滬科版六年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與通關(guān)講解練重難點(diǎn)03循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)(原卷版+解析)

重難點(diǎn)03循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)【考點(diǎn)剖析】1.【閱讀理解】根據(jù)實(shí)際需要，計(jì)算的結(jié)果有時(shí)要用小數(shù)表示，有時(shí)要用分?jǐn)?shù)表示.分?jǐn)?shù)、小數(shù)進(jìn)行比較時(shí)也需要進(jìn)行互化.我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了一些基本的互化方法，但還有很多知識(shí)可能沒(méi)有學(xué)會(huì)，但雙非常重要.例如：如何將無(wú)限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù).解1：因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，從而?解2：因?yàn)椋?，兩式相減得：，又，所以，從而得.

用上述方法將無(wú)限循環(huán)小數(shù)化成小數(shù)（需要寫(xiě)出過(guò)程）.2.將下列循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)．（1）；（2）；（3）；（4）．3.求證：．4.求證：．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．將無(wú)限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，可設(shè)，則，解得：．仿此，將無(wú)限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)為（

）.A． B． C． D．2．我們知道，無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，例如：將，則，解得，即，仿此方法，將化成分?jǐn)?shù)是（

）A． B． C． D．二、填空題3．一般地，任何一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以寫(xiě)為分?jǐn)?shù)形式，那么應(yīng)該怎樣寫(xiě)呢？我們以無(wú)限循環(huán)小數(shù)為例進(jìn)行說(shuō)明：設(shè)，由，可知，所以，解方程得：．于是，得．將寫(xiě)成為分?jǐn)?shù)形式是______；將寫(xiě)成為分?jǐn)?shù)形式是______．4．無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，求解過(guò)程是：設(shè)，則，于是可列方程，解得，所以．若把化成分?jǐn)?shù)形式，仿照上面的求解過(guò)程，可得_____．5．把無(wú)限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，可以按如下方法進(jìn)行：以為例，設(shè)，由可知，，所以．解方程，得，于是．仿照上述方法，無(wú)限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)是___________．6．一般地，任何一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，以無(wú)限循環(huán)小數(shù)為例：設(shè)，由可知，，所以，解方程，得于是，得．運(yùn)用上面的方法可以將化成分?jǐn)?shù)形式為_(kāi)_____．三、解答題7．（1）計(jì)算________．（2）________．8．閱讀材料：數(shù)學(xué)通古達(dá)今、博大精深，奧妙無(wú)窮，為使同學(xué)們?cè)诟鼜V闊的數(shù)學(xué)天地中提升自學(xué)能力，我們七年級(jí)上冊(cè)的數(shù)學(xué)教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中，有一篇文章“無(wú)限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)”，教我們用方程的思想按如下方法，把無(wú)限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù).請(qǐng)認(rèn)真研讀下列例題，理解例題中解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想、方法，然后學(xué)習(xí)、借鑒、類(lèi)比、遷移這些思想、方法解答下列三個(gè)問(wèn)題：以0.為例.設(shè)0.＝x，由0.＝0.777…，可知10x＝7.777…，所以10x＝7+x，解得x＝，于是0.＝．(1)類(lèi)比：請(qǐng)按照這個(gè)方法把無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.化為分?jǐn)?shù)；(2)遷移：請(qǐng)按照這個(gè)方法把無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.化為分?jǐn)?shù)；(3)拓展：請(qǐng)按照這個(gè)方法把無(wú)限循環(huán)小數(shù)1.化為分?jǐn)?shù).9．閱讀材料，解答下面問(wèn)題．無(wú)限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)：利用一元一次方程可以將任何一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)形式．下面以為例說(shuō)明：設(shè)①，由．可得②，由②-①，得解得：，所以，模仿：（1）將無(wú)限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)形式．（2）_______．（直接寫(xiě)出答案）10．閱讀下列材料、并完成任務(wù).無(wú)限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)我們知道分?jǐn)?shù)寫(xiě)出小數(shù)形式即，反過(guò)來(lái)，無(wú)限循環(huán)小數(shù)寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式即，一般地，任何一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式.先以無(wú)限循環(huán)小數(shù)為例進(jìn)行討論.設(shè)，由可知，，所以，解方程，得，于是，得.再以無(wú)限循環(huán)小數(shù)為例，做進(jìn)一步的討論.無(wú)限循環(huán)小數(shù)，它的循環(huán)節(jié)有兩位，類(lèi)比上面的討論可以想到如下做法.設(shè)，由可知，.所以.解方程，得，于是，.類(lèi)比應(yīng)用（直接寫(xiě)出答案，不寫(xiě)過(guò)程）①.②.③.能力提升將化為分?jǐn)?shù)形式，寫(xiě)出過(guò)程.拓展探究①；②比較大小1（填“”或“”或“”）；③若，則.11．閱讀與理解：用下面的方法可以把循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：設(shè)，，可得方程：，解得，即．參考以上方法，解決下面的問(wèn)題．(1)把化成分?jǐn)?shù)．(2)把化成分?jǐn)?shù)．(3)把化成分?jǐn)?shù)．(4)通過(guò)閱讀，解題，你有什么發(fā)現(xiàn)與收獲嗎？

重難點(diǎn)03循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)【考點(diǎn)剖析】1.【閱讀理解】根據(jù)實(shí)際需要，計(jì)算的結(jié)果有時(shí)要用小數(shù)表示，有時(shí)要用分?jǐn)?shù)表示.分?jǐn)?shù)、小數(shù)進(jìn)行比較時(shí)也需要進(jìn)行互化.我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了一些基本的互化方法，但還有很多知識(shí)可能沒(méi)有學(xué)會(huì)，但雙非常重要.例如：如何將無(wú)限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù).解1：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，從而?解2：因?yàn)?，，兩式相減得：，又，所以，從而得.

用上述方法將無(wú)限循環(huán)小數(shù)化成小數(shù)（需要寫(xiě)出過(guò)程）.【答案】；；【解析】解：（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，從而?（2），；②–①得：，所以.2.將下列循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)．（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）； （2）；； （4）．【總結(jié)】考察循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的方法，參考知識(shí)精要．3.求證：．【答案】設(shè)，則，所以，所以，所以．【解析】考察分?jǐn)?shù)化為循環(huán)小數(shù)的方法．4.求證：．【答案】設(shè)，則，，所以，所以，所以．【解析】考察分?jǐn)?shù)化為循環(huán)小數(shù)的方法．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．將無(wú)限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，可設(shè)，則，解得：．仿此，將無(wú)限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)為（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)設(shè)，則，根據(jù)解一元一次方程的方法，求出x的值即可．【詳解】設(shè)，則，移項(xiàng)，可得：，合并同類(lèi)項(xiàng)，可得：，系數(shù)化為1，可得：，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查無(wú)限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法，以及解一元一次方程的方法，要熟練掌握解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1．2．我們知道，無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，例如：將，則，解得，即，仿此方法，將化成分?jǐn)?shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)例題方法直接計(jì)算即可得到答案；【詳解】解：設(shè)，則，解得，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)，解題的關(guān)鍵是讀懂題目中方法．二、填空題3．一般地，任何一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以寫(xiě)為分?jǐn)?shù)形式，那么應(yīng)該怎樣寫(xiě)呢？我們以無(wú)限循環(huán)小數(shù)為例進(jìn)行說(shuō)明：設(shè)，由，可知，所以，解方程得：．于是，得．將寫(xiě)成為分?jǐn)?shù)形式是______；將寫(xiě)成為分?jǐn)?shù)形式是______．【答案】【分析】仿照化為的過(guò)程進(jìn)行解得即可．【詳解】解：設(shè)，所以，所以，解得：；設(shè)，所以，所以，解得：．故答案：，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵．4．無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，求解過(guò)程是：設(shè)，則，于是可列方程，解得，所以．若把化成分?jǐn)?shù)形式，仿照上面的求解過(guò)程，可得_____．【答案】【分析】設(shè)，找出規(guī)律公式，解方程即可．【詳解】設(shè)，則于是可列方程為：，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律，即通過(guò)方程形式，把無(wú)限小數(shù)化為整式形式．5．把無(wú)限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，可以按如下方法進(jìn)行：以為例，設(shè)，由可知，，所以．解方程，得，于是．仿照上述方法，無(wú)限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)是___________．【答案】【分析】設(shè)，則，列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)，∵，∴，∴，解得：，∴化為分?jǐn)?shù)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解無(wú)限循環(huán)小數(shù)，列出方程．6．一般地，任何一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，以無(wú)限循環(huán)小數(shù)為例：設(shè)，由可知，，所以，解方程，得于是，得．運(yùn)用上面的方法可以將化成分?jǐn)?shù)形式為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)，則，列出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可．【詳解】解：設(shè)，則，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．三、解答題7．（1）計(jì)算________．（2）________．【答案】【分析】（1）首先將每個(gè)循環(huán)小數(shù)改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)，然后再根據(jù)異分母分?jǐn)?shù)加法法則計(jì)算即可；（2）首先將每個(gè)循環(huán)小數(shù)改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)，然后再根據(jù)分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，解本題的關(guān)鍵在把循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)．8．閱讀材料：數(shù)學(xué)通古達(dá)今、博大精深，奧妙無(wú)窮，為使同學(xué)們?cè)诟鼜V闊的數(shù)學(xué)天地中提升自學(xué)能力，我們七年級(jí)上冊(cè)的數(shù)學(xué)教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中，有一篇文章“無(wú)限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)”，教我們用方程的思想按如下方法，把無(wú)限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù).請(qǐng)認(rèn)真研讀下列例題，理解例題中解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想、方法，然后學(xué)習(xí)、借鑒、類(lèi)比、遷移這些思想、方法解答下列三個(gè)問(wèn)題：以0.為例.設(shè)0.＝x，由0.＝0.777…，可知10x＝7.777…，所以10x＝7+x，解得x＝，于是0.＝．(1)類(lèi)比：請(qǐng)按照這個(gè)方法把無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.化為分?jǐn)?shù)；(2)遷移：請(qǐng)按照這個(gè)方法把無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.化為分?jǐn)?shù)；(3)拓展：請(qǐng)按照這個(gè)方法把無(wú)限循環(huán)小數(shù)1.化為分?jǐn)?shù).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）仿照閱讀材料中的方法計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）仿照閱讀材料中的方法計(jì)算即可得到結(jié)果；（3）仿照閱讀材料中的方法和（1）結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：設(shè)，由，可知：，∴，∴，解得，∴；（2）解：設(shè)，由，可知：，∴，∴，解得，∴；（3）解：∵，由（1）得∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，要熟練掌握解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1．9．閱讀材料，解答下面問(wèn)題．無(wú)限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)：利用一元一次方程可以將任何一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)形式．下面以為例說(shuō)明：設(shè)①，由．可得②，由②-①，得解得：，所以，模仿：（1）將無(wú)限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)形式．（2）_______．（直接寫(xiě)出答案）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)的方法，設(shè)=x，仿照例題的解法即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)的方法，設(shè)=x，仿照例題的解法（×10換成×100）即可得出結(jié)論；【詳解】（1）解：設(shè)①由…可得②由②-①，得解得∴（2）設(shè)=x，方程兩邊都乘以100，可得100×=100x由=0.1212…，可知100×=12.1212…=12+，即12+x=100x．解得：．即【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，能夠仿照例題將循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)是解題的關(guān)鍵．10．閱讀下列材料、并完成任務(wù).無(wú)限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)我們知道分?jǐn)?shù)寫(xiě)出小數(shù)形式即，反過(guò)來(lái)，無(wú)限循環(huán)小數(shù)寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式即，一般地，任何一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式.先以無(wú)限循環(huán)小數(shù)為例進(jìn)行討論.設(shè)，由可知，，所以，解方程，得，于是，得.再以無(wú)限循環(huán)小數(shù)為例，做進(jìn)一步的討論.無(wú)限循環(huán)小數(shù)，它的循環(huán)節(jié)有兩位，類(lèi)比上面的討論可以想到如下做法.設(shè)，由可知，.所以.解方程，得，于是，.類(lèi)比應(yīng)用（直接寫(xiě)出答案，不寫(xiě)過(guò)程）①.②.③.能力提升將化為分?jǐn)?shù)形式，寫(xiě)出過(guò)程.拓展探究①；②比較大小1（填“”或“”或“”）；③若，則.【答案】類(lèi)比應(yīng)用:①；②；③；能力提升:;拓展探究：①;②；③【分析】類(lèi)比應(yīng)用：根據(jù)轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)的方法，設(shè)=x，仿照例題的解法即可得出結(jié)論；根據(jù)轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)的方程，分別設(shè)=x，=x，仿照例題的解法即可得出結(jié)論；能力提升：設(shè)=x,由1000x-x=213求解；拓展探究：①設(shè)x,則10x=20.19191919…,1000x=2019.191919…,1000x-10x=1999，即可得出結(jié)果；②先將化成分?jǐn)?shù)即可得出結(jié)果；③設(shè)=x,y①,則1000x=②,由②-①式可得出結(jié)果.【詳解】類(lèi)比應(yīng)用解：①設(shè)=x，則，所以，解方程，得，得=；

②設(shè)=x，則，.所以.解方程，得，=；③設(shè)=x，則，.所以.解方程，得.故答案為：①；②；③；能力提升解：設(shè)，，，，，于是.拓展探究：①設(shè)x,則10x=20.19191919…,1000x=2019.191919…,1000x-10x=1999,所以x=;②設(shè)x,則10x=9.9999…,得10x-x=9,解得x=1,故=1；③設(shè)=x,y,則1000x=,所以1000x-y=138,又x=，所以y=.故答案為：①；②=；③.【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，能夠仿照例題將循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)是解題的關(guān)鍵．11．閱讀與理解：用下面的方法可以把循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：設(shè)，，可得方程：，解得，即．參考以上方法，解決下面的問(wèn)題．(1)把化成分?jǐn)?shù)．(2)把化成分?jǐn)?shù)．(3)把化成分?jǐn)?shù)．(4)通過(guò)閱讀，解題，你有什么發(fā)現(xiàn)與收獲嗎？【答案】(1)(2)(3)(4)見(jiàn)詳解【分析】（1）把循環(huán)小數(shù)化成一般寫(xiě)法，然后設(shè)循環(huán)小數(shù)，根據(jù)等式的性質(zhì)，在等式兩邊同時(shí)乘變?yōu)榈诙€(gè)算式，再根據(jù)等式的性質(zhì)，在方程兩邊同時(shí)減去，然后解方程即可；（2）把循環(huán)小數(shù)化成一般寫(xiě)法，然后設(shè)循環(huán)小數(shù)，根據(jù)等式的性質(zhì)，在等式兩邊同時(shí)乘變?yōu)榈诙€(gè)算式，再根據(jù)等式的性質(zhì)，在方程兩邊同時(shí)減去，然后解方程即可