數(shù)學備課資料第三章概率2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精備課資料一、備用習題1.在40根纖維中,有12根的長度超過30mm,從中任取一根,取到長度超過30A。B.C。D。以上都不對分析：在40根纖維中,有12根的長度超過30mm，即基本事件總數(shù)為40,且它們是等可能發(fā)生的，所求事件包含12個基本事件，故所求事件的概率為。答案:B2。盒中有10個鐵釘，其中8個是合格的，2個是不合格的，從中任取一個恰為合格鐵釘?shù)母怕适?）A。B。C。D.分析：(方法一)從盒中任取一個鐵釘包含基本事件總數(shù)為10，其中抽到合格鐵釘(記為事件A)包含8個基本事件,所以，所求概率為P(A)=.(方法二)本題還可以用對立事件的概率公式求解,因為從盒中任取一個鐵釘，取到合格品（記為事件A)與取到不合格品(記為事件B)恰為對立事件,因此，P(A）=1—P(B）=.答案：C3。在大小相同的5個球中，2個是紅球,3個是白球,若從中任取2個，則所取的2個球中至少有一個紅球的概率是_____________.分析:記大小相同的5個球分別為紅1,紅2,白1,白2，白3,則基本事件為:(紅1，紅2）,（紅1,白1）,（紅1,白2），(紅1,白3），（紅2,白1),（紅2，白2),(紅2，白3),(白1，白2)，（白1，白3），（白2,白3）共10個,其中至少有一個紅球的事件包括7個基本事件,所以,所求事件的概率為。本題還可以利用“對立事件的概率和為1”來求解,對于求“至多”“至少"等事件的概率問題，常采用間接法,即求其對立事件的概率P(A),然后利用P（A）=1-P（)求解.答案：4。拋擲2顆質(zhì)地均勻的骰子,求點數(shù)和為8的概率.解：在拋擲2顆骰子的試驗中,每顆骰子均可出現(xiàn)1點,2點，…，6點6種不同的結果,我們把兩顆骰子標上記號1，2以便區(qū)分，由于1，2號骰子分別有6種不同的結果，因此同時擲兩顆骰子的結果共有6×6=36種,在所有結果中，向上的點數(shù)之和為8的結果有（2,6),（3,5），(4，4)，（5,3），(6，2）5種,所以，所求事件的概率為.5.豆的高矮性狀的遺傳由其一對基因決定,其中決定高的基因記為D,決定矮的基因記為d,則雜交所得第一子代的一對基因為Dd,若第二子代的D，d基因的遺傳是等可能的，求第二子代為高莖的概率（只要有基因D則其就是高莖,只有兩個基因全是d時,才顯現(xiàn)矮莖).解：由于第二子代的D，d基因的遺傳是等可能的,可以將各種可能的遺傳情形都枚舉出來.Dd與Dd的搭配方式共有4種：DD,Dd,dD，dd,其中只有第四種表現(xiàn)為矮莖，故第二子代為高莖的概率為=0。75.答:第二子代為高莖的概率為0.75。思考：第三子代高莖的概率呢?二、古典概型經(jīng)典案例分析如果說你們班里有50人,那么我愿意和你打賭，你們班里至少有一對生日相同的人,你愿意站在我的反面和我打賭嗎？如果說你能夠清楚地找到基本事件,分析好復雜事件包含了多少個基本事件,就能夠通過有理數(shù)的除法計算出概率，當然，分析清楚基本事件不可缺少的就是一種順序的觀點，可能有時候,用順序的觀點看問題會產(chǎn)生一些不必要的麻煩,但是往往在你忽略了順序的時候,產(chǎn)生了一種錯覺，于是就使你的先進的思想在這里就因為你的大意退化到了中世紀以前的水平.那么充分小心的你,可能也會犯錯誤，甚至會感到頭疼,因為記數(shù)也是一門技術，不一定都很簡單。好了言歸正傳,我們?nèi)匀挥懻撨@個關于生日的賭局.我看起來是有著十分的把握(或者說接近十分的把握，因為十分就成了必然事件，顯然,你看得出這個不是一個必然的事件，嚴格地說我有接近十分的把握）,如果你曾經(jīng)了解過一些關于這個問題的結論，你也可能不會愿意和我打賭，那么我們是如何來處理這個問題呢?我們想通過兩個經(jīng)典的案例來說明這個問題。設有n個人,每個人都等可能地被分配到N個房間中的任意一間去住(n≤N）,求下列事件的概率.指定的n個房間各有一個人住;恰好有n個房間，其中各住一個人。(這里必須得有一些排列組合的內(nèi)容，也就要求讀者具有排列組合的知識）先看清楚這個問題里面的基本事件是什么呢？是把n個人隨機地安排到N個房間里的所有的情況，分別記n個人為a1,a2，…，an,房間為A1，A2,…，An，每個安排的結果作為一個基本事件，比如,可以把所有的人放到房間A1里，把第一個房間里放一個人假定是a1，這個就是一個基本事件,也就是每個安排的結果都是一個基本事件.那么有多少個這樣的基本事件呢？我們就得借助于乘法原理了,可以考慮到整個的安排是分步進行的,先安排a1，再安排a2，依次下去,這個中間的順序是沒有問題的,因為我們只關心某人在某個房間,而不關心他是先到還是后到。第一個人可以有N個房間選住，第二個人仍然有N個房間選住,……也就是說每個人都有N種可能的情況，于是，所有人的可能的情況就是=Nn.這就是基本事件的個數(shù),這里面也談到了一個關于順序的問題，我們自行地把這個事件里面安排進了順序,這是一個重要的思想方法.接下來統(tǒng)計我們需要的有利事件的個數(shù),我們要求是指定的n個房間各有一個人住,那么，關于這n個房間的安排問題就不用我們操心了,我們只是看一下人與房間的搭配問題，于是,就可以得出概率:P(A)=.我們可以換個角度來看一下，如果我們認為是把房間安排給人，那么,n個指定的房間就會被列成一個順序，于是,第一個房間有n種可能性,第二個房間就會少了一種，即n-1種,以此類推,結論與我們前面的一樣,那么,我們?nèi)绻呀y(tǒng)計基本事件的方式也變換一下呢？結論可能會有些不妥,因為如果考慮第一個房間有n種選擇方式，第二個房間也有n種選擇方式,以此類推，就會得到基本事件的個數(shù)是nn個，顯然,結論是不同的，哪一個出了什么問題呢？你只要稍加思考可能就會得出結論,這個問題的對應是有問題的,假設，我們的第一間房間分配給了a1,那么，第二間房間就不應該再分配給他了，但在剛才的過程中沒有體現(xiàn)出來,那么就是說，我們可能統(tǒng)計錯了一些情況,同時，有些人也可能分配不到房間.那么,我們做個改進，認為第一間房間有n種選擇方式，第二間房間有n-1種行不行呢？顯然這個改進更不成功，甚至有了荒唐的結論，因為這里的有些房間可能是可以不分配給任何人的,那么看來這幾個只有最初的一個方案可行.同時，我們也得到了一個關于代數(shù)的結論：n!≤Nn.這個命題的具體的限制由你自己完成，當然你還可以運用代數(shù)的方法給出讓人信服的證明。再對這個問題進行總結，如果你再次地面臨這種問題的時候，就要按號入座地找好誰是房子,誰是人?；蛘呶覀円部梢猿橄笠恍?集合A有n個元素，集合B有N個元素,n≤N,那么，從集合A到集合B的映射有多少個,就是相當于基本事件的個數(shù),那么,我們的有利事件,就是從集合A到集合B的一個含有n個元素的確定的子集的一一映射的個數(shù),就是n!個,那么以后用映射的觀點來處理就可以了，看看哪一個問題是映射.我們再來探討第二個問題,看看兩者之間的細微的差別是什么？在第二個問題當中提到了一個“恰好”,我們?nèi)绾蝸斫忉屇兀匡@然這個詞是與“指定"構成對比的.也就是強調(diào)我們要為這n個人先選出n個房間來，再進行處理，用到映射的觀點，就是要從B中確定n個元素的子集，這個過程也是有很多的,再把這些子集重復第一題的過程,就是全體的有利事件的個數(shù)，于是,問題就歸結為統(tǒng)計這些子集的個數(shù),很簡單地就可以得出有Cnn個，那么概率就應該是P（A)=。剩下的就是具體的計算了，好了，回味一下，你體會到了什么?你可能感覺到一些困難,如果你沒有感到困難的話就太好了,這個問題在歷史上稱為“分房問題”,我們可以進一步地拓展這個問題，據(jù)說在物理中就有一些非常有用的應用，可以參考我們的注解文章.現(xiàn)在考慮有關n個人生日問題的事情,這個里面哪些是基本事件呢？那一定是n個人的生日情況的所有可能性,也就是與前面提到的分房問題的第一問相同，那么生日相同(即同月同日出生）的具體的有利事件的個數(shù)如何來統(tǒng)計呢？看來稍微有些麻煩，我們需要了解的是，兩個人,或者兩個人以上的生日相同,就得認為是對這個事情很有幫助的例證,那么，我們把這個事情分為幾類,只有兩個人生日相同,只有三個人生日相同，等等，當然還有一些幾組兩個人的生日都相同的情況，事情就會變得尤其復雜,而且各類之間有交叉的地方還要注意避免,問題足以煩得你失去信心,我們能否換個角度來考慮。我們完全可以考慮這個事件的反面,其實，如果計算一下你獲勝的概率仍然可以表示出我獲勝的機會的大小,那么對于你只有一種情況有利，就是所有人的生日都不相同，于是你就可以得到這將是一個上面分房問題敘述的第二類問題，那么你獲勝的概率就可以計算出來了：（將N=365，閏年就不記了，直接套用前面的結論就可以了)P(A)=.可以借助你的結論得出至少兩人生日相同的概率,即.這次只需要計算就可以了.n102023304050概率0.120.410.510。710。890。97看來事情的結果對于選擇打賭的你有些不利,如果班級里超過50人，幾乎就是必然的規(guī)律了.這可能極大地沖