8.2 二項(xiàng)式定理（精講）（教師版）

8.2二項(xiàng)式定理（精講）一．二項(xiàng)式定理1.二項(xiàng)式定理：（a＋b）n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnn①項(xiàng)數(shù)為n＋1②各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n③字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，

從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.2.通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Cnkan－kbk=g（r）·xh（r）它表示第①h（r）＝0?Tr＋1是常數(shù)項(xiàng)；②h（r）是非負(fù)整數(shù)?Tr＋1是整式項(xiàng)；③h（r）是負(fù)整數(shù)?Tr＋1是分式項(xiàng)；④h（r）是整數(shù)?Tr＋1是有理項(xiàng).3.二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)為Cn0，Cn二.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)一．形如(a＋b)n(n∈N*)的展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量(常數(shù)項(xiàng)、參數(shù)值、特定項(xiàng)等)的步驟①寫出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tk＋1＝Cnkan－kb②根據(jù)題目中的相關(guān)條件列出相應(yīng)方程(組)或不等式(組)，解出r；③把k代入通項(xiàng)公式中，即可求出Tk＋1，有時(shí)還需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或者其他量．二．求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量的步驟①根據(jù)二項(xiàng)式定理把(a＋b)m與(c＋d)n分別展開(kāi)，并寫出其通項(xiàng)公式；②根據(jù)特定項(xiàng)的次數(shù)，分析特定項(xiàng)可由(a＋b)m與(c＋d)n的展開(kāi)式中的哪些項(xiàng)相乘得到；③把相乘后的項(xiàng)合并即可得到所求特定項(xiàng)或相關(guān)量．三.求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)1.如果n是偶數(shù)，那么中間一項(xiàng)第n2，如果n是奇數(shù)，那么中間兩項(xiàng)第n四.求展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)求（a＋bx）n（a，b∈R）的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用Ak≥A求三項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)（系數(shù)）的方法方法一：通過(guò)變形把三項(xiàng)式化為二項(xiàng)式，再用二項(xiàng)式定理求解方法二：兩次利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求解方法三：利用排列組合的基本原理去求，把三項(xiàng)式看作幾個(gè)因式之積，得到特定項(xiàng)有多少種方法從這幾個(gè)因式中取因式中的量六．二項(xiàng)式定理應(yīng)用1．用二項(xiàng)式定理處理整除問(wèn)題，通常把冪的底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，只考慮后面一、二項(xiàng)(或者是某些項(xiàng))就可以了．2．利用二項(xiàng)式定理近似運(yùn)算時(shí)，首先將冪的底數(shù)寫成兩項(xiàng)和或差的形式，然后確定展開(kāi)式中的保留項(xiàng)，使其滿足近似計(jì)算的精確度．考點(diǎn)一二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式【例1】（2023廣西柳州）化簡(jiǎn)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】．故選：B【一隅三反】1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，則A－B的值為()A．128 B．129 C．47 D．0【答案】A【解析】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝故選A.2．（2023·重慶九龍坡）A． B． C． D．【答案】B【解析】選B.考點(diǎn)二二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)【例2-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（

）A．28 B．56 C．70 D．112【答案】A【解析】∵二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為，令，求得，可得含的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，故選：A.【例2-2】（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是（

）A．40 B．-40 C．20 D．-20【答案】D【解析】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，所以的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是，故選：D【例2-3】（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A．270 B．240 C．210 D．180【答案】A【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，則原展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：A【例2-4】（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）展開(kāi)式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n的值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【解析】因?yàn)橹挥幸豁?xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：C【一隅三反】1．（2023·北京·高三專題練習(xí)）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（

）A．5 B． C．10 D．【答案】A【解析】由題設(shè)，，∴當(dāng)時(shí)，.∴含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).故選：A.2．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（

）A．－112 B．－48 C．48 D．112【答案】D【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為．令，得，則；令，得，則；故的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是．故選：D.3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在的展開(kāi)式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（

）A． B．7 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)檎归_(kāi)式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，，令，得，所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是.故選：D考點(diǎn)三三項(xiàng)式指定項(xiàng)系數(shù)【例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（）A．-252 B．-220 C．220 D．252【答案】A【解析】由，可得二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)為：，令，解得，∴展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為．故選：A．【一隅三反】1．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B．10 C． D．30【答案】C【解析】可以看做個(gè)盒子，每個(gè)盒子中有，，三個(gè)元素，現(xiàn)從每個(gè)盒子中取出一個(gè)元素，最后相乘即可，所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，故展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：C.2．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】因?yàn)?，設(shè)其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，令，得的通項(xiàng)公式為，令，所以的展開(kāi)式中，的系數(shù)為，故答案為：3．（2023秋·福建三明·高三統(tǒng)考期末）展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是.（答案用數(shù)字作答）【答案】【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，,令,則或，或，所以常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：4．（2023秋·廣東廣州·高三執(zhí)信中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，則．【答案】2【解析】表示有5個(gè)因式相乘，來(lái)源如下：有1個(gè)提供，有3個(gè)提供，有1個(gè)提供常數(shù)，此時(shí)系數(shù)是，即，解得：故答案為：.考點(diǎn)四二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)【例4】（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A．160 B．240 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大為，即展開(kāi)式的第4項(xiàng)，即.故選：C．【一隅三反】1．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）的展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且常數(shù)項(xiàng)是，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024C．D．各項(xiàng)的系數(shù)之和為1024【答案】ABC【解析】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，選項(xiàng)A正確；所以的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故選項(xiàng)B正確；根據(jù)二項(xiàng)式定理知的通項(xiàng)式為，令得，所以的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，所以，解得：，故選項(xiàng)C正確；令得，所以各項(xiàng)的系數(shù)之和為0，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:ABC.2．（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知的展開(kāi)式中第四項(xiàng)和第八項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中x的系數(shù)為【答案】【解析】第四項(xiàng)和第八項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則，故展開(kāi)式中x的系數(shù)為，故答案為：3．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的展開(kāi)式中第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比該項(xiàng)的系數(shù)大18，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．【答案】60【解析】因?yàn)榈亩?xiàng)展開(kāi)式為：所以它的第二項(xiàng)的系數(shù)為：該二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為：，由的展開(kāi)式中第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比該項(xiàng)的系數(shù)大18，所以有：，所以二項(xiàng)式為，由展開(kāi)式通項(xiàng)為：，令，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為：.故答案為：60.考法五系數(shù)最大項(xiàng)和系數(shù)和【例5-1】（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）的二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.【答案】【解析】設(shè)展開(kāi)式的第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，解得，所以系數(shù)最大的項(xiàng)為第或第項(xiàng)，所以系數(shù)最大的項(xiàng)為：，.故答案為：【例5-2】．（2023·遼寧朝陽(yáng)·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)（，）的定義域?yàn)?，則（

）A． B．C． D．被8整除余數(shù)為1【答案】BCD【解析】因?yàn)?，?duì)于A：當(dāng)時(shí)，，①，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，②，①②得，解得，故B正確；對(duì)于C：，令得，故C正確；對(duì)于D：，所以被整除余數(shù)為1，故D正確.故選：BCD【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A．70 B．56 C．或 D．【答案】D【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，，由二項(xiàng)式系數(shù)中，最大，此時(shí)該二項(xiàng)展開(kāi)式中第5項(xiàng)的系數(shù)最大，∴的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為，故選：D．2．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第（

）A．項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)【答案】D【解析】的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，整理可得，且，解得，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，設(shè)展開(kāi)式中第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，即，解得，因?yàn)?，故，因此，展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng).故選：D.3．（2023春·山東青島）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．的最大值為【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，取代入等式，得到，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，取代入等式，得到，結(jié)合B選項(xiàng)，兩式相加得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，，令，即，解得，又，故，即最大，D選項(xiàng)正確.故選：ABD4．（2023·福建寧德·校考模擬預(yù)測(cè)）（多選）若，，則（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】令得：，所以選項(xiàng)A正確；令得：，所以，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以選項(xiàng)C正確；，兩邊對(duì)求導(dǎo)得：，令得：，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC.考法六二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【例6-1】（2023春·課時(shí)練習(xí)）設(shè)為奇數(shù)，那么除以13的余數(shù)是（

）A． B．2 C．10 D．11【答案】C【解析】因?yàn)闉槠鏀?shù)，則上式=.所以除以13的余數(shù)是10.故選：C.【例6-2】（2023北京）今天是星期二，經(jīng)過(guò)7天后還是星期二，那么經(jīng)過(guò)天后是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六【答案】D【解析】，由于括號(hào)中，除了最后一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都能被7整除，故整個(gè)式子除以4的余數(shù)為，故經(jīng)過(guò)天后是是星期六，