人教版2020年秋季小學(xué)六年級數(shù)學(xué)上冊全冊單元備課教材分析

人教版2020年秋季小學(xué)六年級數(shù)學(xué)上冊

全冊單元備課教材分析

目錄

第一單元分?jǐn)?shù)乘法.......................................1

第二單元位置與方向（二）...............................8

第三單元分?jǐn)?shù)除法......................................11

第四單元比.............................................19

第五單元圓.............................................22

第六單元百分?jǐn)?shù).........................................23

第七單元扇形統(tǒng)計圖....................................28

第八單元數(shù)學(xué)廣角-數(shù)與形................................32

第一單元分?jǐn)?shù)乘法

一、教學(xué)內(nèi)容

1.分?jǐn)?shù)乘法的意義

2.分?jǐn)?shù)乘法的計算

3.利用分?jǐn)?shù)乘法解決相關(guān)實際問題。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘法的意義是整數(shù)乘法意義的擴(kuò)展；理解和掌

握分?jǐn)?shù)乘法的計算方法，會計算分?jǐn)?shù)乘整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)；能運用乘

法運算定律進(jìn)行一些簡便計算。

2.使學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)乘法計算方法的探索過程，經(jīng)歷應(yīng)用分?jǐn)?shù)乘法

解決簡單實際問題的過程，進(jìn)一步培養(yǎng)分析、比較、抽象、概括、歸

納、類推的能力，發(fā)展初步的合情推理和演繹推理的能力。

3.使學(xué)生感受知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高自主探索與合作交流學(xué)

習(xí)的能力，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

三、主要變化與具體編排

（一）主要變化

1.進(jìn)一步厘清分?jǐn)?shù)乘法的意義。

分?jǐn)?shù)乘法的意義是整數(shù)乘法意義的擴(kuò)展，二者在本質(zhì)上完全一致,

只是在表述方式上有所區(qū)別。例如，如果脫離情境，在抽象的層面上

討論“5義3”，它既可以表示5個3相加，用“倍”的語言來描述就

是“3的5倍”；也可以表示3個5相加，同樣可以說成“5的3倍”。

類似地，如果以這樣的方式來討論“3X”，它既可以表示3個相加，

即“的3倍”；也可以表示“3的二從表面上看，“一個數(shù)的幾分之

兒”是一種全新的表述，但實際上，它只是省略了“3的倍”中的“倍”

字，把“一個數(shù)的幾倍”擴(kuò)展到“一個數(shù)的幾分之幾”。從另一個角

度看，“3的”和“個3”表示的意思完全相同，例如，一根繩子長

3m,“它的長多少米”和“根繩子長多少米”說的是一個意思。因此，

不管是整數(shù)乘法還是分?jǐn)?shù)乘法，其意義都可以歸結(jié)為“幾個幾”，只

不過，這里的兩個“幾”都既可以是整數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)。

根據(jù)這樣的思路，教材編排了三道例題來教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法的意義和

計算。例1,讓學(xué)生計算3個m是多少,學(xué)生可以直接利用整數(shù)乘法

的意義，轉(zhuǎn)化成連加進(jìn)行計算。例2,是例3的鋪墊，讓學(xué)生根據(jù)整

數(shù)乘法中的數(shù)量關(guān)系”單位量義數(shù)量=總量”列出“1桶水12L,桶是

多少升”的算式是12X,然后結(jié)合直觀圖和分?jǐn)?shù)的意義，發(fā)現(xiàn)12X

在這兒表示的就是12L的，進(jìn)而得出“一個數(shù)乘幾分之幾可以表示求

這個數(shù)的幾分之幾是多少”的結(jié)論。在這一過程中，把“桶水”變成

“1桶水的”，實現(xiàn)了從“量”到“率”的有效轉(zhuǎn)換。有了例2的基

礎(chǔ)，例3中求“公頃的”，算式列成義就“有據(jù)可依”了。

這樣編排，有幾個好處。一是在單元之始就把分?jǐn)?shù)乘法意義的兩

種不同表述方式都呈現(xiàn)出來，使學(xué)生對分?jǐn)?shù)乘法的意義有比較全面、

完整的認(rèn)識。二是編排邏輯更加清晰，先讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘法的意義,

解決“如何列式”，再解決“如何計算二三是突破了過去教材中到“問

題解決”部分才去解決“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的限制，大大

拓寬了本單元其他內(nèi)容的素材選擇范圍。例如，既可以出現(xiàn)“蜂鳥的

飛行速度是千米/分，分鐘飛行多少千米”的題材（分?jǐn)?shù)是一種具體

量，帶單位），也可以出現(xiàn)“一頭鯨長28m,一個人身高是鯨體長的。

這個人身高是多少米”的練習(xí)題（分?jǐn)?shù)是一種“率”，不帶單位）。

2.增加分、小數(shù)相乘的內(nèi)容。

學(xué)生在未來的學(xué)習(xí)中會遇到許多分、小數(shù)相乘的情況，例如，解

決”按1：5的比配制一杯1.2L的稀釋液，需要多少升濃縮液”的問

題時，需要計算形如1.2義的算式。如果學(xué)生不會直接約分，計算的

繁瑣程度和出錯概率就會大大增加。因此，教材新編了例5,讓學(xué)生

分別計算2.1義和2.4X,讓學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)的特點靈活選擇計算方法，

能直接約分的盡量直接約分。教學(xué)時，要使學(xué)生通過2.4X=24X0.1

X=X0.1X=O.6義的推導(dǎo)過程理解“為什么能直接約分”的原理。

3.調(diào)整了用分?jǐn)?shù)乘法解決實際問題的類型。

如前所述，學(xué)生已經(jīng)在“分?jǐn)?shù)乘法的意義和計算”中解決了“求

一個數(shù)的幾分之幾是多少”的基本問題。這一基本數(shù)量關(guān)系的掌握對

于解決更復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘法問題至關(guān)重要。

此次修訂增加了“連續(xù)求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的問題。這

一類問題是“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的延續(xù)，已知量和所求的

量之間的關(guān)系沒有直接給出，而是通過一個“中間量”搭建起二者之

間的“橋梁”。在解決這一類問題時，需要學(xué)生把復(fù)雜的問題化歸為

基本的“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”，并抓住這一基本數(shù)量關(guān)系中

的幾個關(guān)鍵要素：單位“1”是誰？所求的量是誰？二者之間是幾分

之幾的關(guān)系？尤其要注意單位“1”與幾分之幾之間的對應(yīng)關(guān)系。

對于“求比一個數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少”這類問題，

與實驗教材相比，修訂后的教材減輕了例題的份量，在例題中只出現(xiàn)

不同量的情況（嬰兒每分鐘心跳的次數(shù)比青少年多），對于同一量的

情況（嗓音降低），則放在“做一做”中讓學(xué)生鞏固掌握。

4.把“倒數(shù)”的內(nèi)容移至“分?jǐn)?shù)除法”單元。

倒數(shù)是聯(lián)結(jié)分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法的紐帶。在進(jìn)行分?jǐn)?shù)除法計算時,

要用到“除以一個數(shù)，等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)”這一結(jié)論，因此，把

“倒數(shù)”安排在“分?jǐn)?shù)除法”單元，更能體現(xiàn)出學(xué)習(xí)倒數(shù)的必要性。

（二）具體編排

1例1。

直接利用整數(shù)乘法的意義來引入分?jǐn)?shù)乘法，使學(xué)生理解幾個相同

分?jǐn)?shù)相加和幾個相同整數(shù)相加都可以用乘法計算。并通過將分?jǐn)?shù)乘法

轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)加法來探究分?jǐn)?shù)乘法的算理，掌握計算方法。

從吃蛋糕的實際問題引入，借助圓形直觀圖幫助學(xué)生理解題意,

探究計算方法。這一直觀圖延續(xù)了三年級學(xué)習(xí)簡單的分?jǐn)?shù)加法時所用

的直觀圖，有助于學(xué)生利用已學(xué)的知識自主探索。此例中的分?jǐn)?shù)帶單

位，是一個“量”，學(xué)生對于求幾個相同量之和的數(shù)量關(guān)系非常熟悉。

先呈現(xiàn)加法計算，然后直接根據(jù)整數(shù)乘法的意義列出兩個乘法算式,

說明在這種情況下整數(shù)乘法的意義同樣適用。

計算時，先將分?jǐn)?shù)乘法轉(zhuǎn)化為幾個相同分?jǐn)?shù)相加，使學(xué)生明白分

母不變、分子相乘的道理。在此基礎(chǔ)上總結(jié)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計算方法,

并指出有時可以先約分再相乘的簡便算法。

2.例2O

讓學(xué)生利用已學(xué)的整數(shù)乘法的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行類推，列出分?jǐn)?shù)乘法

算式，結(jié)合具體情境，使學(xué)生理解“一個數(shù)乘幾分之幾可以表示求這

個數(shù)的幾分之幾”。這是“求一個數(shù)的幾分之幾可以用這個數(shù)乘幾分

之幾”的列式依據(jù)。

教材呈現(xiàn)了三幅圖，都是已知1桶水的體積，分別要求3桶水、

桶水、桶水的體積。在這里，列式所依據(jù)的數(shù)量關(guān)系都是“每桶水的

體積X桶數(shù)=水的體積”，只是桶數(shù)可以由整數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)。接下來,

結(jié)合情境，說明求桶水、桶水的體積就是求12L的和12L的分別是多

少。在此基礎(chǔ)上，概括出“一個數(shù)乘幾分之幾，可以表示這個數(shù)的幾

分之幾是多少”。

3.例3o

本例是在學(xué)生會利用“求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計算”

列式之后，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計算方法。

教材利用兩個小題，由簡單到復(fù)雜，結(jié)合直觀操作，使學(xué)生在探

索和理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)算理的基礎(chǔ)上，一步一步總結(jié)出分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計

算方法，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

要理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理，其根本在于分?jǐn)?shù)意義的理解。在這里，

有些分?jǐn)?shù)是帶單位的“量”，有些分?jǐn)?shù)是不帶單位的“率”，事實上，

“量”與“率”也是可以互相轉(zhuǎn)化的。例如，公頃，實際上就是1公

頃的；公頃的，就是1公頃的，即公頃。

4.例4o

本例是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法的簡便方法。學(xué)生在前面對于分?jǐn)?shù)乘法的意

義和算理有了深刻的理解后，教學(xué)重點轉(zhuǎn)入尋求便捷的算法。

在設(shè)計情境時，教材特意把兩個小題設(shè)計成需要運用分?jǐn)?shù)乘法意

義的兩種不同形式進(jìn)行列式的情形，旨在進(jìn)一步鞏固分?jǐn)?shù)乘法的意義。

其中，第（1）小題是“求一個數(shù)的幾分之幾”，第（2）小題既可以

根據(jù)“速度義時間=路程”列式，也可以根據(jù)“幾個相同分?jǐn)?shù)相加”

列式。

在數(shù)據(jù)處理上，本例中既包含分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘，又包含分?jǐn)?shù)與整

數(shù)相乘。學(xué)生可以通過此例，進(jìn)一步掌握分?jǐn)?shù)乘法的一般性算法。

5.例5o

本例是教學(xué)分?jǐn)?shù)與小數(shù)相乘的計算問題。分、小數(shù)混合運算是在

日常生活中以及未來的數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會遇到的情形，

因此，根據(jù)分、小數(shù)的數(shù)據(jù)特點靈活選擇計算策略，也是學(xué)生應(yīng)該具

備的一項技能。為此，教材在修訂時增加了這部分內(nèi)容。

分?jǐn)?shù)和小數(shù)相乘，可把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)相乘（如果分?jǐn)?shù)可以化成有

限小數(shù)），也可把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)相乘。不管哪種方法，都是學(xué)生已學(xué)

的知識，可以讓學(xué)生自行解決。而當(dāng)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的分母存在某種倍數(shù)

關(guān)系時，可以直接“約分”。這種約分雖然與以前學(xué)過的約分形式不

同，但實質(zhì)都是除以一個相同的數(shù)。

6.例6o

從“做一個長方形畫框需要多長的木條”的實際問題引入，利用

長方形畫框的周長計算引出分?jǐn)?shù)混合運算。鼓勵學(xué)生用不同的方法

（除了教材上的兩種方法，還有可能用四條邊相加的）計算，很自然

地呈現(xiàn)各種形式的算式，有兩級運算的，有帶小括號的。教材直接說

明分?jǐn)?shù)混合運算的順序和整數(shù)混合運算順序相同，讓學(xué)生自主解決。

教材特意用兩道有關(guān)聯(lián)的算式教學(xué)分?jǐn)?shù)混合運算的順序，為接下

來正式教學(xué)把整數(shù)乘法運算定律推廣到分?jǐn)?shù)乘法作了很好的鋪墊。在

此基礎(chǔ)上，再通過觀察、計算，歸納得出“整數(shù)乘法的交換律、結(jié)合

律和分配律，對于分?jǐn)?shù)乘法也適用”的結(jié)論。

7.例7。

教材結(jié)合具體計算，說明應(yīng)用乘法運算定律可以使分?jǐn)?shù)混合運算

更加簡便。

8.例8o

本例是讓學(xué)生在會解決求一個數(shù)的幾分之幾是多少的基礎(chǔ)上，解

決連續(xù)求一個數(shù)的幾分之幾是多少的實際問題。在這里，由于研究的

是三個量之間的關(guān)系，在描述其中某兩個量的數(shù)量關(guān)系時一，單位“1”

是在動態(tài)變化的。

教材按“閱讀與理解”“分析與解答”和“回顧與反思”呈現(xiàn)解

決問題的一般步驟。到了高年級，隨著問題復(fù)雜度提高，對于信息的

搜集、題意的理解以及整個問題解答過程以及結(jié)果合理性的回顧與討

論，顯得越來越重要。

在“分析與解答"環(huán)節(jié)，一方面，通過折紙或畫圖等操作活動,

借助直觀圖形幫助學(xué)生理解題中的數(shù)量關(guān)系，體會畫圖是分析問題、

解決問題的重要策略。另一方面，倡導(dǎo)解決問題方法的多樣化。既可

以先求出蘿卜地的面積，再求出紅蘿卜地的面積；也可以先求出紅蘿

卜地占大棚面積的幾分之幾，再求出紅蘿卜地的面積。不同解題思路

的呈現(xiàn)，可以提高學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性。

“回顧與反思”讓學(xué)生自己完成。檢驗的角度很多，比如，看看

直觀圖畫得是否符合題意，看看列式是否符合圖意，看看計算是否正

確。檢驗的方法也是多樣化的。例如，可以看到蘿卜地的面積是紅蘿

卜地的4倍，而大棚面積是蘿卜地的2倍。用紅蘿卜地的60m2乘4,

得到蘿卜地是240m2,再乘2,是480m2,與題中的信息相符。也可

以看看紅蘿卜地的面積是否占整塊蘿卜地的。

9.例9o

本例是讓學(xué)生解決求比一個數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少的

問題。雖然還是研究兩個量間的關(guān)系，但由于沒有直接給出“一個量

是另一個量的幾分之幾”，需要先求出一個量比另一個量多（或少）

的具體數(shù)量或者先求出一個量是另一個量的幾分之幾。

教材通過線段圖直觀地表示出“嬰兒每分鐘心跳的次數(shù)比青少年

多”的意思，對于學(xué)生理解題意、選擇解決方法起到了關(guān)鍵性的作用。

教材體現(xiàn)了多樣化的解題策略?？梢韵扔嬎銒雰好糠昼娦奶惹?/p>

少年多多少次，這就需要先解決“75次的是多少次”的問題。還可

以先求出嬰兒每分鐘心跳次數(shù)是青少年的幾分之幾，這就需要先解決

“比一個數(shù)多的數(shù)是這個數(shù)的幾分之幾”的問題。

“回顧與反思”部分，使學(xué)生通過回顧解題的過程，充分認(rèn)識到

畫線段圖這一策略對于解決問題的重要作用。同時一，列舉了一種檢驗

結(jié)果的方法，引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法加以檢驗。

四、教學(xué)建議

1.在已有知識的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生自主構(gòu)建新知識。

2.通過操作和直觀圖示幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘法的算理，掌握計算

方法。

3.緊密聯(lián)系分?jǐn)?shù)乘法的意義，引導(dǎo)學(xué)生在理解數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上

正確列式，解決實際問題。

第二單元位置與方向（二）

一、教學(xué)內(nèi)容

用方向和距離描述平面上兩個點的相對位置關(guān)系并在此基礎(chǔ)上

描述簡單的路線圖。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生會根據(jù)平面上一個點的位置說出它相對于觀測點的方

向和距離；會根據(jù)一個點相對于觀測點的方向和距離確定這個點的具

體位置；會描述簡單的路線圖。

2.通過讓學(xué)生想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系，培養(yǎng)

空間觀念。

3.使學(xué)生通過用方向和距離來表示平面上的位置，初步感受坐標(biāo)

法的思想。

4.使學(xué)生通過生活實例學(xué)習(xí)位置與方向的知識，感受數(shù)學(xué)與生

活的緊密聯(lián)系，學(xué)會在生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)。

三、主要變化與具體編排

（一）主要變化

“用數(shù)對確定位置”和“用方向和距離確定位置”是直角坐標(biāo)和

極坐標(biāo)思想在小學(xué)的初步滲透。在上一輪教材的實驗過程中，教師普

遍反映“用方向和距離確定位置”的教學(xué)難度要大于“用數(shù)對確定位

置二因此，此次修訂，根據(jù)各方意見，把實驗教材六年級上冊的“用

數(shù)對確定位置”移至五年級上冊，把實驗教材四年級下冊的“用方向

和距離確定位置”移至本冊。

（二）具體編排

在具體編排上，也更加注重體現(xiàn)層次性。教材選擇臺風(fēng)移動這一

學(xué)生相對熟悉的現(xiàn)實素材作為一個大背景，用“情境串”的形式引出

3個例題。

1.例1。

教材以電視播報臺風(fēng)警報作為情境引入，具有很強(qiáng)的生活氣息,

使學(xué)生充分感受生活和數(shù)學(xué)的緊密聯(lián)系。

教材直接給出標(biāo)出臺風(fēng)中心和A市的方位圖，讓學(xué)生利用圖示理

解臺風(fēng)中心“位于A市東偏南30°方向、距離A市600km”所表示的

含義。

確定一個位置，需要方向和距離兩個條件，教材先通過小精靈提

問的方式，讓學(xué)生思考東偏南30°表示什么意思，這也是本例的重

點。使學(xué)生看到東偏南30°表示的是一條射線上的所有點，如果只

有這一條件，還無法判斷臺風(fēng)中心的確切位置，由此引出距離?！皷|

偏南30°”與“南偏東60°”含義完全相同，只是生活中更習(xí)慣于

選擇小于45°的角度來描述。圖示中用一條線段表示100km,由于學(xué)

生還沒學(xué)習(xí)比例尺，只要能說出這樣的6條線段表示600km就可以了，

不必涉及比例尺。

最后小精靈問“臺風(fēng)大約多少小時后到達(dá)A市”，主要目的是為

了在解決實際問題的過程中，與例2進(jìn)行很自然的情境連接。

2?例2o

本例在學(xué)生通過例1了解了方向與距離的含義之后，讓學(xué)生根據(jù)

給出的某個點相對于參照點的方向和距離，在方位圖上找到該點的位

置。延續(xù)了例1的情境，情節(jié)連貫，隨著現(xiàn)實情境的發(fā)展，自然地引

出數(shù)學(xué)問題。

教材給出了兩類定位的情形，一類是非正東、正南、正北、正西

的，一方面需要確定角度，另一方面需要確定距離；另一類的正東、

正南、正北、正西的，只需要確定距離即可。

教材采取小組合作的方式，提示學(xué)生應(yīng)該如何根據(jù)方向和距離確

定位置。先確定方向再確定距離和先確定距離再確定方向這兩種方法

都可以用，但學(xué)生通過嘗試，一般會主動選擇先確定方向，然后在該

方向所在射線上根據(jù)相應(yīng)的距離找到該位置。

3.例3o

教材呈現(xiàn)了臺風(fēng)從生成地出發(fā)、經(jīng)過四次方向改變的大致路徑，

讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言來描述簡單的路線圖。路線圖中包括了例1和例

2中臺風(fēng)的移動路線，體現(xiàn)了情境的整體性和知識的綜合性。

路線圖描述的不僅僅是兩個點的靜態(tài)關(guān)系，而是物體在多個點之

間的運動關(guān)系。除了整條路線的起點和終點之外，其他點都既是某一

段路線的終點，也是下一段路線的起點。教材通過學(xué)生對話的方式，

給出了分段描述的示范，使學(xué)生明白方向與距離的描述是具有相對性

的，并掌握在描述每一段路線時要注意的幾個關(guān)鍵點：起點在哪兒？

終點在哪兒？沿著什么方向？移動了多少距離？

四、教學(xué)建議

1.注意聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有知識，引導(dǎo)學(xué)生自主探索新知,

發(fā)展空間觀念。

2.以問題為載體，鼓勵學(xué)生通過自主探究、合作交流，克服教學(xué)

重難點，初步建立坐標(biāo)觀念。

第三單元分?jǐn)?shù)除法

一、教學(xué)內(nèi)容

1.倒數(shù)的認(rèn)識

2.分?jǐn)?shù)除法的計算

3.問題解決

二、教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生理解倒數(shù)的意義，掌握求一個數(shù)的倒數(shù)的方法。

2.使學(xué)生體會分?jǐn)?shù)除法的意義，理解并掌握分?jǐn)?shù)除法的計算方

法，會進(jìn)行分?jǐn)?shù)除法計算。

3.使學(xué)生會解決一些和分?jǐn)?shù)除法相關(guān)的實際問題。

4.使學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，體會并掌握模型、方程、

數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想。

三、主要變化與具體編排

（一）主要變化

除了把“倒數(shù)”從“分?jǐn)?shù)乘法”單元移過來和把“比”的內(nèi)容另

設(shè)單元以外，本單元還有兩個較大的變化。

1.刪去”分?jǐn)?shù)除法意義”的相關(guān)例題。

考慮到學(xué)生對整數(shù)乘、除法之間的關(guān)系已經(jīng)非常熟悉，修訂后的

教材不再單獨設(shè)置有關(guān)“分?jǐn)?shù)除法意義”的例題，只在相關(guān)練習(xí)中進(jìn)

一步鞏固分?jǐn)?shù)乘、除法之間的關(guān)系。

2.增加兩類"問題解決二

第一類是和倍、差倍問題（兩個量之間的“倍數(shù)關(guān)系”是以“幾

分之幾”的形式出現(xiàn)的）。在這類問題中，有兩個未知量，這兩個未

知量之間的數(shù)量關(guān)系也有兩個。例如，第41頁例6中，兩個未知量

分別是“上半場得分”和“下半場得分”，兩個數(shù)量關(guān)系分別是“上

半場和下半場共得42分”和“下半場得分是上半場的一半”。解決時，

可以設(shè)其中一個未知量為x,利用其中的一個數(shù)量關(guān)系，用代數(shù)式表

示出另一個未知量，再利用另一個數(shù)量關(guān)系列出方程。設(shè)的未知數(shù)不

同，列代數(shù)式和列方程所依據(jù)的數(shù)量關(guān)系不同，列出的方程也完全不

同。例如，本例就可以列出如下一些方程。

設(shè)其中如果設(shè)上半場：X分如果設(shè)下半場：x分

一個未知量

為X

用代數(shù)下半場：下半場：上半場：上半場：

式表示出另（42-x）分X分（42-x）分2x分

一個量（依據(jù)（依據(jù)（依據(jù)（依據(jù)

“全場得42“下半場得“全場得42“下半場得

分”）分是上半場分”）分是上半場

的一半”）的一半”，即

“上半場得

分是下半場

的2倍”）

歹1」出方42-x=xx+x=42x=(42-x2x+x=42

程或（依據(jù))（依據(jù)

x=2(42-“全場得42或“全場得42

x)分”）42-x=2x分”）

(依據(jù)(依據(jù)

“下半場得“下半場得

分是上半場分是上半場

的一半”或的一半”或

“上半場得“上半場得

分是下半場分是下半場

的2倍”)的2倍”)

雖然這些方程之間可以、通過變形互相轉(zhuǎn)化，但其背后的思考角度

是各不相同的。教學(xué)時，要注意引導(dǎo)學(xué)生說一說解決問題的完整過程,

并通過不同解法的交流，養(yǎng)成多角度地思考問題的習(xí)慣。

第二類是可用抽象的“1”來解決的實際問題。教材利用修路這

一“工程問題”來引入，使學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解答問

題的過程。例如，學(xué)生會認(rèn)為題中缺少解題的信息、，此時，教師追問：

缺少什么信息呢？學(xué)生會回答：不知道公路長多少千米。這樣就很自

然地引導(dǎo)學(xué)生假設(shè)公路總長為某個具體的長度，把新問題轉(zhuǎn)化為舊問

題，加以解決。通過學(xué)生之間的交流，發(fā)現(xiàn)雖然假設(shè)的公路具體長度

不同，得到的結(jié)果卻是相同的，使學(xué)生產(chǎn)生探究原因的欲望。通過分

析，發(fā)現(xiàn)不管公路總長是多少，兩隊每天修的長度分別占總長度的和

是不變的，這也是能得到相同結(jié)果的內(nèi)在原因。此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步抽

象，可用“1”來表示公路總長。

教學(xué)此例時，要注意以下幾點。

第一，這里不是要系統(tǒng)地教學(xué)各類“工程問題”，教學(xué)時不要對

“工程問題”多變式、深挖掘、廣訓(xùn)練。

第二，不必要求學(xué)生死記硬背“工作總量+工作效率=工作時間”

等數(shù)量關(guān)系，只要會用具體的語言描述出來就可以，如“公路的總長

?每天修的長度=需要修的天數(shù)”。

第三，最重要的不是讓學(xué)生記住結(jié)論，尤其不要把列出“1個(+)”

這一最簡形式的算式作為教學(xué)的終極目標(biāo)，形成“解題套路”，而是

要讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的全過程，掌握問題解決的技能和策略。例如，

假設(shè)的方法是解決此類問題的重要策略，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的有效

方法。如果學(xué)生認(rèn)為把公路總長假設(shè)成一個具體的量來解決更易于理

解，要允許學(xué)生繼續(xù)采用這種一般性的解題思路。把公路總長假設(shè)成

“1”（而不是1km）,需要學(xué)生具有更抽象的數(shù)學(xué)思維。

第四，要結(jié)合問題解決，使學(xué)生體會和運用基本的數(shù)學(xué)思想和方

法，積累基本的活動經(jīng)驗。在此例的教學(xué)中，要注意體現(xiàn)變中有不變

的思想、抽象的思想、模型的思想。為了讓學(xué)生進(jìn)一步體會模型化的

思想，教材特意在練習(xí)中編排了運輸問題、行程問題、泄洪問題、種

樹問題，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)：雖然這些問題的現(xiàn)實背景各不相同，但其背后

的數(shù)量關(guān)系是相同的。數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要任務(wù)就是讓學(xué)生學(xué)會透過

紛繁蕪雜的現(xiàn)實情境的表象，找出體現(xiàn)數(shù)量之間本質(zhì)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。

（二）具體編排

1.倒數(shù)的認(rèn)識

（1）例1。

教材編排了幾組乘積為1的乘法算式，使學(xué)生通過計算、觀察、

討論等活動，歸納出它們的共同規(guī)律，引出倒數(shù)的定義，并用實例突

出“互為倒數(shù)”的含義。然后引導(dǎo)學(xué)生思考互為倒數(shù)的兩個數(shù)有什么

特點；如果兩個數(shù)都是分?jǐn)?shù)，那么這兩個數(shù)的分子、分母交換位置；

如果一個是整數(shù)，那么另一個分?jǐn)?shù)的分子是1,分母就是該整數(shù)，為

例1的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

例1教學(xué)求倒數(shù)的方法。教材先安排找倒數(shù)的活動，初步體驗找

倒數(shù)的方法：調(diào)換分子、分母的位置。在總結(jié)求倒數(shù)的方法時，要分

三種情況：求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)；求整數(shù)的倒數(shù)；1和。的倒數(shù)的問題。對

于1和0的倒數(shù)問題，因為1義1=1,所以1的倒數(shù)是1；因為0與任

何數(shù)相乘都不可能是1,所以0沒有倒數(shù)。

2.分?jǐn)?shù)除法

(1)例1。

例1以折紙活動為載體，利用數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)

除以整數(shù)的算理。教材分兩個層次編排：先解決分?jǐn)?shù)的分子能被整數(shù)

整除的特殊情況；再引出分子不能被整數(shù)整除的情況。第一個問題是

分子能被整數(shù)整除的情況，有兩種思考方法，方法一是利用整數(shù)除法

的意義，將分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法理解并計算；方法二是利用分?jǐn)?shù)

的意義，將問題轉(zhuǎn)化為求的來理解和計算。在此基礎(chǔ)上提出第二個問

題，凸顯方法一的局限性和方法二的一般適用性。

教材體現(xiàn)了讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的探索過程，進(jìn)而理解把一

個數(shù)平均分成幾份，求其中的1份，就是求這個數(shù)的幾分之一是多少,

滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

(2)例2o

例2研究一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計算，包括整數(shù)除以分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)除以

分?jǐn)?shù)兩種情況。在解決“誰走得快些”這一實際問題的過程中，自然

地列出兩個算式，列式的依據(jù)是“路程?時間=速度”的數(shù)量關(guān)系，

和以前所不同的是路程、時間由整數(shù)換成了分?jǐn)?shù)。由于學(xué)生對這一數(shù)

量關(guān)系比較熟悉，所以列出分?jǐn)?shù)除法算式不會感到困難，有利于把教

學(xué)重點集中于計算方法的探索與理解。

理解“2+”的算理是本例的重點。教材采用畫線段圖的直觀方

式呈現(xiàn)推算的思路：由于1小時里有3個小時，所以可以先求出小時

走了多少千米，即先求出小時走的2km的一半(即)。由于有了直觀

圖的支持，降低了學(xué)生對2XX3中每一部分含義的理解難度，順利

完成從“除以一個分?jǐn)?shù)”到“乘上這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”的轉(zhuǎn)化。

通過求小紅平均每小時走多少路程引出分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的算式。由

于有了整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算理的鋪墊，教材在這兒沒有呈現(xiàn)線段圖，而

是通過提問“為什么寫成義”，引導(dǎo)學(xué)生通過遷移類推，自行闡述算

理。

以提問的方式，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)分?jǐn)?shù)除法的一般算法，使學(xué)生看到,

不管被除數(shù)是整數(shù)還是分?jǐn)?shù)，不管除數(shù)是整數(shù)還是分?jǐn)?shù)，只要除數(shù)不

為0,都可以轉(zhuǎn)化成乘上除數(shù)的倒數(shù)來計算。并啟發(fā)學(xué)生用自己的方

式表示這一算法。

(3)例3o

本例以學(xué)生熟悉的生活情境為素材引出分?jǐn)?shù)混合運算。分?jǐn)?shù)混合

運算的順序問題已在“分?jǐn)?shù)乘數(shù)”單元解決了，學(xué)生在此學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)混

合運算，既是分?jǐn)?shù)四則運算的綜合應(yīng)用，也為后面學(xué)習(xí)利用分?jǐn)?shù)四則

運算解決實際問題打下基礎(chǔ)。

教材提供了兩種不同的解決方法，體現(xiàn)了不同的分析思路。先分

步列式，再列綜合算式解答。對于不帶括號的分?jǐn)?shù)乘除法混合運算,

既可以從左至右按步驟計算，也可以直接轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)連乘后同時約分

計算。

(4)例4。

本例是讓學(xué)生解決簡單的“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這

個數(shù)”的實際問題。這類問題是分?jǐn)?shù)乘法中“求一個數(shù)的幾分之幾是

多少”的逆向問題。

教材通過問題解決的三大步驟讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的全過程。其

中，“閱讀與理解”讓學(xué)生自行分析題意，弄清楚條件和問題，選取

有效信息。在這里，成人體內(nèi)水分與體重的關(guān)系是一個多余條件，需

要學(xué)生加以辨別。

這類問題如果用算術(shù)方法解，較難理解，學(xué)生往往難以判斷誰是

單位“1”，數(shù)量關(guān)系也較復(fù)雜。因此，教材根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，利

用已有知識畫線段圖，找到數(shù)量關(guān)系，列出方程，并解出方程。這樣

思考問題的思路與相應(yīng)的分?jǐn)?shù)乘法問題完全一致，只是參與列式的是

未知數(shù)而已。

“回顧與反思”部分中檢驗結(jié)果的合理性是相應(yīng)乘法數(shù)量關(guān)系的

二次應(yīng)用。同時，對有效信息的選取的反思，以及對列方程方法價值

的體會，也是反思的重點。

（5）例5o

本例是“求比一個數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少”的逆向問

題，是以例4為基礎(chǔ)，把條件稍作改變，形成稍復(fù)雜的問題。

用算術(shù)方法解決這樣的實際問題，不僅需要逆向思考，還要把“比

一個數(shù)多（少）幾分之幾”，轉(zhuǎn)化為“是一個數(shù)的幾分之幾”，比較抽

象，思維難度大。用方程方法解決，可以列出形如的方程，也可以列

出形如的方程，前者仍然要經(jīng)歷從“多（少）幾分之幾”到“是幾分

之幾”的轉(zhuǎn)化，后者只要根據(jù)一個數(shù)加（減）增加部分等于增加（減

少）后的數(shù)，就能列出方程。這樣的等量關(guān)系，學(xué)生容易理解。因此，

教材選擇符合學(xué)生順向思維的思路，給出多樣化的解題方法。

為了幫助學(xué)生思考，教材提示“先畫線段圖看看”，并給出了完

整的圖示，為學(xué)生分析、理解等量關(guān)系提供直觀支柱。然后得出不同

的等量關(guān)系，并據(jù)此列方程解答。

回顧與反思的目的在于反思問題解決的過程是否合理，檢驗解答

是否正確，方法可以多樣化。

(6)例6o

本例中包括兩個未知量，題中給出了這兩個未知量之間的兩種關(guān)

系，要求學(xué)生根據(jù)這樣的關(guān)系列方程解答。由于這兩種關(guān)系中，一種

是兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系，另一種是兩個量之間的和或差的關(guān)系，因

此，這樣的問題過去被稱為“和倍問題”“差倍問題”。

教材以籃球比賽上、下場得分為素材，引出含有兩個未知數(shù)的實

際問題。這樣的問題如果用算術(shù)方法解決，需要逆向思考，比較抽象，

思維難度大，容易出錯，列方程來解決更符合順向思維。

教材給出了兩種解法，區(qū)別在于先設(shè)哪個量為未知數(shù)，然后利用

兩個量的數(shù)量關(guān)系，用代數(shù)式表示出另一個量。除了教材上的示例以

外，還有其他的列方程方法。

(7)例70

本例是一類特殊的實際問題，使學(xué)生通過嘗試、分析，找到本質(zhì)

的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而解決問題。

本例采用的素材是“工程問題”，但并不是要求學(xué)生解決形形色

色的“工程問題”，而是要借此讓學(xué)生經(jīng)歷利用自主探究解決問題的

過程，掌握用假設(shè)、驗證等方法解決問題的基本策略，讓學(xué)生體會模

型思想。

例題的呈現(xiàn)順應(yīng)學(xué)生的思維過程。“閱讀與理解”部分在引導(dǎo)學(xué)

生從題目中獲取已知條件和問題的同時，在學(xué)生利用已有經(jīng)驗解題時

很自然地產(chǎn)生疑問：道路的總長未知，怎么辦？接下來就在“分析與

解答”部分，提出思考的方向：如果道路總長是已知的，這個問題就

轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過的舊問題了。那是否可以假設(shè)一個長度呢？這就是一

個猜想、嘗試的過程，學(xué)生在這一過程中經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。

通過假設(shè)，可以把抽象問題具體化，使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系明顯化或簡單

化。不同的學(xué)生假設(shè)的長度不同，又體現(xiàn)了解決問題方法的開放性和

多樣化。

四、教學(xué)建議

1.加強(qiáng)直觀教學(xué)，結(jié)合實際操作和直觀圖形，幫助學(xué)生理解算

理，掌握方法。

2.加強(qiáng)分?jǐn)?shù)乘、除法的溝通與聯(lián)系，促進(jìn)知識正遷移，提高解決

實際問題的能力。

第四單元比

一、教學(xué)內(nèi)容

1.比的意義

2.比的基本性質(zhì)

3.比的應(yīng)用

二、教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生理解比的意義，知道比與分?jǐn)?shù)、除法的關(guān)系。

2.使學(xué)生理解并掌握比的基本性質(zhì)，會求比值、化簡比，能解

答按比分配的實際問題。

3.使學(xué)生在理解比的意義、探索比與分?jǐn)?shù)和除法之間的關(guān)系以

及比的基本性質(zhì)的過程中，體會類比法、推理思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)

驗，體會數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

4.使學(xué)生經(jīng)歷用比描述生活現(xiàn)象和解決實際問題的過程，感受

數(shù)學(xué)知識在日常生活中的應(yīng)用價值。

三、主要變化與具體編排

（一）主要變化

這一單元的內(nèi)容與編排與實驗教材基本一致。把這部分內(nèi)容分拆

出來另成單元，主要是為了突出“比和比例”的獨立性、重要性。比

不僅與分?jǐn)?shù)除法有聯(lián)系，與分?jǐn)?shù)、除法等知識的聯(lián)系更加緊密和重要。

比的知識是學(xué)習(xí)比例相關(guān)知識的必要基礎(chǔ)，把比單獨設(shè)單元，能使學(xué)

生從量與量之間的關(guān)系這一角度去認(rèn)識比，而不僅僅從運算的角度去

理解比，有利于學(xué)生代數(shù)思想的培養(yǎng)。

（二）具體編排

1.比的意義、各部分名稱。

教材精心選取了“神舟”五號這一現(xiàn)實素材作為載體，既富有教

育意義，又能比較自然地引出比的兩種情形。例1的素材也是從中選

取的，凸顯情境的連續(xù)性和整體性。

教材先給出兩面長方形小旗的數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生討論長與寬的關(guān)系。

除了可以用減法表示出它們之間的相差關(guān)系，還可以用除法表示它們

的倍數(shù)關(guān)系0在此基礎(chǔ)上直接指出：可以用比來表示它們之間的關(guān)系，

由此引出同類量的比。如果僅從形式上看，比是除法關(guān)系的另一種表

示方式，這為學(xué)生認(rèn)識比和除法、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系奠定了基礎(chǔ)。

接下來，教材介紹飛船的運行路程與時間，用除法表示出飛船進(jìn)

入軌道后的速度。在此基礎(chǔ)上，直接指出還可以用比來表示路程和時

間的關(guān)系，引出非同類量的比。使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識比的意義以及比和

除法的關(guān)系。

教材在教學(xué)了可以用比來表示兩個同類量或不同類量相除的關(guān)

系的基礎(chǔ)上，直接抽象出比的意義：兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除。這

一意義是后面求比值、推導(dǎo)比的基本性質(zhì)的直接保證。

接下來，給出比的寫法、各部分名稱以及比值的概念，并根據(jù)分

數(shù)和除法的關(guān)系，給出比的分?jǐn)?shù)形式的寫法。并根據(jù)小精靈的問題，

進(jìn)一步溝通比和除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系。

2.比的基本性質(zhì)。

教材在前面“做一做”第3題對商不變性質(zhì)和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)進(jìn)

行了回顧，在此基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生根據(jù)比和除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系思考：

“在比中有什么樣的規(guī)律？”首先通過比較比值，直接看出6：8和

12：16這兩個比相等，同時也能看出這兩個比和3：4也是相等的。

接下來，讓學(xué)生探究兩個比相等的內(nèi)在原因。教材給出了根據(jù)比和除

法的關(guān)系類推的過程，再讓學(xué)生根據(jù)比和分?jǐn)?shù)的關(guān)系自主探究。在此

基礎(chǔ)上，概括出比的基本性質(zhì)。

3.例1。

本例教學(xué)運用比的基本性質(zhì)化簡比。第（1）題仍采用“神舟”

五號的題材，給出兩面旗的長和寬，要求這兩面旗長和寬的最簡整數(shù)

比。其中15：10的化簡給出了完整的過程并啟發(fā)學(xué)生思考為什么這

樣化簡；180：120的化簡則讓學(xué)生自己完成?；喌倪^程便于學(xué)生

感悟化簡的必要性，即能使量與量之間的關(guān)系更加簡明、清晰。兩個

最簡整數(shù)比相等，也滲透了圖形按比例縮放的相似變換思想。第（2）

題的兩個比中的前、后項分別出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)和小數(shù)。教材同樣提出了啟

發(fā)學(xué)生思考比的化簡方法的問題，把前、后項不是整數(shù)的情況首先轉(zhuǎn)

化為前、后項都是整數(shù)的情況，再利用第（1）題的方法自行完成。

4.例2O

本例讓學(xué)生解決按比分配的實際問題，這一類問題與“和倍問題”

實質(zhì)相同。教材創(chuàng)設(shè)了一個日常生活中比較常見的配制清潔劑稀釋液

的問題情境，便于學(xué)生理解。

教材按問題解決的三個步驟編排，旨在使學(xué)生經(jīng)歷問題解決的完

整過程，尤其是養(yǎng)成審題和反思的習(xí)慣。在問題情境圖中和解答過程

中都采用直觀圖幫助學(xué)生清楚地看到量與量之間的關(guān)系，理解稀釋瓶

上標(biāo)明的比表示的含義。

教材介紹了兩種解法。一種是把比看成份數(shù)之比，先求出每份是

多少，再求幾份是多少。即把此問題轉(zhuǎn)化為整數(shù)的“歸一問題”來解

決。另一種是根據(jù)直觀圖和比的意義，算出濃縮液和水分別占總體的

幾分之幾，把問題轉(zhuǎn)化為求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用分?jǐn)?shù)乘法來

解決。

“回顧與反思”階段，重新借助比的意義，看濃縮液與水的體積

之比化簡后是否與題目中所給信息相符。

四、教學(xué)建議

1.聯(lián)系生活實際，使學(xué)生在情境中學(xué)習(xí)比的意義。

2.加強(qiáng)比與除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，促進(jìn)知識的融會貫通。

第五單元圓

一、教材分析：

這部分內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過直線圍成的平面圖形的基礎(chǔ)上學(xué)

習(xí)的。

本單元學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有：認(rèn)識圓，圓的周長，圓的面積。

本單元教材編寫力圖體現(xiàn)以下特點：

1.更注重經(jīng)歷周長、面積計算公式的探索過程，相關(guān)的計算例題

減少。

2.軸對稱圖形的知識放到圖形變換中編排，此單元中只涉及到圓

的軸對稱性并加以應(yīng)用。

3、加強(qiáng)了圓環(huán)面積的計算教學(xué)，更加注重知識的應(yīng)用。

4、綜合應(yīng)用“確定起跑線”是在學(xué)生掌握了圓的概念和周長等

知識的基礎(chǔ)上設(shè)計的。通過該活動一方面讓學(xué)生了解橢圓形田徑場跑

道的結(jié)構(gòu)，學(xué)會確定跑道起跑線的方法；另一方面讓學(xué)生切實體會到

數(shù)學(xué)在體育等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。

二、教學(xué)目標(biāo)：

1.認(rèn)識圓，掌握圓的基本特征，理解直徑與半徑的相互關(guān)系；學(xué)

會用圓規(guī)畫圓。

2.理解圓周率的意義，掌握圓周率的近似值，會用實驗的方法探

索圓的周長與面積的計算公式，并能正確地計算圓的周長與面積。

3.初步學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想推導(dǎo)圓的面積計算公式。

4、認(rèn)識軸對稱圖形，知道軸對稱的含義，能找出軸對稱圖形的

對稱軸。

5、通過介紹圓周率的史料，使學(xué)生受到愛國主義教育。

三、重點難點：

1、認(rèn)識圓和軸對稱圖形；

2、掌握圓的周長和面積的計算公式。

3、理解圓周率“n”；圓面積計算公式的推導(dǎo)以及畫具有定半徑

或直徑的圓。

四、教學(xué)措施：

1、結(jié)合生活實際體會圓的特征。使學(xué)生感受到了圓在生活中的

應(yīng)用，同時加深了對圓的特征的認(rèn)識，同時可以培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知

識解決實際問題的意識。

2、讓學(xué)生動手操作，通過畫一畫、剪一翦、圍一圍等多種方式，

幫助學(xué)生認(rèn)識圓的基本特征，探討圓的周長和面積計算公式。

3、引導(dǎo)學(xué)生動手剪切、拼貼，從而“化圓為方”，得出圓面積的

計算方法。

4、指導(dǎo)學(xué)生動手操作，通過滾動、圍一圍、測量、驗證等多種

方式，理解圓周率“五”

五、教學(xué)課時：6課時

第六單元百分?jǐn)?shù)

一、教學(xué)內(nèi)容

1.百分?jǐn)?shù)的意義

2.百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)、小數(shù)的互化

3.百分?jǐn)?shù)的一般性應(yīng)用

二、教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)的意義，會正確地讀、寫百分?jǐn)?shù)，會運用

百分?jǐn)?shù)表述生活中的一些數(shù)學(xué)現(xiàn)象。

2.使學(xué)生掌握小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)之間互化的方法。

3.使學(xué)生在理解、分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，正確解決有關(guān)百分

數(shù)的實際問題。

4.使學(xué)生學(xué)會把分?jǐn)?shù)的有關(guān)知識和技能遷移到百分?jǐn)?shù)，體會類

比的數(shù)學(xué)思想。

三、主要變化與具體編排

（一）主要變化

除了前文提到的把“百分?jǐn)?shù)”內(nèi)容分成兩段，分別安排在六年級

上冊和下冊以外，本冊教材在編排百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)、小數(shù)的互化時進(jìn)行

了新的嘗試。教材結(jié)合“求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾”（如求命

中率）教學(xué)如何把分?jǐn)?shù)、小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)，結(jié)合“求一個數(shù)的百分之

幾是多少”教學(xué)如何把百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)或小數(shù)。因為在求一個數(shù)是另

一個數(shù)的百分之幾時，求出的結(jié)果或者是分?jǐn)?shù)的形式，或者是小數(shù)的

形式，而題目要求以百分?jǐn)?shù)的形式呈現(xiàn)結(jié)果，就自然產(chǎn)生了把分?jǐn)?shù)和

小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)的需要；在求一個數(shù)的百分之幾是多少時，只有把百

分之幾化成分?jǐn)?shù)或小數(shù)，才能繼續(xù)計算。這樣編排，一是更能體現(xiàn)將

百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)、小數(shù)進(jìn)行互化的必要性；二是大大縮減了例題的容量。

（二）具體編排

1.百分?jǐn)?shù)的意義。

教材呈現(xiàn)程序格式化進(jìn)度、服裝面料和里料的成分、汽車銷售情

況的百分?jǐn)?shù)，旨在突出百分?jǐn)?shù)在生活中的廣泛運用。教材呈現(xiàn)的三個

實例中的百分?jǐn)?shù)包括百分號前面的數(shù)的是整數(shù)的、小數(shù)的，小于100

的、等于100的、大于100的，使學(xué)生認(rèn)識各種情形的百分?jǐn)?shù)。讓學(xué)

生說說還在什么地方見過這樣的數(shù)，激活學(xué)生的生活經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生

建立起新知與生活的聯(lián)系。

教材直接給出百分?jǐn)?shù)的意義，并讓學(xué)生根據(jù)此意義描述實例中百

分?jǐn)?shù)的實際含義。引導(dǎo)學(xué)生找出相比的量是哪兩個，這兩個量之間有

什么樣的關(guān)系。這與分?jǐn)?shù)教學(xué)中強(qiáng)調(diào)“量率對應(yīng)”的思想是一致的。

由于百分?jǐn)?shù)只能表示兩個量之間的一種比的關(guān)系，在生活中也叫

百分率或百分比，如“出勤率”“發(fā)芽率”等。由于百分?jǐn)?shù)是一種比，

因此也可以從比的角度解釋相關(guān)概念。

接下來，教材呈現(xiàn)了前面所引出的三個百分?jǐn)?shù)的讀寫，具有一定

的代表性，分子分別是整數(shù)、小數(shù)和大于100的數(shù)。

2.例1。

本例有兩個教學(xué)目標(biāo)：一是會解決求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之

幾的問題，二是在解決問題的過程中學(xué)會把分?jǐn)?shù)、小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)的

方法。這樣編排，既凸顯了轉(zhuǎn)化的必要性，又把分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)、小

數(shù)化成百分?jǐn)?shù)整合在一起。

教材通過求投籃命中率的情境引入，并直接給出命中率的概念,

使學(xué)生明白：要把最終結(jié)果化成百分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行比較。根據(jù)“求一個

數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”，列出除法算式3+5和4+6。兩種不同

的運算，產(chǎn)生了小數(shù)和分?jǐn)?shù)的結(jié)果，很自然地產(chǎn)生“如何把小數(shù)和分

數(shù)化成百分?jǐn)?shù)”的需求。

教材選取的數(shù)據(jù)具有典型性。3+5,4+6這兩個算式，3+5能

得到有限小數(shù)，也能直接將分?jǐn)?shù)結(jié)果化成分母是100的分?jǐn)?shù)；4?6

則無法除盡，需取近似值，且無法直接將分?jǐn)?shù)結(jié)果化成分母是100的

分?jǐn)?shù)。這四種情況基本涵蓋了小數(shù)、分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)的所有可能性。

在此基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生理解生活中其他一些“百分率”的含義,

水到渠成。

3.例2。

例2也有兩個教學(xué)目標(biāo)：一是會解決求一個數(shù)的百分之幾是多少

的問題，二是在解決問題的過程中學(xué)會把百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)、小數(shù)的方

法。這樣編排，既凸顯了轉(zhuǎn)化的必要性，又把百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)、百分

數(shù)化成小數(shù)整合在一起。

教材注重將新知與原有知識進(jìn)行溝通和聯(lián)系，提示“求一個數(shù)的

百分之幾”和“求一個數(shù)的幾分之幾”意義相同，引導(dǎo)在已有知識基

礎(chǔ)上尋找數(shù)量關(guān)系，正確列式。利用兩種不同的計算方法，體現(xiàn)把百

分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)或小數(shù)的必要性。由于百分?jǐn)?shù)無法直接參與運算，需要

利用它和分?jǐn)?shù)、小數(shù)的關(guān)系，把它“等值轉(zhuǎn)化”成分?jǐn)?shù)或小數(shù)，再進(jìn)

行計算。

百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù)是100的分?jǐn)?shù)，再根據(jù)

小數(shù)的意義（或進(jìn)行除法計算），改寫成小數(shù)。在此基礎(chǔ)上，觀察到

只要把百分?jǐn)?shù)小數(shù)點左移兩位，去掉百分號即可，這是小數(shù)化成百分

數(shù)的逆過程。百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)，也是把百分?jǐn)?shù)先改寫成分?jǐn)?shù)是100的

分?jǐn)?shù)，再約分化簡。

4.例3。

本例是求比一個數(shù)增加（或減少）百分之幾，是求一個數(shù)是另一

個數(shù)的百分之幾的延伸和發(fā)展，其數(shù)量關(guān)系和求一個數(shù)比另一個數(shù)多

（或少）幾分之幾是一致的。教材呈現(xiàn)了兩種解決問題的方法，拓寬

學(xué)生的解題思路：①先求出實際比原計劃增加的公頃數(shù)，再求出增加

的公頃數(shù)是原計劃的百分之幾。②先求出實際造林的公頃數(shù)是原計劃

的百分之幾，再減去100%,就是實際造林比原計劃增加了百分之幾。

為了幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，教材利用線段圖直觀表示出量與量之間

的關(guān)系，清晰地展示出誰和誰比，以誰為標(biāo)準(zhǔn)。

接下來，教材指出：在實際生活中，人們常用“增加百分之幾”

“減少百分之幾”“節(jié)約百分之幾”來表示增加、減少的幅度。使學(xué)

生理解：這些生活中的表述都可以歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的“求一個數(shù)比另一

個數(shù)多（少）百分之幾”。

5.例4。

例4是解決求比一個數(shù)多（或少）百分之幾的數(shù)是多少的問題，

這類問題的數(shù)量關(guān)系與求比一個數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少的

問題相同。由于有了相關(guān)知識基礎(chǔ)，學(xué)生對解決此類問題不會感到困

難。

教材提供了兩種基本的解法，體現(xiàn)不同的解題思路，使學(xué)生看到

每種解法中先算什么，再算什么，著重理解“增加了12%”是增加了

誰的12%。

6.例5。

例5選取了“某種商品4月的價格比三月降了20%,5月的價格

比4月又漲了20%,這件商品的價格是漲了還是降了”這樣一個既有

趣又有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題。問題中沒有提供商品的具體價格，有利于

激發(fā)學(xué)生的探究興趣。

教材注重讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題

的全過程。在“閱讀與理解”時發(fā)現(xiàn)按照“要求漲幅或降幅，就要知

道前后的價格”的常規(guī)思路，遇到了“原來價格未知”的障礙，由此

產(chǎn)生假設(shè)原有價格的的需要。

在學(xué)生提出問題的基礎(chǔ)上，自主發(fā)現(xiàn)可以假設(shè)商品原來的價格為

某個具體數(shù)值，比如100元。這就將新的問題轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的問題,

利用舊知加以解決。教材以商品原價100元為例，給出具體解法。在

解決的過程中，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)降價的20%和漲價的20%是相對于不同

的量而言的，因此，雖然降價和漲價的相對比率相同，降價和漲價的

絕對數(shù)值卻不同。

不同的假設(shè)，卻可以得到相同的結(jié)果，這說明原價是多少并不會

影響結(jié)論。在此基礎(chǔ)上，提出可以把商品的原價假設(shè)成抽象的“1”。

這個“1”不是“1元”，但可以代表“1元”“100元”“1000元”……

是一個高度抽象的概念。

在“回顧與反思”階段，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步討論：如果用更為一般

的假設(shè)方法，把商品原價假設(shè)為a元。此時5月的價格是0.96a,和

3月價格a相比，（a-0.96a）4-a=4%,結(jié)論不變，進(jìn)一步驗證了假設(shè)

法的合理性和有效性。

四、教學(xué)建議

1.引導(dǎo)學(xué)生充分利用分?jǐn)?shù)的相關(guān)知識進(jìn)行遷移類推。

2.緊密結(jié)合生活實例，引導(dǎo)學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)的意義以及利用百

分?jǐn)?shù)解決實際問題。

第七單元扇形統(tǒng)計圖

一、教學(xué)內(nèi)容

扇形統(tǒng)計圖

選擇合適的統(tǒng)計圖

二、教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生了解扇形統(tǒng)計圖的特點與作用，知道扇形統(tǒng)計圖可以

直觀地反映部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的百分比。

2.使學(xué)生能讀懂扇形統(tǒng)計圖，從中獲取必要的信息，進(jìn)一步體

會統(tǒng)計在現(xiàn)實生活的作用。

3.使學(xué)生知道對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，能根據(jù)

需要選擇合適的統(tǒng)計圖，直觀、有效地描述數(shù)據(jù)，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)據(jù)分

析觀念。

三、主要變化與具體編排

（一）主要變化

到本單元為止，學(xué)生已經(jīng)學(xué)完了條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形

統(tǒng)計圖這三種統(tǒng)計圖。因此，本單元除了讓學(xué)生認(rèn)識扇形統(tǒng)計圖（例

1）之外，又新增了一道讓學(xué)生根據(jù)不同的統(tǒng)計目的選擇不同統(tǒng)計圖

的例題（例2）,使學(xué)生從整體上認(rèn)識三種統(tǒng)計圖各自的特點，理解

這三種統(tǒng)計圖在使用上各有什么優(yōu)越性和局限性。

（二）具體編排

1?例1。

教材聯(lián)系學(xué)生的生活實際，創(chuàng)設(shè)了學(xué)生在校園參加各種體育活動

的情境，為引出有關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)提供現(xiàn)實背景。通過統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)提

出對數(shù)據(jù)的進(jìn)一步處理要求：你能算出喜歡每種運動人數(shù)各占全班人

數(shù)的百分之幾嗎？以百分?jǐn)?shù)意義的理解引出扇形統(tǒng)計圖的教學(xué)。

教材讓學(xué)生將統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)填入未完成的扇形統(tǒng)計圖，讓學(xué)生

經(jīng)歷用不同大小的扇形表示各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)百分比的過程，初步了

解扇形統(tǒng)計圖的特點。

在完成了扇形統(tǒng)計圖后通過三個問題的思考，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生在

觀察的基礎(chǔ)上得出扇形統(tǒng)計圖的特點：用扇形可以清楚地表示出最喜

歡的各種運動項目的人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比。

2.例2o

條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的特點各異，在實際應(yīng)用

中的適用條件也不一樣，例2以三組校園樹木數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，通過不

同的統(tǒng)計內(nèi)容讓學(xué)生選擇合適的統(tǒng)計圖，在統(tǒng)計圖的多樣化與優(yōu)化中

進(jìn)一步認(rèn)識各統(tǒng)計圖的特點。同時體會相同的統(tǒng)計對象，當(dāng)需要表達(dá)

的信息不同時，選擇的統(tǒng)計圖也不同，讓學(xué)生進(jìn)一步感受統(tǒng)計的價值,

發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念。

第（1）小題統(tǒng)計的是樹木總量在2007-2011年之間的變化情況。

既可用條形統(tǒng)計圖，也可以用折線統(tǒng)計圖。這一題對比的意圖在于讓

學(xué)生體會條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖的特點，突出選擇折線統(tǒng)計圖的一

般條件，即表示數(shù)據(jù)變化趨勢時用折線統(tǒng)計圖更直觀。

第（2）小題統(tǒng)計的是各種樹木占樹木總量的百分比，既可以用

扇形統(tǒng)計圖，也可以用條形統(tǒng)計圖表示。條形統(tǒng)計圖只是直觀呈現(xiàn)了

各種樹木數(shù)量占總數(shù)的百分之幾，而扇形統(tǒng)計圖能更直觀、有效地看

出校園樹木數(shù)量的分布情況，突出選擇扇形統(tǒng)計圖的一般條件：當(dāng)需

要了解整體與部分之間的關(guān)系時一，選擇扇形統(tǒng)計圖更合適。

第（3）小題統(tǒng)計的是各種樹木的數(shù)量，教材中只出現(xiàn)條形統(tǒng)計

圖，引導(dǎo)學(xué)生思考”為什么不用其他的統(tǒng)計圖”，在對比三種統(tǒng)計圖

特點的基礎(chǔ)上突出選擇條形統(tǒng)計圖的一般條件：當(dāng)只需要表示各項目

的數(shù)據(jù)時，用條形統(tǒng)計圖就可以了。

四、教學(xué)建議

1.結(jié)合生活中的統(tǒng)計實例進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生充分感受統(tǒng)計的現(xiàn)

實價值。

2.使學(xué)生通過比較，認(rèn)識各種統(tǒng)計圖的適用性和局限性。

節(jié)約用水

一、教學(xué)內(nèi)容

通過對水龍頭漏水情況的調(diào)查，了解水資源浪費情況，提出節(jié)約

用水的具體建議并落實在行動中。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.通過測量等操作活動，讓學(xué)生經(jīng)歷收集、整理、分析數(shù)據(jù)的

過程。

2.使學(xué)生綜合運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、技能和方法科學(xué)地認(rèn)識日

常生活中水資源浪費的問題。

3.使學(xué)生加強(qiáng)環(huán)保意識，并把節(jié)約用水落實到行動上。

三、具體編排

本活動包含以下環(huán)節(jié)。

（1）收集信息。

通過板報的形式給出地球水資源的一些統(tǒng)計信息，通過這些信息

讓學(xué)生認(rèn)識到我國水資源匱乏，幫助學(xué)生認(rèn)識到節(jié)約用水的重要意義。

在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生收集相關(guān)的信息：（1）觀察生活中浪費水的現(xiàn)象，

實際調(diào)查一下學(xué)?；蚣依锫┧堫^的數(shù)量。（2）選擇其中一個漏水

的水龍頭，測量出它一定時間漏水的量。（3）通過多種途徑收集節(jié)約

用水的資料。

（2）分析數(shù)據(jù)。

小組同學(xué)合作對收集到的一定時間水龍頭漏水的量進(jìn)行測量分

析，計算出水龍頭每分鐘漏水的速度。然后，對各組的分析結(jié)果進(jìn)行

比較，并針對比較的結(jié)果進(jìn)行小組討論：“收集到的水龍頭漏水速度

不一樣，怎樣表示全班同學(xué)調(diào)查到的水龍頭漏水的一般水平比較恰

當(dāng)？”

(3)解決問題。

在上述數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上，通過把有限樣本得出的結(jié)論進(jìn)一步類

推到更大的樣本，解決教材提出的問題，幫助學(xué)生對生活中浪費水的

現(xiàn)象有一個客觀而量化的認(rèn)識。

(4)提出方案。

對課前收集的節(jié)約用水的資料進(jìn)行討論交流，提出具體的節(jié)約用

水的方案，加強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保教育。

四、教學(xué)建議

1.要體現(xiàn)活動的綜合性，在活動過程中有機(jī)融合各部分?jǐn)?shù)學(xué)知

識和技能。

2.要體現(xiàn)活動的實踐性，要通過具體操作收集數(shù)據(jù)，感受統(tǒng)計

過程的真實性，并最終把節(jié)約用水落實在學(xué)生的日常行為中。

第八單元數(shù)學(xué)廣角-數(shù)與形

一、教學(xué)內(nèi)容

利用數(shù)與形的關(guān)系解決問題。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生會用數(shù)形結(jié)合的方法解決一些數(shù)學(xué)問題。

2.在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)模式、應(yīng)用模式的能力，

提高推理能力。

3.在解決問題的過程中掌握和體會數(shù)形結(jié)合、極限等數(shù)學(xué)思想。

三、主要變化與具體編排

(一)主要變化

本冊的數(shù)學(xué)廣角，編排了一個新的內(nèi)容——數(shù)與形。

數(shù)與形相結(jié)合的例子在小學(xué)數(shù)學(xué)教材與教學(xué)中隨處可見。有的時

候，是圖形中隱含著數(shù)的規(guī)律，可利用數(shù)的規(guī)律來解決圖形的問題。

本單元的例1以及相關(guān)的練習(xí)就屬于這種情況。例如，第109頁第2

題（如下圖），使學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)第2個圖比第1個圖增加2個

圓片，第3個圖比第2個圖增加3個圓片，第4個圖比