8.2 二項式定理（精講）（教師版）

8.2二項式定理（精講）一．二項式定理1.二項式定理：（a＋b）n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnn①項數(shù)為n＋1②各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n③字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，

從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.2.通項公式：Tk＋1＝Cnkan－kbk=g（r）·xh（r）它表示第①h（r）＝0?Tr＋1是常數(shù)項；②h（r）是非負整數(shù)?Tr＋1是整式項；③h（r）是負整數(shù)?Tr＋1是分式項；④h（r）是整數(shù)?Tr＋1是有理項.3.二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)為Cn0，Cn二.二項式系數(shù)的性質(zhì)一．形如(a＋b)n(n∈N*)的展開式中與特定項相關(guān)的量(常數(shù)項、參數(shù)值、特定項等)的步驟①寫出二項展開式的通項公式Tk＋1＝Cnkan－kb②根據(jù)題目中的相關(guān)條件列出相應(yīng)方程(組)或不等式(組)，解出r；③把k代入通項公式中，即可求出Tk＋1，有時還需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或者其他量．二．求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開式中與特定項相關(guān)的量的步驟①根據(jù)二項式定理把(a＋b)m與(c＋d)n分別展開，并寫出其通項公式；②根據(jù)特定項的次數(shù)，分析特定項可由(a＋b)m與(c＋d)n的展開式中的哪些項相乘得到；③把相乘后的項合并即可得到所求特定項或相關(guān)量．三.求二項式系數(shù)最大項1.如果n是偶數(shù)，那么中間一項第n2，如果n是奇數(shù)，那么中間兩項第n四.求展開式系數(shù)最大項求（a＋bx）n（a，b∈R）的展開式中系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項系數(shù)最大，應(yīng)用Ak≥A求三項展開式中特定項（系數(shù)）的方法方法一：通過變形把三項式化為二項式，再用二項式定理求解方法二：兩次利用二項展開式的通項求解方法三：利用排列組合的基本原理去求，把三項式看作幾個因式之積，得到特定項有多少種方法從這幾個因式中取因式中的量六．二項式定理應(yīng)用1．用二項式定理處理整除問題，通常把冪的底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再利用二項式定理展開，只考慮后面一、二項(或者是某些項)就可以了．2．利用二項式定理近似運算時，首先將冪的底數(shù)寫成兩項和或差的形式，然后確定展開式中的保留項，使其滿足近似計算的精確度．考點一二項式定理的展開式【例1】（2023廣西柳州）化簡（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】．故選：B【一隅三反】1．（2022·高二課時練習）設(shè)A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，則A－B的值為()A．128 B．129 C．47 D．0【答案】A【解析】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝故選A.2．（2023·重慶九龍坡）A． B． C． D．【答案】B【解析】選B.考點二二項式指定項的系數(shù)【例2-1】（2023·全國·高三專題練習）在二項式的展開式中，含的項的二項式系數(shù)為（

）A．28 B．56 C．70 D．112【答案】A【解析】∵二項式的展開式中，通項公式為，令，求得，可得含的項的二項式系數(shù)為，故選：A.【例2-2】（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）的展開式的常數(shù)項是（

）A．40 B．-40 C．20 D．-20【答案】D【解析】二項式的通項公式為，令，所以的展開式的常數(shù)項是，故選：D【例2-3】（2023·海南海口·海南華僑中學?？寄M預測）展開式中的系數(shù)為（

）A．270 B．240 C．210 D．180【答案】A【解析】展開式的通項公式為，則原展開式中的系數(shù)為.故選：A【例2-4】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則n的值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【解析】因為只有一項二項式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：C【一隅三反】1．（2023·北京·高三專題練習）在二項式的展開式中，含項的二項式系數(shù)為（

）A．5 B． C．10 D．【答案】A【解析】由題設(shè)，，∴當時，.∴含項的二項式系數(shù).故選：A.2．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）的展開式中的常數(shù)項是（

）A．－112 B．－48 C．48 D．112【答案】D【解析】展開式的通項為．令，得，則；令，得，則；故的展開式中的常數(shù)項是．故選：D.3．（2023·全國·高三對口高考）在的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項是（

）A． B．7 C． D．【答案】D【解析】因為展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，所以，，令，得，所以展開式中常數(shù)項是.故選：D考點三三項式指定項系數(shù)【例3】（2023·全國·高三專題練習）的展開式中常數(shù)項是（）A．-252 B．-220 C．220 D．252【答案】A【解析】由，可得二項式的展開式通項為：，令，解得，∴展開式的常數(shù)項為．故選：A．【一隅三反】1．（2023·河北滄州·?？寄M預測）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B．10 C． D．30【答案】C【解析】可以看做個盒子，每個盒子中有，，三個元素，現(xiàn)從每個盒子中取出一個元素，最后相乘即可，所以展開式中含的項為，故展開式中的系數(shù)為.故選：C.2．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預測）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】因為，設(shè)其展開式的通項公式為：，令，得的通項公式為，令，所以的展開式中，的系數(shù)為，故答案為：3．（2023秋·福建三明·高三統(tǒng)考期末）展開式中常數(shù)項是.（答案用數(shù)字作答）【答案】【解析】的展開式的通項為，,令,則或，或，所以常數(shù)項為，故答案為：4．（2023秋·廣東廣州·高三執(zhí)信中學校考開學考試）已知二項式的展開式中含的項的系數(shù)為，則．【答案】2【解析】表示有5個因式相乘，來源如下：有1個提供，有3個提供，有1個提供常數(shù)，此時系數(shù)是，即，解得：故答案為：.考點四二項式系數(shù)性質(zhì)【例4】（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）的展開式中二項式系數(shù)最大的項是（

）A．160 B．240 C． D．【答案】C【解析】因為，所以的展開式中二項式系數(shù)最大為，即展開式的第4項，即.故選：C．【一隅三反】1．（2023·廣東佛山·?？寄M預測）（多選）的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，且常數(shù)項是，則下列說法正確的是（

）A．B．各項的二項式系數(shù)之和為1024C．D．各項的系數(shù)之和為1024【答案】ABC【解析】因為的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，所以，選項A正確；所以的展開式中二項式系數(shù)之和為，故選項B正確；根據(jù)二項式定理知的通項式為，令得，所以的展開式中常數(shù)項為，所以，解得：，故選項C正確；令得，所以各項的系數(shù)之和為0，所以D選項錯誤.故選:ABC.2．（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知的展開式中第四項和第八項的二項式系數(shù)相等，則展開式中x的系數(shù)為【答案】【解析】第四項和第八項的二項式系數(shù)相等,則，故展開式中x的系數(shù)為，故答案為：3．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）已知的展開式中第二項的二項式系數(shù)比該項的系數(shù)大18，則展開式中的常數(shù)項為．【答案】60【解析】因為的二項展開式為：所以它的第二項的系數(shù)為：該二項式的展開式中第二項的二項式系數(shù)為：，由的展開式中第二項的二項式系數(shù)比該項的系數(shù)大18，所以有：，所以二項式為，由展開式通項為：，令，所以展開式中的常數(shù)項為：.故答案為：60.考法五系數(shù)最大項和系數(shù)和【例5-1】（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預測）的二項展開式中系數(shù)最大的項為.【答案】【解析】設(shè)展開式的第項的系數(shù)最大，則，解得，所以系數(shù)最大的項為第或第項，所以系數(shù)最大的項為：，.故答案為：【例5-2】．（2023·遼寧朝陽·朝陽市第一高級中學校考模擬預測）（多選）已知函數(shù)（，）的定義域為，則（

）A． B．C． D．被8整除余數(shù)為1【答案】BCD【解析】因為，對于A：當時，，①，故A錯誤；對于B：當時，，②，①②得，解得，故B正確；對于C：，令得，故C正確；對于D：，所以被整除余數(shù)為1，故D正確.故選：BCD【一隅三反】1．（2023·全國·模擬預測）的展開式中系數(shù)最大的項為（

）A．70 B．56 C．或 D．【答案】D【解析】的展開式的通項公式為，，由二項式系數(shù)中，最大，此時該二項展開式中第5項的系數(shù)最大，∴的展開式中系數(shù)最大的項為，故選：D．2．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）已知的展開式中前三項的二項式系數(shù)和為，則展開式中系數(shù)最大的項為第（

）A．項 B．項 C．項 D．項【答案】D【解析】的展開式中前三項的二項式系數(shù)和為，整理可得，且，解得，的展開式通項為，設(shè)展開式中第項的系數(shù)最大，則，即，解得，因為，故，因此，展開式中系數(shù)最大的項為第項.故選：D.3．（2023春·山東青島）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．的最大值為【答案】ABD【解析】A選項，根據(jù)二項展開式的通項，，A選項正確；B選項，取代入等式，得到，B選項正確；C選項，取代入等式，得到，結(jié)合B選項，兩式相加得，故C選項錯誤；D選項，根據(jù)二項展開式的通項，，令，即，解得，又，故，即最大，D選項正確.故選：ABD4．（2023·福建寧德·?？寄M預測）（多選）若，，則（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】令得：，所以選項A正確；令得：，所以，所以選項B錯誤；因為，所以選項C正確；，兩邊對求導得：，令得：，選項D錯誤；故選：AC.考法六二項式定理的應(yīng)用【例6-1】（2023春·課時練習）設(shè)為奇數(shù)，那么除以13的余數(shù)是（

）A． B．2 C．10 D．11【答案】C【解析】因為為奇數(shù)，則上式=.所以除以13的余數(shù)是10.故選：C.【例6-2】（2023北京）今天是星期二，經(jīng)過7天后還是星期二，那么經(jīng)過天后是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六【答案】D【解析】，由于括號中，除了最后一項外，其余各項都能被7整除，故整個式子除以4的余數(shù)為，故經(jīng)過天后是是星期六，