【易錯(cuò)專訓(xùn)】13 相似三角形相似中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（解析版）

【突破易錯(cuò)·沖刺滿分】2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末突破易錯(cuò)挑戰(zhàn)滿分（北師大版）易錯(cuò)13相似三角形相似中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【易錯(cuò)1例題】相似三角形相似中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1．（2021·全國(guó)九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在三角形ABC中，AB=8，AC=16，點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BA向點(diǎn)A以2厘米每秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A向點(diǎn)C以4厘米每秒的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)B、A同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與三角形ABC相似？【答案】經(jīng)過(guò)2秒或0.8秒時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與三角形ABC相似．【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與三角形ABC相似，則BP＝2t，AP＝8﹣2t，AQ＝4t，利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行分類討論：當(dāng)＝時(shí)，△APQ∽△ABC，即＝；當(dāng)＝時(shí)，△APQ∽△ACB，即＝，然后分別解方程即可．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與三角形ABC相似，則BP＝2t，AP＝8﹣2t，AQ＝4t，∵∠PAQ＝∠BAC，∴當(dāng)＝時(shí)，△APQ∽△ABC，即＝，解得t＝2（s）；當(dāng)＝時(shí)，△APQ∽△ACB，即＝，解得t＝0.8（s）；即經(jīng)過(guò)2秒或0.8秒時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與三角形ABC相似．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．會(huì)利用時(shí)間表示相應(yīng)線段的長(zhǎng)，注意分類討論思想的運(yùn)用．【專題訓(xùn)練】填空題1．（2021·黑龍江建華·九年級(jí)二模）在中，，，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿的方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，如果過(guò)、兩點(diǎn)的直線將的面積分成兩個(gè)部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么______秒．【答案】或【分析】由過(guò)D、P兩點(diǎn)的直線將△ABC的面積分成兩個(gè)部分，使其中一部分是另一部分的2倍，分點(diǎn)P在AB和AC上兩情況討論即可．【詳解】解：分兩種情況：（1）P點(diǎn)在AB上時(shí)，如圖1，連接AD，則AD⊥BC，過(guò)P作PH⊥BC于H，BP=t，∵AB=AC=5cm，BC=8cm，D為BC的中點(diǎn)，∴BD=BC=4，∴，設(shè)△BPD高為h，由2S△BPD=S△PDCA，2××4×h=×8×3-×4×h，解得：h=2，又∵∠PHB=∠ADB=90°，∠PBH=∠ABD，∴△PBH∽△ABD，∴，即，∴t=（s）；（2）P點(diǎn)在AC上時(shí)，如圖2，連接AD，則AD⊥BC，過(guò)P作PH⊥BC于H，同理可得h′=2，∵△PCH∽△ACD，∴，即，∴CP=，則t=5+5-=（s），故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理、面積公式以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是分兩種情況進(jìn)行討論．2．（2019·海口市金盤實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，點(diǎn)P沿BC邊以2cm/s的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q沿CA邊以1cm/s的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)A移動(dòng)．若以點(diǎn)C、P、Q構(gòu)成的三角形與△ABC相似，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為_(kāi)___________秒．【答案】或【分析】首先設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)t秒時(shí)△CPQ與△ABC相似，然后分別從當(dāng)，即時(shí)，△CPQ∽△CBA，與當(dāng)，即時(shí)，△CPQ∽△CAB，去分析求解即可求得答案．【詳解】設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)t秒時(shí)△CPQ與△ABC相似，∵點(diǎn)P從點(diǎn)B以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q以1cm/s的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)A移動(dòng)，∴BP＝2tcm，CQ＝tcm，則CP＝CB?BP＝8?2t（cm），∵∠C是公共角，∴當(dāng)，即時(shí)，△CPQ∽△CBA，解得：t＝；當(dāng)，即時(shí)，△CPQ∽△CAB，解得：t＝，∴點(diǎn)P移動(dòng)s或s時(shí)△CPQ與△ABC相似．故答案為：或【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想以及方程思想的應(yīng)用．3．（2021·山東陽(yáng)信·八年級(jí)期中）如圖1，在四邊形中，，，點(diǎn)沿著的路徑以的速度勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，始終與直線保持垂直，與或交于點(diǎn)，記線段的長(zhǎng)度為，與時(shí)間的關(guān)系圖如圖2所示，則圖中的值為_(kāi)___．【答案】7.8【分析】由圖象可知，點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B用了4s，可得AB＝8cm，此時(shí)BM＝EF＝6cm，根據(jù)勾股定理可得AM＝10cm；當(dāng)t＝6時(shí)，EF＝6cm，可得DN＝6cm，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CN＝3.6cm，進(jìn)而得出a的值．【詳解】解：如圖所示，作BM⊥AB，交AD于點(diǎn)M，作DN∥BM，交BC于點(diǎn)N，

由題意可知，AB＝4×2＝8（cm），BM＝6cm，DN＝6cm，∴AM＝＝＝10，∵BC∥AD，∠ADC＝90°，∴∠C＝90°，又∵DN∥BM，∴∠CND＝∠ADN＝∠AMB，∴△CDN∽△BAM，∴CN＝6×＝3.6（cm），∴a＝6＋3.6÷2＝7.8．故答案為：7.8【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，理清題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法得出相關(guān)線段的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．4．（2021·浙江九年級(jí)月考）如圖，在邊長(zhǎng)為2個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿射線DC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥DE于點(diǎn)F，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為_(kāi)_____秒時(shí)，以P、F、E為頂點(diǎn)的三角形與△AED相似．【答案】1或【分析】分兩種情形：①如圖，當(dāng)△PFE∽△EAD時(shí)，②如圖，當(dāng)△EFP∽△EAD時(shí)，分別求解即可．【詳解】解：①如圖，當(dāng)△PFE∽△EAD時(shí)，∴∠ADE=∠FEP，∴AD∥PE，∴PE⊥CD，∴四邊形AEPD是矩形，∵四邊形ABCD是正方形，E是AB的中點(diǎn)，∴t=DP=AE=1；②如圖，當(dāng)△EFP∽△EAD時(shí)，∴∠ADE=∠FPE，∠AED=∠FEP，∵DC∥AB，∴∠AED=∠CDE，∴∠FEP=∠CDE，∴PD=PE，∴PF是DE的垂直平分線，∴F為DE中點(diǎn)，DE=，EF=DF=DE=，∵，即，解得t=DP=，綜上所述，滿足條件的t的值為1s或s．故答案為：1或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．5．（2021·北京市第十三中學(xué)九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，﹣3），B（1，0），C（3，0），點(diǎn)P在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，若以點(diǎn)O、B、P為頂點(diǎn)的三角形與三角形ABC相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)___．【答案】（0，）或（0，）．【分析】利用點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)特征得到∠ACB＝90°，CB＝2，CA＝3，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t），由∠POB＝∠ACB，推出當(dāng)時(shí)，△OPB∽△CBA，即；當(dāng)時(shí)，△OPB∽△CAB，即，分別求出t的值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo).【詳解】∵B（1，0）、A（3，﹣3）、C（3，0），∴∠ACB＝90°，CB＝2，CA＝3，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t），∵∠POB＝∠ACB＝90°，∴當(dāng)時(shí)，△OPB∽△CBA，即，解得t＝±，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），當(dāng)時(shí)，△OPB∽△CAB，即，解得t＝±，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），綜上所述，若以O(shè)、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）或（0，）．故答案為（0，）或（0，）．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)比例線段列出方程是解題的關(guān)鍵.二、解答題6．（2021·山東海陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，已知△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．如果點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為2cm/s，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問(wèn)題：（1）是否存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如果BP=PQ，求此時(shí)t的值．【答案】（1）不存在，見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）假設(shè)存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，據(jù)此得出一元二次方程；由于此一元二次方程的判別式小于0，則可以得出結(jié)論：不存在這樣的某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分；（2）由相似三角形的性質(zhì)求得PD、QD的長(zhǎng)，再在Rt△PQD中，由勾股定理求得PQ的長(zhǎng)，依題意列出方程即可求解．【詳解】（1）由題意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=2t，BC=(cm)，如圖所示，過(guò)P點(diǎn)作PD⊥AC于點(diǎn)D，∴PD∥BC，∴△APD△ABC，∴，即，解得PD=6?t，∴△AQP的面積S=PD×AQ=6t?t2，假設(shè)存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，則有S△AQP=S△ABC，∵△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，∴S△ABC=AC?BC=24，∴S△AQP=12，而S△AQP=6t?t2，∴6t?t2=12，化簡(jiǎn)得：t2-5t+10=0，∵△=（-5）2-4×1×10=-15＜0，∴此方程無(wú)解，∴不存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分；（2）∵，∴△APD△ABC，∴，即，∴．又，，∴．在中，由勾股定理，得，．化簡(jiǎn)，得，解得，，∵，不符合題意，舍去，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解一元二次方程以及相似三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形以及直角三角形，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例以及勾股定理進(jìn)行列式求解．7．（2020·山東省濟(jì)南第十三中學(xué)九年級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？（2）當(dāng)t＝2秒時(shí)，求四邊形OPQB的面積．【答案】（1）t＝或;（2）19.2（平方單位）【分析】（1）以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形△AOB相似，應(yīng)分△APQ∽△AOB和△AQP∽△AOB兩種情況討論，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求出t的值；（2）過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥OA于M，由△AMQ∽△AOB就可以求出QM的值，就可以求出面積．【詳解】解：（1）∵Rt△OAB中，OA＝6，OB＝8，

∴由勾股定理可得，AB＝10，

又知AP＝t，AQ＝10?2t．

分兩種情況：

①當(dāng)△APQ∽△AOB時(shí)，有：，

∴，解得t＝，

②當(dāng)△AQP∽△AOB時(shí)，有：，

∵，解得t＝，綜上所述，當(dāng)t＝或時(shí)，

以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形△AOB相似．（2）當(dāng)t＝2秒時(shí)，

AP＝2，AQ＝6，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥OA于M，

∴MQ∥OB，

∴，，

解得QM＝4.8，

∴△APQ的面積為：AP×QM＝×2×4.8＝4.8（平方單位），

∴四邊形OPQB的面積為：S△AOB?S△APQ＝24?4.8＝19.2（平方單位）．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等．8．（2021·上海市復(fù)旦初級(jí)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在直角中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，交射線于點(diǎn)．（1）求的長(zhǎng)；（2）連接，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）連接，當(dāng)和相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】（1）直接根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度即可；（2）過(guò)點(diǎn)作,垂足為，容易證得,設(shè)，根據(jù)相似的性質(zhì)可求出的值即可得出結(jié)果；（3）由（2）得，設(shè)，根據(jù)相似的性質(zhì)可求出的值，在解題時(shí)要注意分類討論．【詳解】解：（1）∵在直角中，，，，∴；（2）過(guò)點(diǎn)作,垂足為，∵,∴,∴，設(shè)，∵,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴，化簡(jiǎn)，得，解得：(負(fù)值舍去),∴；（3）由（2）得，設(shè)，∵,∴,∵,∴,∴,當(dāng)和相似時(shí)，有兩種情況：①,∴,即，解得，∴；②,∴,即，解得，∴，綜上：當(dāng)和相似時(shí)，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，題目難度不小，具有一定的綜合性．特別是三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有時(shí)可單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無(wú)論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可．9．（2021·大連市第三十七中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在直角中，．D、E分別是、邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度向B勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿射線以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t秒，（）．（1）當(dāng)______時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，求的面積；（3）設(shè)的面積為S，求出點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式；【答案】（1）4；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【分析】（1）由已知和勾股定理先求出BC，再由D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，求出AD、DE、BE，從而求出t；（2）先求出當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)所用時(shí)間，得出AQ的長(zhǎng)，即可求出BQ的長(zhǎng)，再根據(jù)△BPQ的面積=BQ?AP進(jìn)行計(jì)算即可；（3）由已知用t表示出AQ、AP、BQ，再由∠A=90°，通過(guò)面積公式求出S與t的函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：（1）已知中，，由勾股定理得：，又由D，E分別是的中點(diǎn)，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)所用時(shí)間（秒），故答案為：4．（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，所用時(shí)間為秒，所以，∴，∴的面積；（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在上（不包含D點(diǎn)），即時(shí)，由已知得：，∴，已知，∴的面積，所以Q在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式為．②如圖當(dāng)點(diǎn)P在（包括點(diǎn)D、E）上，即，過(guò)點(diǎn)P作于F，則，∴的面積，所以此時(shí)Q在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式為．③當(dāng)點(diǎn)P在上（不包括E點(diǎn)），即時(shí)，由已知得：，過(guò)點(diǎn)P作于F，∴，∴，∴，∴，∴，∴的面積，所以S與t的函數(shù)關(guān)系式為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是通過(guò)相似三角形的判定與性質(zhì)求解．10．（2021·山東張店·八年級(jí)期末）如圖（1），在四邊形中，，，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊勻速運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)速度均為．點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，．（1）用含的代數(shù)式表示；（2）當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求的值；（3）如圖（2），延長(zhǎng)，，兩延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的值．【答案】（1）；（2）s或s；（3）或【分析】（1）作于，可得四邊形是矩形，根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理求解即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)分別求解即可；（3）分兩種情況求解：①當(dāng)時(shí)，即為直角三角形，作于，于，根據(jù)相似三角形的判定證明和，由相似三角形的性質(zhì)列方程求得t值；②當(dāng)時(shí)，即為直角三角形，根據(jù)相似三角形的判定證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求解t值即可解答【詳解】解：（1）如圖（1），過(guò)D作于，則四邊形是矩形，∴，，∴，，由題意，．（2）①當(dāng)時(shí)，得，解得：，∴當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．②當(dāng)時(shí)，，解得：，∴當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．綜上所述，當(dāng)s或s時(shí)，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．（3）①當(dāng)時(shí)，即為直角三角形．如圖（2），過(guò)作于，過(guò)D作于，∴，∵當(dāng)時(shí)，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，，∴，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解，∴當(dāng)時(shí)，，即為直角三角形．②當(dāng)時(shí)，即為直角三角形，如圖（3）所示，作于，∴=90°，又，∴，∴，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解，∴當(dāng)時(shí)，，即為直角三角形．綜上所述，當(dāng)或時(shí)，為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解分式方程等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，注意分類討論的思想的應(yīng)用．11．（2021·沈陽(yáng)市第一三四中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；與點(diǎn)P同時(shí)，點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)，沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；過(guò)點(diǎn)Q作QE∥AC，交DC于點(diǎn)E．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），（0＜t＜4），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t＝時(shí)，BP長(zhǎng)為cm，AQ長(zhǎng)為cm；（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使PQ平分∠APC？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)0＜t＜時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在，當(dāng)t=秒時(shí)，PQ平分∠APC；（3）t=或t=時(shí)，△PQE是直角三角形．【分析】（1）根據(jù)題意可直接寫出；（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)，得出AP=AQ，運(yùn)用勾股定理建立方程求解即可；（3）分三種情況討論：①當(dāng)∠QEP=90°時(shí)，先證明△QDE∽△ECP，根據(jù)相似三角形性質(zhì)建立方程求解即可；②當(dāng)∠PQE=90°時(shí)，如圖4，過(guò)點(diǎn)P作線段PI⊥AD于點(diǎn)I，根據(jù)△QDE∽△PIQ，建立方程求解即可；③當(dāng)∠QPE=90°，不滿足題意．【詳解】解：（1）由題意知：vP=2cm/s，vQ=1cm/s且P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為ts，∴BP=2t(cm)，DQ=tcm，∴AQ=AD-DQ=8-t，當(dāng)時(shí)，