，如圖建立空間直角坐標系，則B0,0,0，A0,2,0，C23,0,0設(shè)Da,0,0則BC=23,0,0，設(shè)n=x,y,z是平面則有AP?n=0取x=43，則y=23a，z=a?2因為直線BC與平面APD所成角的正弦值為25所以有cosBC,n所以有23整理可得，13a2?43a=0所以，點D與點B重合或BD=46．【詳解】（1）∵E為CD中點，AB=4，∴DE=CE=2，又∵AD=2，四邊形ABCD為矩形，∵AE∴AE∴AE⊥BE．又∵AP⊥BE，AE∩AP=A，AP，AE?平面APE，∴BE⊥平面APE，又∵BE?平面ABCE，∴平面AEP⊥平面ABCE．（2）過點E作EQ⊥平面ABCE，以E為坐標原點，以EA，EB，EQ所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A22,0,0，P2,0,2，∴CP=22