專題10 切線問(wèn)題（解析版）

專題10切線問(wèn)題一、考情分析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn),用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線是一個(gè)主要命題點(diǎn),如2023年高考全國(guó)卷已卷在解答題中考查曲線的切線問(wèn)題,曲線的切線內(nèi)容主要涉及求曲線的斜率與方程、曲線的條數(shù)、公切線問(wèn)題,確定切線滿足條件的切線是否存在或由切線滿足條件求參數(shù)或參數(shù)范圍等.二、解題秘籍(一)求曲線在某點(diǎn)處的切線求以曲線上的點(diǎn)(x0,f(x0))為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化簡(jiǎn)．【例1】（2024屆陜西省榆林市府谷縣高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知函數(shù)（）．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性．【解析】（1）若，則，所以，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2），當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(二)求曲線過(guò)某點(diǎn)的切線求曲線過(guò)某點(diǎn)的切線,一般是設(shè)出切點(diǎn)(x0,y0),解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切點(diǎn)(x0,y0),進(jìn)而確定切線方程．【例2】（2024屆重慶市第一中學(xué)高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).(1)設(shè)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作函數(shù)圖像的切線，求切線的方程；(2)若函數(shù)有極大值，無(wú)最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，切線方程：，將點(diǎn)帶入得：，此時(shí)斜率，所以切線方程為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則（1）當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞增，注意到時(shí)，，注意到時(shí)，，故存在，使得，在時(shí)單調(diào)遞減，在時(shí)，單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無(wú)極大值，不符合題意.（2）當(dāng)時(shí)，令，令，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，若，則恒成立，在單調(diào)遞減，無(wú)極值和最值.若，即，此時(shí)存在，使得，且在有單調(diào)遞減；在有單調(diào)遞增，此時(shí)為的極大值.注意到時(shí)，要使無(wú)最大值，則還應(yīng)滿足，即，同時(shí)，帶入整理得.由于，且在單調(diào)遞減，故，即，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.(三)求曲線的切線條數(shù)求曲線切線的條數(shù)一般是設(shè)出切點(diǎn),由已知條件整理出關(guān)于t的方程,把切線條數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)問(wèn)題.【例3】（2024屆江蘇省南通市如東縣高三上學(xué)期期初學(xué)情檢測(cè)）已知是函數(shù)的極值點(diǎn).(1)求的極值；(2)證明：過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線.【解析】（1）因?yàn)?，所?因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，所以.即，易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值；當(dāng)時(shí)，取得極小值.（2）設(shè)切點(diǎn)，則切線方程是.代入得，整理得.設(shè)，則.易知在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，又因，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).又因?yàn)椋?，所以在上有且只有一個(gè)等點(diǎn).又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)；即有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，也即過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線.綜上可知，命題得證.(四)曲線的公切線研究曲線的公切線,一般是分別設(shè)出兩切點(diǎn),寫出兩切線方程,然后再使這兩個(gè)方程表示同一條直線.【例4】（2024屆湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù).(1)若.求證：；(2)若函數(shù)與函數(shù)存在兩條公切線，求整數(shù)的最小值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，令，則，令，因?yàn)椋栽趨^(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以存在，滿足，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；則當(dāng)時(shí)，取得最小值，可得，因?yàn)?，所以不成立，故等?hào)不成立，則，所以當(dāng)時(shí)，.（2）設(shè)公切線與兩函數(shù)的圖象分別相切于點(diǎn)和點(diǎn)，因?yàn)?，所以直線的方程可表示為或，則有，①，②由①可得，代入②可得，即，令，則，令，則，，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，根據(jù)零點(diǎn)存在定理知，存在，使得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，則，又為整數(shù)，所以，故所求整數(shù)的最小值是.(五)確定滿足條件的切線是否存在或根據(jù)切線滿足條件求參數(shù)的值或范圍此類問(wèn)題或判斷符合條件的切線是否存在,或根據(jù)切線滿足條件求參數(shù)的值或范圍,求解思路是把切線滿足條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率或切點(diǎn)的方程或函數(shù),再根據(jù)方程根的情況或函數(shù)性質(zhì)去求解.【例5】已知函數(shù),(1)若直線與曲線和分別交于兩點(diǎn)且曲線在處的切線與在處的切線相互平行,求的取值范圍；(2)設(shè)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)且.已知,若不等式恒成立,求的取值范圍.【解析】(1),,,；在處的切線與在處的切線相互平行,,即在上有解,則問(wèn)題等價(jià)于與在上有交點(diǎn),當(dāng)直線與相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為,,,解得：,；由圖象可知：當(dāng),即時(shí),與在上有交點(diǎn),實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2),；是的兩個(gè)極值點(diǎn),,,；,,則由得：,,即,；令,則；令,則；①當(dāng)時(shí),恒成立,在上單調(diào)遞增,,即恒成立,滿足題意；②當(dāng)時(shí),若,則,在上單調(diào)遞減,此時(shí),即,不合題意；綜上所述：若不等式恒成立,則,又,,即的取值范圍為.三、典例展示【例1】（2024屆河南省新未來(lái)高三上學(xué)9月聯(lián)考）已知函數(shù).(1)若的圖緣在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求；(2)為的極值點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，于是函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即，而切線過(guò)點(diǎn)，因此，整理得，解得或，所以或.（2）由（1）知，方程，即有兩個(gè)不等實(shí)根，則，解得，且，于是，由，得，解得，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【例2】（2022高考全國(guó)卷甲文）已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．（1）若,求a；（2）求a的取值范圍．【解析】（1）由題意知,,,,則在點(diǎn)處的切線方程為,即,設(shè)該切線與切于點(diǎn),,則,解得,則,解得.（2）因?yàn)?所以在點(diǎn)處的切線方程為,整理得,設(shè)該切線與切于點(diǎn),,則,則切線方程為,整理得,則,整理得,（另法：求出在點(diǎn)處的切線方程后代入解析式,用求解）令,則,令,解得或,令,解得或,則變化時(shí),的變化情況如下表：01000則的值域?yàn)?故的取值范圍為.【例3】（2024屆四川省成都市第七中學(xué)高三上學(xué)期入學(xué)考試）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)（）.(1)求a的取值范圍；(2)過(guò)點(diǎn)與分別作的切線，兩切線交于M點(diǎn)，求M點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離.【解析】（1）由得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由題意只需使在有兩個(gè)異號(hào)根即可，所以，解得；綜上，.（2）當(dāng)時(shí)，.又，故，.又知當(dāng)時(shí)，有，所以，即，故.又，所以在處的切線方程為，所以在處的切線方程為，聯(lián)立整理得兩直線交點(diǎn)橫坐標(biāo).故M點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離0.【例4】（2024屆黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸，軸分別交于點(diǎn)，，求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；(2)求與曲線相切，并過(guò)點(diǎn)的直線方程.【解析】（1）∵，∴，又，∴在處的切線方程為：，即，∴可得，，∴；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)，由，∴，∴切線方程為：又切線過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴所求切線方程為：，即.【例5】（2024屆江蘇省南通市高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知函數(shù)的極小值為，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).(1)求的解析式；(2)若曲線恰有三條過(guò)點(diǎn)的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1），因?yàn)?，且的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以在處取得極小值，所以，又因?yàn)?，，所以，，解方程組得，，，所以.（2）設(shè)切點(diǎn)為，則，因?yàn)?，所以，所以切線方程為，將代入上式，得.因?yàn)榍€恰有三條過(guò)點(diǎn)的切線，所以方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解.記，則導(dǎo)函數(shù)，令，得或1.列表：01+0-0+↗極大↘極小↗所以的極大值為，的極小值為，所以，解得.故的取值范圍是.【例6】（2023屆湖北省九校教研協(xié)作體高三上學(xué)期起點(diǎn)考試）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知,曲線上不同的三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)．證明：（?。┤?則；（ⅱ）若,則．（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【解析】（1）,當(dāng),；當(dāng),,故的減區(qū)間為,的增區(qū)間為.（2）（?。┮?yàn)檫^(guò)有三條不同的切線,設(shè)切點(diǎn)為,故,故方程有3個(gè)不同的根,該方程可整理為,設(shè),則,當(dāng)或時(shí),；當(dāng)時(shí),,故在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn),故且,故且,整理得到：且,此時(shí),設(shè),則,故為上的減函數(shù),故,故.（ⅱ）當(dāng)時(shí),同（?。┲杏懻摽傻茫汗试谏蠟闇p函數(shù),在上為增函數(shù),不妨設(shè),則,因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn),故且,故且,整理得到：,因?yàn)?故,又,設(shè),,則方程即為：即為,記則為有三個(gè)不同的根,設(shè),,要證：,即證,即證：,即證：,即證：,而且,故,故,故即證：,即證：即證：,記,則,設(shè),則即,故在上為增函數(shù),故,所以,記,則,所以在為增函數(shù),故,故即,故原不等式得證：四、跟蹤檢測(cè)1．（2024屆福建省莆田哲理中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)試討論函數(shù)的單調(diào)性.【解析】（1）因?yàn)?，所以，則，切點(diǎn)為又因?yàn)樗?，即所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即.（2）因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增2．（2024屆四川省成都市蓉城聯(lián)盟高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)．(1)求過(guò)原點(diǎn)的切線方程；(2)證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，都有不等式恒成立．【解析】（1）因?yàn)?，，設(shè)切點(diǎn)為，所以切線斜率為，切線為，將點(diǎn)代入切線解得，故切線方程為；（2）令，，則原不等式即為，顯然，又，且，再令，則，當(dāng)時(shí)，，，所以恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，恒有，所以在區(qū)間上為增函數(shù)，即在區(qū)間上為增函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，所以在上為增函數(shù)，所以，不等式恒成立．3．（2024屆遼寧省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知函數(shù)，．(1)若，，求a的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)，，若斜率為1的直線與曲線，都相切，求b的值．【解析】（1）解：由題意，，得，即在時(shí)有解．設(shè)，則，易知．令，則，所以單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以，所以．（2）由題意得，所以，令，解得，，所以直線與的兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，所以切線方程分別為和．令，得，令，解得或．令，得，令，無(wú)解．經(jīng)檢驗(yàn)，直線與的兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，綜上，或．4．（2024屆四川省成都市石室中學(xué)高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試）設(shè)．(1)證明：的圖象與直線有且只有一個(gè)橫坐標(biāo)為的公共點(diǎn)，且；(2)求所有的實(shí)數(shù)，使得直線與函數(shù)的圖象相切；(3)設(shè)（其中由（1）給出），且，，求的最大值．【解析】（1）考慮函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，．因此有且只有使得，即的圖象與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且該公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（2），．設(shè)是的圖象上一點(diǎn)，則該點(diǎn)處的切線為，整理得．令，解得或．因此與與函數(shù)的圖象相切．因此所求實(shí)數(shù)的值為或．（3）設(shè)，則．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．從而在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．注意到，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，．另一方面，注意到，故必然存在，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)．因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．顯然，而．因此當(dāng)時(shí)，．綜上可知當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．由于，故當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．因此的最大值為．5．（2023屆河南省部分學(xué)校高三押題信息卷）已知函數(shù)．(1)求證：曲線僅有一條過(guò)原點(diǎn)的切線；(2)若時(shí)，關(guān)于的方程有唯一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）的定義域?yàn)?，，設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，當(dāng)切線過(guò)原點(diǎn)時(shí)有，即，故，因?yàn)椋?，即切點(diǎn)有且只有一個(gè)，則曲線僅有一條過(guò)原點(diǎn)的切線，即得證.（2）關(guān)于的方程有唯一解，即方程，有唯一解，令，則.因?yàn)?，故?dāng)，即時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.易知的圖象與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，此時(shí)；當(dāng)，即時(shí)，設(shè)有兩個(gè)根，，則，，故.①若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故要使得有唯一解，則或恒成立.此時(shí)，即，，.則極大值，令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以，又恒成立，故，；同理，極小值，當(dāng)時(shí)無(wú)最小值，此時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)使得恒成立.②若，則，，不滿足；③若，由①可得；故當(dāng)時(shí)，.綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.6．（2023屆四川省成都市四七九名校高三全真模擬）已知函數(shù)在處的切線與y軸垂直.（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)設(shè)，，當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)在的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方.【解析】（1）由，求導(dǎo)可得，則在處切線斜率為，由在處的切線與軸垂直，則，解得.（2）要證：函數(shù)在的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方，只需證：在恒成立，不等式，由，，則，化簡(jiǎn)為，令，求導(dǎo)可得，令，則，令，解得，最小值，由，則，所以在單調(diào)遞增，則，故在恒成立.7．（2024屆陜西省漢中市高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求在上的最大值．【解析】（1）由，得，，又曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故，．（2）當(dāng)時(shí)，，由、在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減可得：在上單調(diào)遞增，而，，使得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，在上的最大值為．8．（2024屆西省贛州市第四中學(xué)高三上學(xué)期考試）設(shè)m為實(shí)數(shù)，函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，直線是曲線的切線，求的最小值；(2)已函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，（），若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率，∴切線方程為，∴，，∴，令，則，由，可得；由，可得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，即的最小值為；（2）∵有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，（），∴，，，∴，∴，設(shè)，則，又，∴，將代入上式可得：恒成立，又，則，∴恒成立，設(shè)，，則，，（?。┊?dāng)時(shí)，，∴，∴在上單調(diào)遞減，恒成立，∴；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，∵，∴時(shí)，，在上單調(diào)遞減；時(shí)，，在上單調(diào)遞增，∴時(shí)，，綜上可得.9．（2024屆湖北省武漢市江漢區(qū)高三上學(xué)期考試）已知，函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求證：存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．【解析】（1）的定義域是，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，則，顯然成立，解得：，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是．（2），則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為．由直線與函數(shù)的圖象相切，則，解得：．顯然直線過(guò)原點(diǎn)，則，所以．整理得，即：，得：．設(shè)，．當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增．又，．所以存在，使得．存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．10．（2023屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期適應(yīng)性月考）已知函數(shù)在時(shí)取得極小值,其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)求實(shí)數(shù)、的值；(2)若曲線在點(diǎn)處的切線過(guò)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值.【解析】（1）解：因?yàn)?該函數(shù)的定義域?yàn)?則,由已知可得,解得.此時(shí),,由可得,當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,合乎題意.綜上,,.（2）解：曲線在點(diǎn)處的切線方程為,將原點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程可得,即,解得.11.已知（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),）.(1)對(duì)任意,證明：的圖象在點(diǎn)處的切線始終過(guò)定點(diǎn)；(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)?所以,,所以.所以的圖象在點(diǎn)處的切線為經(jīng)過(guò)定點(diǎn).即的圖象在點(diǎn)處的切線始終過(guò)定點(diǎn).(2)因?yàn)楹愠闪?即為對(duì)恒成立.記,只需..不妨設(shè).因?yàn)?所以在上單增,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,故在存在唯一零點(diǎn),記.因?yàn)?令,解得：；令,解得：；所以在上單減,在上單增,所以.所以.而,所以,所以.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,即,所以.解得：,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.12.已知函數(shù)(1)若在時(shí)取得極小值,求實(shí)數(shù)k的值；(2)若過(guò)點(diǎn)可以作出函數(shù)的兩條切線,求證：【解析】(1)解：∴,∴當(dāng)時(shí),令,得∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以在時(shí)取得極小值,∴(2)證明：設(shè)切點(diǎn)為,∴切線為,又切線過(guò)點(diǎn),∴∴,(*)設(shè)則∴在單詞遞減,在單調(diào)遞增.∵過(guò)點(diǎn)可作的兩條切線,∴方程(*)有兩解∴,由,得∴,即.13.已知函數(shù),.(1)若與在處有相同的切線,求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng),時(shí),求證：.【解析】(1),；,,解得：.(2)由題意得：,令,與在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,；令,則；令,則,在上單調(diào)遞增,,即,在上單調(diào)遞增,,.綜上所述：.14.已知函數(shù),其中.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若過(guò)點(diǎn)P(1,0)且與曲線相切的直線有且僅有兩條,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),．①當(dāng)時(shí),,f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí),,令可得,令可得,∴f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,+∞)上單調(diào)遞減；綜上所述,當(dāng)時(shí),f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí),f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,+∞)上單調(diào)遞減．(2)設(shè)切點(diǎn)為,m>0,則在點(diǎn)Q處的切線方程：,將P(1,0)的坐標(biāo)代入得：,整理為：,令,x>0,若過(guò)點(diǎn)P(1,0)且與曲線)相切的直線有且僅有兩條,相當(dāng)于函數(shù)y=g(x)的圖像和函數(shù)y=-a+1