2023年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第33講：空間直線、平面的垂直

2023年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第33講：空間直線、平面的垂

直

【教材回扣】

1.直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

a、bUa'

1

一條直線與一個(gè)平面

aC\b=O

判定內(nèi)的兩條一直線

定理垂直，則該直線與此7l±a

平面垂直l±b,

=>/±a

aba_La

性質(zhì)垂直于同一個(gè)平面的1

定理兩條直線—bl.a,

27_=^a//t

2.平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平/_La

判定,u力

面的____,則這兩

定理

個(gè)平面垂直」

￡0a邛

兩個(gè)平面垂直，如果a邛、

一個(gè)平面內(nèi)有一直線

性質(zhì)

垂直于這兩個(gè)平面的

定理aC\p=a

—,那么這條直

線與另一個(gè)平面垂直力J/_La,

【題組練透】

題組一判斷正誤（正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”）

1.直線/與平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則/_La.（）

2.垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行.（）

3.若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.（）

4.若平面。內(nèi)的一條直線垂直于平面夕內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則a_L夕.（）

題組二教材改編

1.（多選題）下列命題正確的是（）

A.過(guò)平面外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這個(gè)平面垂直

B.過(guò)平面外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這個(gè)平面平行

C.過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與這條直線垂直

D.過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與這條直線平行

2.已知直線小b與平面a,B，y,能使a_L尸的充分條件是（）

A.pLyB.aC0=a,力_La,

第1頁(yè)共10頁(yè)

C.a"B，a//aD.a〃a,.邛

3.如圖，在正方形SGiG2G3中，E,F分別是G1G2,G2G3的中點(diǎn)，。是七廠的中點(diǎn).若

沿SE,SF及Er把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使Gi，G2,G3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為

G,則在四面體S—EFG中，與面互相垂直的棱有條.

題組三易錯(cuò)自糾

1.若/，機(jī)為兩條不同的直線，a為平面，且LLa,則“機(jī)〃a”是“mW的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.(多選題)如圖所示，4B是半圓。的直徑，以垂直于半圓。所在的平面，點(diǎn)。是圓

周上不同于A,B的任意一點(diǎn)，M,N分別為例,VC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.MN〃平面ABC

B.平面平面VBC

C.MN與8C所成的角為45。

D.OC_L平面VAC

3.已知直線a和平面a,B，若a邛,al.fi,則。與a的位置關(guān)系為.

二；二A

題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)高頻考點(diǎn)

［例1］如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，％_L底面ABCDfAB1AD,ACJLC。，NABC

=60。，PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).求證：

⑴CO_L4E；

(2)PO_L平面ABE.

［聽(tīng)課記錄］

類題通法

直線和平面垂直判定的四種方法

(1)利用判定定理；

(2)利用判定定理的推論3〃4a_Lanb_La):

(3)利用面面平行的性質(zhì)(a_La,a〃尸=〃_L夕)；

(4)利用面面垂直的性質(zhì).

當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面.

第2頁(yè)共10頁(yè)

鞏固訓(xùn)練1：如果，在三棱錐A—8c。中，ABLAD,BCLBD,平面ABD_L平面BCD,

點(diǎn)E,尸(E與A,。不重合)分別在楂AO,8。上，且ERLAD

求證：(1)所〃平面ABC；

(2)AD1AC.

題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

［例2］［2021?山東濟(jì)南模擬］如圖，在三棱錐尸一ABC中，AB=AC,。為BC的中點(diǎn),

尸O_L平面ABC,垂足O落在線段A。上.已知BC=8,PO=4,40=3,OD=2.

(1)證明：APLBC；

(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM=3,試證明平面AMC_L平面BMC

［聽(tīng)課記錄1

類題通法

1.證明面面垂直的方法

(1)面面垂直的判定定理：a_L￡,?Uana_L/?.此方法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直問(wèn)題，一般找至牛

其中一個(gè)平面的一條垂線,再證這條垂線在另一個(gè)平面內(nèi)或與另一個(gè)平面平行.

(2)只要證明兩個(gè)平面所構(gòu)成的二面角的平面角為90。即可.

(3)性質(zhì)：a//p,4_Ly=>cc_Ly(客觀題常用).

(4)向量法：證明兩個(gè)平面的法向量垂直.

2.面面垂直的性質(zhì)

已知兩個(gè)平面垂直時(shí)，過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)作交線的垂線，則由面面垂直的性質(zhì)定

理可得此直線垂直于另一個(gè)平面，于是面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，由此得出結(jié)論：兩個(gè)相交

平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

鞏固訓(xùn)練2：如圖，在三棱柱ABC—ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2啦的等邊三角形,

BBi=4,且NA出5=45。.證明:平面比匕出J_平面—即"

x---

第3頁(yè)共10頁(yè)

題型三平行與垂直的綜合問(wèn)題

［例3］如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面A8CO為矩形，平面以O(shè)_L平面ABCD,

B4±PD,PA=PD,E,尸分別為A。，P8的中點(diǎn).

(1)求證：PELBCx

⑵求證：平面B4B_L平面尸8；

(3)求證：E/〃平面PCD

［聽(tīng)課記錄］

類題通法

平行與垂直的綜合問(wèn)題主要利用平行關(guān)系，垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化去解決，注意遵循“空

間到平面”“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

鞏固訓(xùn)練3：如圖，四邊形力8CO是平行四邊形，平面4EO_L平面ABC。，EF//AB,

AB=2,BC=EF=\,AE=y(6,DE=3,NBAO=60。，G為BC的中點(diǎn).

(1)求證：FG〃平面BED.

(2)求證：8。_L平面月ED

［預(yù)測(cè)1］核心素養(yǎng)一?直觀想象、邏輯推理

已知直線/和兩個(gè)不同的平面如彼，則下列結(jié)論正確的是()

A.若/〃a,I邛,則aJ_￡

B.若a_LQ,/±a,則LL/

C.若，〃a,則a〃4

第4頁(yè)共10頁(yè)

D.若aJL從/〃a,則LL￡

［預(yù)測(cè)2］新題型——多選題

已知在長(zhǎng)方體人笈7）—4%C力1中,AR=2AD=2AA］,點(diǎn)內(nèi)是48的中點(diǎn),則下列結(jié)論

正確的是（）

A.GEJ?平面4DE

B.平面ACGAi_L平面4DE

C.平面SC?！ㄆ矫?DE

D.8?！ㄆ矫?OE

第5頁(yè)共10頁(yè)

2023年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第33講：空間直線、平面的垂

直答案

［教材回扣］

相交平行一條垂線交線

［題組練透］

題組一

1.X2,X3.X4,X

題組二

1.答案：AC

2.解析：對(duì)A,Q與夕可能平行；對(duì)B,當(dāng)a與夕相交但不垂直時(shí)，也會(huì)有0_La,b

仁慶對(duì)C,。與夕可能平行，也可能相交，故A,B,C均錯(cuò)誤.

故選D.

答案：D

3.解析：折前SGi_LEG”

SG3_LFG3,

EG21FG2,

???折后SG_LEG,SG1FG,EGLFG,

又SG,EG,rG交于一點(diǎn)G.

根據(jù)EG,FG交于一點(diǎn)、G,可得SG_L平面GE尸，

同理可證：rGJ■平面G5E,

EG_L平面GSF.

答案：3

題組三

1.解析：由/_La,且/n〃a能推出m_L/,充分性成立；若/_La,且〃z_L/,則〃?；?/p>

者mUa,必要性不成立，因此“m〃a”是“小_L/”的充分不必要條件，故選A.

答案：A

2.解析：A中，由題意知MN〃AC,

又MNQ平面ABC,ACU平面A5C

.??A/N〃平面ABC,A正確；

B中，??FB是。O的直徑，點(diǎn)。是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn),

Z.AC1BC,

???區(qū)垂直。O所在的平面，BCUOO所在平面，

.WA-LBC.

又ACn%=A,???8。_1平面必1C

又BCU平面VBC

???平面%CJL平面VBC,B正確；

C中，'JMN//AC,又AC_L8C,

???MN與BC所成的角為90。，C錯(cuò)誤；

D中，VAC±BC,又4、B、C、。共面，

???OC與4c不垂直，

.??0。_1_平面區(qū)。不成立，D不正確.

故選AB.

答案：AB

第6頁(yè)共10頁(yè)

3.解析：當(dāng)qU。且。垂直于a、0的交線時(shí),

滿足已知條件；當(dāng)a〃。時(shí)也滿足已知條件.

答案：或

課堂題型講解

題型一

例1證明：（1）在四棱錐P—ABC。中，

???fi4_L底面ABC。，CDU平面ABCD,

/.M±CD.VAC±CD,R\OAC=A,

平面以而平面

，CO_LC.AEUPACt：.CD±AE.

⑵由。，可得

PA=AB=BCtNABC=60AC=%.

???￡是PC的中點(diǎn),：.AELPC.

由(1)知，AELCD,且PCCCD=C,???AE_L平面PCD

而POU平面PCD,：.AE±PD.

???辦_L底面A8C。,：,PALAB.

又AB_L4O,且以HAO=A,

平面BAD,而平面以D,：.AB±PD.

又4BG4E=A,，PO_L平面ABE

鞏固訓(xùn)練證明：在平面內(nèi)，因?yàn)閯t

1(1)ABOA8_L4O,EF±ADt4B〃EE

又因?yàn)镋AI平面ABC,A8U平面ABC,所以石尸〃平面ABC

(2)因?yàn)槠矫嫒?。_L平面BCD,

平面4BOA平面BCD=BD,BC<=平面BCD,BC上BD,

所以BCL平面ABD

因?yàn)锳OU平面ABO,所以3C_L4D

AABLAD,BCnAB=B,ABU平面ABC,8CU平面ABC,

所以AO_L平面ABC.

又因?yàn)?CU平面ABC,所以4O_LAC

題型二

例2證明：(法一)⑴???PO_L平面ABC,BCU平面ABC,

：.POA.BC.

???AB=AC,且。為8。的中點(diǎn)，

：.AD1BC.

???POnAD=O,PO,AOU平面POA,

，BC_L平面POA.

；4PU平面POA,

：.AP1BC.

⑵???POJL平面ABC,AOU平面ABC,

：.PO±OA.

；A0=3,P0=4,則AP=5,

OA3

cosZ。4尸=麗=5，

又00=2,則40=5,

???4B=AC且。為8C的中點(diǎn)，BC=8,

：.AD±BCt80=8=4,

：.AB=AC=y]52-\-42=y[4\.

連接MO,在△MA。中，由余弦定理得一2M4.ADCOSNB4O=9+25

-2X3X5x1=16,

則MD=4.

第7頁(yè)共10頁(yè)

由(1)知，BCJ_平面POA,

???M￡>U平面PQ4,

ARCIMD,

：.MB=^MD1+Bb1=4^2.

同理MC=4、/5,

又MB2-\-MC2=BC2,

：?MBLMC,

又222

MA-\~MB=ABf

又?.?AMnMC=M,AM,"CU平面AMC,

??.MB_L平面AMC,

二?MBU平面BMC,

???平面AMC_L平面BMC.

仁

(法二)(1)如圖，以。為原點(diǎn)，分別以過(guò)0平行于8c的直線，直線AD,直線0P為X,

y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

則0(0,0,0),4(0,—3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),尸(0,0,4).

宿=(0,3,4,),慶?=(一8,0,0),由此可得崩?反?=0,所以崩_L反?，即AP_L8C

(2)由(1)知14Pl=5,

又HM]=3,且點(diǎn)M在線段AP上，

???威=軸=@.

又放=(-4,-5,0),

號(hào))，

：.BM=BA-\-AM=^-4f-y,

而俞=(0,3,分(一4,-y,￥)=0.

即人

：,APLBMt

又根據(jù)(1)的結(jié)論知APA.BC,

???4P_L平面8MC,于是AM_L平面8MC.

又AMU平面AMC,故平面AMC_L平面BCM.

鞏固訓(xùn)練2證明：過(guò)點(diǎn)4在平面44S4內(nèi)作581的垂線，垂足為O,連接CQ.

V4ICI±BBH40_L8Bi,4儲(chǔ)A40=4[,

???8Bi_L平面4OG,

又CQU平面4OG,???88」GO.

由題可知4[BI=AIG=8IG=2啦，

在△AOS中，A\OLOB\,NAiS8=45。，AiS=2啦，

，A]0=3]。=2.

在△BOG中，VCiOlOBi,BQ=2,

BC=2@???GO=2.

.?.OCT+OAT=A)CT,，OG1O4,

???88I_LGO,4O_LGO,即040=0,

???GO_L平面ABBA,

又GOU平面BCGBi,，平面4CGB」平面A38A.

第8頁(yè)共10頁(yè)

題型三

例3證明：(1)因?yàn)橐?尸。，E為AD的中點(diǎn)，

所以PF.IAD.

因?yàn)榈酌鍭BCO為矩形，所以8C〃A。，所以PE_L8c

(2)因?yàn)榈酌?8co為矩形，所以A8_LAD

又因?yàn)槠矫嬉浴L平面ABCD,

平面必。A平面A8CO=A。，ABU平面4BCO,

所以A8_L平面PAD,

因?yàn)镻OU平面小。，所以48_LPD

又因?yàn)镸_LPO,ABOPA=At所以PO_L平面

因?yàn)镻OU平面PCD,

所以平面B4B_L平面PCD.

(3)如圖，取PC的中點(diǎn)G,連接尸G,DG.

因?yàn)镕,G分別為PB,PC的中點(diǎn)，

所以尸G〃BC,FG=^BC.

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為矩形，且E為A。的中點(diǎn)，

所以DE〃BC,DE=^BC.

所以DE//FG,DE=FG.

所以四邊形。EFG為平行四邊形.

所以EF//DG.

又因?yàn)椤?過(guò)平面PCD,OGU平面尸CO,

所以斯〃平面PCD

鞏固訓(xùn)練3證明：(1)如圖，取8。的中點(diǎn)0,連接OE,0G.

在△8CO中，因?yàn)镚是的中點(diǎn)，所以O(shè)G〃OC且OG=3)C=1.

因?yàn)镋/〃AB,AB//OG,EF=\t

所以EF〃OG且EF=OG,

所以四邊形。G尸E是平行四邊形，所以rG〃0￡

又FCK平面BED,OEU平面BED,

所以尸G〃平面BED

(2)在△A3。中，40=1,