第13講 第三章 圓錐曲線的方程 章節(jié)驗(yàn)收測(cè)評(píng)卷（綜合卷）（解析版）

第三章圓錐曲線的方程章節(jié)驗(yàn)收測(cè)評(píng)卷(綜合卷）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（2023春·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若到直線的距離為7，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【詳解】由拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，如圖，因?yàn)辄c(diǎn)在上，且到直線的距離為，可得到直線的距離為，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以.故選：B2．（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)殡p曲線，所以，，所以，的離心率，故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.3．（2023春·河北石家莊·高二石家莊一中?？茧A段練習(xí)）若將如圖所示大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，此雙曲線一條漸近線為，下焦點(diǎn)到下頂點(diǎn)距離為1，則該雙曲線方程為（

）

A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意可得，又，則，即該雙曲線方程為．故選：A．4．（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過且與的右支相交于A，B兩點(diǎn)，若，則的周長為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【詳解】雙曲線的實(shí)半軸長，由雙曲線的定義，可得所以，則三角形的周長為.故選：B5．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）若將一個(gè)橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90°，所得橢圓短軸兩頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點(diǎn)，這樣的橢圓稱為“對(duì)偶橢圓”．下列橢圓中是“對(duì)偶橢圓”的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)樗脵E圓短軸兩頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點(diǎn)，所以，即，A．，則，故錯(cuò)誤；B．，則，故錯(cuò)誤；C．，則，故正確；D．，則，故錯(cuò)誤；故選：C6．（2023春·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，過作的垂線，垂足為，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（

）A． B．3 C． D．4【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，即，，，又∵，?

故選：A.7．（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，為雙曲線右支上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】圓，圓心，半徑，因?yàn)橹本€過圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，所以，又雙曲線，則，，右焦點(diǎn)為，所以，又，即，所以，當(dāng)點(diǎn)在右頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，即，所以的最小值為，故選：D.

8．（2023春·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線（，）的離心率，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上異于的動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率分別為，，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，在雙曲線（，）中，離心率，∵，解得：，∴，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上異于的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，∴，解得：，∵直線的斜率分別為，，且，∴，∴故選：B.

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線：，則（

）A．當(dāng)時(shí)，是雙曲線，其漸近線方程為B．當(dāng)時(shí)，是橢圓，其離心率為C．當(dāng)時(shí)，是圓，其圓心為，半徑為D．當(dāng)，時(shí)，是兩條直線【答案】AC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，或，當(dāng)時(shí)，原方程可化為，所以是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其漸近線方程為，當(dāng)時(shí)，原方程可化為，所以是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其漸近線方程為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，原方程可化為，所以是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，原方程可化為，所以是圓，其圓心為，半徑為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若，時(shí)，原方程可化為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是兩條直線，當(dāng)時(shí)，上面方程無解，此時(shí)不表示任何圖形，故D錯(cuò)誤．故選：AC．10．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在準(zhǔn)線上，過點(diǎn)F作PF的垂線且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．最小值為2 B．若，則C．若，則 D．若點(diǎn)P不在x軸上，則【答案】ABC【詳解】點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，所以點(diǎn)P在橫軸上時(shí)有最小值2，所以選項(xiàng)A正確；若，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)P在橫軸上，把代入中，得，，此時(shí)，于是有，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)椋@然點(diǎn)P不在橫軸上，則有，所以直線的方程為代入拋物線方程中，得，設(shè)，，，所以選項(xiàng)C正確，點(diǎn)P不在x軸上，由上可知：，，，而，顯然，所以選項(xiàng)D不正確，故選：ABC11．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)校考三模）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線的反向延長線過；當(dāng)異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．射線所在直線的斜率為，則B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，光線由到再到所經(jīng)過的路程為13D．若點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與相切，則【答案】ABD【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的方程為，所以，漸近線方程為，選項(xiàng)A，因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即A正確；選項(xiàng)B，由雙曲線的定義知，，若，則，因?yàn)椋?，解得，即B正確；選項(xiàng)C：，即C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因?yàn)槠椒郑山欠志€定理知，，所以，又，所以，解得，即D正確.故選：ABD.12．（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，AP，AQ分別交拋物線于，N兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．焦點(diǎn)坐標(biāo)為 B．向量與的數(shù)量積為5C．直線MN的斜率為 D．若直線PQ過焦點(diǎn)，則OF平分【答案】BCD【詳解】

對(duì)于A項(xiàng)，由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點(diǎn)，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，可設(shè)直線AP方程為：，設(shè)，與拋物線聯(lián)立可得∴，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，可設(shè)直線QP方程為：，設(shè)，∴，直線QP方程與拋物線方程聯(lián)立，化簡可得，又由上可知，同理有，∴，，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，由上設(shè)直線QP方程為：，，聯(lián)立拋物線有，若PQ過焦點(diǎn)F，則有，即結(jié)合上，及可知，此時(shí)，即直線AP、QA關(guān)于橫軸對(duì)稱，OF平分，故D正確.故選：BCD三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2023春·上海青浦·高二統(tǒng)考期末）若雙曲線的一條漸近線與直線平行，則．【答案】【詳解】雙曲線的漸近線為，又因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線平行，所以.故答案為：.14．（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，那么在C上滿足的點(diǎn)有個(gè)．【答案】2【詳解】不妨設(shè)，，，則，所以軌跡方程為，軌跡為以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，而橢圓中，，故的軌跡與橢圓交于短軸頂點(diǎn)，所以在C上滿足的點(diǎn)有2個(gè).故答案為：215．（2023·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N，若，則【答案】4【詳解】易知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，如圖，作于，于，，可知線段BM平行于AF和DN，因?yàn)?，，，所以，又由定義知，所以.

故答案為：4.16．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）“工藝折紙”起源于中國，它不僅是一種把紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，也是一種有益身心、開發(fā)智力的思維活動(dòng).折紙憑借著折疊時(shí)產(chǎn)生的幾何形的連續(xù)變化而形成物象，這中間蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)、幾何、測(cè)繪、造型等多學(xué)科、綜合學(xué)問的運(yùn)用.為了讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)，某學(xué)校開設(shè)了“折紙與數(shù)學(xué)”校本課，課上讓每位學(xué)生準(zhǔn)備一張半徑為8的圓形紙片，按如下步驟進(jìn)行折紙、觀察和測(cè)繪.步驟1：在圓內(nèi)取一點(diǎn)，使得到圓心的距離為6（如圖）；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好經(jīng)過點(diǎn)；步驟3：把紙片展開，留下一道折痕；步驟4：不停重復(fù)步驟2和步驟3，得到越來越多的折痕.過作其中一道折痕的垂線，垂足為，則；經(jīng)觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓面上的所有折痕圍成了一條優(yōu)美的曲線，若以所在直線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則的方程為.

【答案】50【詳解】如圖以E為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)，F(xiàn)在圓上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則，；

連接交折痕于P，連接PF，由折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)橢圓的定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓，長軸為8，焦距為6，所以C的方程為：.

故答案為：50；四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，已知焦距為8，離心率為2，(1)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸和虛軸長及漸近線方程.【答案】(1)(2)答案見詳解【詳解】（1）由題知，，解得，所以，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由（1）知，雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，實(shí)軸長，虛軸長，漸近線方程為，即.18．（2023春·海南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知拋物線：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求的方程；(2)直線：與交于A，B兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)7【詳解】（1）由拋物線的定義可得，所以，所以拋物線的方程為．（2）設(shè)，．聯(lián)立方程組得消去得，由，得．所以，．所以，解得或（舍去）．故實(shí)數(shù)的值為7．19．（2023春·河南鄭州·高二河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）已知橢圓，離心率，過點(diǎn)．(1)求的方程；(2)直線過點(diǎn)，交橢圓與兩點(diǎn)，記，證明．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題得，解得，于是；（2）由題意知直線斜率存在，設(shè)直線，聯(lián)立方程即，消可得，由，設(shè)，韋達(dá)定理可得；綜上所述：.20．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線.四個(gè)點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且，求原點(diǎn)到直線的距離.【答案】(1)(2).【詳解】（1）由雙曲線性質(zhì)可知，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以一定在雙曲線上，根據(jù)雙曲線在第一象限圖象而和坐標(biāo)的數(shù)中，，但，所以點(diǎn)不在雙曲線上，即在雙曲線上.解得雙曲線的方程為（2）直線的方程為，設(shè)，由消去得所以.由，可得，即所以，可化為即則即到的距離.

21．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1，的軌跡為.(1)求曲線的方程；(2)已知點(diǎn)，分別為曲線上的第一象限和第四象限的點(diǎn)，且，求與面積之和的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知得，，化簡得：，故曲線的方程為.（2）如圖：

因?yàn)辄c(diǎn)，分別為曲線上的第一象限和第四象限的點(diǎn)，所以當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，不適合題意；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得，，，所以，由，得，因?yàn)椋?，所以，所以，解得：或（舍去），?dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過定點(diǎn)，且滿足，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故最小值為.22．（2023·上海嘉定·校考三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為和的下頂點(diǎn)為A，直線，點(diǎn)在上.(1)若，線段的中點(diǎn)在軸