2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 34 第四章 第五節(jié) 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及簡單應(yīng)用

第五節(jié)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及簡單應(yīng)用考試要求：1．結(jié)合具體實例，了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的實際意義．2．能借助圖象理解參數(shù)A，ω，φ的意義，了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響．3．會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題，體會利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型．自查自測知識點一簡諧運動的有關(guān)概念函數(shù)y＝2sin2x+π4A．2，1π，π4 BC．2，1π，π8 D．2，A解析：由振幅、頻率和初相的定義可知，函數(shù)y＝2sin2x+π4的振幅為2，頻率為核心回扣已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0振幅A周期T＝2π頻率f＝1T＝相位ωx＋φ初相φ自查自測知識點二由函數(shù)y＝sinx的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的方法1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)函數(shù)f(x)＝sin2x的圖象向右平移π6個單位長度后得到函數(shù)g(x)＝sin2x－π6的圖象．(2)把y＝sinx的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的12，所得函數(shù)解析式為y＝sin12x.(×(3)把y＝cosx的圖象上各點的縱坐標伸長為原來的2倍，所得函數(shù)解析式為y＝2cosx．(√)2．(教材改編題)將函數(shù)y＝3sin2x+π4的圖象向左平移π3個單位長度后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則g3sin2x+11π12解析：g(x)＝fx+π3核心回扣1．兩種方法2．兩種變換的區(qū)別：①先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個單位長度；②先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是φω注意點：無論哪種變換，每一個變換總是針對自變量x而言的，即圖象變換要看“自變量x”發(fā)生多大變化，而不是看角“ωx＋φ”的變化．【常用結(jié)論】1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”．2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的對稱軸由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z確定；對稱中心的橫坐標由ωx＋φ＝kπ，k∈Z3．用“五點法”畫函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個關(guān)鍵點，如下表：ωx＋φ0ππ3π2πx－ππ3π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0應(yīng)用1用“五點法”畫函數(shù)y＝sin2x+π4的圖象時A．－π8，0C．3π8，0 D解析：“五點法”作圖的五個點是一個周期內(nèi)的5個特殊位置，即最值點和函數(shù)與x軸的交點，因此0，應(yīng)用2把函數(shù)y＝sinx的圖象先向左平移π4個單位長度，再向上平移3個單位長度得到的函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為y＝sinx+π4＋3解析：把函數(shù)y＝sinx的圖象先向左平移π4個單位長度得到函數(shù)y＝sinx+π4的圖象，再向上平移3應(yīng)用3函數(shù)f(x)＝sin2x+x＝kπ2+π12(k∈Z)解析：由2x＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式1．(2024·日照模擬)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋bA>0，ωA．f(x)＝3sin2x－π6＋1 B．f(x)＝C．f(x)＝2sin3x－π6＋2 D．f(x)＝D解析：根據(jù)題圖知A+b=4，b－A=0，所以A＝2，b＝2.又T又函數(shù)的圖象經(jīng)過最高點π6代入函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋φ)＋2，得sin2×π因為φ<π2，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin22．(多選題)如圖是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的部分圖象，則sin(ωx＋φ)＝()A．sinx+π3 BC．cos2x+π6BC解析：由題圖可知，函數(shù)的最小正周期T＝22π3－π6＝π，所以2πω＝π不妨取ω＝2，則y＝sin(2x＋φ)．將點π6，0代入，得sin2×π6+φ＝0，所以2×π6＋φ＝2即φ＝2kπ＋2π3，k∈Z取k＝0，則y＝sin2x+2π3sin2x+2π3＝sinπ－π3sin2x+2π3＝sin2x+π由C知sin2x+2π3＝cos2x+π6＝cosπ3．(2021·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則fπ2＝－3解析：由題意，可得34T＝13π12－π3＝3π4，所以T＝π，|ω不妨取ω＝2，當x＝13π12時，ωx＋φ＝2×13π12＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－13π6(k∈令k＝1可得φ＝－π6據(jù)此有f(x)＝2cos2x－π6，fπ2＝2cos2×π確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的解析式的步驟和方法(1)求A，b.確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝M－m2，b(2)求ω.確定函數(shù)的最小正周期T，則ω＝2πT(3)求φ.把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間內(nèi)還是在下降區(qū)間內(nèi))或把圖象的最高點(最低點)代入．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象變換【例1】(1)(2024·成都模擬)把函數(shù)y＝f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的12，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移π3個單位長度，得到函數(shù)y＝sinx－π4的圖象，則f(xA．sinx2－7π12C．sin2x－7π12B解析：由已知的函數(shù)y＝sinx－π4進行逆向變換，即將y＝sinx－π4的圖象向左平移π3個單位長度，再將所得曲線上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝f(x)的圖象，所以y＝sinx－π4的圖象向左平移π3個單位長度y(2)(2023·全國甲卷)已知f(x)為函數(shù)y＝cos2x+π6的圖象向左平移π6個單位長度所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式，則函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝12xA．1 B．2C．3 D．4C解析：因為y＝cos2x+π6的圖象向左平移π6個單位長度所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為y＝cos2x+π6+π6＝cos2x+而直線y＝12x－12顯然過0，－1作出函數(shù)f(x)與直線y＝12x－1當x＝－3π4時，f－3π4＝－sin－3π2＝－1，y＝12×當x＝3π4時，f3π4＝－sin3π2＝1，y＝12當x＝7π4時，f7π4＝－sin7π2＝1，y＝12所以由圖可知，f(x)與y＝12x－12[變式]本例(1)改為：把函數(shù)y＝f(x)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向左平移π3個單位長度，得到函數(shù)y＝sinx－π4的圖象，則f(sin2x－7π12解析：依題意，將y＝sinx－π4的圖象向右平移再將y＝sinx－7π12的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的12，縱坐標不變得到原函數(shù)y＝f(x)＝sin2x－7π12的圖象，即函數(shù)圖象的變換的解題策略(1)由y＝sinωx的圖象到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的圖象的變換：向左平移φω個單位長度而非φ(2)如果平移前后兩個圖象對應(yīng)的函數(shù)的名稱不一致，那么應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)，ω為負時應(yīng)先變成正值．1．已知函數(shù)f(x)＝sin2x+π6，若將f(x)的圖象向右平移π6個單位長度后，再把所得曲線上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)g(x)A．g(x)＝sin4x－π6 B．g(xC．g(x)＝sinx D．g(x)＝sinxD解析：將函數(shù)f(x)＝sin2x+π6的圖象向右平移π6個單位長度，可得函數(shù)y＝sin2x－π6+π6＝sin2x－π62．(2024·南昌模擬)要得到y(tǒng)＝cos3x－π4的圖象，只需將y＝sin3xA．向左平移π4個單位長度 B．向右平移πC．向左平移π12個單位長度 D．向左平移5πC解析：因為y＝cos3x－π4＝sin3x－π4+π2＝sin3x+π4＝3．把函數(shù)f(x)＝2cos2x－π4的圖象向左平移m(m>0)個單位長度，得到函數(shù)g(x)＝2sin2x－A．7π24 B．C．5π24 D．B解析：把函數(shù)f(x)＝2cos2x－π4的圖象向左平移m得到函數(shù)y＝2cos2x+m－πg(shù)(x)＝2sin2x－π3＝2cosπ2－2令2m－π4＝－5π6＋2kπ，k∈Z，得m＝－7π24＋kπ，k因為m>0，所以當k＝1時，m取得最小值，此時m＝π－7π24＝17π三角函數(shù)模型及其應(yīng)用【例2】已知某海濱浴場的海浪高度y(單位：米)是時間t(單位：時)的函數(shù)，其中0≤t≤24，記y＝f(t)，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的圖象可近似地看成函數(shù)y＝Acosωt＋b的圖象．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期、振幅及函數(shù)解析式；(2)根據(jù)規(guī)定，當海浪高度大于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的8：00到20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行活動？解：(1)由表中數(shù)據(jù)可知，T＝12，所以ω＝π6.又t＝0時，y＝1.5，所以A＋b＝1.5；t＝3時，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅A＝12，所以函數(shù)解析式為y＝12cosπ6t＋1(0≤(2)因為當y＞1時，才對沖浪愛好者開放，所以y＝12cosπ6t＋1＞1，cosπ6t＞0，則2kπ－π2＜π6t＜2kπ＋π2(k∈Z)，即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在8：00到20：00之間只有6[變式]若將本例(2)中“大于1米”改為“大于1.25米”，結(jié)果又如何？解：由y＝12cosπ6t＋1＞1.25，得cosπ6t＞12，則2kπ－π3＜π6t＜2kπ＋即12k－2＜t＜12k＋2，k∈Z.又0≤t≤24，所以0≤t＜2或10＜t＜14或22＜t≤24，所以在8：00到20：00之間只有4個小時可供沖浪愛好者進行活動，即10＜t＜14.利用三角函數(shù)模型解決實際問題的步驟(1)尋找與角有關(guān)的信息，確定選用正弦、余弦還是正切型函數(shù)模型；(2)尋找數(shù)據(jù)，建立函數(shù)解析式并解題；(3)將所得結(jié)果“翻譯”成實際答案，要注意根據(jù)實際作答．解題思路如下：如圖所示，某大風(fēng)車的半徑為2m，每12s旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點O離地面0.5m．風(fēng)車圓周上一點A從最低點O開始，運動ts后與地面的距離為hm.(1)求函數(shù)h＝f(t)的關(guān)系式；(2)當1≤t≤8時，求h的取值范圍．解：(1)如圖所示，以O(shè)為原點，過點O的圓的切線為x軸，建立平面直角坐標系．過點A作y軸的垂線段，垂足為B，連接O1A.設(shè)點A的坐標為(x，y)，則h＝y(tǒng)＋0.5.設(shè)∠OO1A＝θ，則cosθ＝2－y2，所以y＝－2cos又θ＝2π12t，即θ＝π6t，所以y＝－2cosπ6t＋2，故h＝f(t)＝－2cosπ(2)當1≤t≤8時，則π6≤π6t≤4π3，所以－1≤cosπ6t≤32，所以2.5即當1≤t≤8時，h的取值范圍是[2.5－3，4.5].三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題【例3】(1)(多選題)(2024·濟南模擬)若將函數(shù)f(x)＝cos2x+π12的圖象向左平移π8個單位長度，得到函數(shù)g(xA．g(x)的最小正周期為πB．g(x)在區(qū)間0，C．x＝－π6是函數(shù)g(x)D．g(x)的圖象關(guān)于點－5πACD解析：將函數(shù)f(x)＝cos2x+π12的圖象向左平移π8個單位長度，得到函數(shù)g(x)＝cos對于A，g(x)的最小正周期為T＝2π2＝π，故A正確對于B，由0≤x≤π2，得π3≤2x＋π3≤4π3，當π≤2x＋π3≤4π3，即π3≤對于C，g－π6＝cos2×－π6+π3＝cos0＝1，所以x＝－π對于D，g－5π12＝cos2×－5π12+π3＝cos－π2＝cosπ2＝(2)已知關(guān)于x的方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0在π2，π上有兩個不同的實數(shù)根，則(－2，－1)解析：方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0可轉(zhuǎn)化為m＝1－2sin2x＋3sin2x＝cos2x＋3sin2x＝2sin2x設(shè)2x＋π6＝t，x∈π2，π，則題目條件可轉(zhuǎn)化為m2＝sint，t∈7π所以y＝m2和y＝sint，t∈7π由圖象觀察知，m2的取值范圍為－1，－12，故m的取值范圍是(1．研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)時可將ωx＋φ視為一個整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進行解題．2．方程根的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)．(多選題)(2024·邯鄲模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2＝的圖象過點(0，1)，最小正周期為π2，則(A．函數(shù)f(x)在π6B．函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6C．函數(shù)f(x)在(0，π)上有且僅有4個零點D．函數(shù)f(x)在區(qū)間π4BCD解析：依題意，f(0)＝2sinφ＝1，即sinφ＝12，而|φ|＜π2，則φ＝π6.又最小正周期為π2，得ω＝4，則f(x)對于A，由x∈π6，5π6，得4x＋π6∈5π6，7π2，則對于B，f(x)的圖象向右平移π6個單位長度后得函數(shù)f(x)＝2sin4x－π6+JP2π6＝對于C，當0＜x＜π時，π6＜4x＋π6＜4π＋π6，則當4x＋π6＝π，2π，3π，4π時，有x＝5π24，11π24，17π24，23π24，可得對于D，當π4＜x＜5π12時，7π6＜4x＋π6＜11π6，當4x＋π6＝3π2時，f(x)課時質(zhì)量評價(二十五)1．為了得到函數(shù)y＝3sin12x+π5的圖象，只需把y＝3cosA．向右平移3π5B．向右平移2π5C．向左平移2π5D．向左平移3π5A解析：為了得到函數(shù)y＝3sin12x+π5＝3cos12x+π5－π2＝2．(2024·煙臺模擬)函數(shù)f(x)＝sin2x－π3的圖象是由函數(shù)g(x)的圖象向左平移φ0<φ<π2個單位長度得到的．若gπ3A．π3 B．C．π6 D．A解析：因為函數(shù)f(x)＝sin2x－π3的圖象是由函數(shù)g(x)的圖象向左平移φ0<φ<π2個單位長度得到，所以g(因為gπ3＝－fπ3，所以sinπ3－故可得π3－2φ＝2kπ－π3，k∈Z或π3－2φ＝2kπ－2π3，又0<φ<π2，所以φ＝π3．(多選題)(數(shù)學(xué)與生活)海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋.已知某港口水深f(t)(單位：m)與時間t(單位：h)從0～24時的關(guān)系可近似地用函數(shù)f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋bA>0，JPω>0，φA．f(t)＝3sinπ6t＋5(0≤t≤B．函數(shù)f(t)的圖象關(guān)于點(12，0)對稱C．當t＝5時，水深達到6.5mD．已知函數(shù)g(t)的定義域為[0，6]，g(2t)＝f(2t)－n有2個零點t1，t2，則tanπt1ACD解析：由圖知T＝2πω＝15－3＝12，所以ω＝π又A+b=8，－A+由f(3)＝8，得φ＝0，故f(t)＝3sinπ6t＋5(0≤t≤24)，A正確函數(shù)f(t)的圖象不關(guān)于點(12，0)對稱，B錯誤．f(5)＝3sin5π6＋5＝32＋5＝6.5，即當t＝5時，水深達到6.5m，C因為g(t)的定義域為[0，6]，所以0≤2t≤6，解得0≤t≤3.令g(2t)＝f(2t)－n＝0，得n＝f(2t)＝3sinπ3t＋所以n－53＝sinπ3t(0≤因為π3t∈[0，π]，t1，t2為g(2t)＝f(2t)－n的2所以π3t1＋π3t2＝π2×2＝π，所以t1＋t2所以tanπt1+t2＝tanπ3故選ACD．4．已知函數(shù)f(x)＝－sin2ωx(ω>0)的最小正周期為π，若將其圖象沿x軸向右平移a(a>0)個單位長度，所得圖象關(guān)于直線x＝π3對稱，則實數(shù)a的最小值為(A．π B．πC．3π4 D．B解析：函數(shù)f(x)＝－sin2ωx＝cos2ωx－12(ω>0)的最小正周期為2π2ω＝所以f(x)＝cos若將其圖象沿x軸向右平移a(a>0)個單位長度，可得y＝cos2再根據(jù)所得圖象關(guān)于直線x＝π3對稱，可得2×π3－2a＝kπ，k∈Z，故a＝令k＝0，可得實數(shù)a的最小值為π35．已知函數(shù)f(x)＝2sinx+π6，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移π6個單位長度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則g(x)在[0π6，7π6解析：將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移π6個單位長度，得fx+π6＝2sinx+π3，即g(x)＝2sinx+π3.由x∈[0，2π]，得π3≤x6．函數(shù)y＝sin(2x＋φ)φ<π2的圖象向右平移π6個單位長度后所得函數(shù)圖象關(guān)于y－π6解析：由y＝sin(2x＋φ)的圖象向右平移π6個單位長度后，可得f(x)＝sin2x－π6+φ＝sin2x－π3+φ的圖象．因為f(x)＝sin2x－π3+φ的圖象關(guān)于y軸對稱，所以－π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，解得7．(2024·南昌模擬)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分圖象如圖所示．若x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，則f(x132解析：根據(jù)題圖可得A＝1，周期T＝2π3－－π6又函數(shù)的圖象過點－π6，0，即2×－π6＋φ＝2k所以φ＝π3＋2kπ，k∈Z又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝sin因為π3+－π6又x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x2＝π所以f(x1＋x2)＝sin2×π68．(2024·杭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象如圖所示，M，N是直線y＝－1與曲線y＝f(x)的兩個交點，且|MN|＝2π9，則f(π)的值為(A．2 B．－1C．－2 D．－3D解析：由函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象知A＝2，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)(x2＞x1)，由|MN|＝2π9，可得x2－x1＝2π令2sin(ωx＋φ)＝－1，即sin(ωx＋φ)＝－12結(jié)合圖象可得ωx1＋φ＝－5π6，ωx2＋φ＝－π作差得ω(x2－x1)＝2π3，即ω×2π9＝2π3，所以把－4π9，0代入f(x)＝2sin(3x＋φ)，即2sin所以φ＝(2k－1)π＋4π3，k∈Z則f(π)＝2sin3π+2k－1π+9．(多選題)已知函數(shù)f(x)＝cos2x－π3，先將其圖象上的所有點的橫坐標伸長到原來的4倍(縱坐標不變)，再將所得圖象向右平移2π3個單位長度，得到函數(shù)g(xA．g(x)的最小正周期是4πB．g(x)的最小值為－2C．g(x)在(0，π)上單調(diào)遞增D．g(x)的圖象關(guān)于點π2AC解析：由題先將其圖象上的所有點的橫坐標伸長到原來的4倍(縱坐標不變)得y＝cos12再將所得圖象向右平移2π3個單位長度得y＝cos12x－所以g(x)＝cos12x－2π3，其最小正周期為4π，最小值為－1，故A令－π＋2kπ≤12x－2π3≤2kπ(k∈Z)，