5.5 解三角形與其他知識的綜合運用（精練）（教師版）

5.5解三角形與其他知識的綜合運用（精練）1．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）2010年9月16日，曲靖市麒麟?yún)^(qū)寥廓山頂?shù)木笇帉毸⒐ら_放，成為曲靖當(dāng)?shù)氐挠忠粯?biāo)志性建筑.某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組為了測量寶塔高度，在如圖所示的點A處測得塔底位于其北偏東60°方向上的D點處，塔頂C的仰角為60°.在A的正東方向且距A點64的點B處測得塔底在其北偏西45°方向上（A?B?D在同一水平面內(nèi)），則靖寧寶塔的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，由題意得，.在中，由正弦定理得，，，且，在中，.故選：C.2．（2023春·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）長沙烈士公園西南小丘上興建了烈士紀(jì)念塔，紀(jì)念為人民解放事業(yè)犧牲的湖南革命烈士，它是公園的標(biāo)志.為了測量紀(jì)念塔的實際高度，某同學(xué)設(shè)計了如下測量方案：在烈士紀(jì)念塔底座平面的點位置測得紀(jì)念塔頂端仰角的正切值為，然后直線走了20，抵達(dá)紀(jì)念塔底座平面點位置測得紀(jì)念塔頂端的仰角為.已知該同學(xué)沿直線行進(jìn)的方向與他第一次望向烈士紀(jì)念塔底端的方向所成角為，則該烈士紀(jì)念塔的高度約為（

）A．30 B．45 C．60 D．75【答案】C【解析】由題設(shè)，如下圖紀(jì)念塔為，且為底部，為頂部，，由，，而，若，則，，在△中，所以，即，可得，所以米.故選：C3．（2023·廣東深圳·紅嶺中學(xué)?？寄M預(yù)測）古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．現(xiàn)根據(jù)劉徽的《重差》測量一個球體建筑物的高度，已知點A是球體建筑物與水平地面的接觸點（切點），地面上B，C兩點與點A在同一條直線上，且在點A的同側(cè)．若在B，C處分別測得球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且BC100m，則該球體建筑物的高度約為（

）（cos10°≈0.985）A．49.25m B．50.76mC．56.74m D．58.60m【答案】B【解析】如圖，設(shè)球的半徑為，，，故選：B4．（2023·四川·模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別為，已知三個向量，共線，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．鈍角三角形C．有一個角是的直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】向量，共線，，由正弦定理得：，，則，，，，即．同理可得．形狀為等邊三角形．故選：A．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知內(nèi)角A?B?C所對的邊分別為a?b?c面積為S，若，，則的形狀是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】由題設(shè)及正弦定理邊角關(guān)系有，而且，所以，又，可得，所以，故，而，又，所以，故，，可得，綜上，為正三角形.故選：C6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，若，則是的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】C【解析】由，可得，又由余弦定理，可得，整理得，所以是直角三角形.故選：C.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）保定市主城區(qū)開展提升城市“新顏值”行動以來，有一街邊舊房拆除后，打算改建成矩形花圃，中間劃分出直角三角形區(qū)域種玫瑰，直角頂點在邊上，且距離點，距離點，且、兩點分別在邊和上，已知，則玫瑰園的最小面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)，則，，所以，，所以，又、兩點分別在邊和上，所以，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，即的最小值為，故選：A.8．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市實驗中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）在學(xué)習(xí)了解三角形的知識后，為了鍛煉實踐能力，某同學(xué)搞了一次實地測量活動他位于河?xùn)|岸，在靠近河岸不遠(yuǎn)處有一小湖，他于點處測得河對岸點位于點的南偏西的方向上，由于受到地勢的限制，他又選了點，，，使點，，共線，點位于點的正西方向上，點位于點的正東方向上，測得，，，，并經(jīng)過計算得到如下數(shù)據(jù)，則其中正確的是（

）A． B．的面積為C． D．點在點的北偏西方向上【答案】AC【解析】對于，因為，點位于點的南偏西的方向上，所以，，，又，，，，在，中，，，所以，故A正確；對于，的面積為，故B錯誤；對于，在中，由正弦定理，得，解得，故C正確；對于，過點作于點，易知，所以，故D錯誤，故選：．9．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）山東省科技館新館目前成為濟(jì)南科教新地標(biāo)（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計，將數(shù)學(xué)符號“”完美嵌入其中，寓意無限未知?無限發(fā)展?無限可能和無限的科技創(chuàng)新.如圖2，為了測量科技館最高點A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機(jī)在點C測得點A和點B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機(jī)沿水平方向飛行600米到點D，此時測得點A和點B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在同一鉛垂面內(nèi)），則A，B兩點之間的距離為______米.【答案】【解析】由題意，，所以，所以在中，，，又，所以，在中，由正弦定理得，，所以，在中，，由余弦定理得，，所以.故答案為：10．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C，D，測得，，，，則A、B兩點的距離為___________m．【答案】【解析】因為，，所以，，所以，又因為，所以，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得．故答案為：11．（2023·湖南）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足.(1)求角的大??；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）整理得，故又，所以；（2）由銳角知，得，故，因為，得，所以.12．（2023·河北）設(shè)函數(shù)，其中向量，.(1)求的最小值；(2)在△中，，，分別是角，，所對的邊，已知，，△的面積為，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）由題設(shè)，，所以，當(dāng)時的最小值為.（2）由，得：，則，又，所以，故，則.由，可得：.在△中，由余弦定理得：，所以.由，則.13．（2023·北京）已知、、分別為的三個內(nèi)角、、的對邊，設(shè)，，若．（1）求角；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為，，且，所以，，由余弦定理可得，整理可得，由余弦定理得，，因此，；（2）且為銳角三角形，則，即，解得，所以，，，所以，，則，故.14．（2023·西藏）已知，，，其中，若的最小正周期為.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）銳角中，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意可知：，因為的最小正周期為，則，所以，，，令，，解得，，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），由正弦定理可得，所以，，為銳角，則，所以，，即，為銳角，所以，，因為為銳角，則，即，解得，所以，，，因此，的取值范圍是.15．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知為的直徑，點、在上，，垂足為，交于，且．

(1)求證：；(2)如果，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)8【解析】（1）證明：連接，，，，又是的直徑，，，，又，，，，，．（2）解：，，，是的直徑，，，，且為銳角，，由（1）得，，在中，，即．

16．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，成等比數(shù)列，且.(1)求；(2)若，延長至，使的面積為，求.【答案】(1)(2)【解析】（1）由，，成等比數(shù)列可知，，由正弦定理，可得，又，，即，又，即，所以，所以或，由，，成等比數(shù)列可知，不為最大角，故.所以，又，，所以，所以，故.（2）由（1）及可知，是邊長為的正三角形，過作垂足為,則，所以，所以，所以.在中，由余弦定理，得，在中，由正弦定理，得.

17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）人類從未停下對自然界探索的腳步，位于美洲大草原點處正上空的點處，一架無人機(jī)正在對獵豹捕食羚羊的自然現(xiàn)象進(jìn)行航拍．已知位于點西南方向的草從處潛伏著一只饑餓的獵豹，獵豹正盯著其東偏北15°方向上點處的一只羚羊，且無人機(jī)拍攝獵豹的俯角為45°，拍攝羚羊的俯角為60°，假設(shè)A，B，C三點在同一水平面上．(1)求此時獵豹與羚羊之間的距離的長度；(2)若此時獵豹到點處比到點處的距離更近，且開始以的速度出擊，與此同時機(jī)警的羚羊以的速度沿北偏東15°方向逃跑，已知獵豹受耐力限制，最多能持續(xù)奔跑，試問獵豹這次捕獵是否有成功的可能?請說明原因．【答案】(1)分類討論，答案見解析；(2)不能捕獵成功，原因見解析.【解析】（1）由題意作圖如下：則，，，．由正弦定理，可得．因此或120°，當(dāng)時，，獵豹與羚羊之間的距離為，當(dāng)，，獵豹與羚羊之間的距離為.（2）由題意作圖如下：設(shè)捕獵成功所需的最短時間為t，在中，，，，．由余弦定理得：．整理得：．方法1：設(shè)，顯然，因獵豹能堅持奔跑最長時間為24s，且．∴獵豹不能捕獵成功．18．（2023春·陜西榆林·高三綏德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，為的角平分線上一點，且與分別位于邊的兩側(cè)，若(1)求的面積;(2)若，求的長.【答案】(1)(2)【解析】（1）在中，，即，解得(負(fù)根舍)，所以.（2）因為，平分，所以，又，所以，在中，由正弦定理，得，①在中，由正弦定理，得，②①②，得，所以，又，且，所以，將代入②，得，所以.19（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，．(1)若，求；(2)記與的面積分別記為和，求的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）∵，∴，，，，，∴

；（2）設(shè)，，∴，∴，∴，①，當(dāng)且僅當(dāng)，時取最大值；綜上，，的最大值是.20.（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）近年來,為“加大城市公園綠地建設(shè)力度,形成布局合理的公園體系”,許多城市陸續(xù)建起眾多“口袋公園”、現(xiàn)計劃在一塊邊長為200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公園”、如圖所示,以中點A為圓心,為半徑的扇形草坪區(qū),點在弧BC上（不與端點重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ為步行道,其中PQ與AB垂直,PR與AC垂直.設(shè).(1)如果點P位于弧BC的中點,求三條步行道PQ、PR、RQ的總長度;(2)“地攤經(jīng)濟(jì)”對于“拉動靈活就業(yè)、增加多源收入、便利居民生活”等都有積極作用.為此街道允許在步行道PQ、PR、RQ開辟臨時攤點,積極推進(jìn)“地攤經(jīng)濟(jì)”發(fā)展,預(yù)計每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益分別為每米5萬元、5萬元及5.9萬元.則這三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高為多少?（精確到1萬元）【答案】(1)(米)(2)2022萬元【解析】（1）解:由題,,同理,故,由于點P位于弧BC的中點,所以點P位于的角平分線上,則,,因為,,所以為等邊三角形,則,因此三條街道的總長度為（米）.（2）由圖可知,,,,在中由余弦定理可知:,則,設(shè)三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益,則,當(dāng)即時取最大值,最大值為.答:三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高約為2022萬元.21．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距海里的B處有一艘走私船，正沿東偏南45°的方向以3海里小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以海里小時的速度沿著正東方向直線追去，1小時后，巡邏艇到達(dá)C處，走私船到達(dá)D處，此時走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇，立即改變航向，以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以海里小時的速度沿著直線追擊(1)當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，兩船相距多少海里(2)問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追，才能最快追上走私船【答案】(1)兩船相距海里.(2)巡邏艇應(yīng)該北偏東方向去追，才能最快追上走私船.【解析】（1）由題意知，當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，走私船在D處，巡邏艇在C處，此時，由題意知在中，由余弦定理得所以在中，由正弦定理得，即所以（舍去）所在又在中，由余弦定理得，故當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，兩船相距海里.（2）當(dāng)巡邏艇經(jīng)過小時經(jīng)方向在處追上走私船，則在中，由正弦定理得：則所以，在中，由正弦定理得：則，故（舍）故巡邏艇應(yīng)該北偏東方向去追，才能最快追上走私船.22．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）某公園要建造如圖所示的綠地，、為互相垂直的墻體，已有材料可建成的圍欄與的總長度為米，且．設(shè)（）．(1)當(dāng)，時，求的長；（結(jié)果精確到米）(2)當(dāng)時，求面積的最大值及此時的值．【答案】(1)米(2)當(dāng)時，養(yǎng)殖場最大的面積為平方米【解析】（1）在中，，，，由余弦定理，得，故．因此的長約為米．（2）連接．由題意，，，在△中，由正弦定理，得．于是，．當(dāng)，即時，取到最大值，最大值為．因此，當(dāng)時，養(yǎng)殖場最大的面積為平方米23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形的區(qū)域進(jìn)行綠化，在此綠化區(qū)域中，分別以和為圓心角的兩個扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個扇形的圓弧均與相切.(1)若，，（長度單位：米），求種植花卉區(qū)域的面積；(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為，則多大時，平行四邊形綠地占地面積最??？【答案】(1)(2)【解析】（1）由余弦定理，，故，又由正弦定理有，故，所以扇形的半徑，故種植花卉區(qū)域的面積（2）設(shè)，則，故，，故平行四邊形綠地占地面積，因為，故要面積最小，則當(dāng)，即，時面積取得最小值，即多大時，平行四邊形綠地占地面積最小24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面四邊形中，為等邊三角形，設(shè).(1)求四邊形面積的最大值，以及相應(yīng)的值；(2)求四邊形對角線長度的最大值，以及相應(yīng)的值.【答案】(1)；；(2)；【解析】（1）由題意，為等邊三角形，∴，在中，，∴，，∴四邊形面積為，因為，∴，即時，四邊形面積最大，此時（2）設(shè)，由正弦定理得，由余弦定理得，，∴，，當(dāng)，即時，，即的最大值為.25．（2023·上海）如圖，在中，分別是的中點