7.5 空間幾何的外接球（精練）（教師版）

7.5空間幾何的外接球（精練）1．（2023秋·貴州銅仁）在三棱錐中，平面ABC，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖：∵平面ABC，，∴，AC，AP兩兩互相垂直，，把三棱錐補成為正方體，則正方體的外接球即三棱錐的外接球，正方體的體對角線長為，即其外接球直徑，∴三棱錐外接球的表面積為.故選：B．

2．（2023春·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校校考階段練習）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】

設正方形的邊長為，在等邊三角形中，過點作于E，由于平面平面，∴平面．由于是等邊三角形，則，∴，解得．設四棱錐外接球的半徑為，為正方形ABCD中心，為等邊三角形PAB中心，O為四棱錐P－ABCD外接球球心，則易知為矩形，則，，，∴外接球表面積．故選：C．3．（2023春·甘肅酒泉）一個到球心距離為1的平面截球所得截面的面積為π，則它的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】

作出球的截面示意圖，如圖是平面截球所得小圓的直徑，是小圓圓心，是球心，設小圓半徑為，依題意得，解得，由，得到，又即為球心到小圓所在平面距離，故，為球的半徑，根據(jù)球的體積公式，體積為：.故選：D4．（2023春·遼寧大連）已知某圓錐的底面半徑為2，其體積與半徑為1的球的體積相等，則該圓錐的母線長為（

）A．2 B． C．5 D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，圓錐的底面半徑為，設圓錐的高為h，圓錐體積與半徑為1的球的體積相等，則，解得，所以母線長為．故選：D．5．（2023春·陜西榆林）若正三棱錐的高為，，其各頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】已知正三棱錐的底面邊長為，高為，且三棱錐的四個頂點都在同一球面上，如圖所示：

，設點為的中心，為外接球的球心，可能在三棱錐內(nèi)部，也可能在外部，，即，解得．該球的表面積為．故選：C6．（2023春·廣東韶關）已知三棱錐的頂點都在球的球面上，平面，若球的體積為，則該三棱錐的體積的最大值是（

）A． B．5 C． D．【答案】A【解析】因為，易知三角形為等腰直角三角形，又平面，所以為三棱錐的高，則可將三棱錐放入長方體內(nèi)，如圖，

長方體的體對角線即為外接球直徑，即為球直徑，，解得，又，解得，，所以所以三棱錐的體積，故選：A7．（2023春·湖南）2022年卡塔爾足球世界杯吸引了全世界許多球迷的關注，足球最早起源于我國古代“蹴鞠”，被列為國家級非物質(zhì)文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠圖》描繪太祖、太宗和臣子們蹴鞠的場景．已知某“鞠”的表面上有四個點A，B，C，D，連接這四點構(gòu)成三棱錐如圖所示，頂點A在底面的射影落在△BCD內(nèi)，它的體積為，其中△BCD和△ABC都是邊長為的正三角形，則該“鞠”的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，取的中點，連接，作于點，因為△BCD和△ABC都是正三角形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因為平面，所以平面，則，即，解得，，則，設外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為點，則平面，外接圓的半徑，，設外接球的半徑為，，則，，故，解得，所以，所以該“鞠”的表面積為.故選：B.

8．（2023春·山西太原）已知正方體的內(nèi)切球(球與正方體的六個面都相切)的體積是，則該正方體的體積為（

）A．4 B．16 C．8 D．64【答案】D【解析】根據(jù)球的體積公式，，解得.因為正方體的內(nèi)切球直徑等于正方體的棱長，所以正方體的棱長為，故正方體的體積為.故選：D.9．（2023·江西南昌·南昌市八一中學校考三模）已知四棱錐的底面是矩形，高為，，，，，則四棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，在矩形中，連接對角線，記，則點為矩形的外接圓圓心，取的中點，連接，記的外接圓圓心為，易知，且共線.因為，平面，所以平面，所以平面，平面，，，平面，所以平面，所以，所以，易得，所以由正弦定理得的外接圓半徑為，即.過作平面，且，連接，由平面，可知，則四邊形為矩形，所以，則平面.根據(jù)球的性質(zhì)，可得點為四棱錐的外接球的球心，因為，所以四棱錐的外接球的表面積為.

故選：C10．（2023·全國·高三專題練習）如圖，該幾何體為兩個底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設它的體積為，它的內(nèi)切球的體積為，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，因為上下兩個圓錐大小相同，所以組合體內(nèi)切球的球心為，半徑等于點到的距離，設半徑為，則，所以，所以，故選：D11．（2023秋·廣東深圳·高三校聯(lián)考開學考試）已知一個圓錐的母線長為10，高為8，則該圓錐內(nèi)切球的表面積與圓錐的表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，設圓錐的底面圓半徑為，則，則圓錐的的側(cè)面積為，故圓錐的表面積為，設圓錐的內(nèi)切球球心為，過點作⊥于點，設內(nèi)切球的半徑為，則，因為，所以，即，解得，故內(nèi)切球的表面積為，則圓錐內(nèi)切球的表面積與圓錐的表面積之比為.

故選：B12．（2023春·廣西南寧）在三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，，，，則，設外接圓半徑為，則，即，令外接圓圓心為，

三棱錐外接球球心為，半徑為，有平面，由平面，得，又，取中點，于是四邊形為矩形，則球心到平面的距離，因此，所以三棱錐外接球的表面積.故選：C13．（2023春·重慶江津）如圖，已知棱長為1的正方體中，下列命題正確的是（

）

A．正方體外接球的半徑為B．點在線段上運動，則四面體的體積不變C．與所有12條棱都相切的球的體積為D．是正方體的內(nèi)切球的球面上任意一點，則長的最小值是【答案】D【解析】選項A：連接，則為正方體外接球的直徑，又，則正方體外接球的直徑為，故A錯誤；選項B：為邊長是的等邊三角形，面積為定值，點在線段上運動，，與平面相交，所以與平面相交，所以四面體的高是變化的，所以四面體的體積是變化的，故B錯誤；選項C：與所有12條棱都相切的球的半徑為，該球體積為，則與所有12條棱都相切的球的體積為，故C錯誤；選項D：正方體的內(nèi)切球的半徑為，球心為中點，是球面上任意一點，則長的最小值是,故D正確.故選:D.14．（2023春·陜西安康·高三校考階段練習）如圖，在三棱錐中，已知，，，，平面平面，三棱錐的體積為，若點，，，都在球的球面上，則球的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中點，連接，因為，，所以，所以，所以為三棱錐外接球的球心，設，則，，因為，，所以為等腰直角三角形，且，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為，，，所以，所以，解得，所以球的表面積為，故選：B

15．（2023春·山東濟寧）在三棱錐中，，是邊長為6的等邊三角形，若平面平面，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中點，的中點，連接，，如圖所示，

由，有，則，所以點為的外心，因為為等邊三角形，取的外心，分別過點，作平面，平面，且，則點為三棱錐的外接球的球心，設外接球的半徑為，連接，則為外接球的半徑，由題可知，又平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，所以四邊形為矩形，所以，又，所以，所以三棱錐的外接球的表面積．故選：B．16．（2023秋·浙江麗水）在四面體PABC中，，是邊長為2的等邊三角形，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設正的重心為，則是正的外接圓的圓心，取的中點，因為，所以是的外接圓的圓心，過作平面，過作平面，，如圖，

則為四面體的外接球的球心，又二面角的大小為，則，又在正中，，則在中，，設四面體PABC的外接球的半徑為，則，所以四面體PABC的外接球的表面積為.故選：C.17．（2023春·四川宜賓）在矩形中，，為的中點，將和沿，翻折，使點與點重合于點，若，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，.

又平面PAD，平面PAD，所以MP⊥平面PAD.設△ADP的外接圓的半徑為r，則由正弦定理可得，即，所以，設三棱錐M-PAD的外接球的半徑為R，則，所以外接球的表面積為.故選：B18．（2023秋·江蘇常州·高三華羅庚中學?？茧A段練習）在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為．【答案】/【解析】取的中點，連接，因為，所以和都是等邊三角形，所以，所以是二面角的平面角，即，設球心為，和的中心分別為，則平面，平面，因為，公共邊，所以≌，所以，因為，所以，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為故答案為：

19（2023春·貴州黔西·高一?？茧A段練習）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有一“陽馬”（如圖所示），其中底面，，，，則該“陽馬”的外接球的表面積為．

【答案】【解析】如圖，以為棱作長方體，則長方體的對角線即為該“陽馬”的外接球的直徑，設直徑為，則，所以，所以該“陽馬”的外接球的表面積為.故答案為：.

20．（2023春·四川成都）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的內(nèi)切球表面積為.【答案】【解析】如圖，作出該圓錐與其內(nèi)切球的軸截面圖形，

設該內(nèi)切球的球心為，內(nèi)切球的半徑為，為切點，所以，，由已知得，，所以，在中，，即，解得，所以，該圓錐的內(nèi)切球表面積為故答案為：.20．（2023春·遼寧沈陽）已知四面體中，，，則該四面體外接球的表面積為．【答案】【解析】對于四面體中，因為，，所以可以把四面體放入一個長方體，如圖：

設從同一個頂點出發(fā)的三條邊長分別為、、，則有：，解得，點、、、均為長、寬、高分別為，，的長方體的頂點，且四面體的外接球即為該長方體的外接球，于是長方體的體對角線即為外接球的直徑，不妨設外接球的半徑為，∴，∴外接球的表面積為.故答案為：.21．（2023·全國·高三專題練習）已知點均在球的球面上運動，且滿足，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為.【答案】【解析】如圖所示，當點位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球的半徑為，此時，故，則球的體積為.

故答案為：22．（2023春·河北承德）已知三棱錐的各側(cè)棱長均為，且，則三棱錐的外接球的表面積為.【答案】【解析】如圖：

過P點作平面ABC的垂線，垂足為M，則都是直角三角形，又，同理可得，，所以M點是的外心；又，是以斜邊的直角三角形，在底面的射影為斜邊的中點，如下圖：

則，設三棱錐外接球的球心為，半徑為，則在上，則，即，得，外接球的表面積為；故答案為：23．（2023春·江西贛州）如圖，在等腰直角三角形ABC中，點P為線段AB的中點，，，將沿所在直線進行翻折，得到三棱錐，當時，此三棱錐的外接球表面積為．

【答案】【解析】因為是等腰直角三角形，點P為線段AB的中點，，，所以，，則，因為，所以，則，所以將該三棱錐補成正方體，如下圖所示：

則三棱錐的外接球就是邊長為的正方體的外接球，所以該外接球的直徑為正方體的體對角線，即，所以外接球表面積為.故答案為：.24．（2023春·福建福州·高一福建省福州屏東中學?？计谀┮阎忮F的頂點都在球O的球面上，其側(cè)棱與底面所成角為，且，則球O的表面積為【答案】【解析】如圖，正三棱錐中，設點Q為的中心，則PQ⊥平面ABC，

∴，∴，PQ＝3．球心O在直線PQ上，連接AO，設球O的半徑為r，則，，在中，，即，解得，∴球O的表面積為．故答案為：.1．（2024秋·甘肅武威·高三民勤縣第一中學校聯(lián)考開學考試）在三棱錐中，為等邊三角形，，則三棱錐外接球的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：如圖所示：由題意可得，，所以，則，又，所以，即.又平面，所以平面.設，則，取正的外心為，三棱錐外接球的球心，連接，則平面，底面外接圓的半徑，所以三棱錐外接球的半徑.當時，有最小值為，所以三棱錐外接球表面積的最小值為.故選：B.2．（2023秋·廣東陽江·高三統(tǒng)考開學考試）在三棱錐中，，，二面角的平面角為，則三棱錐外接球表面積的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當D在△ACD的外接圓上動的時候，該三棱錐的外接球不變，故可使D點動到一個使得DA=DC的位置，取AC的中點M，連接，因為，DA=DC，所以，，故即為二面角的平面角，△ACB的外心為O1，過O1作平面ABC的垂線，過△ACD的外心M作平面ACD的垂線，兩條垂線均在平面BMD內(nèi)，它們的交點就是球心O，畫出平面BMD，如圖所示；在平面ABC內(nèi)，設，則，，因為，所以，所以，所以

令，則，所以，當且僅當時取等，故選:B3．（2023春·江西贛州）已知正四面體的棱長為12，先在正四面體內(nèi)放入一個內(nèi)切球，然后再放入一個球，使得球與球及正四面體的三個側(cè)面都相切，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】

如圖，正四面體，設點是底面的中心，點是的中點，連接.則由已知可得，平面，球心在線段上，球切平面的切點在線段上，分別設為.則易知，，設球的半徑分別為.因為，根據(jù)重心定理可知，.，，，，.由可得，，即，解得，，所以.由可得，，即，解得，所以，球的體積為.故選：A.4．（2023春·貴州遵義）已知三棱錐中，，，，三棱錐的外接球的表面積為，則三棱錐體積的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】設三棱錐外接球的半徑為，則，解得，又，，即為直角三角形，則外接圓的直徑即為直角三角形的斜邊，且，即外接圓的半徑，所以為外接球中的大圓，即為三棱錐外接球的直徑，設的中點為，則即為球心，設，，則，所以，當且僅當時取等號，即，此時，且，又，則且，所以，則且，，平面，所以平面，所以，所以，即三棱錐體積的最大值為.故選：D5．（2023春·浙江麗水）如圖，在三棱柱中，底面，，，，在上底面（包括邊界）上運動，則三棱錐的外接球體積的最大值為（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】

如圖，取中點為，中點為，連接，取的中點為，連接.因為為直角三角形，所以外接圓的圓心即為.同理，外接圓的圓心即為.所以，當位于頂點時（不妨假設點與點重合），三棱錐的外接球的球心恰好與三棱柱的外接球的球心重合，即三棱錐的外接球的半徑等于三棱柱的外接球的半徑，此時體積有最大值.因為分別為的中點，根據(jù)三棱柱的性質(zhì)可知，，且，所以，四邊形是平行四邊形，所以，且，.根據(jù)三棱柱的性質(zhì)可知平面，所以平面.又分別為以及外接圓的圓心，所以，線段的中點即為三棱柱的外接球的球心，所以，三棱柱的外接球的半徑即等于.又，所以，.因為平面，平面，所以，即，所以，，所以，三棱錐的外接球體積的最大值為.故選：C.6．（2023春·山東聊城）（多選）已知正三棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為6，則（

）A．正三棱錐的高為6B．正三棱錐的表面積為C．正三棱錐的體積為D．正三棱錐的外接球的體積為【答案】AC【解析】如圖，在正三棱錐中，過作交于，過作面，為外接球球心，易知在上，連接.對于A，，，，故，即正三棱錐的高為6，故A正確；對于B，正三棱錐的表面積為，故B錯誤；對于C，正三棱錐的體積為，故C正確；對于D，設外接球半徑為，，由，可得，解得，故外接球的體積為，故D錯誤.故選：AC.7．（2023春·浙江金華）（多選）在三棱錐中，兩兩垂直，，點分別在側(cè)面和棱上運動且為線段的中點，則下列說法正確的是（

）

A．三棱錐的內(nèi)切球的半徑為B．三棱錐的外接球的表面積為C．點到底面的距離的最小值為D．三棱錐的體積的最大值為【答案】BC【解析】對于A，因為兩兩垂直，，所以，，，所以，設三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以，解得，所以A錯誤，對于B，因為兩兩垂直，所以將三棱錐補成如圖所示的長方體，則長方體的體對角線等于三棱錐外接球的直徑，設三棱錐外接球半徑為，則，解得，所以三棱錐的外接球的表面積為，所以B正確，

對于C，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，所以，因為為線段的中點，所以，所以點的軌跡是以為球心，1為半徑的球面上，設點到平面的距離為，因為，所以，所以，解得，所以點到底面的距離的最小值為，所以C正確，

對于D，由選項C可知點的軌跡是以為球心，1為半徑的球面上，因為的面積為定值，所以當點到底面的距離最大值時，三棱錐的體積最大，設球面分別交于點，因為，所以當點與點或重合時，點到底面的距離最大，設為，則有，得，所以三棱錐的體積的最大值為，所以D錯誤，故選：BC

8．（2023春·湖北武漢）（多選）如圖，在四邊形中，和是全等三角形，，，，．下面有兩種折疊方法將四邊形折成三棱錐．折法①；將沿著折起，得到三棱錐，如圖1．折法②：將沿著折起，得到三棱錐，如圖2．下列說法正確的是（

）．

A．按照折法①，三棱錐的外接球表面積恒為B．按照折法①，存在滿足C．按照折法②﹐三棱錐體積的最大值為D．按照折法②，存在滿足平面，且此時與平面所成線面角正弦值為【答案】ACD【解析】由題意知，取的中點,由于和是直角三角形且全等，故,故在折法①的折疊過程中,三棱錐的外接球的球心為,半徑為1,故該球的表面積恒為,故A選項正確；按照折法①,在折起過程中,點在平面內(nèi)的投影在線段上(不包括端點),而線段(不包括端點)不存在使得，故不存在滿足，故B選項錯誤；按照折法②，取的中點，，當平面平面時，三棱錐體積取得最大值，此時體積,故C選項正確;當時，，，故此時,,又因為平面,故平面,故為與平面所成線面角,則，故D選項正確.故選:ACD.

9（2023春·江蘇南通）（多選）如圖，圓錐內(nèi)有一個內(nèi)切球，球與母線分別切于點.若是邊長為2的等邊三角形，為圓錐底面圓的中心，為圓的一條直徑（與不重合），則下列說法正確的是（

）

A．球的表面積與圓錐的側(cè)面積之比為B．平面截得圓錐側(cè)面的交線形狀為拋物線C．四面體的體積的取值范圍是D．若為球面和圓錐側(cè)面的交線上一點，則最大值為【答案】ABD【解析】對選項A，設圓錐的底面半徑為，球的半徑為，圓錐的母線長為，因為是邊長為2的等邊三角形，則，，連接，，，由條件可知，，，且，則，所以，則，即，所以球的表面積，圓錐的側(cè)面積，所以球的表面積與圓錐的側(cè)面積之比為，故選項A正確；

因為平面與母線VB平行，所以截得圓錐側(cè)面的交線形狀為拋物線，故選項B正確；對選項C，由題意是的中點，所以四面體的體積等于，設點到平面的距離為，當，處于，時，，當，處于弧中點時，最大，為1，所以，如圖作交于，由對選項A可知，，則，，所以，從而，所以的面積，所以，因為，所以，故，所以四面體的體積的取值范圍是，故選項C不正確；

對選項D，由題意得球面和圓錐側(cè)面的交線為以為直徑的圓，以為坐標原點，所在直線為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，設，則，，所以，所以即，所以當時，有最大值，故選項D正確.故選：ABD.

10．（2023秋·全國·高三校聯(lián)考開學考試））在三棱錐中，平面平面，底面是邊長為3的正三角形，若該三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值為.【答案】【解析】依題意，點是三棱錐外接球的球心，設球的半徑為是外接圓的圓心，設圓的半徑為，點到底面的距離為，由題