蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練專題06等腰三角形的軸對(duì)稱性(原卷版+解析)

專題06等腰三角形的軸對(duì)稱性考點(diǎn)一等腰三角形的定義考點(diǎn)二根據(jù)等邊對(duì)等角求角度考點(diǎn)三根據(jù)等腰三角形中三線合一求解考點(diǎn)四等腰三角形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)五等邊三角形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)一等腰三角形的定義例題：（2022·四川資陽·八年級(jí)期末）等腰三角形一邊長等于2，一邊長等于3，則它的周長是（

）A．5 B．7 C．8 D．7或8【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖北鄂州·八年級(jí)期末）在等腰△ABC中，∠A＝70°，則∠C的度數(shù)不可能是（

）A．40° B．55° C．65° D．70°2．（2021·江蘇淮安·八年級(jí)期中）已知等腰三角形一邊長為4，周長為10，則另兩邊長分別為（

）A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不對(duì)考點(diǎn)二根據(jù)等邊對(duì)等角求角度例題：（2022·湖南株洲·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AC＝DC＝DB，，則的大小為（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【變式訓(xùn)練】1．（2022·云南文山·八年級(jí)期末）如圖，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，ED垂直平分AB，若BE＝10，則CE的長為（

）A． B．4 C．6 D．52．（2022·四川眉山·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，，∠B＝36°，DE是線段AB的垂直平分線，交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，則∠DAC的度數(shù)為________．考點(diǎn)三根據(jù)等腰三角形中三線合一求解例題：（2022·河南駐馬店·八年級(jí)期末）如圖，中，，于點(diǎn)D，，若，則的度數(shù)為_____．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇南通·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中線，AE是△BAD的角平分線，DFAB交AE的延長線于點(diǎn)F，則DF的長是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·浙江臺(tái)州·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D．且BD＜CD，過點(diǎn)B作射線AD的垂線，垂足為E，則CDDE＝_______．考點(diǎn)四等腰三角形的性質(zhì)與判定例題：（2022·浙江舟山·八年級(jí)期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足為E．(1)求證：BD＝BC；(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣西玉林·八年級(jí)期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．(1)求證：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠ACB的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝50°，DE交線段AC于E．(1)當(dāng)∠BAD＝20°時(shí)，∠EDC＝°；(2)當(dāng)∠BAD＝____°時(shí)，△ABD≌△DCE？請(qǐng)說明理由；(3)△ADE能成為等腰三角形嗎？若能，請(qǐng)直接寫出∠BAD的度數(shù)；若不能，請(qǐng)說明理由．2．（2022·山東棗莊·八年級(jí)期末）如圖，在中，分別垂直平分和，交于M、N兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)F．(1)若的周長為18cm，求的長；(2)若，求的度數(shù)．考點(diǎn)五等邊三角形的性質(zhì)與判定例題：（2022·江蘇·八年級(jí)）如圖，是上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在兩側(cè)，，且，．(1)求證；(2)連接，若，，求的長．【變式訓(xùn)練】1．（2021·湖南·長沙市中雅培粹學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，AB=4，則BD=__．2．（2022·安徽池州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．(1)求證：△OCD是等邊三角形；(2)當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；(3)探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形．一、選擇題1．（2022·江西吉安·八年級(jí)期末）某等腰三角形的頂角50°，則其每個(gè)底角是（

）A．50° B．60° C．65° D．80°2．（2022·新疆·和碩縣第二中學(xué)八年級(jí)期末）等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則它的周長是多少（

）A．13 B．17 C．13或17 D．13或103．（2021·江西育華學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝CD，∠B＝40°，則∠BAD＝（）A．20°B．30°C．35°D．40°4．（2022·河北·石家莊石門實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，．則EF的長度為（

）A．6 B． C．3 D．45．（2022·山東·薛城區(qū)北臨城中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)P在邊上，，點(diǎn)M，N在邊上，，若，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4二、填空題6．（2022·河北·石家莊石門實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為4和8，則它的周長等于______．7．（2022·陜西·西工大附中分校八年級(jí)期末）如圖，AC=BC=12cm，∠B=15°，若AD⊥BD于點(diǎn)D，則AD的長為_____．8．（2021·山西·介休市第三中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）等腰三角形的周長是17cm，其中一邊長為5cm，則該等腰三角形的底邊長為________9．（2022·江西吉安·七年級(jí)期末）在中，，點(diǎn)P是射線BA上的任意一點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的度數(shù)為______．10．（2021·江西育華學(xué)校八年級(jí)期末）已知△ABC中，如果過頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)為直角三角形，則稱這條直線為△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線．如圖1，Rt△ABC中，顯然直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線．在圖2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，則∠CDB的度數(shù)是_____．三、解答題11．（2021·湖北·襄陽市樊城區(qū)青泥灣中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，，，，，分別是，的中點(diǎn)．(1)求證AE=CD(2)連接MN，判斷△MBN的形狀，并證明12．（2022·江西吉安·八年級(jí)期末）如圖，在中，DM、EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M、N兩點(diǎn)，DM與EN相交于點(diǎn)F．(1)若的周長為18cm，求AB的長；(2)若，求的度數(shù)；13．（2022·遼寧沈陽·七年級(jí)期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作∠DAE=90°（使點(diǎn)D，A，E按順時(shí)針的順序排列），且AE=AD，連接CE，過點(diǎn)A作AF⊥CE交直線CE于點(diǎn)F．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)；求證：CE=BD；(2)當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上時(shí)，直接寫出線段BD、CD、EF之間的數(shù)量關(guān)系．14．（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，△ABC是等邊三角形，邊長為6，點(diǎn)D為動(dòng)點(diǎn)，AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE．(1)如圖1，連接BD，CE，求證；(2)如圖2，，連接DE，求證：點(diǎn)B，D，E三點(diǎn)在同一條直線上；(3)如圖3，點(diǎn)D在△ABC的高BF上，連接EF，求EF的最小值．15．（2022·四川成都·七年級(jí)期末）在ABC中，AB＝AC，AE是ABC的中線，G、H分別為射線BA、AC上一點(diǎn)，且滿足∠GEH+∠BAC＝180°．(1)如圖1，若∠CAE＝45°，且G、H分別在線段BA、AC上，求證：AEH≌BEG；(2)在（1）的條件下，AG＝3，求線段CH的長度；(3)如圖2，延長AE至點(diǎn)D，使DE＝AE，過點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)G在線段BA的延長線上，點(diǎn)H在線段AC的延長線上時(shí)，探求線段BF、CH、BG三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．專題06等腰三角形的軸對(duì)稱性考點(diǎn)一等腰三角形的定義考點(diǎn)二根據(jù)等邊對(duì)等角求角度考點(diǎn)三根據(jù)等腰三角形中三線合一求解考點(diǎn)四等腰三角形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)五等邊三角形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)一等腰三角形的定義例題：（2022·四川資陽·八年級(jí)期末）等腰三角形一邊長等于2，一邊長等于3，則它的周長是（

）A．5 B．7 C．8 D．7或8【答案】D【解析】【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為2和3，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)腰為2時(shí)，2+2＞3，所以能構(gòu)成三角形，周長是2+2+3=7；當(dāng)腰為3時(shí)，3+2＞3，所以能構(gòu)成三角形，周長是：2+3+3=8．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖北鄂州·八年級(jí)期末）在等腰△ABC中，∠A＝70°，則∠C的度數(shù)不可能是（

）A．40° B．55° C．65° D．70°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的定義及三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：當(dāng)∠A＝70°為頂角時(shí)，則兩底角為：；當(dāng)∠A＝70°為底角時(shí)，另一個(gè)底角為70°，頂角為180°-70°-70°=40°∴∠C的度數(shù)不可能是65°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的分類討論及三角形內(nèi)角和定理，在不明確所給的角是等腰三角形的什么角時(shí)，需分類討論是解題關(guān)鍵．2．（2021·江蘇淮安·八年級(jí)期中）已知等腰三角形一邊長為4，周長為10，則另兩邊長分別為（

）A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不對(duì)【答案】C【解析】【分析】分兩種情況討論：若腰長為4；若底邊長為4，即可求解．【詳解】解：若腰長為4，則底邊長為10-4-4=2，此時(shí)另兩邊長分別為4，2；可以構(gòu)成三角形，滿足題意；若底邊長為4，則腰長為，此時(shí)另兩邊長分別為3，3；可以構(gòu)成三角形，滿足題意；綜上所述，另兩邊長分別為4，2或3，3．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二根據(jù)等邊對(duì)等角求角度例題：（2022·湖南株洲·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AC＝DC＝DB，，則的大小為（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)邊相等的角相等，用∠B表示出∠CDA，然后就可以表示出∠ACB，求解方程即可．【詳解】解：設(shè)∠B=x∵AC=DC=DB∴∠CAD=∠CDA=2x∴∠ACB=180°-2x-x=105°解得x=25°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)，（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和；（2）三角形的內(nèi)角和是180°，求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°”這一隱含的條件．【變式訓(xùn)練】1．（2022·云南文山·八年級(jí)期末）如圖，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，ED垂直平分AB，若BE＝10，則CE的長為（

）A． B．4 C．6 D．5【答案】D【解析】【分析】先由直角三角形兩銳角互余求出∠BAC=60°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得AE=BE=10，從而求得∠BAE=∠B=30°，所以∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-30°=30°，然后由含30度的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC=60°，∵ED垂直平分AB，∴AE=BE=10，∴∠BAE=∠B=30°，∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-30°=30°，∴CE=AE=5，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30度的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·四川眉山·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，，∠B＝36°，DE是線段AB的垂直平分線，交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，則∠DAC的度數(shù)為________．【答案】18°【解析】【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可求解∠BAD=36°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求得∠BAC的度數(shù)，進(jìn)而可求解∠DAC的度數(shù)．【詳解】解：∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AD=BD，∵∠B=36°，∴∠BAD=∠B=36°，∵∠C=90°，∴∠BAC=90°-36°=54°，∴∠DAC=54°-36°=18°．故答案為：18°．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，求解∠BAD，∠BAC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三根據(jù)等腰三角形中三線合一求解例題：（2022·河南駐馬店·八年級(jí)期末）如圖，中，，于點(diǎn)D，，若，則的度數(shù)為_____．【答案】【解析】【分析】如圖（見詳解），根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，可證，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，∵AB=AC，∴E是BC的中點(diǎn)，且AE平分．∵，∴BD=BE．在和中，，∴．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的三線合一性質(zhì)以及直角三角形全等的判定定理，正確運(yùn)用定理進(jìn)行判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇南通·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中線，AE是△BAD的角平分線，DFAB交AE的延長線于點(diǎn)F，則DF的長是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，且AD平分，從而可得，然后根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)可得，最后根據(jù)等腰三角形的定義即可求解．【詳解】解：在中，，，是的中線，，且AD平分，，，是的角平分線，，，，，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、含的直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題關(guān)鍵．2．（2022·浙江臺(tái)州·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D．且BD＜CD，過點(diǎn)B作射線AD的垂線，垂足為E，則CDDE＝_______．【答案】【解析】【分析】作AF⊥BC于F，證明△BDE≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得DF=DE，可得CD-DE=CF，由等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：作AF⊥BC于F，∵AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D．∴AD=BD，∵AF⊥BC，BE⊥DE，∴∠E=∠AFD=90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（AAS），∴DF=DE，∴CD-DE=CD-DF=CF，∵AB=AC，AF⊥BC，BC=，∴CF=BC=．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四等腰三角形的性質(zhì)與判定例題：（2022·浙江舟山·八年級(jí)期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足為E．(1)求證：BD＝BC；(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)25°【解析】【分析】（1）由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBE，∠A＝90°，CE⊥BD，則∠BEC＝∠A＝90°，又由已知AD＝BE，根據(jù)ASA可證明△ABD≌△ECB，可得結(jié)論；（2）由（1）知BD＝BC，根據(jù)等邊對(duì)等角可求得∠BDC的度數(shù)，再根據(jù)外角的性質(zhì)求得∠DCE的度數(shù)．(1)證明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，∵∠A＝90°，CE⊥BD，∴∠BEC＝∠A＝90°，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（ASA），∴BD＝CB；(2)解：∵BD＝CB，∴△BCD是等腰三角形，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠DBC）＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠BEC＝∠BDC＋∠DCE＝90°，∴∠DCE＝90°－∠BDC＝90°﹣65°＝25°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，證明△ABD≌△ECB是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣西玉林·八年級(jí)期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．(1)求證：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠ACB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠ACB的度數(shù)為22.5°【解析】【分析】（1）利用同角的余角相等得∠ACB＝∠DCE，再根據(jù)AAS證明△ABC≌△DEC，即可證明結(jié)論；（2）由AC＝CD，知△ACD是等腰直角三角形，得∠CAD＝45°，再根據(jù)AC＝AE，得∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，從而得出答案．(1)證明：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AC＝CD；(2)解：由（1）知，AC＝CD，∵∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，∵AC＝AE，∴∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠ACB＝∠BCE﹣∠ACE＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠ACB的度數(shù)為22.5°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，證明△ABC≌△DEC是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝50°，DE交線段AC于E．(1)當(dāng)∠BAD＝20°時(shí)，∠EDC＝°；(2)當(dāng)∠BAD＝____°時(shí)，△ABD≌△DCE？請(qǐng)說明理由；(3)△ADE能成為等腰三角形嗎？若能，請(qǐng)直接寫出∠BAD的度數(shù)；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)20(2)15，理由見解析(3)能，∠BAD＝15°或∠BAD＝30°，理由見解析【解析】【分析】（1）先利用平角的意義求出∠CDE，再用三角形外角的性質(zhì)求出∠AED，最后用三角形的內(nèi)角和定理求出∠DAE；（2）利用三角形內(nèi)角和定理得出∠BAC＝80°，再由三角形外角的性質(zhì)及等量代換確定∠AED＝∠DAE＝65°，AD＝DE，結(jié)合圖形利用全等三角形的判定即可證明；（3）先求出∠BAC＝80°，再分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠DAE，即可得出結(jié)論．(1)∵∠BAD＝20°，∠B＝50°，∴∠ADC＝70°，∵∠ADE＝50°，∴∠EDC＝70°﹣50°＝20°，故答案為：20；(2)解：∠BAD＝15°時(shí)，△ABD

≌△DCE，理由如下：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，∴∠BAC＝80°，∵∠BAD＝15°，∴∠DAE＝65°，又∵∠ADE＝50°，∴∠AED＝∠DAE＝65°，∴AD＝DE，在△ABD中，∠BAD＋∠ADB＝130°，∵∠CDE＋∠ADB＝180°－∠ADE＝130°，∴∠BAD＝∠CDE，∵∠B＝∠CAD＝DE，∴△ABD≌△DCE；(3)能，當(dāng)∠BAD＝15°或30°時(shí)，△ADE能成為等腰三角形．理由：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，∴∠BAC＝80°，①當(dāng)DA＝DE時(shí)，∵∠ADE＝50°，∴∠CAD＝（180°﹣∠ADE）＝65°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，②當(dāng)EA＝ED時(shí)，∴∠DAC＝∠ADE＝50°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，③當(dāng)AD＝AE時(shí)，∠AED＝∠ADE＝50°，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝80°，此時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不符合題意，綜上所述，當(dāng)∠BAD＝15°或30°時(shí)，△ADE能成為等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定，平角的意義，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·山東棗莊·八年級(jí)期末）如圖，在中，分別垂直平分和，交于M、N兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)F．(1)若的周長為18cm，求的長；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)AB=18cm；(2)∠MCN=40°．【解析】【分析】（1）垂直平分線上的點(diǎn)到兩端距離相等，則AM=CM，BN=CN，△CMN的周長=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，易知∠MNF+∠NMF=110°，對(duì)頂角相等則∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF，即可求出∠A+∠B的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出即可．(1)∵DM、EN分別垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周長=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，∵△CMN的周長為18cm，∴AB=18cm；(2)∵∠MFN=70°，∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的垂直平分線，通過“垂直平分線上的點(diǎn)到兩端距離相等”得到線段和角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五等邊三角形的性質(zhì)與判定例題：（2022·江蘇·八年級(jí)）如圖，是上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在兩側(cè)，，且，．(1)求證；(2)連接，若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由平行線的性質(zhì)，結(jié)合條件可證明，即可得出；（2）證明是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得出答案．(1)證明：∵，∴，在和中，，∴，∴；(2)解：由（1）知，，又∵，∴是等邊三角形，∵，∴．∴的長為．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)．掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·湖南·長沙市中雅培粹學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，AB=4，則BD=__．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，得到BC=AB=4，即可求出BD．【詳解】解：∵∠BAC=∠B=60°，∴∠C=∠BAC=∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BC=AB=4，∵D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，∴BD=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)定理，熟記三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·安徽池州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．(1)求證：△OCD是等邊三角形；(2)當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；(3)探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形．【答案】(1)見解析(2)△AOD是直角三角形，理由見解析(3)當(dāng)α=110°或125°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形【解析】【分析】（1）根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得證；（2）根據(jù)全等易得∠ADC=∠BOC=α=150°，結(jié)合（1）中的結(jié)論可得∠ADO為90°，那么可得所求三角形的形狀；（3）根據(jù)題中所給的全等及∠AOB的度數(shù)可得∠AOD的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等分類探討即可．(1)證明：∵△BOC≌△ADC，∴OC=DC，∵∠OCD=60°，∴△OCD是等邊三角形．(2)△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等邊三角形，∴∠ODC=60°，∵△BOC≌△ADC，α=150°，∴∠ADC=∠BOC=α=150°，∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，∴△AOD是直角三角形．(3)∵△OCD是等邊三角形，∴∠COD=∠ODC=60°．∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．①當(dāng)∠AOD=∠ADO時(shí)，190°-α=α-60°，∴α=125°．②當(dāng)∠AOD=∠OAD時(shí)，190°-α=50°，∴α=140°．③當(dāng)∠ADO=∠OAD時(shí)，α-60°=50°，∴α=110°．綜上所述：當(dāng)α=110°或125°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．【點(diǎn)睛】題目綜合考查了全等三角形的性質(zhì)及等腰三角形的判定；注意應(yīng)分類探討三角形為等腰三角形的各種情況是解題關(guān)鍵．一、選擇題1．（2022·江西吉安·八年級(jí)期末）某等腰三角形的頂角50°，則其每個(gè)底角是（

）A．50° B．60° C．65° D．80°【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：等腰三角形的頂角，每個(gè)底角，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·新疆·和碩縣第二中學(xué)八年級(jí)期末）等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則它的周長是多少（

）A．13 B．17 C．13或17 D．13或10【答案】B【分析】分①腰長為3和②腰長為7兩種情況，再結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，利用三角形的周長公式即可得．【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：①當(dāng)腰長為3時(shí)，則這個(gè)等腰三角形的三邊長分別為，此時(shí)，不滿足三角形的三邊關(guān)系，舍去；②當(dāng)腰長為7時(shí)，則這個(gè)等腰三角形的三邊長分別為，此時(shí)，滿足三角形的三邊關(guān)系，所以它的周長為；綜上，這個(gè)等腰三角形的周長為17，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、等腰三角形的定義，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．3．（2021·江西育華學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝CD，∠B＝40°，則∠BAD＝（）A．20°B．30°C．35°D．40°【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，則有，進(jìn)而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴，∵AC＝CD，∴，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·河北·石家莊石門實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，．則EF的長度為（

）A．6 B． C．3 D．4【答案】C【分析】連接AF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AF⊥BD，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】解：連接AF，∵AD=AB，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，∴AF⊥BD，在Rt△AFC中，E是AC的中點(diǎn)，AC=6，∴EF=AC==3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．5．（2022·山東·薛城區(qū)北臨城中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)P在邊上，，點(diǎn)M，N在邊上，，若，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】A【分析】過P作PQ⊥MN，利用三線合一得到Q為MN中點(diǎn)，求出MQ的長，在直角三角形OPQ中，利用直角三角形中，30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出OQ的長，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PQ⊥MN于點(diǎn)Q，∵PM=PN，，∴MQ=NQ=1，在Rt△OPQ中，OP=12，∠AOB=60°，∴∠OPQ=30°，∴，∴ON=OQ+QN=6+1=7．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中，30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解本題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·河北·石家莊石門實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為4和8，則它的周長等于______．【答案】20【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，本題要分情況討論．當(dāng)腰長為4或是腰長為8兩種情況．【詳解】解：等腰三角形的兩邊長分別為4和8，當(dāng)腰長是4時(shí)，則三角形的三邊是4，4，8，4+4=8不滿足三角形的三邊關(guān)系；當(dāng)腰長是8時(shí)，三角形的三邊是8，8，4，三角形的周長是20．故答案為∶20．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，進(jìn)行分類討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．7．（2022·陜西·西工大附中分校八年級(jí)期末）如圖，AC=BC=12cm，∠B=15°，若AD⊥BD于點(diǎn)D，則AD的長為_____．【答案】6cm##6厘米【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)可得∠ACD=30°，然后利用含30度直角三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵AC=BC=12cm，∠B=15°，∴，∴，∵AD⊥BD，∴；故答案為6cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各個(gè)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．（2021·山西·介休市第三中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）等腰三角形的周長是17cm，其中一邊長為5cm，則該等腰三角形的底邊長為________【答案】5cm或7cm##7cm或5cm【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，即可求解．【詳解】解：若以5cm為腰長，該等腰三角形的底邊長為17-5-5=7cm；若以5cm為底邊長，該等腰三角形的底邊長為5cm；綜上所述，該等腰三角形的底邊長為5cm或7cm．故答案為：5cm或7cm【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的定義，熟練掌握有兩邊相等的三角形是等腰三角形，并注意分類討論是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江西吉安·七年級(jí)期末）在中，，點(diǎn)P是射線BA上的任意一點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的度數(shù)為______．【答案】108°或72°或36°【分析】分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，推出，推出；當(dāng)時(shí)，推出；當(dāng)時(shí)，推出．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．綜上，∠BPC的度數(shù)為108°或72°或36°．故答案為：108°或72°或36°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的存在性，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形的三個(gè)角都有可能是頂角，分類討論．10．（2021·江西育華學(xué)校八年級(jí)期末）已知△ABC中，如果過頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)為直角三角形，則稱這條直線為△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線．如圖1，Rt△ABC中，顯然直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線．在圖2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，則∠CDB的度數(shù)是_____．【答案】40°或90°或140°【分析】分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：①如圖，當(dāng)∠DBC=90°，AD=BD時(shí)，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；②如圖，當(dāng)∠BDC=90°，AD=BD時(shí)，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，或當(dāng)∠BDC=90°，CD=BD時(shí)，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，；③如圖，當(dāng)∠ABD=90°，CD=BD時(shí)，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．綜上所述：當(dāng)∠BDC的度數(shù)是40°或90°或140°時(shí)，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，理解二分割線是本題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2021·湖北·襄陽市樊城區(qū)青泥灣中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，，，，，分別是，的中點(diǎn)．(1)求證AE=CD(2)連接MN，判斷△MBN的形狀，并證明【答案】(1)見詳解(2)等腰直角三角形，證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題意，即可作答；（2）由（1）可得∠ABD=∠DBC=90°，再證明，即結(jié)論得證．（1）證明：（1）在和中，，∴．∴AE=CD；（2）是等腰直角三角形，理由如下：連接MN，如圖所示：∵在（1）中已得，，∴，，AE=DC，∵M(jìn)、N分別是AE、CD的中點(diǎn)，∴，，∴DN=AM，又∵，，∴，∴BN=BM，，

∵，∴，∴是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰直角三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．12．（2022·江西吉安·八年級(jí)期末）如圖，在中，DM、EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M、N兩點(diǎn)，DM與EN相交于點(diǎn)F．(1)若的周長為18cm，求AB的長；(2)若，求的度數(shù)；【答案】(1)18m(2)65°【分析】（1）由“垂直平分線上的點(diǎn)到兩端距離相等”可知，則，，△CMN的周長，即可求解；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，易知∠CMN+∠CNM=130°，則可計(jì)算，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知，，由“對(duì)等角相等”即可求出的值，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠F即可．（1）解：∵DM、EN分別垂直平分AC和BC，∴，，∴△CMN的周長，∵△CMN的周長為18cm，∴AB=18cm；（2）∵，∴，∴，∵AM=CM，BN=CN，且、，∴，，∴，又∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．13．（2022·遼寧沈陽·七年級(jí)期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作∠DAE=90°（使點(diǎn)D，A，E按順時(shí)針的順序排列），且AE=AD，連接CE，過點(diǎn)A作AF⊥CE交直線CE于點(diǎn)F．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)；求證：CE=BD；(2)當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上時(shí)，直接寫出線段BD、CD、EF之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)BD＋CD=2EF或BD-CD=2EF或CD-BD=2EF【分析】(1)先證明∠DAB=∠EAC，得到△DAB≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE=BD；(2)分三種情況討論，在CE上截取CH=CD，連接AH，可證得、，進(jìn)而得到線段BD、CD、EF之間的數(shù)量關(guān)系．（1）證明：，，，在△DAB與△EAC中，，；（2）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，在CE上截取CH=CD，連接AH，，，，，，在△ACD與△ACH中，，，，，，，；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的下方時(shí)，如圖：同理可得：CD-BD=2EF；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的上方時(shí)，如圖：同理可得：BD+CD=2EF，綜上所述：BD＋CD=2EF或BD-CD=2EF或CD-BD=2EF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形及等腰直角三角形的性質(zhì)，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，△ABC是等邊三角形，邊長為6，點(diǎn)D為動(dòng)點(diǎn)，AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE．(1)如圖1，連接BD，CE，求證；(2)如圖2，，連接DE，求證：點(diǎn)B，D，E三點(diǎn)在同一條直線上；(3)如圖3，點(diǎn)D在△ABC的高BF上，連接EF，求EF的最小值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，從而得出結(jié)論；（2）∠BAD=∠CAE=∠CBE，所以∠ABC=∠ABD+∠CBE=∠ABD+∠BAD=60°，從而得出∠ADB=120°，進(jìn)一步得出結(jié)論；（3）可證得∠ACE=∠ABF=30°，從而得出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而求得EF的最小值．（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，∴∠DAE