2023年北京市初三一模數(shù)學(xué)試題匯編：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

第1頁/共1頁2023北京初三一模數(shù)學(xué)匯編二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)一、解答題1．（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在拋物線上．(1)求拋物線的對稱軸（用含m的式子表示）；(2)若，求m的取值范圍；(3)若點(diǎn)在拋物線上，若存在，使成立，求m的取值范圍．2．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在拋物線上．(1)當(dāng)時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并直接寫出和的大小關(guān)系；(2)拋物線經(jīng)過點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，若，則a的值為_______；②若對于任意的都滿足，求a的取值范圍．3．（2023·北京延慶·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在拋物線上．(1)當(dāng)時(shí)，求b的值；(2)點(diǎn)在拋物線上，若存在，使得，直接寫出b的取值范圍．4．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）已知拋物線的對稱軸為直線．(1)若點(diǎn)在拋物線上，求t的值；(2)若點(diǎn)，在拋物線上，①當(dāng)時(shí)，求a的取值范圍；②若，且，直接寫出a的取值范圍．5．（2023·北京通州·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上．(1)當(dāng)時(shí)，求b的值；(2)當(dāng)，求b的取值范圍．6．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．(1)用含的式子表示及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若對于任意，都有，求的取值范圍．7．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．(1)求a的值；(2)求拋物線的對稱軸（用含m的式子表示）；(3)點(diǎn)，，在拋物線上，若，求m的取值范圍．8．（2023·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線．(1)求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，①求此時(shí)拋物線的表達(dá)式；②點(diǎn)，在拋物線上，且位于對稱軸的兩側(cè)，當(dāng)時(shí)，求n的取值范圍．9．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上．(1)當(dāng)時(shí)，比較m與n的大小，并說明理由；(2)若對于，都有，求b的取值范圍．

參考答案1．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)公式，即可求出對稱軸；（2）將點(diǎn)，代入拋物線，根據(jù)題意列不等式，即可解答；（3）根據(jù)題意，可得在時(shí)，，再根據(jù)分別列出不等式，即可解答．【詳解】（1）解：，拋物線的對稱軸為；（2）解：將點(diǎn)，代入拋物線，可得：，，，，解得；（3）解：當(dāng)時(shí)，，，，，即，解得【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)求不等式的解集，熟知性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．(1)，；(2)①；②或．【分析】（1）根據(jù)題意可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且開口向上，即可求解；（2）①根據(jù)，拋物線的對稱軸為直線，即可求解；②分兩種情況結(jié)合圖形，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且開口向上，∵，∴；（2）解：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∵拋物線的對稱軸為直線，∴；故答案為：②對于任意的都滿足，點(diǎn)A、B、C存在如下情況：情況1，如示意圖，當(dāng)時(shí)，有，．解得：．情況2：如示意圖；當(dāng)時(shí)，可知，，，解得．綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握二次函數(shù)圖像和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．3．(1)(2)【分析】(1)當(dāng)時(shí)，則，把代入，求解即可；(2)計(jì)算出拋物線的對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則，即，因?yàn)?，則，求解好戲可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，則，把代入，得，解得：；（2）解：∵拋物線的對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線的對稱性質(zhì)，熟練掌握拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足于解析式，利用拋物線解析式求對稱軸和拋物線對稱性的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．4．(1)1(2)①或；②【分析】（1）把點(diǎn)代入，得，再由拋物線對稱軸方程得解；（2）①由對稱軸為得，分和兩種情況，根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)與頂點(diǎn)的位置關(guān)系得不等式，求出的取值范圍；②由已知得，分別把，代入拋物線解析式，得，，兩式相減得，再由得，再由，得，從而得，所以．【詳解】（1）∵點(diǎn)在拋物線上，∴．∴．∴．（2）①當(dāng)時(shí)，，所以．∵點(diǎn)，在拋物線上，∴當(dāng)時(shí)，有．得，得．當(dāng)時(shí)，有．得，得．綜上，的取值范圍是或．②∵且，則，在對稱軸右側(cè)，隨著的增大而增大，∴．又∵，∴，又∵，∴∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴∴，∴，又∵，∴．∴的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)拋物線上的點(diǎn)與拋物線頂點(diǎn)的關(guān)系，結(jié)合圖象求解．5．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱性，以及對稱軸的公式，進(jìn)行求解即可；（2）分和兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，當(dāng)時(shí)，和關(guān)于對稱軸對稱，則：拋物線的對稱軸為直線：，∴；（2）解：∵，，對稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，拋物線上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越?。弧邥r(shí)，，∴拋物線過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即；∵，①當(dāng)時(shí)，，如圖：∵，，∴，解得：；②當(dāng)時(shí)，此時(shí)對稱軸在軸的左側(cè)，點(diǎn)離拋物線的對稱軸近，∴，不滿足題意；綜上：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)．熟練掌握拋物線的對稱性，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．6．(1)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；(2)或．【分析】（1）把點(diǎn)代入計(jì)算可求得含的式子表示的代數(shù)式，配方成頂點(diǎn)式，即可求解；（2）由（1）知拋物線的對稱軸為直線，拋物線開口向上，離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，則當(dāng)時(shí)，代入計(jì)算，解不等式即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：∵，∴拋物線的對稱軸為直線，又∵拋物線開口向上，離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，且，∴當(dāng)時(shí)，，即，∴，∴或，解得或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，函數(shù)的增減性，在本題的解答中，除了必要的理論依據(jù)外，還需要學(xué)生具有比較強(qiáng)的解不等式的能力．7．(1)1(2)(3)【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線解析式計(jì)算即可；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)果，將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式即可求解；（3）分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，可知點(diǎn)，，從左至右分布，根據(jù)可得，根據(jù)可得，即可求解；②當(dāng)時(shí)，即，即有，可得，與題意不符，舍去.【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴；（2）由（1）得拋物線的表達(dá)式為，即，∴拋物線的對稱軸為；（3）①當(dāng)時(shí)，可知點(diǎn)，，從左至右分布，根據(jù)可得，∴，根據(jù)可得，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，即，∵，∴，不符合題意.綜上，m的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．8．(1)該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；(2)①此時(shí)拋物線的表達(dá)式為；②【分析】（1）配成頂點(diǎn)式，即可求解；（2）①將點(diǎn)代入，即可求解；②分兩種情況討論，列出不等式組可求解．【詳解】（1）解：，∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：①將點(diǎn)代入，得，解得，此時(shí)拋物線的表達(dá)式為；②若點(diǎn)在對稱軸直線的左側(cè)，點(diǎn)在對稱軸直線的右側(cè)時(shí)，由題意可得，∴；若點(diǎn)在對稱軸直線的左側(cè)，點(diǎn)在對稱軸直線的右側(cè)時(shí)，由題意可得，∴不等式組無解．綜上所述：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，一元一次不等式組的應(yīng)用，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．9．(1)(2)【分析】（1）由題意可知拋物線解析式為，將代入，即可求出m和n的值，再比較即可；（2）由函數(shù)解析式可得出其對稱軸為直線，且開口向上，從而得出在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大．根據(jù)對于，都有，得出，當(dāng)時(shí)，，即，從而可求出．由對于，都有，又可得出，兩邊平方并整理，得：，即得出，最后取其公共解即可．【詳解】（1）解：．理由：當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為，點(diǎn)，將代入，得：，，∴；（2）解：∵該函數(shù)解析式為，∴