天域全國名校協(xié)作體2024-2025學年高三上學期10月聯(lián)考數(shù)學試題

絕密★考試結束前2024-2025學年第一學期天域全國名校協(xié)作體聯(lián)考高三年級數(shù)學學科試題命題審題：石家莊市第二中學廈門市雙十中學長沙市雅禮中學主辦學校；石家莊市第二中學廈門市雙十中學長沙市雅禮中學考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知，則（）A． B． C． D．2．已知向量．，若，則實數(shù)（）A． B． C．11 D．43．已知函數(shù)的最小正周期為，則的對稱軸可以是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，其圖象無限接近直線但又不與該直線相交，則的解集為（）A． B．C． D．5．已知等差數(shù)列的前n項和為，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知拋物線的焦點為F，過焦點F的直線l與拋物線C交于異于原點O的A，B兩點，若在直線上存在點，使得四邊形是平行四邊形，則（）A．3 B．4 C．5 D．67．某游樂場一段滑水道的示意圖如下所示，A點、B點分別為這段滑道的起點和終點，它們在豎直方向的高度差為40．兩點之間為滑水彎道，相應的曲線可近似看作某三次函數(shù)圖像的一部分（該三次函數(shù)在A，B兩點處取得極值），考慮安全性與趣味性，在滑道最陡處，滑板與水平面成的夾角，則A，B兩點在水平方向的距離約為（）A． B． C． D．8．研究數(shù)據(jù)表明，某校高中生的數(shù)學成績與物理成績、物理成績與化學成績均有正相關關系．現(xiàn)從該校抽取某班50位同學的數(shù)學、物理、化學三科成績作為樣本，設數(shù)學、物理、化學成績分別為變量x，y，z若x，y的樣本相關系數(shù)為，y，z的樣本相關系數(shù)為，則x、z的樣本相關系數(shù)的最大值為（）附：相關系數(shù)A． B． C． D．1二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．某次數(shù)學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．則（）A．估計該年級學生成績的眾數(shù)為75B．C．估計該年級學生成績的75百分位數(shù)約為85D．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數(shù)為87.5010．已知曲線．點，，則以下說法正確的是（）A．曲線C關于原點對稱B．曲線C存在點P，使得C．直線與曲線C沒有交點D．點Q是曲線C上在第三象限內的一點，過點Q向作垂線，垂足分別為A，B，則11．已知，，…，，為1，2，…，5，6的任意排列，設，．則（）A．任意交換的順序，不影響X的取值B．滿足及的排列有20個C．的概率為D．的概率為非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，，則______．13．已知正三棱柱的體積與以的外接圓為底面的圓柱的體積相等，則正三棱柱與圓柱的側面積的比值為______．14．定義在上的函數(shù)滿足：①；②；③，則______，______．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積為S，且（1）求角A；（2）若為銳角三角形，且，求a的取值范圍．16．（15分）已知函數(shù)，（1）當時，求在上的最大值；（2）求的零點個數(shù)．17．（15分）如圖，四棱錐中，，，，，平面平面，且平面，平面平面．（1）求四棱錐的體積；（2）設Q為上一點，若，求二面角的大?。?8．（17分）已知橢圓的右焦點為F，點在C上，且軸，過點M且與橢圓C有且只有一個公共點的直線與x軸交于點P．（1）求橢圓C的方程；（2）點R是橢圓C上異于M的一點，且三角形的面積為24，求直線的方程；（3）過點P的直線交橢圓C于D，E兩點（D在E的左側），若N為線段的中點，直線交直線于點Q，T為線段的中點，求線段的最大值．19．（17分）黎曼函數(shù)與數(shù)論中的素數(shù)分布定理和黎曼猜想密切相關．是這樣定義的：記為復數(shù)s的實部，當時，有，故對的研究具有重要意義．（1）已知對任意正整數(shù)n，都存在唯一的整數(shù)和，使得，其中為奇數(shù)，為自然數(shù)，求；（2）試判斷是否存在正整數(shù)k，使得，并證明你的結論；（3）求證：．絕密★考試結束前2024-2025學年第一學期天域全國名校協(xié)作體聯(lián)考高三年級數(shù)學學科參考答案1．B2．B3．B4．A5．C6．B7．C8．B【答案】【解析】設，，，，，設與夾角為，與夾角為，則與夾角余弦值最大值為，此時x與z樣本相關系數(shù)最大．由，，從而故選：B9．ACD 10．CD 11．ABD11．【詳解】對于A，注意到當被確定后，的取值也被固定，因此滿足條件的條件組數(shù)即滿足條件的的組數(shù)，即從1，2，…，5，6中任選3個數(shù)的數(shù)目，即．注意到任意交換的順序，不影響X，Y的取值，任意交換的順序，不影響X，Y的取值，A正確，B正確；因此不妨設及．注意到，整體交換和也不影響X，Y的取值，因此不妨設，即，將滿足以上條件的排列列舉如下：XYXY12345634135246521243564313624552125346531452365212634553146235521342564215623442總情況數(shù)共10種，除第一種外均滿足．因此，12． 13．2 14．1，（第一空2分，第二空3分）14．【解析】在①中，令，得，在②中，令，得，在①中，令，得，所以；在①中，令，得，令，則有，所以是奇函數(shù)，C選項正確；在②中，令，得，由③知，在上非嚴格單調遞增，又因為，所以均有．注意到，因此，于是15．【解析】（1），則，即，，或（舍）（2）由正弦定理得，即，且，，所以因為為銳角三角形，，，所以，所以，即．可得，即a的取值范圍為．16．【解析】（1），，令，則單調遞減，且從而，，單調遞增；，，單調遞減．（2）令，則由，令，則從而在上單調遞減，在上單調遞減．若，當時，，若，當時，；若，當時，，當時，．從而當時，與有一個交點時，與有兩個交點故時，有一個零點；時有兩個零點．17．【解析】（1）因為平面，平面，平面平面，所以．同理，．所以．因為，，，所以．所以底面的面積．在中，，，，所以，所以由平面平面，平面平面，，平面，所以平面．因為，所以．所以四棱錐的體積．（2）因為，，，所以，所以，，兩兩垂直，以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．則，，，，．所以，設，所以，因為所以高解得．所以．因此，，設為平面的法向量，則，取，則，，即．因為平面所以平面的法向量為設二面角為，則即二面角的大小為18．【解析】（1）由題意得，，從而，，橢圓C方程為（2）設，與橢圓聯(lián)立，得，由橢圓與直線只有一個交點，令，即①又過，則②聯(lián)立①②可得即點P為．設原點由，故，從而R到l的距離為O到l距離的2倍，即R在l關于O對稱的直線上，又R在橢圓上，從而M，R關于O對稱故直線方程為（3）設，，，則，即①，又由可得②結合①②可得，，，，，，則直線的