江蘇省揚(yáng)州市樹人高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

揚(yáng)州市樹人高級(jí)中學(xué)2024—2025—1高二年級(jí)第一次階段檢測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試卷考試時(shí)間120分鐘.試卷滿分為150分，2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的班級(jí)?姓名?準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置.3.答題時(shí)請(qǐng)用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡指定區(qū)域作答，在試卷或草稿紙上作答一律無效.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為（）A.B.C.D.2.兩條平行直線與之間的距離（）A.B.C.D.73.設(shè)直線，則是的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件4.若直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A.B.C.D.5.“太極圖”因其形狀如對(duì)稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點(diǎn)是陰影部分（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.B.C.D.6.若第一象限內(nèi)的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，則的最小值是（）A.25B.C.17D.7.已知直線上存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)可作兩條直線與圓：分別切于點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.8.已知，點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在平面直角坐標(biāo)系中，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A.每一條直線都有點(diǎn)斜式和斜截式方程B.傾斜角是鈍角的直線，斜率為負(fù)數(shù)C.方程與方程表示同一條直線D.直線過點(diǎn)，傾斜角為，則其方程為10.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角的取值范圍為B.“”是“點(diǎn)到直線距離為3”的充要條件C.直線恒過定點(diǎn)D.直線與直線垂直，且與圓相交11.設(shè)動(dòng)直線交圓于兩點(diǎn)（點(diǎn)為圓心），則下列說法正確的有（）A.直線過定點(diǎn)B.當(dāng)取得最大值時(shí)，C.當(dāng)最小時(shí)，其余弦值為D.的最大值為6三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為__________.13.若直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.14.過圓上一點(diǎn)作圓的兩切線，切點(diǎn)分別為，設(shè)兩切線的夾角為，當(dāng)取最小值時(shí)，__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）已知直線，分別求的取值范圍，使得：（1）；（2）.16.（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知四點(diǎn).（1）求過三點(diǎn)的圓方程，并判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；（2）過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4，求直線的方程.17.（15分）已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，是線段的中點(diǎn)，（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）記（1）中所求軌跡為曲線，過定點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，曲線的中心記為點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程.18.（17分）已知直線方程為，其中.（1）求直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo).當(dāng)變化時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值及此時(shí)的直線方程；（2）若直線分別與軸負(fù)半軸?軸的負(fù)半軸交于兩點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)的直線方程.19.（15分）已知圓的圓心在軸上，且圓經(jīng)過點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）已知點(diǎn)為圓與軸正半軸的交點(diǎn)，直線交圓于兩點(diǎn)（點(diǎn)異于點(diǎn)），若直線的斜率之積為2，直線是否過定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，請(qǐng)求出過定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不過，請(qǐng)說明理由.揚(yáng)州市樹人高級(jí)中學(xué)2024—2025—1高二年級(jí)第一次階段檢測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試卷考試時(shí)間120分鐘.試卷滿分為150分，2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的班級(jí)?姓名?準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置.3.答題時(shí)請(qǐng)用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡指定區(qū)域作答，在試卷或草稿紙上作答一律無效.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.1.【答案】C【解析】【分析】先求出斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程求解即可.【詳解】由題意知：直線的斜率為，則直線的方程為.故選：C.2.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)兩條直線平行求參，再根據(jù)平行線間距離公式計(jì)算求解.【詳解】由已知兩條直線平行，得，所以，所以直線可化為，則兩平行線間的距離.故選：A.3.【答案】C【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線，此時(shí)，則，所以，故充分性成立；當(dāng)時(shí)，，解得或，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件，故選：C.4.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率公式確定，結(jié)合傾斜角的范圍以及正切函數(shù)的性質(zhì)，即可確定答案.【詳解】直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則，即，由于，則為銳角，故，故選：B5.D6.【答案】B【解析】【分析】首先利用對(duì)稱點(diǎn)的求法，表示出對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再代入中，得到，再利用基本不等式中的乘“1”法，即可求得.【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，依據(jù)題意可得：，解方程組得，又對(duì)稱點(diǎn)在直線上，代入可得，且在第一象限，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：B7.【答案】C【分析】根據(jù)題意求出，轉(zhuǎn)化為直線上存在與距離為2的點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線距離建立不等式求解即可.【詳解】由可得，圓心，半徑，過點(diǎn)可作兩條直線與圓分別切于點(diǎn)，連接，如圖，由知，，又，所以，由題意，只需直線上存在與圓心距離為2的點(diǎn)即可，即圓心到直線的距離，解得，故選：C8.【答案】D【分析】令，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即可得答案.【詳解】設(shè)，令，則，則.如圖，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，且垂直于直線時(shí)，有最小值，為，即直線到點(diǎn)距離，為.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)直線方程的形式，傾斜角和斜率的關(guān)系，逐一判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，斜率不存在的直線無點(diǎn)斜式和斜截式方程，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，傾斜角是鈍角的直線，其傾斜角的正切值為負(fù)數(shù)，直線斜率為負(fù)數(shù)，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，方程表示直線去掉點(diǎn)，與方程不表示同一直線，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線過點(diǎn)，傾斜角為，則其方程為，正確.故選：BD10.【答案】ACD【解析】【分析】先求出斜率范圍，再求傾斜角的范圍即可，則選項(xiàng)A可判定；由點(diǎn)到直線的距離公式構(gòu)建方程求解即可，則選項(xiàng)B可判定；提取參數(shù)并消去參數(shù)可求得必過點(diǎn)，則選項(xiàng)C可判定；求出兩直線的斜率，判定位置關(guān)系，求出圓心到直線距離并與半徑比較，即可判定直線與圓的位置關(guān)系，則選項(xiàng)D可判定.【詳解】因?yàn)樗孕甭?，則，令傾斜角為，則，又，解的，故選項(xiàng)A正確.由點(diǎn)到直線距離為3，可得，解的或，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.，可得，令可得，所以必過點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；直線與直線中斜率分別為，乘積為，故而垂直，原點(diǎn)到距離，故而與圓相交，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.11.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A整理得，由此可求得直線所過的定點(diǎn)；對(duì)于B：由直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，當(dāng)直線過圓心時(shí)，取得最大值，由此求得的值；對(duì)于C：設(shè)直線過的定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，最小，由余弦定理計(jì)算可判斷；對(duì)于D：當(dāng)共線，且方向相同時(shí)，取得最大值，由此可判斷.【詳解】解：對(duì)于A：由整理得，當(dāng)，即時(shí)，不論為何值時(shí)，都成立，所以直線過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，將定點(diǎn)代入圓，所以定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，當(dāng)直線過圓心時(shí)，取得最大值，此時(shí)，解得，故B不正確；對(duì)于C：設(shè)直線過的定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，最小，而，所以，所以在中，，故C正確；對(duì)于D：，而表示在方向上的投影，所以當(dāng)共線，且方向相同時(shí)，取得最大值，此時(shí)，所以的最大值為6，故D正確，故選：ACD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】【解析】【分析】求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得直線截圓所得弦長(zhǎng).【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為2，圓心到直線的距離為，所以，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.故答案為：.13.【答案】【解析】【分析】曲線表示以原點(diǎn)為圓心?半徑為1的半圓，數(shù)形結(jié)合求得當(dāng)直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍作答.【詳解】曲線，即，表示以原點(diǎn)為圓心?1為半徑的半圓（位于軸及右側(cè)的部分），如圖，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)直線和圓相切時(shí)，由圓心到直線的距離等于半徑可得，求得（舍去），或，觀察圖象，得當(dāng)直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法.14.【答案】【解析】【分析】易得，從而可得，求出取得最小值時(shí)，的值即可.【詳解】由題意可得，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則，當(dāng)取最小值時(shí)，則取得最小值，，此時(shí)，又為銳角，所以，所以，即當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由圓的切線的性質(zhì)將所求轉(zhuǎn)化為求的最小值是解決本題的關(guān)鍵.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平行關(guān)系可直接構(gòu)造方程組求得結(jié)果；（2）由垂直關(guān)系可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【小問1詳解】解：因?yàn)橹本€滿足，所以，即，解得.所以，當(dāng)時(shí)，.【小問2詳解】解：因?yàn)橹本€滿足，所以，解得.所以，當(dāng)時(shí)，.16.【答案】（1）在圓上（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)圓方程為，然后將三點(diǎn)坐標(biāo)代入可求出圓的方程，再將點(diǎn)代入圓的方程驗(yàn)證即可，（2）由已知可求得圓心到直線距離為1，然后分直線的斜率不存在和直線的斜率存在兩種情況求解即可.【小問1詳解】設(shè)圓方程為把三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：，解得，所以圓方程是把點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：，故在圓上.【小問2詳解】由，得，所以圓心，半徑為，因?yàn)橄议L(zhǎng)等于4，所以圓心到直線距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即方程為，圓心到直線距離為1，滿足題意若直線的斜率存在，設(shè)直線方程為圓心到直線的距離，解得所以過點(diǎn)的直線為或.17.【答案】（1）（2）取得最大值或【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意得到，代入圓，即可求解；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線，求得圓心到直線的距離為，得到，結(jié)合基本不等式，求得最小值，進(jìn)而求得直線的方程.【小問1詳解】解：設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)的坐標(biāo)為，且是線段的中點(diǎn)，則，可得，即，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程，即，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.【小問2詳解】解：過點(diǎn)定點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，則直線的斜率一定存在且不為0，設(shè)直線，即，則圓心到直線的距離為，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以時(shí)，取得最大值2，此時(shí)，解得或，所以取得最大值2，此時(shí)直線的方程為或.18.【答案】（1）直線恒過定點(diǎn)（2）【解析】【分析】（1）把直線方程整理成關(guān)于的方程，由恒等式知識(shí)可得定點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)到直線的距離的最大時(shí)一定有與該直線垂直，可得結(jié)論.（2）求出直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，得三角形面積，然后由基本不等式得最小值及參數(shù)值.【小問1詳解】直線方程為可化為對(duì)任意都成立，所以，解得，所以直線恒過定點(diǎn).設(shè)定點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)，時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，可知點(diǎn)與定點(diǎn)的連線的距離就是所求最大值，即，此時(shí)直線過點(diǎn)且與垂直，，解得故直線的方程為【小問2詳解】由于直線經(jīng)過定點(diǎn).直線的斜率存在且，可設(shè)直線方程為可得與軸?軸的負(fù)半軸交于兩點(diǎn)，，解得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，面積的最小值為4，此時(shí)直線的方程為：，即：.19.【答案】（1）（2）過定點(diǎn)，理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)圓心，由結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式可得出關(guān)于的等式，求出的值，再求出圓的半徑，即可得出圓的方程；（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，將直線的方程與圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合可得出關(guān)于的關(guān)系式，并化簡(jiǎn)直線的方程，即可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；在直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)圓心，由可得，解得，圓的半徑為，因此，圓的方程為.【小問2詳解】解：在圓的方程中，令，可得，解得，即點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立可得，，整理可得由韋達(dá)定理可得，，由題意可得，整理可得，所以，，因?yàn)橹本€不過點(diǎn)，則，