2022-2023學(xué)年高二物理舉一反三系列（人教版選擇性必修第二冊(cè)）專題1.7 帶電粒子在連續(xù)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（原卷版）

專題1.7帶電粒子在連續(xù)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【題型1殘缺圓與直線運(yùn)動(dòng)綜合】 【題型2殘缺圓與類平拋綜合】 【題型3連續(xù)場(chǎng)中的周期性問(wèn)題】 【題型4交變場(chǎng)問(wèn)題】 【題型5綜合問(wèn)題】 【題型6聯(lián)系實(shí)際】 【題型1殘缺圓與直線運(yùn)動(dòng)綜合】【例1】[CT掃描是計(jì)算機(jī)X射線斷層掃描技術(shù)的簡(jiǎn)稱，CT掃描機(jī)可用于對(duì)多種病情的探測(cè)。圖(a)是某種CT機(jī)主要部分的剖面圖，其中X射線產(chǎn)生部分的示意圖如圖(b)所示。圖(b)中M、N之間有一電子束的加速電場(chǎng)，虛線框內(nèi)有勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)；經(jīng)調(diào)節(jié)后電子束從靜止開始沿帶箭頭的實(shí)線所示的方向前進(jìn)，打到靶上，產(chǎn)生X射線(如圖中帶箭頭的虛線所示)；將電子束打到靶上的點(diǎn)記為P點(diǎn)。則()A．M處的電勢(shì)高于N處的電勢(shì)B．增大M、N之間的加速電壓可使P點(diǎn)左移C．偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的方向垂直于紙面向外D．增大偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小可使P點(diǎn)左移【變式1-1】(多選)在半導(dǎo)體離子注入工藝中，初速度可忽略的磷離子P＋和P3＋，經(jīng)電壓為U的電場(chǎng)加速后，垂直進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里、有一定寬度的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，如圖所示。已知離子P＋在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)θ＝30°后從磁場(chǎng)右邊界射出。在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，離子P＋和P3＋()A．在電場(chǎng)中的加速度之比為1∶1B．在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑之比為2∶1C．在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的角度之比為1∶2D．離開電場(chǎng)區(qū)域時(shí)的動(dòng)能之比為1∶3【變式1-2】如圖甲所示，質(zhì)量為m，帶電荷量為－q的帶電粒子在t＝0時(shí)刻由a點(diǎn)以初速度v0垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，Ⅰ區(qū)域磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不變、方向周期性變化，如圖乙所示(垂直紙面向里為正方向)；Ⅱ區(qū)域?yàn)閯驈?qiáng)電場(chǎng)，方向向上；Ⅲ區(qū)域?yàn)閯驈?qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小與Ⅰ區(qū)域相同均為B0。粒子在Ⅰ區(qū)域內(nèi)一定能完成半圓運(yùn)動(dòng)且每次經(jīng)過(guò)MN的時(shí)刻均為eq\f(T0,2)整數(shù)倍，則：(1)粒子在Ⅰ區(qū)域運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為多少？(2)若初始位置與第四次經(jīng)過(guò)MN時(shí)的位置距離為x，求粒子進(jìn)入Ⅲ區(qū)域時(shí)速度的可能值(初始位置記為第一次經(jīng)過(guò)MN)。【變式1-3】如圖所示，真空中有一以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，半徑為R＝0.5m，磁場(chǎng)垂直紙面向里。在y>R的區(qū)域存在沿－y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E＝1.0×105V/m。在M點(diǎn)有一正粒子以速率v＝1.0×106m/s沿＋x方向射入磁場(chǎng)，粒子穿出磁場(chǎng)進(jìn)入電場(chǎng)，速度減小到0后又返回磁場(chǎng)，最終又從磁場(chǎng)離開。已知粒子的比荷為eq\f(q,m)＝1.0×107C/kg，粒子重力不計(jì)。(1)求圓形磁場(chǎng)區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度的大?。?2)求沿＋x方向射入磁場(chǎng)的粒子，從進(jìn)入磁場(chǎng)到再次穿出磁場(chǎng)所走過(guò)的路程?！绢}型2殘缺圓與類平拋綜合】【例2】如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，在第Ⅰ象限內(nèi)有平行于y軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向沿y軸正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于xOy平面向里，正三角形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，且ab邊與y軸平行。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子，從y軸上的P(0，h)點(diǎn)，以大小為v0的速度沿x軸正方向射入電場(chǎng)，通過(guò)電場(chǎng)后從x軸上的a(2h，0)點(diǎn)進(jìn)入第Ⅳ象限，又經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)從y軸上的某點(diǎn)進(jìn)入第Ⅲ象限，且速度與y軸負(fù)方向成45°角，不計(jì)粒子所受的重力。求：(1)電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；(2)粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向；(3)abc區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值?！咀兪?-1】如圖所示，在xOy平面直角坐標(biāo)系的第一象限有射線OA，OA與x軸正方向夾角為30°，OA與y軸所夾區(qū)域內(nèi)有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其他區(qū)域存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，從y軸上的P點(diǎn)沿著x軸正方向以初速度v0射入電場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)垂直于射線OA進(jìn)入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)，過(guò)y軸正半軸上的M點(diǎn)再次垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)。已知OP＝h，不計(jì)粒子重力，求：(1)粒子經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的速度大??；(2)勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小；(3)粒子從Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)所用的時(shí)間?！咀兪?-2】如圖所示，直線PQ的左邊為磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，右邊為電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)。一帶電荷量為q(q＞0)、質(zhì)量為m的粒子從MN上的C點(diǎn)沿與MN成60°角的方向，以速度v射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中發(fā)生偏轉(zhuǎn)后從D點(diǎn)(圖中未畫出)垂直PQ進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，最后到達(dá)MN上F點(diǎn)(圖中未畫出)，不計(jì)粒子重力，求：(1)從C點(diǎn)到F點(diǎn)所用的時(shí)間；(2)到達(dá)F點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能?！咀兪?-3】如圖所示，在第一象限內(nèi)，存在垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ，第二象限內(nèi)存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第三、四象限內(nèi)存在垂直于xOy平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ。一質(zhì)量為m，電荷量為＋q的粒子，從x軸上M點(diǎn)以某一初速度垂直于x軸進(jìn)入第四象限，在xOy平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為圓心做半徑為R0的圓周運(yùn)動(dòng)；隨后進(jìn)入電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)至y軸上的N點(diǎn)，沿與y軸正方向成45°角離開電場(chǎng)；在磁場(chǎng)Ⅰ中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，再次垂直于x軸進(jìn)入第四象限。不計(jì)粒子重力。求：(1)帶電粒子從M點(diǎn)進(jìn)入第四象限時(shí)初速度的大小v0；(2)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E；(3)磁場(chǎng)Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B1?！绢}型3連續(xù)場(chǎng)中的周期性問(wèn)題】【例3】(多選)研究表明，蜜蜂是依靠蜂房、采蜜地點(diǎn)和太陽(yáng)三個(gè)點(diǎn)來(lái)定位的，蜜蜂飛行時(shí)就是根據(jù)這三個(gè)位置關(guān)系呈“8”字形運(yùn)動(dòng)來(lái)告訴同伴蜜源的方位。某興趣小組用帶電粒子在如圖所示的電場(chǎng)和磁場(chǎng)中模擬蜜蜂的“8”字形運(yùn)動(dòng)，即在y＞0的空間中和y＜0的空間內(nèi)同時(shí)存在著大小相等，方向相反的勻強(qiáng)電場(chǎng)，上、下電場(chǎng)以x軸為分界線，在y軸左側(cè)和圖中豎直虛線MN右側(cè)均無(wú)電場(chǎng)，但有方向垂直紙面向里和向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN與y軸的距離為2d。一重力不計(jì)的帶負(fù)電荷的粒子從y軸上的P(0，d)點(diǎn)以沿x軸正方向的初速度v0開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，粒子又以相同的速度回到P點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A．電場(chǎng)與磁場(chǎng)的比值為v0B．電場(chǎng)與磁場(chǎng)的比值為2v0C．帶電粒子運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的時(shí)間為eq\f(2d,v0)＋eq\f(2πd,v0)D．帶電粒子運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的時(shí)間為eq\f(4d,v0)＋eq\f(2πd,v0)【變式3-1】如圖所示，在x軸上方有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里。在x軸下方有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向豎直向上。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q、重力不計(jì)的帶正電粒子從y軸上的a點(diǎn)(0，h)處沿y軸正方向以初速度v＝eq\r(2)v0開始運(yùn)動(dòng)，一段時(shí)間后，粒子速度方向與x軸正方向成45°角進(jìn)入電場(chǎng)，經(jīng)過(guò)y軸上b點(diǎn)時(shí)速度方向恰好與y軸垂直。求：(1)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大??；(2)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大?。?3)粒子從開始運(yùn)動(dòng)到第三次經(jīng)過(guò)x軸的時(shí)間?！咀兪?-2】如圖所示，x軸上方存在電場(chǎng)強(qiáng)度E＝1000V/m、方向沿－y軸方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，x軸與PQ(平行于x軸)之間存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝2T、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一個(gè)質(zhì)量m＝2×10－8kg、帶電荷量q＝＋1.0×10－5C的粒子，從y軸上(0，0.04m)的位置分別以不同的初速度v0沿＋x軸方向射入勻強(qiáng)電場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力。(1)若v0＝200m/s，求粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度v的大小和方向；(2)若粒子射入電場(chǎng)后都能經(jīng)磁場(chǎng)返回，求磁場(chǎng)的最小寬度d；(3)若粒子恰能經(jīng)過(guò)x軸上x＝100m的點(diǎn)，求粒子入射的初速度v0?！咀兪?-3】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第一、二象限存在著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，第四象限存在著沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小未知。一帶正電的粒子從y軸上的M點(diǎn)以速度v0沿x軸正方向開始運(yùn)動(dòng)，從x軸上的N點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后恰好經(jīng)O點(diǎn)再次進(jìn)入電場(chǎng)，已知MN兩點(diǎn)的連線與x軸的夾角為θ，且tanθ＝eq\f(1,2)，帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，不計(jì)帶電粒子的重力。求：(1)粒子第一次經(jīng)過(guò)N點(diǎn)的速度v；(2)粒子從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的過(guò)程中，洛倫茲力的沖量I；(3)電場(chǎng)強(qiáng)度E的大?。?4)粒子連續(xù)兩次通過(guò)x軸上同一點(diǎn)的時(shí)間間隔Δt。【題型4交變場(chǎng)問(wèn)題】【例4】(多選)某一空間存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度為B且大小不變、方向隨時(shí)間t做周期性變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(如圖甲所示)，規(guī)定垂直紙面向里的磁場(chǎng)方向?yàn)檎槭轨o止于該磁場(chǎng)中的帶正電的粒子能按a→b→c→d→e→f的順序做“∞”形運(yùn)動(dòng)(即如圖乙所示的軌跡)，下列辦法可行的是(粒子只受磁場(chǎng)力的作用，其他力不計(jì))()A．若粒子的初始位置在a處，在t＝eq\f(3,8)T時(shí)給粒子一個(gè)沿切線方向水平向右的初速度B．若粒子的初始位置在f處，在t＝eq\f(T,2)時(shí)給粒子一個(gè)沿切線方向豎直向下的初速度C．若粒子的初始位置在e處，在t＝eq\f(11,8)T時(shí)給粒子一個(gè)沿切線方向水平向左的初速度D．若粒子的初始位置在b處，在t＝eq\f(T,2)時(shí)給粒子一個(gè)沿切線方向豎直向上的初速度【變式4-1】如圖甲所示，寬度為d的豎直狹長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)(邊界為L(zhǎng)1、L2)，存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和豎直方向上的周期性變化的電場(chǎng)(如圖乙所示)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E0，E>0表示電場(chǎng)方向豎直向上。t＝0時(shí)，一帶正電、質(zhì)量為m的微粒從左邊界上的N1點(diǎn)以水平速度v射入該區(qū)域，沿直線運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)后，做一次完整的圓周運(yùn)動(dòng)，再沿直線運(yùn)動(dòng)到右邊界上的N2點(diǎn)。Q為線段N1N2的中點(diǎn)，重力加速度為g。上述d、E0、m、v、g為已知量。(1)求微粒所帶電荷量q和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；(2)求電場(chǎng)變化的周期T；(3)改變寬度d，使微粒仍能按上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程通過(guò)相應(yīng)寬度的區(qū)域，求T的最小值?！咀兪?-2】如圖甲所示，整個(gè)空間存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)(平行于紙面)，在同一水平線上的兩位置以相同速率同時(shí)噴出質(zhì)量均為m的油滴a和b，帶電荷量為＋q的a水平向右，不帶電的b豎直向上。b上升高度為h時(shí)，到達(dá)最高點(diǎn)，此時(shí)a恰好與它相碰，瞬間結(jié)合成油滴p。忽略空氣阻力，重力加速度為g。求：(1)油滴b豎直上升的時(shí)間及兩油滴噴出位置的距離；(2)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小及油滴a、b結(jié)合為p后瞬間的速度；(3)若油滴p形成時(shí)恰位于某矩形區(qū)域邊界，取此時(shí)為t＝0時(shí)刻，同時(shí)在該矩形區(qū)域加一個(gè)垂直于紙面周期性變化的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)變化規(guī)律如圖乙所示，磁場(chǎng)變化周期為T0(垂直紙面向外為正)，已知p始終在矩形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，求矩形區(qū)域的最小面積。(忽略磁場(chǎng)突變的影響)【變式4-3】如圖甲所示，在xOy平面內(nèi)存在磁場(chǎng)和電場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間周期性變化，B的變化周期為4t0，E的變化周期為2t0，變化規(guī)律分別如圖乙和圖丙所示。在t＝0時(shí)刻從O點(diǎn)發(fā)射一帶負(fù)電的粒子(不計(jì)重力)，初速度大小為v0，方向沿y軸正方向，在x軸上有一點(diǎn)A(圖中未標(biāo)出)，坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48v0t0,π)，0))。若規(guī)定垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向，y軸正方向?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度的正方向，v0、t0、B0為已知量，磁感應(yīng)強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度的大小滿足：eq\f(E0,B0)＝eq\f(v0,π)；粒子的比荷滿足：eq\f(q,m)＝eq\f(π,B0t0)。求：(1)在t＝eq\f(t0,2)時(shí)，粒子的位置坐標(biāo)；(2)粒子偏離x軸的最大距離；(3)粒子運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)的時(shí)間。【題型5綜合問(wèn)題】【例5】如圖，第一象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E；第二、三、四象限存在方向垂直xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其中第二象限的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，第三、四象限磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等。一帶正電的粒子，從x軸負(fù)方向上的P點(diǎn)沿與x軸正方向成α＝60°角平行xOy平面入射，經(jīng)過(guò)第二象限后恰好由y軸上的Q點(diǎn)(0，d)垂直y軸進(jìn)入第一象限，然后又從x軸上的N點(diǎn)進(jìn)入第四象限，之后經(jīng)第四、三象限重新回到P點(diǎn)，回到P點(diǎn)的速度方向與入射時(shí)相同。不計(jì)粒子重力。求：(1)粒子從P點(diǎn)入射時(shí)的速度v0；(2)粒子進(jìn)入第四象限時(shí)在x軸上的N點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O距離；(3)粒子在第三、四象限內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑(用已知量d表示結(jié)果)。【變式5-1】如圖所示，在真空中xOy平面內(nèi)，有四個(gè)邊界垂直于x軸的條狀區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，區(qū)域Ⅰ、Ⅲ寬度均為d，內(nèi)有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，大小均為E；區(qū)域Ⅱ、Ⅳ寬度均為2d，內(nèi)有垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B1和B2。M是區(qū)域Ⅲ右邊界與x軸交點(diǎn)。質(zhì)量為m，電荷量為＋q的粒子甲以速度v0從O點(diǎn)沿x軸正方向射入電場(chǎng)E，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，沿x軸正方向與自由靜止在M點(diǎn)的粒子乙粘合在一起，成為粒子丙進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅳ，之后直接從右邊界上Q點(diǎn)(圖中未標(biāo)出)離開區(qū)域Ⅳ。粒子乙不帶電，質(zhì)量為2m，粘合前后無(wú)電荷損失，粘合時(shí)間很短，E＝eq\f(\r(3)mv02,qd)，粒子重力不計(jì)。(1)求粒子甲離開區(qū)域Ⅰ時(shí)速度v1大小和與x軸正方向夾角θ；(2)求勻強(qiáng)磁場(chǎng)B1的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小；(3)若勻強(qiáng)磁場(chǎng)B2磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不同，則粒子丙在磁場(chǎng)B2中運(yùn)動(dòng)時(shí)間不同。求粒子甲從O點(diǎn)到M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間與粒子丙從M點(diǎn)到Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間之和的最大值。【變式5-2】如圖所示，在xOy坐標(biāo)系內(nèi)存在一個(gè)以(A,0)為圓心、半徑為a的圓形磁場(chǎng)區(qū)域，方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。另在y軸右側(cè)有一方向向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，分布于y≥a的范圍內(nèi)。O點(diǎn)為質(zhì)子源，其射出質(zhì)子的速度大小相等、方向各異，但質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡均在紙面內(nèi)。已知質(zhì)子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)半徑也為a，設(shè)質(zhì)子的質(zhì)量為m、電荷量為e，重力及阻力忽略不計(jì)。求：(1)射出速度沿x軸正方向的質(zhì)子，到達(dá)y軸所用的時(shí)間；(2)射出速度與x軸正方向成30°角(如圖中所示)的質(zhì)子，到達(dá)y軸時(shí)的位置與O點(diǎn)的距離；(3)質(zhì)子到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)的范圍?！咀兪?-3】如圖，空間存在方向垂直于紙面(xOy平面)向里的磁場(chǎng)。在x≥0區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B0；x＜0區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為λB0(常數(shù)λ＞1)。一質(zhì)量為m、電荷量為q(q＞0)的帶電粒子以速度v0從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正向射入磁場(chǎng)，此時(shí)開始計(jì)時(shí)，當(dāng)粒子的速度方向再次沿x軸正向時(shí)，求(不計(jì)重力)(1)粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；(2)粒子與O點(diǎn)間的距離?！绢}型6聯(lián)系實(shí)際】【例6】(多選)質(zhì)譜儀是用來(lái)分析同位素的裝置，如圖為質(zhì)譜儀的示意圖，其由豎直放置的速度選擇器、偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)構(gòu)成。由三種不同粒子組成的粒子束以某速度沿豎直向下的方向射入速度選擇器，該粒子束沿直線穿過(guò)底板上的小孔O進(jìn)入偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)，最終三種粒子分別打在底板MN上的P1、P2、P3三點(diǎn)，已知底板MN上下兩側(cè)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向均垂直紙面向外，且磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小分別為B1、B2，速度選擇器中勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E。不計(jì)粒子的重力以及它們之間的相互作用，則()A.速度選擇器中的電場(chǎng)方向向右，且三種粒子均帶正電B.三種粒子的速度大小均為eq\f(E,B2)C.如果三種粒子的電荷量相等，則打在P3點(diǎn)的粒子質(zhì)量最大D.如果三種粒子電荷量均為q，且P1、P3的間距為Δx，則打在P1、P3兩點(diǎn)的粒子質(zhì)量差為eq\f(qB1B2Δx,2E)【變式6-1】(多選)如圖所示為一種質(zhì)譜儀的示意圖，由加速電場(chǎng)、靜電分析器和磁分析器組成．若靜電分析器通道中心線的半徑為R，通道內(nèi)均勻輻射電場(chǎng)，在中心線處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，磁分析器有范圍足夠大的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向外．一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子從靜止開始經(jīng)加速電場(chǎng)加速后沿中心線通過(guò)靜電分析器，由P點(diǎn)垂直邊界進(jìn)入磁分析器，最終打到膠片上的Q點(diǎn)．不計(jì)粒子重力．下列說(shuō)法正確的是()A．極板M比極板N的電勢(shì)高B．加速電場(chǎng)的電壓U＝ERC．直徑PQ＝2Beq\r(qmER)D．若一群粒子從靜止開始經(jīng)過(guò)題述過(guò)程都落在膠片上的同一點(diǎn)，則該群粒子具有相同的比荷【變式6-2】如圖所示為水平放置的小型粒子加速器的原理示意圖，區(qū)域Ⅰ和Ⅱ存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B1和B2，長(zhǎng)L＝1.0m的區(qū)域Ⅲ存在場(chǎng)強(qiáng)大小E＝5.0×104V/m、方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)。區(qū)域Ⅲ中間上方有一離子源S，水平向左發(fā)射動(dòng)能Ek0＝4.0×104eV的氘核，氘核最終從區(qū)域Ⅱ下方的P點(diǎn)水平射出。S、P兩點(diǎn)間的高度差h＝0.10m。(氘核質(zhì)量m＝2×1.67×10－27kg，電荷量q＝1.60×10－19C，1eV＝1.60×10－19J，eq\r(\f(1.67×10－27,1.60×10－19))≈1×10－4)(1)求氘核經(jīng)過(guò)兩次加速后從P點(diǎn)射出時(shí)的動(dòng)能Ek2；(2)若B1＝1.0T，要使氘核經(jīng)過(guò)兩次加速后從P點(diǎn)射出，求區(qū)域Ⅰ的最小寬度d；(3)若B1＝1.0T，要使氘核經(jīng)過(guò)兩次加速后從P點(diǎn)射出，求區(qū)域Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B2。【變式6-3】如圖所示，靜止于A處的離子，經(jīng)電壓為U的加速電場(chǎng)加速后沿圖中圓弧虛線通過(guò)靜電分析器，從P點(diǎn)垂直CN進(jìn)入矩形區(qū)域的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)方向水平向左。靜電分析器通道內(nèi)有均勻輻向分布的電場(chǎng)，已知圓弧所在處場(chǎng)強(qiáng)為E0，方向如圖所示；離子質(zhì)量為m、電荷量為q；QN＝2d、PN＝3d，離子重力不計(jì)。(1)求圓弧虛線對(duì)應(yīng)的半徑R的大??；(2)若離子恰好能打在NQ的中點(diǎn)上，求矩形區(qū)域QNCD內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的值；(3)若撤去矩形區(qū)域QNCD內(nèi)的勻強(qiáng)電場(chǎng)，換為垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求離子能最終打在QN上，求磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍。

參考答案【題型1殘缺圓與直線運(yùn)動(dòng)綜合】【例1】[CT掃描是計(jì)算機(jī)X射線斷層掃描技術(shù)的簡(jiǎn)稱，CT掃描機(jī)可用于對(duì)多種病情的探測(cè)。圖(a)是某種CT機(jī)主要部分的剖面圖，其中X射線產(chǎn)生部分的示意圖如圖(b)所示。圖(b)中M、N之間有一電子束的加速電場(chǎng)，虛線框內(nèi)有勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)；經(jīng)調(diào)節(jié)后電子束從靜止開始沿帶箭頭的實(shí)線所示的方向前進(jìn)，打到靶上，產(chǎn)生X射線(如圖中帶箭頭的虛線所示)；將電子束打到靶上的點(diǎn)記為P點(diǎn)。則()A．M處的電勢(shì)高于N處的電勢(shì)B．增大M、N之間的加速電壓可使P點(diǎn)左移C．偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的方向垂直于紙面向外D．增大偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小可使P點(diǎn)左移[解析]電子在電場(chǎng)中加速運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力的方向和運(yùn)動(dòng)方向相同，而電子所受電場(chǎng)力的方向與電場(chǎng)的方向相反，所以M處的電勢(shì)低于N處的電勢(shì)，A錯(cuò)誤；增大M、N之間的電壓，根據(jù)動(dòng)能定理可知，電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的初速度變大，根據(jù)r＝eq\f(mv,eB)知其在磁場(chǎng)中的軌跡半徑增大，P點(diǎn)將右移，B錯(cuò)誤；根據(jù)左手定則可知，磁場(chǎng)的方向應(yīng)該垂直于紙面向里，C錯(cuò)誤；結(jié)合B分析，可知增大磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，軌跡半徑將減小，P點(diǎn)將左移，D正確。[答案]D【變式1-1】(多選)在半導(dǎo)體離子注入工藝中，初速度可忽略的磷離子P＋和P3＋，經(jīng)電壓為U的電場(chǎng)加速后，垂直進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里、有一定寬度的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，如圖所示。已知離子P＋在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)θ＝30°后從磁場(chǎng)右邊界射出。在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，離子P＋和P3＋()A．在電場(chǎng)中的加速度之比為1∶1B．在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑之比為2∶1C．在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的角度之比為1∶2D．離開電場(chǎng)區(qū)域時(shí)的動(dòng)能之比為1∶3[解析]兩個(gè)離子的質(zhì)量相同，其帶電荷量之比是1∶3的關(guān)系，所以由a＝eq\f(qU,md)可知，其在電場(chǎng)中的加速度之比是1∶3，故A錯(cuò)誤。要想知道半徑必須先知道進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，而速度的決定因素是加速電場(chǎng)，所以在離開電場(chǎng)時(shí)其速度表達(dá)式為v＝eq\r(\f(2qU,m))，可知其速度之比為1∶eq\r(3)。又由qvB＝meq\f(v2,r)知r＝eq\f(mv,qB)，所以其半徑之比為eq\r(3)∶1，故B錯(cuò)誤。由B項(xiàng)分析知道，離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑之比為eq\r(3)∶1，設(shè)磁場(chǎng)寬度為L(zhǎng)，離子通過(guò)磁場(chǎng)轉(zhuǎn)過(guò)的角度等于其圓心角，所以sinθ＝eq\f(L,r)，則可知角度的正弦值之比為1∶eq\r(3)，又P＋的偏轉(zhuǎn)角度為30°，可知P3＋的偏轉(zhuǎn)角度為60°，即在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的角度之比為1∶2，故C正確。由電場(chǎng)加速后：qU＝eq\f(1,2)mv2可知，兩離子離開電場(chǎng)的動(dòng)能之比為1∶3，故D正確。[答案]CD【變式1-2】如圖甲所示，質(zhì)量為m，帶電荷量為－q的帶電粒子在t＝0時(shí)刻由a點(diǎn)以初速度v0垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，Ⅰ區(qū)域磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不變、方向周期性變化，如圖乙所示(垂直紙面向里為正方向)；Ⅱ區(qū)域?yàn)閯驈?qiáng)電場(chǎng)，方向向上；Ⅲ區(qū)域?yàn)閯驈?qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小與Ⅰ區(qū)域相同均為B0。粒子在Ⅰ區(qū)域內(nèi)一定能完成半圓運(yùn)動(dòng)且每次經(jīng)過(guò)MN的時(shí)刻均為eq\f(T0,2)整數(shù)倍，則：(1)粒子在Ⅰ區(qū)域運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為多少？(2)若初始位置與第四次經(jīng)過(guò)MN時(shí)的位置距離為x，求粒子進(jìn)入Ⅲ區(qū)域時(shí)速度的可能值(初始位置記為第一次經(jīng)過(guò)MN)。解析：(1)帶電粒子在Ⅰ區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，即qv0B0＝meq\f(v02,r)解得r＝eq\f(mv0,qB0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或T0＝\f(2πr,v0)，r＝\f(v0T0,2π)))。(2)畫出帶電粒子的兩種運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖。第一種情況：粒子在Ⅲ區(qū)域運(yùn)動(dòng)半徑R＝eq\f(x,2)qv2B0＝meq\f(v22,R)解得粒子在Ⅲ區(qū)域速度大?。簐2＝eq\f(qB0x,2m)第二種情況：粒子在Ⅲ區(qū)域運(yùn)動(dòng)半徑R＝eq\f(x－4r,2)解得粒子在Ⅲ區(qū)域速度大小：v2＝eq\f(qB0x,2m)－2v0。答案：(1)eq\f(mv0,qB0)或eq\f(v0T0,2π)(2)eq\f(qB0x,2m)或eq\f(qB0x,2m)－2v0【變式1-3】如圖所示，真空中有一以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，半徑為R＝0.5m，磁場(chǎng)垂直紙面向里。在y>R的區(qū)域存在沿－y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E＝1.0×105V/m。在M點(diǎn)有一正粒子以速率v＝1.0×106m/s沿＋x方向射入磁場(chǎng)，粒子穿出磁場(chǎng)進(jìn)入電場(chǎng)，速度減小到0后又返回磁場(chǎng)，最終又從磁場(chǎng)離開。已知粒子的比荷為eq\f(q,m)＝1.0×107C/kg，粒子重力不計(jì)。(1)求圓形磁場(chǎng)區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度的大?。?2)求沿＋x方向射入磁場(chǎng)的粒子，從進(jìn)入磁場(chǎng)到再次穿出磁場(chǎng)所走過(guò)的路程。[解析](1)沿＋x方向射入磁場(chǎng)的粒子進(jìn)入電場(chǎng)后，速度減小到0，粒子一定是從如圖的P點(diǎn)射出磁場(chǎng)，逆著電場(chǎng)線運(yùn)動(dòng)，所以粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝R＝0.5m根據(jù)Bqv＝eq\f(mv2,r)，得r＝eq\f(mv,Bq)，得B＝eq\f(mv,qR)，代入數(shù)據(jù)得B＝0.2T。(2)粒子返回磁場(chǎng)后，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從N點(diǎn)射出磁場(chǎng)，MN為直徑，粒子在磁場(chǎng)中的路程為二分之一圓周長(zhǎng)s1＝πR設(shè)在電場(chǎng)中的路程為s2，根據(jù)動(dòng)能定理得Eqeq\f(s2,2)＝eq\f(1,2)mv2，s2＝eq\f(mv2,Eq)總路程s＝πR＋eq\f(mv2,Eq)，代入數(shù)據(jù)得s＝(0.5π＋1)m[答案](1)0.2T(2)(0.5π＋1)m【題型2殘缺圓與類平拋綜合】【例2】如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，在第Ⅰ象限內(nèi)有平行于y軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向沿y軸正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于xOy平面向里，正三角形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，且ab邊與y軸平行。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子，從y軸上的P(0，h)點(diǎn)，以大小為v0的速度沿x軸正方向射入電場(chǎng)，通過(guò)電場(chǎng)后從x軸上的a(2h，0)點(diǎn)進(jìn)入第Ⅳ象限，又經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)從y軸上的某點(diǎn)進(jìn)入第Ⅲ象限，且速度與y軸負(fù)方向成45°角，不計(jì)粒子所受的重力。求：(1)電場(chǎng)強(qiáng)度E的大??；(2)粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向；(3)abc區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值。解析(1)設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則有x＝v0t＝2h，y＝eq\f(1,2)at2＝h，qE＝ma，聯(lián)立以上各式可得E＝eq\f(mveq\o\al(2,0),2qh)。(2)粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)沿負(fù)y方向的分速度為vy＝at＝v0，所以va＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋veq\o\al(2,y))＝eq\r(2)v0，方向指向第Ⅳ象限且與x軸正方向成45°角。(3)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，有qvaB＝meq\f(veq\o\al(2,a),r)，當(dāng)粒子從b點(diǎn)射出時(shí)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為最小值，此時(shí)有r＝eq\f(\r(2),2)L，所以B＝eq\f(2mv0,qL)。答案(1)eq\f(mveq\o\al(2,0),2qh)(2)eq\r(2)v0指向第Ⅳ象限且與x軸正方向成45°角(3)eq\f(2mv0,qL)【變式2-1】如圖所示，在xOy平面直角坐標(biāo)系的第一象限有射線OA，OA與x軸正方向夾角為30°，OA與y軸所夾區(qū)域內(nèi)有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其他區(qū)域存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，從y軸上的P點(diǎn)沿著x軸正方向以初速度v0射入電場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)垂直于射線OA進(jìn)入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)，過(guò)y軸正半軸上的M點(diǎn)再次垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)。已知OP＝h，不計(jì)粒子重力，求：(1)粒子經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的速度大?。?2)勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度的大??；(3)粒子從Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)所用的時(shí)間。解析(1)粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)將速度分解如圖，可得vQ＝eq\f(v0,sin30°)＝2v0(2)vy＝vQcos30°＝eq\r(3)v0P到Q，帶電粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)OQ＝L，則x軸方向：Lcos30°＝v0ty軸方向：h－Lsin30°＝eq\f(1,2)vytvy＝at，qE＝ma聯(lián)立解得：t＝eq\f(2\r(3)h,5v0)，L＝eq\f(4h,5)，E＝eq\f(5mveq\o\al(2,0),2qh)(3)由題意得，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝L＝eq\f(4,5)h粒子從Q運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，圓心角θ＝eq\f(5π,3)則運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝eq\f(θ,2π)T＝eq\f(5T,6)＝eq\f(5,6)×eq\f(2πr,vQ)＝eq\f(2πh,3v0)。答案(1)2v0(2)eq\f(5mveq\o\al(2,0),2qh)(3)eq\f(2πh,3v0)【變式2-2】如圖所示，直線PQ的左邊為磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，右邊為電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)。一帶電荷量為q(q＞0)、質(zhì)量為m的粒子從MN上的C點(diǎn)沿與MN成60°角的方向，以速度v射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中發(fā)生偏轉(zhuǎn)后從D點(diǎn)(圖中未畫出)垂直PQ進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，最后到達(dá)MN上F點(diǎn)(圖中未畫出)，不計(jì)粒子重力，求：(1)從C點(diǎn)到F點(diǎn)所用的時(shí)間；(2)到達(dá)F點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能。答案(1)eq\f(m,q)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3B)＋\r(\f(3v,BE))))(2)eq\f(1,2)mv2＋eq\f(3Emv,2B)解析(1)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r，則qvB＝meq\f(v2,r)r＝eq\f(mv,qB)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2πm,qB)根據(jù)軌跡知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1＝eq\f(120°,360°)T＝eq\f(2πm,3qB)粒子從D運(yùn)動(dòng)到F做類平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則r＋rsin30°＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,2)a＝eq\f(qE,m)解得t2＝eq\f(m,q)eq\r(\f(3v,BE))故粒子從C點(diǎn)到F點(diǎn)所用的時(shí)間為t＝t1＋t2＝eq\f(m,q)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3B)＋\r(\f(3v,BE))))。(2)對(duì)粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，由動(dòng)能定理有qEreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋sin30°))＝EkF－eq\f(1,2)mv2解得EkF＝eq\f(1,2)mv2＋eq\f(3Emv,2B)?！咀兪?-3】如圖所示，在第一象限內(nèi)，存在垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ，第二象限內(nèi)存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第三、四象限內(nèi)存在垂直于xOy平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ。一質(zhì)量為m，電荷量為＋q的粒子，從x軸上M點(diǎn)以某一初速度垂直于x軸進(jìn)入第四象限，在xOy平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為圓心做半徑為R0的圓周運(yùn)動(dòng)；隨后進(jìn)入電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)至y軸上的N點(diǎn)，沿與y軸正方向成45°角離開電場(chǎng)；在磁場(chǎng)Ⅰ中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，再次垂直于x軸進(jìn)入第四象限。不計(jì)粒子重力。求：(1)帶電粒子從M點(diǎn)進(jìn)入第四象限時(shí)初速度的大小v0；(2)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E；(3)磁場(chǎng)Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B1。答案(1)eq\f(qB0R0,m)(2)eq\f(qBeq\o\al(2,0)R0,2m)(3)eq\f(1,2)B0解析(1)粒子從x軸上M點(diǎn)進(jìn)入第四象限，在xOy平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為圓心做半徑為R0的圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力qv0B0＝meq\f(veq\o\al(2,0),R0)解得v0＝eq\f(qB0R0,m)。(2)粒子在第二象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，沿著x軸方向qE＝ma，veq\o\al(2,x)－0＝2aR0沿與y軸正方向成45°角離開電場(chǎng)，所以vx＝vy＝v0解得電場(chǎng)強(qiáng)度E＝eq\f(qBeq\o\al(2,0)R0,2m)。(3)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：第二象限，沿著x軸方向R0＝eq\f(vx＋0,2)t沿著y軸方向ON＝v0t所以O(shè)N＝2R0由幾何關(guān)系知，三角形OO′N為等腰直角三角形。帶電粒子在磁場(chǎng)Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R＝eq\r(2)ON＝2eq\r(2)R0由洛倫茲力提供向心力qvB1＝meq\f(v2,R)粒子在N點(diǎn)離開電場(chǎng)時(shí)的速度v＝eq\r(2)v0所以磁場(chǎng)Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B1＝eq\f(1,2)B0。【題型3連續(xù)場(chǎng)中的周期性問(wèn)題】【例3】(多選)研究表明，蜜蜂是依靠蜂房、采蜜地點(diǎn)和太陽(yáng)三個(gè)點(diǎn)來(lái)定位的，蜜蜂飛行時(shí)就是根據(jù)這三個(gè)位置關(guān)系呈“8”字形運(yùn)動(dòng)來(lái)告訴同伴蜜源的方位。某興趣小組用帶電粒子在如圖所示的電場(chǎng)和磁場(chǎng)中模擬蜜蜂的“8”字形運(yùn)動(dòng)，即在y＞0的空間中和y＜0的空間內(nèi)同時(shí)存在著大小相等，方向相反的勻強(qiáng)電場(chǎng)，上、下電場(chǎng)以x軸為分界線，在y軸左側(cè)和圖中豎直虛線MN右側(cè)均無(wú)電場(chǎng)，但有方向垂直紙面向里和向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN與y軸的距離為2d。一重力不計(jì)的帶負(fù)電荷的粒子從y軸上的P(0，d)點(diǎn)以沿x軸正方向的初速度v0開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，粒子又以相同的速度回到P點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A．電場(chǎng)與磁場(chǎng)的比值為v0B．電場(chǎng)與磁場(chǎng)的比值為2v0C．帶電粒子運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的時(shí)間為eq\f(2d,v0)＋eq\f(2πd,v0)D．帶電粒子運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的時(shí)間為eq\f(4d,v0)＋eq\f(2πd,v0)解析：選BD粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，有：d＝v0t1，d＝eq\f(1,2)·eq\f(qE,m)·t12，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有：R＝eq\f(mv0,qB)。結(jié)合幾何關(guān)系，有：R＝d，聯(lián)立解得：eq\f(E,B)＝2v0，A錯(cuò)誤，B正確；帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為4t1＝eq\f(4d,v0)，帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡是兩個(gè)半圓，故運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2＝eq\f(2πd,v0)，帶電粒子運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的時(shí)間為t＝4t1＋t2＝eq\f(4d,v0)＋eq\f(2πd,v0)，故C錯(cuò)誤，D正確。【變式3-1】如圖所示，在x軸上方有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里。在x軸下方有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向豎直向上。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q、重力不計(jì)的帶正電粒子從y軸上的a點(diǎn)(0，h)處沿y軸正方向以初速度v＝eq\r(2)v0開始運(yùn)動(dòng)，一段時(shí)間后，粒子速度方向與x軸正方向成45°角進(jìn)入電場(chǎng)，經(jīng)過(guò)y軸上b點(diǎn)時(shí)速度方向恰好與y軸垂直。求：(1)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大??；(2)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小；(3)粒子從開始運(yùn)動(dòng)到第三次經(jīng)過(guò)x軸的時(shí)間。解析：(1)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖由圖可得rcos45°＝h粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)qvB＝meq\f(v2,r)聯(lián)立可得r＝eq\r(2)h，B＝eq\f(mv0,qh)。(2)粒子在x軸下方運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)過(guò)程中，易知vb＝vcos45°，水平方向r＋rsin45°＝vcos45°·t2豎直方向yb＝eq\f(1,2)(vsin45°＋0)t2由動(dòng)能定理得－Eqyb＝eq\f(1,2)mvb2－eq\f(1,2)mv2聯(lián)立可得t2＝eq\f(\r(2)＋1,v0)h，yb＝eq\f(\r(2)＋1,2)h，E＝eq\f(\r(2)－1mv02,qh)。(3)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)總的圓心角θ＝eq\f(5π,4)＋eq\f(3π,2)rad＝eq\f(11π,4)rad粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1＝eq\f(θ·r,v)＝eq\f(11πh,4v0)粒子從開始運(yùn)動(dòng)到第三次經(jīng)過(guò)x軸t＝t1＋2t2聯(lián)立可得t＝eq\f(11π,4)＋2eq\r(2)＋2eq\f(h,v0)。答案：(1)eq\f(mv0,qh)(2)eq\f(\r(2)－1mv02,qh)(3)eq\f(11π,4)＋2eq\r(2)＋2eq\f(h,v0)【變式3-2】如圖所示，x軸上方存在電場(chǎng)強(qiáng)度E＝1000V/m、方向沿－y軸方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，x軸與PQ(平行于x軸)之間存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝2T、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一個(gè)質(zhì)量m＝2×10－8kg、帶電荷量q＝＋1.0×10－5C的粒子，從y軸上(0，0.04m)的位置分別以不同的初速度v0沿＋x軸方向射入勻強(qiáng)電場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力。(1)若v0＝200m/s，求粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度v的大小和方向；(2)若粒子射入電場(chǎng)后都能經(jīng)磁場(chǎng)返回，求磁場(chǎng)的最小寬度d；(3)若粒子恰能經(jīng)過(guò)x軸上x＝100m的點(diǎn)，求粒子入射的初速度v0。答案(1)200eq\r(2)m/s方向與x軸成45°角(2)0.2m(3)見(jiàn)解析解析(1)設(shè)粒子第一次在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，根據(jù)牛頓第二定律得qE＝ma粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向y＝eq\f(1,2)at2vy＝at末速度為v2＝veq\o\al(2,0)＋veq\o\al(2,y)tanα＝eq\f(vy,v0)解得v＝200eq\r(2)m/s方向與x軸成45°角。(2)初速度為0的粒子最容易穿過(guò)磁場(chǎng)，qvyB＝meq\f(veq\o\al(2,y),r)得r＝0.2m要使所有帶電粒子都返回電場(chǎng)，磁場(chǎng)的最小寬度d＝0.2m。(3)對(duì)于不同初速度的粒子通過(guò)磁場(chǎng)的軌跡在x軸上的弦長(zhǎng)不變，x1＝2rsinα＝2eq\f(mvsinα,qB)＝2eq\f(mvy,qB)＝0.4m設(shè)粒子第n次過(guò)x軸經(jīng)過(guò)x＝100m處，滿足eq\f(n－1,2)x1＋nv0t＝x其中n＝2k＋1(k＝0，1，2，3，…)，則初速度v0＝eq\f(104×（50.1－0.1n）,2n)m/s，其中n＝2k＋1(k＝0，1，2，3，…)或滿足eq\f(n,2)x1＋(n－1)v0t＝x，其中n＝2k(k＝1，2，3，…)，則初速度v0＝eq\f(104×（50－0.1n）,2（n－1）)m/s，其中n＝2k(k＝1，2，3，…)。【變式3-3】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第一、二象限存在著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，第四象限存在著沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小未知。一帶正電的粒子從y軸上的M點(diǎn)以速度v0沿x軸正方向開始運(yùn)動(dòng)，從x軸上的N點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后恰好經(jīng)O點(diǎn)再次進(jìn)入電場(chǎng)，已知MN兩點(diǎn)的連線與x軸的夾角為θ，且tanθ＝eq\f(1,2)，帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，不計(jì)帶電粒子的重力。求：(1)粒子第一次經(jīng)過(guò)N點(diǎn)的速度v；(2)粒子從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的過(guò)程中，洛倫茲力的沖量I；(3)電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；(4)粒子連續(xù)兩次通過(guò)x軸上同一點(diǎn)的時(shí)間間隔Δt。答案(1)eq\r(2)v0，速度方向與x軸正方向成45°角(2)2mv0，方向沿y軸負(fù)方向(3)eq\f(v0B,2)(4)eq\f(（3π＋4）m,qB)解析(1)設(shè)帶電粒子從M運(yùn)動(dòng)到N的過(guò)程中，水平位移為x，豎直位移為y，則有tanθ＝eq\f(y,x)x＝v0ty＝eq\f(vy,2)t粒子第一次經(jīng)過(guò)N點(diǎn)的速度v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋veq\o\al(2,y))解得v＝eq\r(2)v0設(shè)粒子第一次經(jīng)過(guò)N點(diǎn)的速度與x軸夾角為α，則tanα＝eq\f(vy,v0)解得α＝45°即速度方向與x軸正方向成45°角。(2)粒子從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的過(guò)程中，利用動(dòng)量定理有I＝mΔv＝2mv0，方向沿y軸負(fù)方向。(3)由向心力公式和牛頓第二定律得qvB＝eq\f(mv2,R)由幾何知識(shí)得x＝eq\r(2)Ry＝eq\f(\r(2),2)R由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得veq\o\al(2,y)＝2ay由牛頓第二定律得qE＝ma解得E＝eq\f(v0B,2)。(4)帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。由周期公式得T＝eq\f(2πR,v)帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1＝eq\f(3,2)T帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2＝2eq\f(x,v0)所以Δt＝t1＋t2＝eq\f(（3π＋4）m,qB)?！绢}型4交變場(chǎng)問(wèn)題】【例4】(多選)某一空間存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度為B且大小不變、方向隨時(shí)間t做周期性變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(如圖甲所示)，規(guī)定垂直紙面向里的磁場(chǎng)方向?yàn)檎槭轨o止于該磁場(chǎng)中的帶正電的粒子能按a→b→c→d→e→f的順序做“∞”形運(yùn)動(dòng)(即如圖乙所示的軌跡)，下列辦法可行的是(粒子只受磁場(chǎng)力的作用，其他力不計(jì))()A．若粒子的初始位置在a處，在t＝eq\f(3,8)T時(shí)給粒子一個(gè)沿切線方向水平向右的初速度B．若粒子的初始位置在f處，在t＝eq\f(T,2)時(shí)給粒子一個(gè)沿切線方向豎直向下的初速度C．若粒子的初始位置在e處，在t＝eq\f(11,8)T時(shí)給粒子一個(gè)沿切線方向水平向左的初速度D．若粒子的初始位置在b處，在t＝eq\f(T,2)時(shí)給粒子一個(gè)沿切線方向豎直向上的初速度解析：選AD要使粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如題圖乙所示，由左手定則知粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期應(yīng)為T0＝eq\f(T,2)，若粒子的初始位置在a處時(shí)，對(duì)應(yīng)時(shí)刻應(yīng)為t＝eq\f(3,4)T0＝eq\f(3,8)T，同理判斷可得A、D正確，B、C錯(cuò)誤?！咀兪?-1】如圖甲所示，寬度為d的豎直狹長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)(邊界為L(zhǎng)1、L2)，存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和豎直方向上的周期性變化的電場(chǎng)(如圖乙所示)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E0，E>0表示電場(chǎng)方向豎直向上。t＝0時(shí)，一帶正電、質(zhì)量為m的微粒從左邊界上的N1點(diǎn)以水平速度v射入該區(qū)域，沿直線運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)后，做一次完整的圓周運(yùn)動(dòng)，再沿直線運(yùn)動(dòng)到右邊界上的N2點(diǎn)。Q為線段N1N2的中點(diǎn)，重力加速度為g。上述d、E0、m、v、g為已知量。(1)求微粒所帶電荷量q和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大??；(2)求電場(chǎng)變化的周期T；(3)改變寬度d，使微粒仍能按上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程通過(guò)相應(yīng)寬度的區(qū)域，求T的最小值。[解析](1)微粒做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)有：mg＋qE0＝qvB ①微粒做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)有：mg＝qE0 ②聯(lián)立①②得q＝eq\f(mg,E0)， ③B＝eq\f(2E0,v)。 ④(2)設(shè)微粒從N1點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間為t1，做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為t2，則eq\f(d,2)＝vt1⑤qvB＝meq\f(v2,R) ⑥2πR＝vt2 ⑦聯(lián)立③④⑤⑥⑦得t1＝eq\f(d,2v)，t2＝eq\f(πv,g) ⑧電場(chǎng)變化的周期T＝t1＋t2＝eq\f(d,2v)＋eq\f(πv,g)。 ⑨(3)若微粒能完成題述的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，要求d≥2R⑩聯(lián)立③④⑥得R＝eq\f(v2,2g) ?設(shè)在N1Q段直線運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為t1min，由⑤⑩?得t1min＝eq\f(v,2g)因t2不變，T的最小值Tmin＝t1min＋t2＝eq\f(2π＋1v,2g)。[答案](1)eq\f(mg,E0)eq\f(2E0,v)(2)eq\f(d,2v)＋eq\f(πv,g)(3)eq\f(2π＋1v,2g)【變式4-2】如圖甲所示，整個(gè)空間存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)(平行于紙面)，在同一水平線上的兩位置以相同速率同時(shí)噴出質(zhì)量均為m的油滴a和b，帶電荷量為＋q的a水平向右，不帶電的b豎直向上。b上升高度為h時(shí)，到達(dá)最高點(diǎn)，此時(shí)a恰好與它相碰，瞬間結(jié)合成油滴p。忽略空氣阻力，重力加速度為g。求：(1)油滴b豎直上升的時(shí)間及兩油滴噴出位置的距離；(2)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小及油滴a、b結(jié)合為p后瞬間的速度；(3)若油滴p形成時(shí)恰位于某矩形區(qū)域邊界，取此時(shí)為t＝0時(shí)刻，同時(shí)在該矩形區(qū)域加一個(gè)垂直于紙面周期性變化的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)變化規(guī)律如圖乙所示，磁場(chǎng)變化周期為T0(垂直紙面向外為正)，已知p始終在矩形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，求矩形區(qū)域的最小面積。(忽略磁場(chǎng)突變的影響)[解析](1)設(shè)油滴噴出時(shí)的速度為v0，油滴b做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，有0＝v02－2gh，解得v0＝eq\r(2gh)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律可得0＝v0－gt0，解得t0＝eq\r(\f(2h,g))，對(duì)油滴a的水平分運(yùn)動(dòng)，有x0＝v0t0，解得x0＝2h。(2)兩油滴結(jié)合之前，油滴a做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a，有qE－mg＝ma，h＝eq\f(1,2)at02，解得a＝g，E＝eq\f(2mg,q)，設(shè)結(jié)合前瞬間油滴a的速度大小為va，方向向右上且與水平方向成θ角，則v0＝vacosθ，v0tanθ＝at0，解得va＝2eq\r(gh)，θ＝45°，兩油滴的結(jié)合過(guò)程動(dòng)量守恒，有mva＝2mvp，聯(lián)立解得vp＝eq\r(gh)，方向向右上且與水平方向成45°角。(3)因qE＝2mg，油滴p在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為r，周期為T，則qvpB＝2meq\f(vp2,r)，B＝eq\f(8πm,qT0)，解得r＝eq\f(T0\r(gh),4π)，由T＝eq\f(2πr,vp)可得T＝eq\f(T0,2)，即油滴p在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是兩個(gè)外切圓組成的“8”字形，軌跡如圖所示，最小矩形的兩條邊長(zhǎng)分別為2r、4r，則矩形區(qū)域的最小面積為Smin＝2r×4r＝eq\f(ghT02,2π2)。[答案](1)eq\r(\f(2h,g))2h(2)eq\f(2mg,q)eq\r(gh)，方向向右上且與水平方向成45°角(3)eq\f(ghT02,2π2)【變式4-3】如圖甲所示，在xOy平面內(nèi)存在磁場(chǎng)和電場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間周期性變化，B的變化周期為4t0，E的變化周期為2t0，變化規(guī)律分別如圖乙和圖丙所示。在t＝0時(shí)刻從O點(diǎn)發(fā)射一帶負(fù)電的粒子(不計(jì)重力)，初速度大小為v0，方向沿y軸正方向，在x軸上有一點(diǎn)A(圖中未標(biāo)出)，坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48v0t0,π)，0))。若規(guī)定垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向，y軸正方向?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度的正方向，v0、t0、B0為已知量，磁感應(yīng)強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度的大小滿足：eq\f(E0,B0)＝eq\f(v0,π)；粒子的比荷滿足：eq\f(q,m)＝eq\f(π,B0t0)。求：(1)在t＝eq\f(t0,2)時(shí)，粒子的位置坐標(biāo)；(2)粒子偏離x軸的最大距離；(3)粒子運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)的時(shí)間。[解析](1)在0～t0時(shí)間內(nèi)，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得qB0v0＝meq\f(4π2,T2)r1＝meq\f(v02,r1)解得T＝2t0，r1＝eq\f(mv0,qB0)＝eq\f(v0t0,π)則粒子在eq\f(t0,2)時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角α＝eq\f(π,2)所以在t＝eq\f(t0,2)時(shí)，粒子的位置坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v0t0,π)，\f(v0t0,π)))。(2)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示在t0～2t0時(shí)間內(nèi)，設(shè)粒子經(jīng)電場(chǎng)加速后的速度為v，則v＝v0＋eq\f(E0q,m)t0＝2v0運(yùn)動(dòng)的位移x＝eq\f(v0＋v,2)t0＝1.5v0t0在2t0～3t0時(shí)間內(nèi)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑r2＝2r1＝eq\f(2v0t0,π)故粒子偏離x軸的最大距離h＝x＋r2＝1.5v0t0＋eq\f(2v0t0,π)。(3)粒子在xOy平面內(nèi)做周期性運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)周期為4t0，故粒子在一個(gè)周期內(nèi)向右運(yùn)動(dòng)的距離d＝2r1＋2r2＝eq\f(6v0t0,π)AO間的距離為eq\f(48v0t0,π)＝8d所以，粒子運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)的時(shí)間t＝32t0。[答案](1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v0t0,π)，\f(v0t0,π)))(2)1.5v0t0＋eq\f(2v0t0,π)(3)32t0【題型5綜合問(wèn)題】【例5】如圖，第一象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E；第二、三、四象限存在方向垂直xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其中第二象限的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，第三、四象限磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等。一帶正電的粒子，從x軸負(fù)方向上的P點(diǎn)沿與x軸正方向成α＝60°角平行xOy平面入射，經(jīng)過(guò)第二象限后恰好由y軸上的Q點(diǎn)(0，d)垂直y軸進(jìn)入第一象限，然后又從x軸上的N點(diǎn)進(jìn)入第四象限，之后經(jīng)第四、三象限重新回到P點(diǎn)，回到P點(diǎn)的速度方向與入射時(shí)相同。不計(jì)粒子重力。求：(1)粒子從P點(diǎn)入射時(shí)的速度v0；(2)粒子進(jìn)入第四象限時(shí)在x軸上的N點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O距離；(3)粒子在第三、四象限內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑(用已知量d表示結(jié)果)。答案(1)eq\f(E,3B)(2)eq\f(2\r(3),3)d(3)eq\f(5,3)d解析(1)粒子在第二象限做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r1，圓心為O1，有qv0B＝meq\f(veq\o\al(2,0),r1)r1－r1sin30°＝d由上兩式解得B＝eq\f(mv0,2dq)粒子在第四、三象限中做圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可知β＝α＝60°設(shè)粒子在x軸上N點(diǎn)的速度為v，有v＝eq\f(v0,cosβ)＝2v0又qEd＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得E＝eq\f(3mveq\o\al(2,0),2dq)所以v0＝eq\f(E,3B)(2)設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為(－xP，0)，由幾何關(guān)系得xP＝eq\r(3)d設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，N點(diǎn)橫坐標(biāo)為xN，則有d＝eq\f(v0tanβ,2)txN＝v0t解得xN＝eq\f(2\r(3),3)d(3)粒子在第四、三象限中運(yùn)動(dòng)半徑為r2，圓心為O2，則2r2cos30°＝eq\r(3)d＋eq\f(2\r(3),3)d解得r2＝eq\f(5,3)d【變式5-1】如圖所示，在真空中xOy平面內(nèi)，有四個(gè)邊界垂直于x軸的條狀區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，區(qū)域Ⅰ、Ⅲ寬度均為d，內(nèi)有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，大小均為E；區(qū)域Ⅱ、Ⅳ寬度均為2d，內(nèi)有垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B1和B2。M是區(qū)域Ⅲ右邊界與x軸交點(diǎn)。質(zhì)量為m，電荷量為＋q的粒子甲以速度v0從O點(diǎn)沿x軸正方向射入電場(chǎng)E，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，沿x軸正方向與自由靜止在M點(diǎn)的粒子乙粘合在一起，成為粒子丙進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅳ，之后直接從右邊界上Q點(diǎn)(圖中未標(biāo)出)離開區(qū)域Ⅳ。粒子乙不帶電，質(zhì)量為2m，粘合前后無(wú)電荷損失，粘合時(shí)間很短，E＝eq\f(\r(3)mv02,qd)，粒子重力不計(jì)。(1)求粒子甲離開區(qū)域Ⅰ時(shí)速度v1大小和與x軸正方向夾角θ；(2)求勻強(qiáng)磁場(chǎng)B1的磁感應(yīng)強(qiáng)度大??；(3)若勻強(qiáng)磁場(chǎng)B2磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不同，則粒子丙在磁場(chǎng)B2中運(yùn)動(dòng)時(shí)間不同。求粒子甲從O點(diǎn)到M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間與粒子丙從M點(diǎn)到Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間之和的最大值。[解析](1)設(shè)粒子甲在電場(chǎng)中的加速度為a1，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1，離開區(qū)域Ⅰ時(shí)速度大小為v1，與x軸正方向夾角為θ，v1沿y軸負(fù)方向的大小為vy，則qE＝ma1，d＝v0t1，vy＝a1t1，vy＝v0tanθ，v1＝eq\f(v0,cosθ)解得v1＝2v0，θ＝60°。(2)粒子甲運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)速度沿x軸正方向，由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，粒子甲在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B1中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于區(qū)域Ⅱ垂直于x軸的中線對(duì)稱，設(shè)軌道半徑為r1，則d＝r1sinθ，qv1B1＝eq\f(mv12,r1)解得B1＝eq\f(\r(3)mv0,qd)。(3)設(shè)粒子甲在磁場(chǎng)B1中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T1，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2，則t2＝eq\f(2θ,2π)T1，T1＝eq\f(2πm,qB1)解得t2＝eq\f(2\r(3)πd,9v0)設(shè)粒子甲在從O點(diǎn)到M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t3，則t3＝2t1＋t2解得t3＝eq\f(2d,v0)＋eq\f(2\r(3)πd,9v0)設(shè)粒子甲在M點(diǎn)與粒子乙粘合前速度大小為v2，粒子丙在M點(diǎn)速度大小為v3，則v2＝v0mv2＝3mv3粒子丙在磁場(chǎng)B2中以速度v3做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且從右邊界上Q點(diǎn)離開，則當(dāng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r2＝2d時(shí)，粒子丙在磁場(chǎng)B2中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，設(shè)為t4，則t4＝eq\f(2πr2,4v3)＝eq\f(3πd,v0)設(shè)粒子甲在從O點(diǎn)到M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間與粒子丙從M點(diǎn)到Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間之和的最大值為tm，則Tm＝t3＋t4解得tm＝eq\f(2d,v0)＋eq\f(2\r(3)πd,9v0)＋eq\f(3πd,v0)＝(18＋2eq\r(3)π＋27π)eq\f(d,9v0)。[答案](1)2v060°(2)eq\f(\r(3)mv0,qd)(3)(18＋2eq\r(3)π＋27π)eq\f(d,9v0)【變式5-2】如圖所示，在xOy坐標(biāo)系內(nèi)存在一個(gè)以(A,0)為圓心、半徑為a的圓形磁場(chǎng)區(qū)域，方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。另在y軸右側(cè)有一方向向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，分布于y≥a的范圍內(nèi)。O點(diǎn)為質(zhì)子源，其射出質(zhì)子的速度大小相等、方向各異，但質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡均在紙面內(nèi)。已知質(zhì)子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)半徑也為a，設(shè)質(zhì)子的質(zhì)量為m、電荷量為e，重力及阻力忽略不計(jì)。求：(1)射出速度沿x軸正方向的質(zhì)子，到達(dá)y軸所用的時(shí)間；(2)射出速度與x軸正方向成30°角(如圖中所示)的質(zhì)子，到達(dá)y軸時(shí)的位置與O點(diǎn)的距離；(3)質(zhì)子到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)的范圍。解析：(1)質(zhì)子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：evB＝meq\f(v2,a)即：v＝eq\f(Bea,m)射出速度沿x軸正方向的質(zhì)子，經(jīng)eq\f(1,4)圓弧后以速度v垂直于電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t1＝eq\f(T,4)＝eq\f(πa,2v)＝eq\f(πm,2eB)質(zhì)子進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，沿電場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)a后到達(dá)y軸，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：a＝eq\f(eEt22,2m)即：t2＝eq\r(\f(2ma,eE))故所求時(shí)間為：t＝t1＋t2＝eq\f(πm,2eB)＋eq\r(\f(2ma,eE))。(2)質(zhì)子轉(zhuǎn)過(guò)120°角后離開磁場(chǎng)，再沿直線到達(dá)圖中P點(diǎn)，最后垂直電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，做類平拋運(yùn)動(dòng)，并到達(dá)y軸，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中所示。由幾何關(guān)系可得P點(diǎn)距y軸的距離為：x1＝a＋asin30°＝1.5a設(shè)在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t3，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：x1＝eq\f(eEt32,2m)即t3＝eq\r(\f(3ma,eE))質(zhì)子在y軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)y軸時(shí)有：y1＝vt3＝Baeq\r(\f(3ea,mE))所以質(zhì)子在y軸上的位置為：y＝a＋y1＝a＋Baeq\r(\f(3ea,mE))。(3)若質(zhì)子在y軸上運(yùn)動(dòng)最遠(yuǎn)，應(yīng)是質(zhì)子在磁場(chǎng)中沿右邊界向上直行，垂直進(jìn)入電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，此時(shí)x′＝2a質(zhì)子在電場(chǎng)中在y方向運(yùn)動(dòng)的距離為：y2＝2Baeq\r(\f(ea,mE))質(zhì)子離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為：ym＝a＋y2＝a＋2Baeq\r(\f(ea,mE))由幾何關(guān)系可證得，此題中凡進(jìn)入磁場(chǎng)中的粒子，從磁場(chǎng)穿出時(shí)速度方向均與y軸平行，且只有進(jìn)入電場(chǎng)中的粒子才能打到y(tǒng)軸上，因此質(zhì)子到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)的范圍應(yīng)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a＋2Ba\r(\f(ea,mE))))。答案：(1)eq\f(πm,2eB)＋eq\r(\f(2ma,eE))(2)a＋Baeq\r(\f(3ea,mE))(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a＋2Ba\r(\f(ea,mE))))【變式5-3】如圖，空間存在方向垂直于紙面(xOy平面)向里的磁場(chǎng)。在x≥0區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B0；x＜0區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為λB0(常數(shù)λ＞1)。一質(zhì)量為m、電荷量為q(q＞0)的帶電粒子以速度v0從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正向射入磁場(chǎng)，此時(shí)開始計(jì)時(shí)，當(dāng)粒子的速度方向再次沿x軸正向時(shí)，求(不計(jì)重力)(1)粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；(2)粒子與O點(diǎn)間的距離。答案(1)eq\f(πm,qB0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,λ)))(2)eq\f(2mv0,qB0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,λ)))解析(1)在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)在x≥0區(qū)域，軌道半徑為R1；在x＜0區(qū)域，軌道半徑為R2。由洛倫茲力公式及牛頓第二定律得qv0B0＝meq\f(veq\o\al(2,0),R1)①qv0λB0＝meq\f(veq\o\al(2,0),R2)②粒子速度方向轉(zhuǎn)過(guò)180°時(shí)，所需時(shí)間t1為t1＝eq\f(πR1,v0)③粒子再轉(zhuǎn)過(guò)180°時(shí)，所需時(shí)間t2為t2＝eq\f(πR2,v0)④聯(lián)立①②③④式得，所求時(shí)間為t0＝t1＋t2＝eq\f(πm,qB0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,λ)))⑤(2)由幾何關(guān)系及①②式得，所求距離為d0＝2(R1－R2)＝eq\f(2mv0,qB0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,λ)))⑥【題型6聯(lián)系實(shí)際】【例6】(多選)質(zhì)譜儀是用來(lái)分析同位素的裝置，如圖為質(zhì)譜儀的示意圖，其由豎直放置的速度選擇器、偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)構(gòu)成。由三種不同粒子組成的粒子束以某速度沿豎直向下的方向射入速度選擇器，該粒子束沿直線穿過(guò)底板上的小孔O進(jìn)入偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)，最終三種粒子分別打在底板MN上的P1、P2、P3三點(diǎn)，已知底板MN上下兩側(cè)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向均垂直紙面向外，且磁感應(yīng)強(qiáng)