4.2.1 等差數(shù)列的概念（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學精講精練選擇性必修二

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】4.2.1等差數(shù)列的概念（精講）考點一等差數(shù)列基本量的計算【例1-1】（2022·湖北·武漢情智學校高二階段練習）在等差數(shù)列中，(1)已知，，求和公差d；(2)已知，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【答案】(1)，；(2)(3)28(4)17.【解析】(1)，，；(2)，，；(3)，，；(4)，，上兩式聯(lián)立：，，；故答案為：，，-12，28，17.【例1-2】（2022·甘肅·慶陽第六中學高二階段練習）在等差數(shù)列中，，．(1)求的通項公式；(2)判斷96是不是數(shù)列中的項？【答案】(1)；(2)不是.【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，則，而，于是得，，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）知，，由得：不是正整數(shù)，所以96不是數(shù)列中的項.【一隅三反】1．（2022·江蘇·高二課時練習）等差數(shù)列的首項為，公差為d，項數(shù)為．(1)已知，，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，，求d；(4)已知，，，求．【答案】(1)13(2)8(3)(4)【解析】(1)解：因為數(shù)列為等差數(shù)列，，，，所以，所以；(2)解：因為數(shù)列為等差數(shù)列，，，，所以，解得；(3)解：因為數(shù)列為等差數(shù)列，，，，所以，解得；(4)解：因為數(shù)列為等差數(shù)列，，，，所以，解得.2．（2022·全國·高二課時練習）已知為等差數(shù)列，且以，，若在每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使它和原數(shù)列的數(shù)構成一個新的等差數(shù)列，求：(1)原數(shù)列的第12項是新數(shù)列的第幾項？(2)新數(shù)列的第29項是原數(shù)列的第幾項？【答案】(1)第45項(2)第8項．【解析】（1）設新數(shù)列為，則，，根據(jù)，有，即，所以，所以．又因為，所以．即原數(shù)列的第n項為新數(shù)列的第項．當時，，故原數(shù)列的第12項為新數(shù)列的第45項．（2）由(1)，令，得，即新數(shù)列的第29項是原數(shù)列的第8項．考點二等差中項及應用【例2-1】（2022·廣東肇慶·高二期末）在等差數(shù)列中，，則（

）A．14 B．16 C．18 D．28【答案】A【解析】因為等差數(shù)列中，，，故選：A.【例2-2】（2021·江蘇省灌南高級中學高二期中）在等差數(shù)列{an}中，a2、a4是方程的兩根，則a3的值為（）A．2 B．3 C．±2 D．【答案】D【解析】由題意可得：∵{an}為等差數(shù)列，則∴故選：D.【例2-3】（2022·江蘇）在等差數(shù)列中，已知，則等于（）A．40 B．42 C．43 D．45【答案】B【解析】由題意得等差數(shù)列中，已知，設公差為d，則，故

，故選：B【一隅三反】1．（2022·四川?。┑炔顢?shù)列的前三項依次為x，，，則x的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，解得；故選：D2．（2022·遼寧省實驗中學東戴河分校高三階段練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為數(shù)列為等差數(shù)列，且所以，解得，所以.故選：C3．（2022·全國·高二課時練習）（多選）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得，因為，所以，所以，故選：CD.4．（2022·全國·高二課時練習）（多選）設x是a與b的等差中項，是與的等差中項，則a與b的關系為（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由等差中項的定義知，，所以，即，所以，故或.故選：AB考點三等差數(shù)列的證明或判斷【例3-1】（2022廣東）（多選）下列數(shù)列中，是等差數(shù)列的是（）A．1，4，7，10 B．C． D．10，8，6，4，2【答案】ABD【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得：A中，滿足(常數(shù))，所以是等差數(shù)列；B中，滿足(常數(shù))，所以是等差數(shù)列；C中，因為，不滿足等差數(shù)列的定義，所以不是等差數(shù)列；D中，滿足(常數(shù))，所以是等差數(shù)列.故選：ABD.【例3-2】（2022·陜西·西北農(nóng)林科技大學附中）已知數(shù)列滿足，.(1)求??；(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式.【答案】(1)，，；(2)證明見解析，.【解析】(1)由得，代入，n依次取值2，3，4，得，，.(2)證明：由變形，得，即，所以是等差數(shù)列.由，所以，變形得，所以.【一隅三反】1.（2021·全國高二課時練習）（多選）下列數(shù)列是等差數(shù)列的是（）A．0，0，0，0，0，… B．1，l，111，111l，…－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，…【答案】AC【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義可知A，C中的數(shù)列是等差數(shù)列，而BD中，從第2項起，后一項與前一項的差不是同一個常數(shù)，故選：AC．2（2021·遼寧撫順·高二期末）（多選）下列說法錯誤的有（）A．若，，成等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列B．若，，成等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列C．若，，成等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若，，成等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列【答案】ABD【解析】若，，成等差數(shù)列，可取，則，，，所以，故A錯誤；則，，，所以，故B錯誤；則，，，所以，故D錯誤；若，，成等差數(shù)列，則，所以，所以，，成等差數(shù)列，故C正確.故選：ABD.3．（2022·湖北）數(shù)列滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列.(2)若，求數(shù)列的通項公式【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)當時，，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.(2)，數(shù)列首項為，公差為，，則，.4．（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列{an}滿足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：∵(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)－＝＝，∴bn＋1－bn＝，∴{bn}是以首項為b1＝＝＝1，公差為的等差數(shù)列．（2）由(1)及b1＝＝＝1，知bn＝n＋，∴an－1＝，∴an＝.考點四等差數(shù)列的單調(diào)性【例4-1】（2022·北京）已知等差數(shù)列單調(diào)遞增且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為為等差數(shù)列，設公差為，因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以，所以，則，解得：，故選：C【例4-2】（2022·湖北·武漢市鋼城第四中學高二期中）已知數(shù)列，，數(shù)列滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列中的最大項.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)因為，.所以當時，又，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列..(2)由（1）知，.則時，,設函數(shù)易知在上為減函數(shù)所以當時，取得最大值.【一隅三反】1．（2022·甘肅·慶陽第六中學高二階段練習）首項為的等差數(shù)列，從第10項開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，令該等差數(shù)列為，則有，因數(shù)列從第10項開始為正數(shù)，因此，即，解得：，所以公差d的取值范圍是.故選：D2．（2022·北京順義·高二期末）已知數(shù)列為各項均為整數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，若，則的最小值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以，因為數(shù)列為各項均為整數(shù)的等差數(shù)列，所以公差也為正整數(shù)，所以只能是1，2，3，4，6，8，12，24，此時的相應取值為25，13，9，7，5，4，3，2，所以的分別為26，15，12，11，11，12，15，26，所以的最小值為11，故選：C3．（2022·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的公差為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，則，即，此時，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，