數(shù)學(xué)建模習題及答案課后習題

第一部分課后習題

1.學(xué)校共1000名學(xué)生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。學(xué)生們要組織一個10

人的委員會，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)：

（1）按比例分配取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。

（2）2.1節(jié)中的Q值方法。

'Hondt方法：將A,B,C各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)n=L2,3,…相除，其商數(shù)如下表

12345…

A235117.578.358.75

B333166.511183.25???

C43221614410886.4

將所得商數(shù)從大到小取前10個（10為席位數(shù)），在數(shù)字下標以橫線，表中A,B,C行有橫線的數(shù)分別為2,

3,5,這就是3個宿舍分配的席位。你能解釋這種方法的道理嗎。

如果委員會從10人增至15人，用以上3種方法再分配名額。將3種方法兩次分配的結(jié)果列表比較。

（4）你能提出其他的方法嗎。用你的方法分配上面的名額。

2.在超市購物時你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象了嗎。比如潔銀牙膏50g裝的每支1.50

元，120g裝的3.00元，二者單位重量的價格比是1.2：1。試用比例方法構(gòu)造模型解釋這個現(xiàn)象。

（1）分析商品價格C與商品重量w的關(guān)系。價格由生產(chǎn)成本、包裝成本和其他成本等決定，這些成本中

有的與重量w成正比，有的與表面積成正比，還有與w無關(guān)的因素。

（2）給出單位重量價格c與琳的關(guān)系，畫出它的簡圖，說明w越大c越小，但是隨著w的增加c減少的

程度變小。解釋實際意義是什么。

3.一垂釣俱樂部鼓勵垂釣者將調(diào)上的魚放生，打算按照放生的魚的重量給予獎勵，俱樂部只準備了一把軟

尺用于測量，請你設(shè)計按照測量的長度估計魚的重量的方法。假定魚池中只有一種等魚，并且得到8條

魚的如下數(shù)據(jù)（胸圍指魚身的最大周長）：

身長（cm）36.831.843.836.832.145.135.932.1

重量（g）76548211627374821389652454

胸圍（cm）24.821.327.924.821.631.822.921.6

先用機理分析建立模型，再用數(shù)據(jù)確定參數(shù)

4.月寬w的布條纏繞直徑d的圓形管道，要求布條不重疊，問布條與管道軸線的夾角。應(yīng)多大（如圖）。

若知道管道長度，需用多長布條（可考慮兩端的影響）.加果管道是其他形狀呢”

5.月已知尺寸的矩形板材加工半徑一定的圓盤，給出幾種簡便、有效的排列方法，使加工出盡可能多的圓

盤。

6.動物園里的成年熱血動物靠飼養(yǎng)的食物維持體溫基本不變，在一些合理、簡化的假設(shè)下建立動物的飼養(yǎng)

食物量與動物的某個尺寸之間的關(guān)系。

7.也重比賽按照運動員的體重分組，你能在一些合理、簡化的假設(shè)下建立比賽成績與體重之間的關(guān)系嗎。

下面是一屆奧員會的競賽成績，可供檢驗?zāi)愕哪Ｐ汀?/p>

組別最大體重抓舉（kg）挺舉（kg）總成績（kg）

（kg）

154132.5155287.5

259137.5170307.5

364147.5187.5335

470162.5195357.5

576167.5200367.5

683180212.5392.5

791187.5213402.5

899185235420

9108195235430

10)108197.5260457.5

第一部分課后習題答案

1.按照題目所給方法（1）,（2）,（3）的席位分配結(jié)果如下表：

宿舍(1)(2)(3)(1)(2)(3)

A322443

B333555

C155667

總計101010151515

2.（1）生產(chǎn)成本主要與重量w成正比，包裝成本主要與表面積s成正比，其它成本也包含與w和s成

正比的部分，上述三種成本中都含有與w,S均無關(guān)的成分。又因為形狀一定時一般有SOC卬2/3,

故商品的價格可表為。=。卬+四2/3+7（a,6為大于o的常數(shù)）。

C

（2）單位重量價格。=一=。+/卬-"3+四7,其簡圖如下：

W

顯然C是W的減函數(shù)，說明大包裝比小包裝的商品便宜，；曲線是下凸的，說明單價的減少值隨著包裝

的變大是逐漸降低的，不要追求太大包裝的商品。

3.對于同一種魚不妨認為其整體形狀是相似的，密度也大體上相同，所以重量W與身長/的立方成正

比，即卬=占尸，匕為比例系數(shù)。

常釣得較肥的魚的垂釣者不一定認可上述模型，因為它對肥魚和瘦魚同等看待。如果只假定魚的橫截面

積是相似的，則橫截面積與魚身最大周長的平方成正比，于是卬&為比例系數(shù)。

利用數(shù)據(jù)估計模型中的系數(shù)可得匕=0.014,=0.0322,將實際數(shù)據(jù)與模型結(jié)果比較如下表:

熨際重量

76548211627374821389652454

（g）

模型

72746912267274831339675483

w=

模型

273046511007304831471607483

w=k2dl

基本上滿意。

4.將管道展開如圖：

可得vv=%7cosa,若d一定，w趨于0,。趨于乃/2；w趨于乃d,。趨于0。若管道長度為/,不考

慮兩端的影響時布條長度顯然為乃d//w,若考慮兩端影響，則應(yīng)加上〃dw/sina。對于其它形狀管

道，只需將4d改為相應(yīng)的周長即可。

5.設(shè)圓盤半徑為單位1,矩形板材長a,寬b；可以精確加工，即圓盤之間及圓盤與板材之間均可相

切。

方案一：圓盤中心按正方形排列，如下圖1,圓盤總數(shù)為N[=[a/2][b⑵

方案二：圓盤中心按六角形排列，如下圖2,行數(shù)m滿足2+（m-1）>/3<a,于是

圖I圖2

列數(shù)（按圖2第1行計數(shù)）n滿足：若血為奇數(shù)，則各行圓盤數(shù)相同為（|b]-l）/2：若[b]為偶數(shù)，則奇

數(shù)行圓盤數(shù)為[b]/2,偶數(shù)行圓盤數(shù)為[b]/2-L

皿囪-1)/2(1)

圓盤總數(shù)為N2=<

〃2(族］一1)/2+1/2(2)

其中（1）為：m為偶數(shù)。（2）為：m為奇數(shù)，[b]為偶數(shù)。

兩個方案的比較見下表（表中數(shù)字為NjN?）：

b358101420

42/24/48/710/914/1320/19

73/36/612/1115/1421/2030/29

105/510/1020/1825/2335/3350/48

157/814/1628/2835/3649/5270/76

2010/1120/2240/3950/5070/72100/105

當a,b較大時，方案二優(yōu)于方案一。

其它方案，方案一、二混合，若a=b=20,3行正方形加8行六角形，圓盤總數(shù)為106。

6.假設(shè)處于靜止狀態(tài)的動物的飼養(yǎng)食物量主要用于維持體溫不變，且動物體內(nèi)熱量主要通過它的表面

積散失，對于一種動物其表面積S與某特征尺寸/之間的關(guān)系是Soc/2,所以飼養(yǎng)食物量卬OC/2。

7.假設(shè)舉重比賽成績y與運動員肌肉的截面積s成正比，而截面積SOC/2（/是某特征尺寸），體重

wx/3,于是yocw2,i,,

用舉重總成績檢驗這個模型，結(jié)果如下圖3；如果用舉重總成績擬合yoc可得a=0.57,結(jié)果如下

圖4。

圖3圖4

第二部分課后習題

1.Malthus模型預(yù)測的優(yōu)缺點。

2.阻滯增長模型預(yù)測的優(yōu)缺點。

3.簡述動態(tài)模型和微分方程建模。

4.按照你的觀點應(yīng)從那幾個方面來建立傳染病模型。

5.敘述Leslie人口模型的特點。并討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律。

6.試比較連續(xù)形式的阻滯增長模型（Logistic模型）和離散形式阻滯增長模型，并討論離散形式阻滯增長模型

立衡點及其穩(wěn)定性。

第二部分課后習題答案

1.優(yōu)點：短期預(yù)報比較準確；缺點：不適合中長期預(yù)報；原因：預(yù)報時假設(shè)人11增長率為常數(shù)，沒有考慮環(huán)境

對人口增長的制約作用。

2.優(yōu)點：中期預(yù)報比較準確；缺點：理論上很好，實用性不強；原因：預(yù)報時假設(shè)固有人口增長率以及最大

人口容量為定值。實際上這兩個參數(shù)很難確定，而且會隨著社會發(fā)展情況變化而變化。

3.動態(tài)模型：描述對象特征隨時間(空間)的演變過程，分析對象特征的變化規(guī)律，預(yù)報對象特征的未來性態(tài),

研究控制對象特征的手段；微分方程建模：模根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)，根據(jù)建模目的和

問題分析作出簡化假設(shè)，按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程。

4.描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)報傳染病高潮到來的時刻，預(yù)防傳染病蔓延的手

段，按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型。

5.不同年齡組的繁殖率和死亡率不同，以雌性個體數(shù)量為對象(假設(shè)性別比為11),是一種差分方程模型。

6.連續(xù)形式：y(f)表示某種群，時刻的數(shù)量(人口)

離散形式：”表示某種群第〃代的數(shù)量(人口)

若然=乂”，則以+1，”+2門=乂*，=是平衡點；yn+l-yn=ryn(l~^-)的平衡點為

爐=.yn+l=(r+\)yn1---的平衡點為x=,其中

(r+l)N,“Jr+lb

b=\i-r,xn=ryn/(\+r)NinJ(x)=bx(\-x),此時的差分方程變?yōu)?/p>

=如刈一皿)=/(乙)〃=1,2,…?

由x=f(x)=bx(l-x)可得平衡點X*=1-=0.

b

在平衡點/=0處，由于/X0)=h>1,因此，X=0不穩(wěn)定.

在在平衡點V=1處，因/'(%*)=8(1-2/)=2-。，所以

b

(i)|r(x)|>l<=>/?>3當8>3時，平衡點x*=l—(不穩(wěn)定；

(ii)|/(x)|<1<=>1<Z?<3當lvbv3時，平衡點丁=1一~!?不穩(wěn)定.

第三部分課后習題

1.判斷下列數(shù)學(xué)模型是否為線性規(guī)劃模型。(a,b,c為常數(shù)，x,y為變量)

2.將下述線性規(guī)劃問題化為標準形式。

3.用單純形法求解線性規(guī)劃問題。

4.檢驗函數(shù)〃幻=100。2-K)2+(1一陽)2在X*=(1,1)/處有g(shù)*=o,G"正定，從而,為極小

點。證明G為奇異當且僅當乙一$2=0.005,從而證明對所有滿足/(幻＜0.0025的X,G是正定

的。

5.求出函數(shù)/(x)=+2x；+x：的所有平穩(wěn)點；問哪些是極小點？是否為全局極小點？

6.應(yīng)用梯度法于函數(shù)/*)=Kb：；+/2,取工⑴=(0.1,1)。迭代求X⑵.

第三部分課后習題答案

I.答案：(1)是(2)不是(3)是

2.答案：(1)

(2)令

引入松弛變量?可得到如下的標準形式：

(3)解：令為'=一$，占=%3'一工3”

(4)解：令％'二一工2，工4二工4’一工4”

3.答案：在上述問題的約束條件中加入松弛變量匕，工4，匕，將原問題化成標準形式如下:

其現(xiàn)成可行基(?3,，。5)對應(yīng)的單純形表如下:

250000

101004

0201012

3200118

換基迭不卻得

200-5/20-30換基迭代，得

101004故最優(yōu)解為X*=(2,6,2,。。了，目

0101/206

標函數(shù)的最優(yōu)值為/*=34.

00-116

4.證明：

000-11/6-2/3-34_400X1X2+400x：+2^1—2

《工飛XX

0011/3-1/322OO(2-^)

0101/206

100-1/31/32

(-400X2+1200xf+2-400x,

G(x)=1-400^,200

\1J

'802-400

經(jīng)檢驗，g(x")=O,G(x*)正定,

「400200

G(x)奇異當且僅當|G(x)|=0,即x2-xf=0.005。

若《8。；囂溫W即i+。皿。時,3

所以若f(x)<0.0025,則100(%-x?)2<0,0025,即七一%2Vo.005,故G(x)正定。

<4x-2X4-6X2+4X：、

5.解：g(x)=}2I

<212-2為))

<4+12x,+12xf-2

G(x)=,故平穩(wěn)點為(0,0),(-0.5,-().5),(-1,-1),極小點為(0,0),(—1,一1),且

-2

是全局極小點。

6.解：1⑵=（_2,2）7

11011

第四部分課后習題

1.如果開金礦博弈中第三階段乙選擇打官司后的結(jié)果尚不能確定，即圖中a、b的數(shù)值不確定。討論本博弈

可能有哪些可能的結(jié)果？如果本博弈中的“威脅”和“承諾”是可信的，a、b應(yīng)滿足什么條件？

2.靜態(tài)貝葉斯博弈中參與人的策略有什C（a,b）（0,4）

3.有了海薩尼轉(zhuǎn)換，不完全信息動態(tài)博弈和完全但不完美信息動態(tài)博弈基本上是相同的，，這種論述是否

正確？

4.判斷下列論述是否正確，并作簡單討論。

（1）古玩市場的交易中買賣雙方的后悔都來源于自己對古玩價值判斷的失誤，若預(yù)先對價值的判斷是正確的，

那么交易者肯定不會后悔。

⑵教育程度在勞動力市場招聘員工時受到重視的理由是，經(jīng)濟學(xué)已經(jīng)證明教育對于提高勞動力素質(zhì)有不可替

代的作用。若（1）“自然”以均等的概率決定得益是下述得益矩陣1的情況還是得益矩陣2的情況，并讓博

弈方I知道而不讓博弈方2知道；（2）博弈方1在T和B中選擇，同時博弈方2在L和R中進行選擇。

找出該靜態(tài)貝葉斯博弈的所有純策略貝葉斯納什均衡。

6.請用下面這個兩市場博弈驗證海薩尼關(guān)于混合策略和不完全信息博弈關(guān)系的結(jié)論。

第四部分課后習題答案

1.參考答案：

括號中的第一個數(shù)字代表乙的得益，第二個數(shù)字代表甲的得益，所以a表示乙的得益，而b表示甲的

得益。

在第三階段，如果則乙會比擇不打官司。這時逆推回第二階段，甲會選擇不分，因為分的得

益2小于不分的得益4。再逆推回第一階段，乙肯定會選擇不借，因為借的最終得益0比不借的最終得益1

小。

在第三階段，如果。＞0,則乙輪到選擇的時候會選擇打官司，此時雙方得益是（a,b）。逆推回第二階

段，如果人＞2,則甲在第二階段仍然選擇不分，這時雙方得益為（a,b）。在這種情況下再逆推回第一階

段，那么當。＜1時乙會選擇不借，雙方得益（1,0）,當。＞1時乙肯定會選擇借，最后雙方得益為

（a,b）o在第二階段如果〃＜2,則甲會選擇分，此時雙方得或為（2,2）＜再逆推回第階段，乙肯定

會選擇借，因為借的得益2大于不借的得益1,最后雙方的得益（2,2）。

根據(jù)上述分析我們可以看出，該博弈比較明確可以預(yù)測的結(jié)果有這樣幾種情況：

（1）。＜0,此時本博弈的結(jié)果是乙在第一階段不愿意借給對方，結(jié)束博弈，雙方得益

（1,0）,不管這時候b的值是多少；（2）0＜。V1且人＞2,此時博弈的結(jié)果仍然是乙在第一階段

選擇不借，結(jié)束博弈，雙方得益（1,0）；（3）。＞1且6＞2,此時博弈的結(jié)果是乙在第一階段選擇借，

甲在第二階段選擇不分，乙在第三階段選擇打，最后結(jié)果是雙方得益

（a,b）；（4）a＞0S.b＜2,此時乙在第一階段會選擇借，甲在第二階段會選擇分，雙方得益（2,

2〕。

要本博弈的“威脅”，即“打”是可信的，條件是々＞0。要本博弈的“承諾”，即“分”是可信

的,條件是“＞0且人＜2。

注意上面的討論中沒有考慮a=0、跖1、b=2的幾種情況，因為這些時候博弈方的選擇很難用理論方法

碓定和預(yù)測。不過最終的結(jié)果并不會超出上面給出的范圍。

2.參考答案：

靜態(tài)貝葉斯博弈中博弈方的一個策略是他們針對自己各種可能的類型如何作相應(yīng)的完整計劃?；蛘邠Q

句話說，靜態(tài)貝葉斯博弈中博弈方的策略就是類型空間到行為空間的一個函數(shù)，可以是線性函數(shù)，也可以

是非線性函數(shù)，當博弈方的類型只有有限幾種時是離散函數(shù)，當博弈方的類型空間是連續(xù)區(qū)間或空間時則

是連續(xù)函數(shù).只有一種類型的博弈方的策略仍然是一種行為選擇，但我們同樣可以認為是其類型的函數(shù)。

靜態(tài)貝葉斯博弈中博弈方的策略之所以必須是針對自己所有可能類型的函數(shù)，原因是博弈方相互會認

為其他博弈方可能屬于每種類型，因此會考慮其他博弈方所有可能類型下的行為選擇，并以此作為自己行

為選擇的根據(jù)。因此各個博弈方必須設(shè)定自己在所有各種可能類型下的最優(yōu)行為，而不僅僅只考慮針對真

實類型的行為選擇。

3.參考答案：

正確。事實上，不完全信息動態(tài)博弈與完全但不完美信息動態(tài)博弈本質(zhì)上常常是相同的，是一種博弈

問題的兩種不同理解方法，而把它們聯(lián)系起來的橋梁就是海薩尼轉(zhuǎn)換。

4.參考答案：

（1）錯誤。即使自己對古玩價值的判斷是完全正確的，仍然有可能后悔.因為古玩交易的價格和利益

不僅取決于古玩的實際價值和自己的估價，還取決于對方的估價和愿意接受的成交價格，因此僅僅自己作

出正確的估價并不等于實現(xiàn)了最大的潛在利益。

（2）錯誤。事實上經(jīng)濟學(xué)并沒有證明教育對于提高勞動力素質(zhì)有不可替代的作用。此外，我們之所以

認為教育對勞動力市場招聘員工有重要參考價值，是因為教育除了（很可能）對提高勞動力素質(zhì)有作用以

外，還具有重要的信號機制的作用。也就是說，即使教育并不能提高勞動力素質(zhì)，往往也可以反映勞動力

的素質(zhì)。

5.參考答案：

在這個靜態(tài)的貝葉斯博弈中，博弈方1的策略是私人信息類型的函數(shù)：當“自然”選擇得益矩陣1時

選擇T,當“自然”選擇得益矩陣2時先擇B0

博弈方2的策略則根據(jù)期望利益最大化決定。博弈方2選擇L策略的期望得益為

0.5x14-0.5x0=0.5,選擇R策略的期望得益為0.5x0+0.5x2=l,因此博弈方2必定選擇R。

所以該博弈的純策略貝葉斯納什均衡只有：博弈方1在“自然”選擇得益矩陣1時選擇T,當“自

然”選擇得益矩陣2時選擇B,博弈方2選擇R。

6.參考答案：

根據(jù)對完全信息靜態(tài)博弈的分析方法，我們很容易發(fā)現(xiàn)上述兩市場博弈中有兩個純策略納什均衡

（A,B）和，以及一個對稱的混合策略納什均衡：每個廠商都以0.5的概率隨機選擇A和R.

現(xiàn)在我們把上述兩市場博弈改成不完全信息的版本。設(shè)兩個廠商的得益如下面的得益矩陣所示：

其中4和分別是兩個廠商的私人信息，對方只知道它們都均勻分布在［-￡,且上。這時候，我們不

難證明廠商1采用策略“力>0時選擇A,否則選擇B”，廠商2也采用策略“，2>0時選擇A，否則選

擇B”，構(gòu)成這個不完全信息靜態(tài)博弈的一個貝葉斯納什均衡。根據(jù)。和G的上述分布，我們知道兩個廠

商選擇A和B的概率都是0.5。當￡趨向于。時，這個不完全信息博弈與完全信息博弈越來越接近，其純

策略貝葉斯均衡當然與完全信息博弈的混合策略納什均衡完全相同。

第五部分課后習題

1.簡述古典回歸模型的基本假定。

2.試述戈德菲爾德一匡特（Goldfekl??Quandt）檢驗的原理和目的。

3.簡述虛擬變量的作用和設(shè)置原則。

4.簡述多重共線性產(chǎn)生的原因和影響。

5.異方差的后果

6.D.VV檢驗的優(yōu)缺點

第五部分課后習題答案

1）解釋變量x為非隨機變量，即在重復(fù)抽樣過程中，x取值是可控的、固定的。

2）零均值假定：E（與）=0,即隨機誤差項的平均值為零。

3）同方差假定：D（齊產(chǎn)）=。2［常數(shù)），即各隨機誤差項的離散程度（或波動幅度）是相同的。

4）非自相關(guān)假定：Cov（《，%）=0（iWj）,即隨機誤差項之間是互不相關(guān)、互不影響的。

5）解釋變量與隨機誤差項不相關(guān)假定，Cov（Xi，《）=0（或E（X,fr.）=0）,即解釋變量與隨機誤差項

互不相關(guān)，彼此獨立的對y產(chǎn)生影響。

6）無多重共線性假定，即解釋變量之間不存在完全的線性關(guān)系。

目的：檢驗?zāi)Ｐ偷漠惙讲钚浴?/p>

原理：為了檢驗異方差性，將樣本按解釋變量后分成兩部分，再利用樣本1和樣本2分別建立回歸模型，

并求出各自的殘差平方和RSS1和RSS2。如果誤差項的離散程度相同（即為同方差的），則RSS1與RSS2

的值應(yīng)該大致相同；若兩者之間存在顯著差異，則表明存在異方差性。檢驗過程中為了“夸大”殘差的

差異性，一般先在樣本中部去掉C個數(shù)據(jù)（通常WC=n/4）,再利用F統(tǒng)計量判斷差異的顯著性。

評價：G-Q檢驗適用于檢驗樣本容量較大、異方差性呈遞增或遞減的情況，而且檢驗結(jié)果與數(shù)據(jù)剔除個

數(shù)C的選取有關(guān)。

作用：反應(yīng)無法度量的定性因素對經(jīng)濟變量的影響，使模型更加準確地反應(yīng)實際。

設(shè)置原則：對于一個因素多個類型的虛擬變量：對于有m個不同屬性類型的定性因素，應(yīng)該設(shè)置m“個虛

報變量來反映該因素的影響。

對于多個因素各兩種類型的虛擬變量：如果有m個定性因素，且每個因素各有兩個不同的屬性類型，則

引入m個虛擬變量。

產(chǎn)生原因：

（I）經(jīng)濟變量的內(nèi)在聯(lián)系是產(chǎn)生多重共線性的根本原因。

（2）經(jīng)濟變量變化趨勢的“共向性”。

（3）解釋變量中含有滯后變量。

影響：

（1）增大OLS估計的方差。

（2）難以區(qū)分每個解釋變量的單獨影響。

（3）T檢驗的可靠性降低。

（4）回歸模型缺乏穩(wěn)定性。

（1）OLS估計失效

（2）t估計失效

（3）模型預(yù)測誤差增大

優(yōu)點：適用范圍廣、檢驗方便

缺點：

（1）有兩個盲區(qū)

（2）模型中不能含有滯后變量

（3）只能檢驗一階滯后自相關(guān)

第六部分課后習題

1.試舉出三個模糊集合的例子。

2.模糊性和隨機性有哪些異同？

3.我們給定一個三角形，測得三個內(nèi)角的讀數(shù)為A=80°、B=55°、C=45°。令/表示“近似等腰三角

形”，&表示“近似直角三角形”，區(qū)表示“近似正三角形”，它們都是口上的Fuzzy集，其隸屬函數(shù)

規(guī)定如下：

問給定的三角形屬于哪一類？

4.設(shè)

求4?g，dc）￡

5.影響教師教學(xué)質(zhì)量的因素可以取為四個：

4「清楚易懂，教材熟練，4「生動有趣，〃4=板書清楚。這樣便做出因素集

u=。四種因素的權(quán)數(shù)分配為（°50.2,0.2,0.1）。

評價取集為丫={口1，口2，吠3，”1}=（很好，較好，一般，不好）。

對于某個教師請若干人（教師，學(xué)生等等），單就,乙來說，若有40%的人說好，50%的人說較好，

10%的人說一般，，沒有人說不好，則得關(guān)于生的單因素決策向量：

（040.5,0.1,0）

類似地有

（0.6,0.3,0.1,0）

（0.1,0.2,0.6,0.1）

（0.1,0.2,0.5,0.2）

問該教師的教學(xué)質(zhì)量如何評價？

&設(shè)X={%,%,無，心無}，對?！闧05有:

試求M