專題11 函數(shù)中的同構(gòu)問題（解析版）

專題11函數(shù)中的同構(gòu)問題一、考情分析近年來同構(gòu)函數(shù)頻頻出現(xiàn)在模擬試卷導(dǎo)數(shù)解答題中，高考真題中也出現(xiàn)過同構(gòu)函數(shù)的身影，同構(gòu)法是將不同的式子通過變形，轉(zhuǎn)化為形式結(jié)構(gòu)相同或者相近的式子，通過整體思想或換元等將問題轉(zhuǎn)化的方法，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．此方法常用于求解具有對數(shù)、指數(shù)等混合式子結(jié)構(gòu)的等式、不等式問題中，或利用函數(shù)單調(diào)性定義確定函數(shù)單調(diào)性，利用此方法求解某些導(dǎo)數(shù)壓軸題往往能起到秒殺效果.二、解題秘籍(一)同構(gòu)函數(shù)揭秘同構(gòu)式是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式，導(dǎo)數(shù)中同構(gòu)函數(shù)問題大多屬于指對跨階問題，比如與屬于“跨階函數(shù)”，而屬于“跳階函數(shù)”，對于指對跳階的函數(shù)問題，直接求解，一般是通過隱零點代換來簡化，并且有很大局限性，有些題若采用指對跨階函數(shù)進(jìn)行同構(gòu)，可將跳階函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為跨階函數(shù)問題，從而使計算降階，通常構(gòu)造的同構(gòu)函數(shù)有以下幾類：，等，在一些求參數(shù)的取值范圍、零點個數(shù)、不等式證明、雙變量問題中，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)零點個數(shù)等問題中常通過構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)求解.利用同構(gòu)函數(shù)解題要注意一些常見的湊形技巧，如；等.【例1】（2024屆陜西省西安市部分學(xué)校高三上學(xué)期考試）已知函數(shù).(1)當(dāng)，求的極值；(2)若恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，，則，所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，當(dāng)時取得極大值，，故的極大值為，無極小值.（2）由，可得，則，即.令，則，因為在上單調(diào)遞增，所以，則.令，則，在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，即，所以，則的取值范圍為.【例2】（2024屆重慶市南開中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測）已知函數(shù)在處的切線和直線垂直.(1)求實數(shù)的值；(2)若對任意的，，都有成立（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)m的取值范圍.【解析】（1）由函數(shù)，可得，可得因為函數(shù)在處的切線l和直線垂直，所以，即，解得.（2）解：不妨設(shè)，則，因為對任意的，，都有成立，可得，即，設(shè)，則，故在單調(diào)遞增，從而有，即在上恒成立，設(shè)，則，因為，令，即，解得，令，即，解得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因為，故在上最小值，所以，實數(shù)的取值范圍是.(二)型同構(gòu)【例3】（2023屆吉林省長春外國語學(xué)校高三上學(xué)期考試）已知函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)當(dāng)時，求的極值點；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，,則.當(dāng)時，，此時函數(shù)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)遞增，所以極小值點為，無極大值點.（2）求導(dǎo)①當(dāng)時，，在上遞增②當(dāng)時，當(dāng)時，，在上遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)在上遞增.（3）等價于有兩個零點，令，則在時恒成立，所以在時單調(diào)遞增，故，所以有兩個零點，等價于有兩個零點.因為，①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點，不符合題意舍去，②當(dāng)時，令，得，單調(diào)遞增，令，得，單調(diào)遞減，所以.若，得，此時恒成立，沒有零點；若，得，此時有一個零點.若，得，因為，，，所以在，上各存在一個零點，符合題意，綜上，的取值范圍為.(三)型同構(gòu)【例4】（2023屆福建省寧德市博雅培文學(xué)校高三高考前最后一卷）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的零點的個數(shù)﹔(2)當(dāng)時，若對任意，恒有，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）令則，記，則，當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取極大值也是最大值，又，而當(dāng)時，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出的圖象如下：

因此當(dāng)時，即，無交點，此時無零點，當(dāng)或時，即或，有一個交點，此時有一個零點，當(dāng)時，即，有兩個交點，此時有2個零點，綜上可知：當(dāng)時，無零點，當(dāng)或有一個零點，當(dāng)，有2個零點，（2）當(dāng)時，若對任意，恒有等價于：對任意，恒有，令，則不等式等價于，由于，令，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以，故在單調(diào)遞增，由得對任意恒成立，兩邊取對數(shù)得對任意恒成立，故，所以故的范圍為(四)型同構(gòu)【例5】（2024屆福建省漳州市高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）依題意，得.當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增.當(dāng)時，令，可得；令，可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）因為當(dāng)時，，所以，即，即，即.令，則有對恒成立.因為，所以在單調(diào)遞增，

故只需，即對恒成立.令，則，令，得.當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以.因此，所以.(五)型同構(gòu)【例6】已知，，．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時，求證：．【解析】(1)，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，故函數(shù)不存在極值；當(dāng)時，令，得，x+0-增函數(shù)極大值減函數(shù)故，無極小值.綜上，當(dāng)時，函數(shù)不存在極值；當(dāng)時，函數(shù)有極大值，，不存在極小值．(2)顯然，要證：，即證：，即證：，即證：．令，故只須證：．設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，所以，從而有．故，即．三、典例展示【例1】（2024屆江蘇省徐州市邳州市新世紀(jì)學(xué)校高三上學(xué)期月考）已知函數(shù)．(1)若，求的最小值；(2)若方程有解，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，，，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，且，所以時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以；（2）即，即，設(shè)，則，，設(shè)，則，所以時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以，即，在上單調(diào)遞增，所以方程有解即在上有解，有解，即有解，設(shè)，則，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，，所以，即實數(shù)a的取值范圍是．【例2】（2024屆安徽省六校教育研究會高三上學(xué)期素質(zhì)測試）已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為，所以，當(dāng)時，，所以在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令得；令得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞減，無增區(qū)間；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由題意有兩個零點，令，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，所以有兩個零點等價于有兩個零點，等價于有兩個不同的實數(shù)解，等價于與有兩個交點，則，得，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)t趨向于0且為正時，趨向于負(fù)無窮大，當(dāng)t趨向于正無窮大時，趨向于0，如圖：

由圖可知，要使與有兩個交點，則，所以實數(shù)的取值范圍為.【例3】（2024屆重慶市渝北中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)若任意、且，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，，其中，則，令，解得或，又因為，所以，列表如下：20單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因此有極小值，無極大值.（2）解：因為，，所以，其中，對、且，不妨設(shè)，則，得到，化為，設(shè)且函數(shù)的定義域為，所以在為增函數(shù)，即有對恒成立，即對任意的恒成立，設(shè)，其中，則，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以最大值，因此實數(shù)的取值范圍是．【例4】已知(1)當(dāng)時，求的單調(diào)性；(2)討論的零點個數(shù)．【解析】(1)解：因為，，所以，令，，所以在單增，且，當(dāng)時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增(2)解：因為令，易知在上單調(diào)遞增，且，故的零點轉(zhuǎn)化為即，，設(shè)，則，當(dāng)時，無零點；當(dāng)時，，故為上的增函數(shù)，而，，故在上有且只有一個零點；當(dāng)時，若，則；，則；故，若，則，故在上有且只有一個零點；若，則，故在上無零點；若，則，此時，而，，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，故此時在上有且只有兩個不同的零點；綜上：當(dāng)時，0個零點；當(dāng)或時，1個零點；時，2個零點；【例5】已知函數(shù).(1)當(dāng)時，若曲線與直線相切于點，求點的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時，證明：；(3)若對任意，不等式恒成立，請直接寫出的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)時，.設(shè)，則切線斜率.由切點性質(zhì)，得，解得.所以點的坐標(biāo).(2)當(dāng)時，，其中，則，令，其中，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)變化時，變化情況如下表：10單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由上表可知，.所以.(3)顯然，在上恒成立，即恒成立即恒成立，所以恒成立，構(gòu)造函數(shù)，易知在上是增函數(shù)，所以恒成立，即，令，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍.【例6】已知函數(shù)(1)請討論函數(shù)的單調(diào)性(2)當(dāng)時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍【解析】(1)當(dāng)時，在上遞增當(dāng)時，在，單調(diào)遞減在上，單調(diào)遞增(2)原式等價于設(shè)，由（1）當(dāng)時，為增函數(shù)，，∴等式等價于恒成立，時，成立，時，，設(shè)，，，設(shè)，所以在上為增函數(shù)，又因為，所以在上，，，為減函數(shù)，在上，，，為增函數(shù)，，．四、跟蹤檢測1.（2023屆廣東省深圳市光明區(qū)高三二模）已知函數(shù)的圖象在處的切線經(jīng)過點.(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求正實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的定義域是，.所以在點處的切線方程為，切線經(jīng)過點，則.，設(shè)，是的極小值點，且，因此在恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間.（2）在區(qū)間上恒成立，即，令，則，即.由（1），只需要，也就是在區(qū)間上恒成立.設(shè)，.，故是的最大值，所求的取值范圍是.2.（2023屆海南省?？谑旋埲A區(qū)海南華僑中學(xué)高三一模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知，若存在，不等式成立，求實數(shù)的最大值.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，所以，∴令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又∵，∴當(dāng)時，，∴，∴函數(shù)在，上單調(diào)遞減.（2）∵，且，，∴，∴，∴，∴.∵，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴只需在上能成立，∴兩邊同時取自然對數(shù)，得，即在上能成立.令，則，∵當(dāng)時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，∴，又，∴，∴實數(shù)的最大值為.3．（2024屆山東省部分學(xué)校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）定義域為，，①當(dāng)時，令，得，此時單調(diào)遞增，令，得，此時單調(diào)遞減；②當(dāng)時，令，得，此時單調(diào)遞增，令，得，此時單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）記，由（1）知，當(dāng)時，，則，則，當(dāng)時，恒成立，即對恒成立，即對恒成立，則，即對恒成立，令，對恒成立，則在單調(diào)遞增，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為.4．已知函數(shù)，.(1)求在處的切線方程；(2)求證：.(3)當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)因為，則，，，所以，在處的切線方程為.(2)要證明，即證：，即證：，（*）設(shè)，則，所以，在內(nèi)單調(diào)遞減，故，所以，當(dāng)時，，所以要證（*）成立，只需證，設(shè)，則，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，則，則，即，故成立，所以原命題得證.(3)由題得在上恒成立，即，恒成立，因為，①若，，在上單調(diào)遞增，，符合題意；②若，令，，則，所以在單調(diào)遞增，且，（i）若，，在上單調(diào)遞增，，符合題意；（ii）若，，當(dāng)時，，則，取，則，則存在，使得當(dāng)時，，單調(diào)遞減，此時，不合題意；綜上，.5.已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(2)若在恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)時設(shè)，則即在遞減，在遞增，當(dāng)，當(dāng)而當(dāng)所以當(dāng)遞減；遞增.故函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為(2)，令在遞增，而，，使，即當(dāng)時，在遞減，當(dāng)時，在遞增因為可變形為又在遞增，由（**）可得故取值范圍為6．已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實數(shù)a，使對恒成立，若存在，求出a的值或取值范圍；若不存在，請說明理由.【解析】(1)因為，所以，即.當(dāng)時，，令，則，所以在單調(diào)遞增，因為，所以，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)設(shè)，，易知在單調(diào)遞增.又當(dāng)時，，所以的值域為；當(dāng)時，的值域為.所以的值域為.故對于上任意一個值，都有唯一的一個正數(shù)，使得.因為，即.設(shè)，，所以要使，只需.當(dāng)時，因為，即，所以不符合題意.當(dāng)時，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增.所以.設(shè)，，則，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減.所以，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.又因為，所以，所以.綜上，存在a符合題意，.7．已知函數(shù)．(1)若在上僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若對任意的，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)，，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增．又，，所以此時在上僅有一個零點，符合題意；當(dāng)時，令，解得；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減．要使在上僅有一個零點，則必有，解得．綜上，當(dāng)或時，在上僅有一個零點．(2)因為，所以對任意的，恒成立，等價于在上恒成立．令，則只需即可，則，再令，則，所以在上單調(diào)遞增．因為，，所以有唯一的零點，且，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因為，所以，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．因為，所以，即．所以，則有．所以實數(shù)a的取值范圍為．8．已知函數(shù)，其圖象在處的切線過點．(1)求a的值；(2)討論的單調(diào)性；(3)若，關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．【解析】(1)因為函數(shù)，所以，，則，所以函在處的切線方程為，又因為切線過點，所以，即，解得；(2)由（1）知；，則，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以即當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞增；(3)因為x的不等式在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，因為在上遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最大值，所以.9．已知函數(shù)，（），其中e是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時，（?。┣笤邳c處的切線方程；（ⅱ）求的最小值；(2)討論函數(shù)的零點個數(shù)；(3)若存在，使得成立，求a的取值范圍【解析】(1)當(dāng)時，，.（?。?，∴切線方程為.（ⅱ），令，得，∴當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴.(2)∵（），令得，，當(dāng)時，，無零點，當(dāng)時，令，則，令，得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，當(dāng)，即時，，函數(shù)在上無零點，當(dāng)，即時，，函數(shù)在上有唯一零點，當(dāng)，即時，，又，，∴函數(shù)在，上各有一個零點，綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上無零點，當(dāng)時，函數(shù)在上有唯一零點，當(dāng)時，函數(shù)在上有兩個零點.(3)由得，，∴，即