專題10 切線問題（解析版）

專題10切線問題一、考情分析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點與難點,用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線是一個主要命題點,如2023年高考全國卷已卷在解答題中考查曲線的切線問題,曲線的切線內(nèi)容主要涉及求曲線的斜率與方程、曲線的條數(shù)、公切線問題,確定切線滿足條件的切線是否存在或由切線滿足條件求參數(shù)或參數(shù)范圍等.二、解題秘籍(一)求曲線在某點處的切線求以曲線上的點(x0,f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化簡．【例1】（2024屆陜西省榆林市府谷縣高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知函數(shù)（）．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性．【解析】（1）若，則，所以，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為，即．（2），當時，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當時，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，由在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當時，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(二)求曲線過某點的切線求曲線過某點的切線,一般是設(shè)出切點(x0,y0),解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切點(x0,y0),進而確定切線方程．【例2】（2024屆重慶市第一中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)設(shè)，經(jīng)過點作函數(shù)圖像的切線，求切線的方程；(2)若函數(shù)有極大值，無最大值，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）時，設(shè)切點為，則切線斜率為，切線方程：，將點帶入得：，此時斜率，所以切線方程為.（2）函數(shù)的定義域為，令，則（1）當時在單調(diào)遞增，注意到時，，注意到時，，故存在，使得，在時單調(diào)遞減，在時，單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無極大值，不符合題意.（2）當時，令，令，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當時，當時，所以，若，則恒成立，在單調(diào)遞減，無極值和最值.若，即，此時存在，使得，且在有單調(diào)遞減；在有單調(diào)遞增，此時為的極大值.注意到時，要使無最大值，則還應(yīng)滿足，即，同時，帶入整理得.由于，且在單調(diào)遞減，故，即，綜上實數(shù)的取值范圍為.(三)求曲線的切線條數(shù)求曲線切線的條數(shù)一般是設(shè)出切點,由已知條件整理出關(guān)于t的方程,把切線條數(shù)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程的實根個數(shù)問題.【例3】（2024屆江蘇省南通市如東縣高三上學(xué)期期初學(xué)情檢測）已知是函數(shù)的極值點.(1)求的極值；(2)證明：過點可以作曲線的兩條切線.【解析】（1）因為，所以.因為是函數(shù)的極值點，所以，所以.即，易知當時，；當或時，；因為在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以當時，取得極大值；當時，取得極小值.（2）設(shè)切點，則切線方程是.代入得，整理得.設(shè)，則.易知在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，又因，所以在上有且只有一個零點.又因為，，所以在上有且只有一個等點.又因為當時，，所以在上沒有零點；即有且僅有兩個零點，也即過點可以作曲線的兩條切線.綜上可知，命題得證.(四)曲線的公切線研究曲線的公切線,一般是分別設(shè)出兩切點,寫出兩切線方程,然后再使這兩個方程表示同一條直線.【例4】（2024屆湖南省長沙市第一中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù).(1)若.求證：；(2)若函數(shù)與函數(shù)存在兩條公切線，求整數(shù)的最小值.【解析】（1）當時，，令，則，令，因為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以存在，滿足，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；則當時，取得最小值，可得，因為，所以不成立，故等號不成立，則，所以當時，.（2）設(shè)公切線與兩函數(shù)的圖象分別相切于點和點，因為，所以直線的方程可表示為或，則有，①，②由①可得，代入②可得，即，令，則，令，則，，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，根據(jù)零點存在定理知，存在，使得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.因為在上單調(diào)遞增，所以，則，又為整數(shù)，所以，故所求整數(shù)的最小值是.(五)確定滿足條件的切線是否存在或根據(jù)切線滿足條件求參數(shù)的值或范圍此類問題或判斷符合條件的切線是否存在,或根據(jù)切線滿足條件求參數(shù)的值或范圍,求解思路是把切線滿足條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率或切點的方程或函數(shù),再根據(jù)方程根的情況或函數(shù)性質(zhì)去求解.【例5】已知函數(shù),(1)若直線與曲線和分別交于兩點且曲線在處的切線與在處的切線相互平行,求的取值范圍；(2)設(shè)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點且.已知,若不等式恒成立,求的取值范圍.【解析】(1),,,；在處的切線與在處的切線相互平行,,即在上有解,則問題等價于與在上有交點,當直線與相切時,設(shè)切點為,,,解得：,；由圖象可知：當,即時,與在上有交點,實數(shù)的取值范圍為.(2),；是的兩個極值點,,,；,,則由得：,,即,；令,則；令,則；①當時,恒成立,在上單調(diào)遞增,,即恒成立,滿足題意；②當時,若,則,在上單調(diào)遞減,此時,即,不合題意；綜上所述：若不等式恒成立,則,又,,即的取值范圍為.三、典例展示【例1】（2024屆河南省新未來高三上學(xué)9月聯(lián)考）已知函數(shù).(1)若的圖緣在點處的切線經(jīng)過點，求；(2)為的極值點，若，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，于是函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即，而切線過點，因此，整理得，解得或，所以或.（2）由（1）知，方程，即有兩個不等實根，則，解得，且，于是，由，得，解得，因此，所以實數(shù)的取值范圍是.【例2】（2022高考全國卷甲文）已知函數(shù),曲線在點處的切線也是曲線的切線．（1）若,求a；（2）求a的取值范圍．【解析】（1）由題意知,,,,則在點處的切線方程為,即,設(shè)該切線與切于點,,則,解得,則,解得.（2）因為,所以在點處的切線方程為,整理得,設(shè)該切線與切于點,,則,則切線方程為,整理得,則,整理得,（另法：求出在點處的切線方程后代入解析式,用求解）令,則,令,解得或,令,解得或,則變化時,的變化情況如下表：01000則的值域為,故的取值范圍為.【例3】（2024屆四川省成都市第七中學(xué)高三上學(xué)期入學(xué)考試）已知函數(shù)有三個零點（）.(1)求a的取值范圍；(2)過點與分別作的切線，兩切線交于M點，求M點到y(tǒng)軸的距離.【解析】（1）由得，當時，，則在上單調(diào)遞增，函數(shù)至多一個零點，不符合題意；當時，由題意只需使在有兩個異號根即可，所以，解得；綜上，.（2）當時，.又，故，.又知當時，有，所以，即，故.又，所以在處的切線方程為，所以在處的切線方程為，聯(lián)立整理得兩直線交點橫坐標.故M點到y(tǒng)軸的距離0.【例4】（2024屆黑龍江省實驗中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線與軸，軸分別交于點，，求的面積（為坐標原點）；(2)求與曲線相切，并過點的直線方程.【解析】（1）∵，∴，又，∴在處的切線方程為：，即，∴可得，，∴；（2）設(shè)過點的直線與相切于點，由，∴，∴切線方程為：又切線過點，∴，解得：，∴所求切線方程為：，即.【例5】（2024屆江蘇省南通市高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測）已知函數(shù)的極小值為，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點.(1)求的解析式；(2)若曲線恰有三條過點的切線，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），因為，且的圖象經(jīng)過，兩點.所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以在處取得極小值，所以，又因為，，所以，，解方程組得，，，所以.（2）設(shè)切點為，則，因為，所以，所以切線方程為，將代入上式，得.因為曲線恰有三條過點的切線，所以方程有三個不同實數(shù)解.記，則導(dǎo)函數(shù)，令，得或1.列表：01+0-0+↗極大↘極小↗所以的極大值為，的極小值為，所以，解得.故的取值范圍是.【例6】（2023屆湖北省九校教研協(xié)作體高三上學(xué)期起點考試）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知,曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：（ⅰ）若,則；（ⅱ）若,則．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）【解析】（1）,當,；當,,故的減區(qū)間為,的增區(qū)間為.（2）（?。┮驗檫^有三條不同的切線,設(shè)切點為,故,故方程有3個不同的根,該方程可整理為,設(shè),則,當或時,；當時,,故在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),因為有3個不同的零點,故且,故且,整理得到：且,此時,設(shè),則,故為上的減函數(shù),故,故.（ⅱ）當時,同（?。┲杏懻摽傻茫汗试谏蠟闇p函數(shù),在上為增函數(shù),不妨設(shè),則,因為有3個不同的零點,故且,故且,整理得到：,因為,故,又,設(shè),,則方程即為：即為,記則為有三個不同的根,設(shè),,要證：,即證,即證：,即證：,即證：,而且,故,故,故即證：,即證：即證：,記,則,設(shè),則即,故在上為增函數(shù),故,所以,記,則,所以在為增函數(shù),故,故即,故原不等式得證：四、跟蹤檢測1．（2024屆福建省莆田哲理中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù)，.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)試討論函數(shù)的單調(diào)性.【解析】（1）因為，所以，則，切點為又因為所以，即所以曲線在點處的切線方程是，即.（2）因為，，所以，當時，，則在上單調(diào)遞減；當時，令，得，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增2．（2024屆四川省成都市蓉城聯(lián)盟高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)．(1)求過原點的切線方程；(2)證明：當時，對任意的正實數(shù)，都有不等式恒成立．【解析】（1）因為，，設(shè)切點為，所以切線斜率為，切線為，將點代入切線解得，故切線方程為；（2）令，，則原不等式即為，顯然，又，且，再令，則，當時，，，所以恒成立，當時，，所以當時，恒有，所以在區(qū)間上為增函數(shù)，即在區(qū)間上為增函數(shù)，因為當時，有，所以在上為增函數(shù)，所以，不等式恒成立．3．（2024屆遼寧省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知函數(shù)，．(1)若，，求a的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)，，若斜率為1的直線與曲線，都相切，求b的值．【解析】（1）解：由題意，，得，即在時有解．設(shè)，則，易知．令，則，所以單調(diào)遞增，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．所以，所以．（2）由題意得，所以，令，解得，，所以直線與的兩個切點坐標分別為，，所以切線方程分別為和．令，得，令，解得或．令，得，令，無解．經(jīng)檢驗，直線與的兩個切點坐標分別為，，綜上，或．4．（2024屆四川省成都市石室中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試）設(shè)．(1)證明：的圖象與直線有且只有一個橫坐標為的公共點，且；(2)求所有的實數(shù)，使得直線與函數(shù)的圖象相切；(3)設(shè)（其中由（1）給出），且，，求的最大值．【解析】（1）考慮函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，．因此有且只有使得，即的圖象與直線有且只有一個公共點，且該公共點的橫坐標為．（2），．設(shè)是的圖象上一點，則該點處的切線為，整理得．令，解得或．因此與與函數(shù)的圖象相切．因此所求實數(shù)的值為或．（3）設(shè)，則．設(shè)，則．當時，；當時，．因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．從而在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．注意到，故當時，當時，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以當時，．另一方面，注意到，故必然存在，使得，且當時，當時．因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．顯然，而．因此當時，．綜上可知當時，即，當且僅當時等號成立．由于，故當，即時，，當且僅當，即時等號成立．因此，當且僅當時等號成立．因此的最大值為．5．（2023屆河南省部分學(xué)校高三押題信息卷）已知函數(shù)．(1)求證：曲線僅有一條過原點的切線；(2)若時，關(guān)于的方程有唯一解，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）的定義域為，，設(shè)切點，則切線方程為，當切線過原點時有，即，故，因為，所以，即切點有且只有一個，則曲線僅有一條過原點的切線，即得證.（2）關(guān)于的方程有唯一解，即方程，有唯一解，令，則.因為，故當，即時，，函數(shù)單調(diào)遞增，且當時，，當時，.易知的圖象與直線有且僅有一個交點，滿足題意，此時；當，即時，設(shè)有兩個根，，則，，故.①若，則當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，且當時，，當時，.故要使得有唯一解，則或恒成立.此時，即，，.則極大值，令，則，故當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.所以，又恒成立，故，；同理，極小值，當時無最小值，此時無實數(shù)使得恒成立.②若，則，，不滿足；③若，由①可得；故當時，.綜上所述：當時，；當時，.6．（2023屆四川省成都市四七九名校高三全真模擬）已知函數(shù)在處的切線與y軸垂直.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）(1)求實數(shù)的值；(2)設(shè)，，當時，求證：函數(shù)在的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方.【解析】（1）由，求導(dǎo)可得，則在處切線斜率為，由在處的切線與軸垂直，則，解得.（2）要證：函數(shù)在的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方，只需證：在恒成立，不等式，由，，則，化簡為，令，求導(dǎo)可得，令，則，令，解得，最小值，由，則，所以在單調(diào)遞增，則，故在恒成立.7．（2024屆陜西省漢中市高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)．(1)若曲線在點處的切線方程為，求的值；(2)當時，求在上的最大值．【解析】（1）由，得，，又曲線在點處的切線方程為，故，．（2）當時，，由、在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減可得：在上單調(diào)遞增，而，，使得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，在上的最大值為．8．（2024屆西省贛州市第四中學(xué)高三上學(xué)期考試）設(shè)m為實數(shù)，函數(shù).(1)當時，直線是曲線的切線，求的最小值；(2)已函數(shù)有兩個不同的零點，（），若，且恒成立，求實數(shù)的范圍.【解析】（1）當時，，∴，設(shè)切點為，則切線斜率，∴切線方程為，∴，，∴，令，則，由，可得；由，可得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，即的最小值為；（2）∵有兩個不同的零點，（），∴，，，∴，∴，設(shè)，則，又，∴，將代入上式可得：恒成立，又，則，∴恒成立，設(shè)，，則，，（?。┊敃r，，∴，∴在上單調(diào)遞減，恒成立，∴；（ⅱ）當時，∵，∴時，，在上單調(diào)遞減；時，，在上單調(diào)遞增，∴時，，綜上可得.9．（2024屆湖北省武漢市江漢區(qū)高三上學(xué)期考試）已知，函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求證：存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．【解析】（1）的定義域是，，當時，恒成立，在單調(diào)遞增；當時，令，則，顯然成立，解得：，，當時，；當時，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是．（2），則，設(shè)切點坐標為．由直線與函數(shù)的圖象相切，則，解得：．顯然直線過原點，則，所以．整理得，即：，得：．設(shè)，．當時，，遞減，當時，，遞增．又，．所以存在，使得．存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．10．（2023屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期適應(yīng)性月考）已知函數(shù)在時取得極小值,其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)求實數(shù)、的值；(2)若曲線在點處的切線過原點,求實數(shù)的值.【解析】（1）解：因為,該函數(shù)的定義域為,則,由已知可得,解得.此時,,由可得,當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減,當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增,合乎題意.綜上,,.（2）解：曲線在點處的切線方程為,將原點坐標代入切線方程可得,即,解得.11.已知（e為自然對數(shù)的底數(shù),）.(1)對任意,證明：的圖象在點處的切線始終過定點；(2)若恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)因為,所以,,所以.所以的圖象在點處的切線為經(jīng)過定點.即的圖象在點處的切線始終過定點.(2)因為恒成立,即為對恒成立.記,只需..不妨設(shè).因為,所以在上單增,當時,；當時,,故在存在唯一零點,記.因為.令,解得：；令,解得：；所以在上單減,在上單增,所以.所以.而,所以,所以.當且僅當即時等號成立,即,所以.解得：,即實數(shù)a的取值范圍為.12.已知函數(shù)(1)若在時取得極小值,求實數(shù)k的值；(2)若過點可以作出函數(shù)的兩條切線,求證：【解析】(1)解：∴,∴當時,令,得∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以在時取得極小值,∴(2)證明：設(shè)切點為,∴切線為,又切線過點,∴∴,(*)設(shè)則∴在單詞遞減,在單調(diào)遞增.∵過點可作的兩條切線,∴方程(*)有兩解∴,由,得∴,即.13.已知函數(shù),.(1)若與在處有相同的切線,求實數(shù)的值；(2)當,時,求證：.【解析】(1),；,,解得：.(2)由題意得：,令,與在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,；令,則；令,則,在上單調(diào)遞增,,即,在上單調(diào)遞增,,.綜上所述：.14.已知函數(shù),其中.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若過點P(1,0)且與曲線相切的直線有且僅有兩條,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),．①當時,,f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增；②當時,,令可得,令可得,∴f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,+∞)上單調(diào)遞減；綜上所述,當時,f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增；當a<0時,f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,+∞)上單調(diào)遞減．(2)設(shè)切點為,m>0,則在點Q處的切線方程：,將P(1,0)的坐標代入得：,整理為：,令,x>0,若過點P(1,0)且與曲線)相切的直線有且僅有兩條,相當于函數(shù)y=g(x)的圖像和函數(shù)y=-a+1