滬教版2024-2025學(xué)年七年級上冊同步提升講義第15講公式法(七大題型)(學(xué)生版+解析)

第15講公式法（七大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)能用公式法把整式進(jìn)行因式分解；2、會綜合用提公因式法和公式法把整式分解因式；3、掌握公式法因式分解的應(yīng)用。一、公式法——平方差公式兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：【方法規(guī)律】（1）逆用乘法公式將特殊的整式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或整式.二、因式分解步驟（1）如果整式的各項有公因式，先提取公因式；（2）如果各項沒有公因式那就嘗試用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解．三、因式分解注意事項（1）因式分解的對象是整式；（2）最終把整式化成乘積形式；（3）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止．四、公式法——完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.【方法規(guī)律】（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或整式.【即學(xué)即練1】分解因式：(1)；(2)．【即學(xué)即練2】分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【即學(xué)即練3】用簡便方法計算：(1)；(2)．【即學(xué)即練4】因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．【即學(xué)即練5】已知，則的值為．題型1：運用公式法分解因式【典例1】．因式分解：．【典例2】．分解因式：．【典例3】．因式分解：．【典例4】．因式分解：【典例5】．因式分解：(1)(2)【典例6】．把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3).【典例7】．因式分解：(1)(2)(3)(4)題型2：判斷能否運用平方差公式分解因式【典例8】．下列整式中，能運用平方差公式分解因式的是（

）A． B． C． D．【典例9】．下列各式能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（

）A． B． C． D．【典例10】．下列整式中，可以運用平方差公式進(jìn)行因式分解的是()A． B． C． D．題型3：判斷能否運用完全平方公式分解因式、及求參數(shù)【典例11】．下列各式中，能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是（

）A． B． C． D．【典例12】．若分解因式能用完全平方公式分解因式，則的值為（

）A．10 B． C． D．【典例13】．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個題型4：判斷是否能用公式法分解因式【典例14】．下列整式中，不能用公式法進(jìn)行因式分解的是（

）A． B． C． D．【典例15】．下列整式不能用公式法因式分解的是（）A． B． C． D．【典例16】．運用公式法將下列各式因式分解，錯誤的是（

）A． B．C． D．題型5：綜合運用公式法和提公因式法分解因式【典例17】．把下列各式分解因式：（1）

（2）（3）

（4）【典例18】．分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【典例19】．分解因式：(1)；(2)；(3)．【典例20】．因式分解：(1)(2)(3)(4)【典例21】．因式分解：(1)；(2)．(3)；(4)．題型6：運用公式法或提公因式法分解因式求值【典例22】．若，則的值是．【典例23】．若，則代數(shù)式的值為．【典例24】．若，，則代數(shù)式的值是．【典例25】．計算：．題型7：運用公式法或提公因式法分解因式的其他應(yīng)用【典例26】．如果能分解為，那么．【典例27】．在對二次三項式進(jìn)行因式分解時，甲同學(xué)因看錯了一次項系數(shù)而將其分解為，乙同學(xué)因看錯了常數(shù)項而將其分解為，試將此整式進(jìn)行正確的因式分【典例28】．有一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：，分別對應(yīng)下列六個字：華，我、愛、美、游、中，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是．題型8：材料題、圖形應(yīng)用【典例29】．下面是某同學(xué)對整式進(jìn)行因式分解的過程．回答下列問題：解：設(shè)，原式第一步)第二步)第三步)第四步)(1)該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的；(2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？（填“徹底”或“不徹底”），若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果．(3)以上方法叫做“換元法”．請你模仿以上方法對進(jìn)行因式分解．【典例30】．我們知道某些代數(shù)恒等式可用一些卡片拼成的圖形面積來解釋．(1)如圖1可以用來解釋完全平方公式：，反過來利用一些卡片拼成的圖形面積也可以對某些二次三項式進(jìn)行因式分解．(2)如圖2，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是邊長都為n的小正方形，五塊是長為m，寬為n的全等小長方形，且．①觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以分解因式為；②若每塊小長方形的面積為，四個正方形的面積和為，試求的值．(3)將圖3中邊長為a和b的正方形拼在一起，B、C、G三點在同一條直線上，連接BD和，若這兩個正方形的邊長滿足，，請求出陰影部分的面積．一、單選題1．下列各式中能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（）A．x2-x-1 B．x2-2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x-12．因式分解（

）A． B． C． D．3．已知多項式的一個因式為，另一個因式是（

）A． B． C． D．4．已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，則M、N的大小關(guān)系是（

）A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N13．因式分解：．14．=．15．已知，，則．16．已知，且滿足兩個等式，．則的值為．17．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為．（用“<”號連接）18．在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解法”產(chǎn)生的密碼，方便記憶，原理是對于多項x4﹣y4，因式分解的結(jié)果是（x﹣y）（x-y）（x2-y2），若取x＝9，y＝9時，則各個因式的值是：（x-y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2-y2）＝162，于是就可以把“180162”作為一個六位數(shù)的密碼，對于多項式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10時，用上述方法產(chǎn)生的密碼是（寫出一個即可）．三、解答題19．分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．20．把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．21．因式分解：(1)；(2)(3)；(4)．22．把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．23．分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）x3（6）；（7）；（8）；（9）．24．先分解因式，再求值：，其中，．25．當(dāng)時，多項式的值為0，求的值，并將該多項式進(jìn)行因式分解．26．小明、小花和老師一起探究一個問題：將因式分解．小花根據(jù)大家的提示，整理出解答過程：請你依照上述做法，將下列各式因式分解：（1）；（2）27．觀察下列分解因式的過程：．解：原式=像這種通過增減項把多項式轉(zhuǎn)化成完全平方形式的方法稱為配方法．（1）請你運用上述配方法分解因式：；（2）代數(shù)式是否存在最小值？如果存在，請求出當(dāng)a、b分別是多少時，此代數(shù)式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，請說明理由．28．閱讀下列材料，并解決問題．材料：兩個正整數(shù)相除時，不一定都能整除，當(dāng)不能整除時（0≤余數(shù)＜除數(shù)）．類似的，關(guān)于x的多項式除以多項式時，一定存在一對多項式、，使得，其中余式的次數(shù)小于除式的次數(shù)．例如：多項式除以多項式，商為，余式數(shù)為7，即有．又如：多項式除以多項式，商為，余式數(shù)為0，即有，此時，多項式能被多項式整除．問題：(1)多項式除以多項式，所得的商為．(2)多項式除以多項式，所得的余式數(shù)為2，則商為．(3)多項式分別能被和整除，則多項式除以的商為．第15講公式法（七大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)能用公式法把整式進(jìn)行因式分解；2、會綜合用提公因式法和公式法把整式分解因式；3、掌握公式法因式分解的應(yīng)用。一、公式法——平方差公式兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：【方法規(guī)律】（1）逆用乘法公式將特殊的整式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或整式.二、因式分解步驟（1）如果整式的各項有公因式，先提取公因式；（2）如果各項沒有公因式那就嘗試用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解．三、因式分解注意事項（1）因式分解的對象是整式；（2）最終把整式化成乘積形式；（3）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止．四、公式法——完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.【方法規(guī)律】（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或整式.【即學(xué)即練1】分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了完全平方公式：（1）利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可求解；（2）利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可求解．【解析】（1）解：；（2）解：【即學(xué)即練2】分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（1）平方差法因式分解；（2）平方差法因式分解；（3）平方差法因式分解；（4）平方差法因式分解；（5）先提公因式，再用平方差法因式分解．【解析】（1）解：；（2）；（3）（4）；（5）．【點睛】本題考查因式分解．熟練掌握因式分級的方法，是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練3】用簡便方法計算：(1)；(2)．【答案】(1)90000(2)1000【分析】本題主要考查了完全平方公式：（1）運用完全平方公式計算，即可求解；（2）運用完全平方公式計算，即可求解．【解析】（1）解：；（2）解：【即學(xué)即練4】因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)【分析】根據(jù)分解因式的方法求解即可．【解析】（1）原式．（2）原式．（3）原式．（4）原式．（5）原式．（6）原式．（7）原式．【點睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【即學(xué)即練5】已知，則的值為．【答案】4【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是運用平方差公式．先運用平方差公式分解因式，再整體代入，整理后再整體代入即可求解．【解析】解：，．故答案為：4．題型1：運用公式法分解因式【典例1】．因式分解：．【答案】【分析】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用平方差公式因式分解即可．【解析】．故答案為：．【典例2】．分解因式：．【答案】/【分析】本題主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可．【解析】解：，故答案為：．【典例3】．因式分解：．【答案】【分析】此題主要考查了公式法分解因式，直接利用平方差公式分解因式，進(jìn)而得出答案．【解析】解：．故答案為：．【典例4】．因式分解：【答案】【分析】本題主要考查了因式分解，直接利用完全平方公式分解因式即可．【解析】解：，故答案為：．【典例5】．因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．（1）利用平方差公式分解因式即可；（2）利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．【解析】（1）；（2）．【典例6】．把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查因式分解，熟練掌握利用公式法分解因式是解本題的關(guān)鍵.（）用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可；（）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可；（）先將常數(shù)項去括號，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【典例7】．因式分解：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查因式分解：（1）提公因式結(jié)合平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（2）提公因式結(jié)合平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（3）利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可；（4）利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．題型2：判斷能否運用平方差公式分解因式【典例8】．下列整式中，能運用平方差公式分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了平方差公式分解因式，準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵．【解析】解：A、原式不能利用平方差公式進(jìn)行因式分解，不符合題意；B、原式不能利用平方差公式進(jìn)行因式分解，不符合題意；C、原式，能利用平方差公式進(jìn)行因式分解，符合題意；D、原式不能利用平方差公式進(jìn)行因式分解，不符合題意，【典例9】．下列各式能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平方差公式分析判斷即可．【解析】解：A、不能用平方差公式進(jìn)行因式分解，故此選項不符合題意；B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式進(jìn)行因式分解，故此選項不符合題意；C、不能用平方差公式進(jìn)行因式分解，故此選項不符合題意；D、能用平方差公式進(jìn)行因式分解，故此選項符合題意；【典例10】．下列整式中，可以運用平方差公式進(jìn)行因式分解的是()A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查因式分解，熟練掌握平方差公式的特點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平方差公式判斷即可．【解析】解：與無法利用平方差公式因式分解，則A不符合題意；無法利用平方差公式因式分解，則B不符合題意；，則C符合題意；無法利用平方差公式因式分解，則D不符合題意；題型3：判斷能否運用完全平方公式分解因式、及求參數(shù)【典例11】．下列各式中，能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查用完全平方公式進(jìn)行因式分解，熟練運用完全平方公式.是解題的關(guān)鍵利用完全平方公式逐項判斷即可解答．【解析】解：A、，不能用完全平方公式進(jìn)行因式分解；B、，不能用完全平方公式進(jìn)行因式分解；C、，不能用完全平方公式進(jìn)行因式分解；D、，能用完全平方公式進(jìn)行因式分解；【典例12】．若分解因式能用完全平方公式分解因式，則的值為（

）A．10 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查因式分解，能運用完全平方公式分解因式的整式必須是三項式，先根據(jù)兩平方確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項即可確定m的值．【解析】解：∵整式能用完全平方公式分解因式，又∵，∴，解得．【典例13】．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【解析】略題型4：判斷是否能用公式法分解因式【典例14】．下列整式中，不能用公式法進(jìn)行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握平方差公式及完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．利用平方差公式，以及完全平方公式判斷即可．【解析】解：A、不能用公式法因式分解，故此選項符合題意；B、，故此選項不符合題意；C、，故此選項不符合題意；D、，故此選項不符合題意．【典例15】．下列整式不能用公式法因式分解的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了整式的因式分解．A、B選項考慮利用完全平方公式分解，C、D選項考慮利用平方差公式分解．【解析】解：A、，故選項A不符合題意；B、，故選項B不符合題意；C、不是平方差的形式，不能運用公式法因式分解，故選項C符合題意；D、，故選項D不符合題意；【典例16】．運用公式法將下列各式因式分解，錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】略題型5：綜合運用公式法和提公因式法分解因式【典例17】．把下列各式分解因式：（1）

（2）（3）

（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）利用提公因式法進(jìn)行因式分解，即可求解；（2）先分組，再利用平方差公式法因式分解，即可求解；（3）先利用完全平方公式法因式分解，再利用平方差公式法，即可求解；（4）先將原式化簡，再利用完全平方公式法因式分解，即可求解．【解析】解：（1）

；（2）

；（3）

；（4）

．【點睛】本題主要考查了整式的因式分解，熟練掌握整式的因式分解方法，并靈活選用合適的方法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．【典例18】．分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先去括號，再利用完全平方公式進(jìn)行分解即可；（2）直接利用完全平方公式進(jìn)行分解即可；（3）先利用平方差公式進(jìn)行分解，再利用完全平方公式進(jìn)行二次分解即可；（4）先利用完全平方公式進(jìn)行分解，再利用平方差公式進(jìn)行二次分解即可．【解析】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【點睛】本題考查公式法分解因式，積的乘方．掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．【典例19】．分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解；（2）先提公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解；（3）先利用平方差公式進(jìn)行因式分解，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解．【解析】（1）解：原式；（2）原式；（3）原式．【點睛】本題考查因式分解．熟練掌握因式分解的方法，是解題的關(guān)鍵．【典例20】．因式分解：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先提公因式，然后根據(jù)平方差公式因式分解；（2）先提公因式，再根據(jù)完全平方公式因式分解；（3）先提公因式，再根據(jù)平方差公式因式分解；（4）直接根據(jù)完全平方公式因式分解，再根據(jù)平方差公式因式分解即可求解．【解析】（1）解：原式==；（2）解：原式＝=；（3）解：原式==；（4）解：原式＝=

=．【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【典例21】．因式分解：(1)；(2)．(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)提公因式法和完全平方公式進(jìn)行因式分解即可；（2）根據(jù)平方差公式與完全平方公式因式分解即可；（3）根據(jù)平方差公式與提公因式法因式分解即可；（4）根據(jù)提公因式法與平方差公式因式分解即可．【解析】（1）==（2）===（3）===（4）====【點睛】本題考查了提公因式法、平方差公式和完全平方公式，解決此題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的基本方法．題型6：運用公式法或提公因式法分解因式求值【典例22】．若，則的值是．【答案】4【分析】本題考查分解因式的應(yīng)用，先得到，然后代入合并，然后再提取公因式即可解題．【解析】解：因為，所以，故答案為：4．【典例23】．若，則代數(shù)式的值為．【答案】81【分析】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，通過平方差公式分解因式后整體代入是解題的關(guān)鍵．先計算的值，再將所求代數(shù)式利用平方差公式分解前兩項后，將的值代入化簡計算，然后再代入計算即可求解．【解析】解：∵，∴，∴．故答案為：81．【典例24】．若，，則代數(shù)式的值是．【答案】【分析】本題考查了因式分解的綜合運用及整體代入思想，正確進(jìn)行因式分解是解決問題的關(guān)鍵．將代數(shù)式因式分解然后整體代入求解即可．【解析】∵∴．故答案為：?2．【典例25】．計算：．【答案】【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律問題，平方差公式，先將原式用平方差公式變形，可以得到，再分組計算即可求解．【解析】解：．故答案為：．題型7：運用公式法或提公因式法分解因式的其他應(yīng)用【典例26】．如果能分解為，那么．【答案】【分析】此題考查了因式分解，完全平方公式，由完全平方公式計算，由因式分解定義得到k的值，正確理解因式分解定義是解題的關(guān)鍵【解析】解：∵能分解為，∴∴故答案為：【典例27】．在對二次三項式進(jìn)行因式分解時，甲同學(xué)因看錯了一次項系數(shù)而將其分解為，乙同學(xué)因看錯了常數(shù)項而將其分解為，試將此整式進(jìn)行正確的因式分【答案】【分析】此題考查的是整式的乘法和因式分解，掌握整式乘整式法則、提取公因式法和公式法因式分解是解決此題的關(guān)鍵．分別將和展開，然后取展開后的常數(shù)項，取展開后的一次項，最后因式分解即可．【解析】解：，，∴，，由題意可知：原二次三項式為，∴．故答案為：．【典例28】．有一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：，分別對應(yīng)下列六個字：華，我、愛、美、游、中，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是．【答案】愛我中華（答案不唯一）【分析】本題主要考查多項式的因式分解，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解題的關(guān)鍵．先對進(jìn)行因式分解，再根據(jù)題意，即可得到答案．【解析】解：∵=，∴信息中的漢字有：華、我、愛、中．∴結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能為：愛我中華．故答案為：愛我中華．題型8：材料題、圖形應(yīng)用【典例29】．下面是某同學(xué)對整式進(jìn)行因式分解的過程．回答下列問題：解：設(shè)，原式第一步)第二步)第三步)第四步)(1)該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的；(2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？（填“徹底”或“不徹底”），若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果．(3)以上方法叫做“換元法”．請你模仿以上方法對進(jìn)行因式分解．【答案】(1)兩數(shù)和的完全平方公式(2)不徹底，(3)【分析】本題主要考查了因式分解及完全平方公式，熟練掌握完全平方公式因式分解是解題的前提，（1）根據(jù)完全平方公式作答即可；（2）根據(jù)因式分解的定義及完全平方公式作答即可；（3）根據(jù)換元法及完全平方公式因式分解即可；【解析】（1）解：第二步到第三步使用的是公式，即兩數(shù)和的完全平方公式，故答案為：兩數(shù)和的完全平方公式；（2）解：∵，∴該同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，因式分解的最后結(jié)果是，故答案為：不徹底，；（3）解：設(shè)，．【典例30】．我們知道某些代數(shù)恒等式可用一些卡片拼成的圖形面積來解釋．(1)如圖1可以用來解釋完全平方公式：，反過來利用一些卡片拼成的圖形面積也可以對某些二次三項式進(jìn)行因式分解．(2)如圖2，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是邊長都為n的小正方形，五塊是長為m，寬為n的全等小長方形，且．①觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以分解因式為；②若每塊小長方形的面積為，四個正方形的面積和為，試求的值．(3)將圖3中邊長為a和b的正方形拼在一起，B、C、G三點在同一條直線上，連接BD和，若這兩個正方形的邊長滿足，，請求出陰影部分的面積．【答案】(1)(2)①，②1(3)3.5【分析】本題考查的是因式分解和圖形的結(jié)合，讀懂圖形信息、掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)面積公式，大正方形的面積可以表示為：，兩個小正方形和兩個長方形的面積可以表示為：，則；（2）①大長方形的面積，大長方形的面積=，則；②由題意得：，則，結(jié)合即可求得；（3）根據(jù)陰影部分的面積等于兩個正方形的面積之和減去兩個直角三角形的面積．【解析】（1）解：根據(jù)面積公式，大正方形的面積可以表示為：，兩個小正方形和兩個長方形的面積可以表示為：，則，故答案為：；（2）解：①∵大長方形的面積，大長方形的面積=，∴，故答案為：；②由題意得：，則，∴，∵，∴，∵，，∴，（3）解：陰影部分的面積．一、單選題1．下列各式中能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（）A．x2-x-1 B．x2-2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x-1【答案】B【分析】利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．【解析】解：多項x2-x-1，x2-2x-1，x2-2x-1都不能用平方差公式進(jìn)行因式分解，能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是x2-1，【點睛】此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．2．因式分解（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．【解析】．故選C．【點睛】本題考查運用公式法進(jìn)行因式分解，解題關(guān)鍵在于對公式的熟練掌握與應(yīng)用，題目比較簡單．3．已知多項式的一個因式為，另一個因式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】可運用平方差公式對所給代數(shù)式進(jìn)行因式分解得到所求的另一個因式．【解析】原式=（2x-y-z）（2x-y-z），∴另一個因式是2x-y-z，【點睛】本題考查了公式法分解因式，用了平方差的形式，所以要熟記平方差公式分解因式．4．已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，則M、N的大小關(guān)系是（

）A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N【答案】D【分析】用M與N作差，然后進(jìn)行判斷即可．【解析】解：M=3x2-x-3，N=2x2-3x-1，∵M(jìn)-N=(3x2-x-3)-(2x2-3x-1)=3x2-x-3-2x2-3x-1=x2-4x-4=(x-2)2≥0，∴M≥N．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解答題的關(guān)鍵．5．在多項式中，（1）（2）（3）（4）其中能用完全平方公式分解因式的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】直接利用完全平方公式分別分解因式進(jìn)而判斷即可．【解析】解：（1）無法運用完全平方公式分解因式；（2）無法運用完全平方公式分解因式；（3），能運用完全平方公式分解因式；（4），能運用完全平方公式分解因式；故選B．【點睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵．6．已知，則的值是（

）A．0 B．1 C．-2 D．-1【答案】D【分析】先對進(jìn)行變形，可以解出a，b的關(guān)系，然后在對進(jìn)行因式分解即可．【解析】∵，∴，，，∴，，∴【點睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，在解題時要注意符號變換，同時掌握正確的運算是解答本題的關(guān)鍵．7．已知，則的個位數(shù)字為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【分析】把3變成22-1，依次運用平方差公式進(jìn)行計算，再合并即可．【解析】∵由2的乘法性質(zhì)可得個位按照2,4,8,6四次一循環(huán),則16次方時個位為6.∴216-1個位為5,

216-1個位為7,

5×7=35∴原式個位為5.故選C【點睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，注意：平方差公式為：（a-b）（a-b）=a2-b2．8．甲、乙兩農(nóng)戶各有兩塊地，如圖所示，今年，這兩個農(nóng)戶決定共同投資搞飼養(yǎng)業(yè)．為此，他們準(zhǔn)備將這4塊土地?fù)Q成一塊地，那塊地的寬為（a-b）米，為了使所換土地的面積與原來4塊地的總面積相等，交換之后的土地的長應(yīng)該是（）米．A．a(chǎn)-bB．b-cC．a(chǎn)-cD．a(chǎn)-b-c【答案】B【分析】首先計算原來4塊地的總面積，再進(jìn)一步因式分解，出現(xiàn)a＋b的因式．【解析】解：原來四塊地的總面積是a2＋bc＋ac＋ab＝a（a＋c）＋b（a＋c）＝（a＋c）（a＋b），則交換之后的土地長是（a＋c）米．故選C．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是能夠熟練運用分組分解法進(jìn)行因式分解．9．9（x-y）2-12（x2-y2）-4（x-y）2因式分解為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】把（x－y）與（x＋y）看做一個整體，運用完全平方公式求解即可．【解析】解：9（x－y）2＋12（x2－y2）＋4（x＋y）2，＝[3（x－y）]2＋12（x＋y）（x－y）＋[2（x＋y）]2，＝[3（x＋y）＋2（x－y）]2，＝（5x-y）2．故選B．【點睛】本題主要考查利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，要把（x－y）與（x＋y）看作一個整體，整理成公式形式是解題的關(guān)鍵．10．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，則a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】把已知的式子化成[（a-b）2-（a-c）2-（b-c）2]的形式，然后代入求解即可．【解析】原式=（2a2-2b2-2c2-2ab-2ac-2bc）=[（a2-2ab-b2）-（a2-2ac-c2）-（b2-2bc-c2）]=[（a-b）2-（a-c）2-（b-c）2]=×（1-4-1）=3，故選D.【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，代數(shù)式的求值，正確利用因式分解的方法把所求的式子進(jìn)行變形是關(guān)鍵．二、填空題11．因式分解：．【答案】【分析】先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可．【解析】解：故答案為：．【點睛】本題主要考查了因式分解，熟練掌握提公因式法和公式法，是解題的關(guān)鍵．12．分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）．【答案】【分析】（1）利用十字乘法分解因式即可得到答案；（2）利用十字乘法分解因式即可得到答案；（3）利用十字乘法分解因式即可得到答案；（4）利用十字乘法分解因式即可得到答案；（5）利用十字乘法分解因式即可得到答案；（6）利用十字乘法分解因式即可得到答案；（7）先提公因式再利用十字乘法分解因式即可得到答案；（8）先利用十字乘法分解因式，再利用平方差公式分解即可；（9）先把原式化為：，再利用完全平方公式與平方差公式分解即可.【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）故答案為：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）【點睛】本題考查的是十字乘法分解因式，分組分解法，利用完全平方公式分解因式，掌握以上因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.13．因式分解：．【答案】【分析】此題主要考查了公式法分解因式，直接利用平方差公式分解因式，進(jìn)而得出答案．【解析】解：．故答案為：．14．=．【答案】【分析】先利用平方差公式把每一個因數(shù)化為兩個因數(shù)的積，約分后可得余下的因數(shù)，再計算乘法，從而可得答案．【解析】解：====故答案為：．【點睛】本題考查的是有理數(shù)的乘法運算，運用平方差公式對有理數(shù)進(jìn)行簡便運算，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．15．已知，，則．【答案】．【分析】現(xiàn)將原式進(jìn)行因式分解，然后代入求值即可【解析】解：當(dāng)，，∴原式=故答案為：．【點睛】本題考查因式分解，掌握提公因式法和公式法正確進(jìn)行因式分解是解題關(guān)鍵．16．已知，且滿足兩個等式，．則的值為．【答案】4【分析】由已知條件得到，化簡為，然后整體代入即可求值．【解析】，，，，，（不符合題意，排除）或，又，，故答案為：4．【點睛】本題考查代數(shù)式求值，掌握整體代入是解題關(guān)鍵．17．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為．（用“<”號連接）【答案】【分析】本題主要考查了分解因式，用平方差公式分解因式得到，，再由即可得到答案．【解析】解：∵，，∴，，∴，，∵，且，∴，故答案為：．18．在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解法”產(chǎn)生的密碼，方便記憶，原理是對于多項x4﹣y4，因式分解的結(jié)果是（x﹣y）（x-y）（x2-y2），若取x＝9，y＝9時，則各個因式的值是：（x-y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2-y2）＝162，于是就可以把“180162”作為一個六位數(shù)的密碼，對于多項式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10時，用上述方法產(chǎn)生的密碼是（寫出一個即可）．【答案】104020【分析】9x3-xy2=x（9x2-y2）=x（3x-y）（3x-y），當(dāng)x=10，y=10時，密碼可以是10、40、20的任意組合即可．【解析】9x3-xy2=x（9x2-y2）=x（3x-y）（3x-y），當(dāng)x=10，y=10時，密碼可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一．【點睛】本題考查的是因式分解，分解后，將變量賦值，按照因式組合即可．三、解答題19．分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）先利用完全平方公式展開，合并同類項，再用完全平方公式分解因式；（2）先用整式乘法法則去括號，再合并同類項，然后利用平方差公式分解因式；（3）先提公因式，再用完全平方公式分解因式；（4）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式．【解析】解：（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝；（4）原式＝．【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握提取公因式、完全平方公式、平方差公式是關(guān)鍵．20．把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【答案】（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【分析】（1）直接利用平方差公式進(jìn)行分解即可；（2）首先提公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行分解即可；（3）直接利用平方差公式進(jìn)行分解即可；（4）先利用平方差公式進(jìn)行分解，再利用完全平方公式進(jìn)行分解即可；（5）直接利用完全平方公式進(jìn)行分解即可（6）直接利用完全平方公式進(jìn)行分解即可；（7）利用完全平方公式進(jìn)行分解，再利用平方差公式進(jìn)行分解即可；（8）直接利用完全平方公式進(jìn)行分解即可．【解析】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）原式；（7）原式；（8）原式．【點睛】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進(jìn)行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解，注意分解因式要徹底．21．因式分解：(1)；(2)(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了多項式的因式分解，屬于基本題型，熟練掌握分解因式的方法是解題關(guān)鍵．（1）直接提取公因式即可；（2）直接利用平方差公式因式分解即可；（3）先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可；（4）利用利用平方差公式因式分解即可．【解析】（1）解：（2）（3）（4）．22．把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．【分析】（1）直接提取公因式7，進(jìn)而利用平方差公式分解因式即可；