高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)與方程（講義）（原卷版+解析）

第07講函數(shù)與方程

目錄

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

從近幾年高考命題來看，高考對函數(shù)

(1)理解函數(shù)的零點與方程

2022年天津卷第15題，5分與方程也經(jīng)常以不同的方式進(jìn)行考

的解的聯(lián)系.

2021年天津卷第9題，5分查，比如：函數(shù)零點的個數(shù)問題、位置

(2)理解函數(shù)零點存在定

2021年北京卷第15題，5分問題、近似解問題，以選擇題、填空題、

理，并能簡單應(yīng)用.

解答題等形式出現(xiàn)在試卷中的不同位

(3)了解用二分法求方程的

置，且考查得較為靈活、深刻，值得廣

近似解.

大師生關(guān)注.

函數(shù)零點的慨念

函數(shù)零點與方程實數(shù)解的關(guān)系

函數(shù)零點存在定理

函數(shù)與方程

_二分至的慨念

二分3去用二分透求函數(shù)零點近似值的步驟

一、函數(shù)的零點

對于函數(shù)＞="X),我們把使/(尤)=0的實數(shù)X叫做函數(shù)y=/(x)的零點.

二、方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系

方程〃x）=0有實數(shù)根o函數(shù)y=/（x）的圖像與x軸有公共點o函數(shù)＞=有零點.

三、零點存在性定理

如果函數(shù)y=〃x）在區(qū)間［a,b］上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/（。卜/伍）＜0,那么函數(shù)

y=〃x）在區(qū)間（a,6）內(nèi)有零點，即存在ce（a,b）,使得f（c）=0,c也就是方程f（x）=0的根.

四、二分法

對于區(qū)間［?；厣线B續(xù)不斷且"4）"伍）＜0的函數(shù)〃同，通過不斷地把函數(shù)“X）的零點

所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求

方程“X）=o的近似解就是求函數(shù)/（%）零點的近似值.

五、用二分法求函數(shù)/（X）零點近似值的步驟

（1）確定區(qū)間［a,司,驗證〃。）"（6）＜0,給定精度￡.

（2）求區(qū)間（a,6）的中點%.

（3）計算〃占）.若〃占）=0,則為就是函數(shù)“X）的零點；若貝U令人"（此時零點

%）.若〃6＞〃占）＜0,則令°=占（此時零點4e（占,6））

（4）判斷是否達(dá)到精確度￡,即若心-耳＜￡,則函數(shù)零點的近似值為a（或。）；否則重復(fù)第（2）

—（4）步.

用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.

【解題方法總結(jié)】

函數(shù)的零點相關(guān)技巧：

①若連續(xù)不斷的函數(shù)“X）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則/（X）至多有一個零點.

②連續(xù)不斷的函數(shù)/（無），其相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值同號.

③連續(xù)不斷的函數(shù)/（X）通過零點時，函數(shù)值不一定變號.

④連續(xù)不斷的函數(shù)/（尤）在閉區(qū)間［a,句上有零點，不一定能推出/（a）/0）＜o(jì).

.提升?必考題型歸納

【典例例題】

題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間

【例1】（2023?廣西玉林?博白縣中學(xué)校考模擬預(yù)測）己知函數(shù)版尤）是奇函數(shù)，且/（x）=/z（x）+2,若

元=2是函數(shù)y=/（x）的一個零點，則/（-2）=（）

A.-4B.0C.2D.4

【對點訓(xùn)練11（2023?吉林?通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知不是函數(shù)/（尤）=tanx-2的一個零

點，則sin2尤°的值為（）

【對點訓(xùn)練2】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（力=2，+尤送（%）=1082%+尤/（力=1082了一2的零

點依次為。，瓦c,貝U（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【對點訓(xùn)練3】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知/（x）=e，+ln尤+2,若%是方程/（x）—/'（x）=e的一

個解，則為可能存在的區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【解題總結(jié)】

求函數(shù)/（X）零點的方法：

（1）代數(shù)法，即求方程/'（x）=0的實根，適合于宜因式分解的多項式；（2）幾何法，即利用函數(shù)

y=7'（x）的圖像和性質(zhì)找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).

題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍

【例2】（2023?山西陽泉?統(tǒng)考三模）函數(shù)”x）=log2X+f+〃7在區(qū)間（1,2）存在零點.則實數(shù)機(jī)的取值

范圍是（）

A.（—co,—5）B.（-5,-1）C.（L5）D.（5,+co）

【對點訓(xùn)練4】（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（幻=2工-一-。的一個零點在區(qū)間。,3）內(nèi)，則實數(shù)。

X

的取值范圍是（）

A.（7,+oo）B.（-oo,-l）C.（-oo,-l）_（7,-KX））D.（-1,7）

2

【對點訓(xùn)練5】（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)/（x）=Q-彳=是R上的奇函數(shù)，若函數(shù)

2+1

y=2㈤的零點在區(qū)間（-1,1）內(nèi)，則加的取值范圍是（）

A.（-：，；）B.（-1,1）C.（-2,2）D.（0,1）

【對點訓(xùn)練6】（2023?浙江紹興?統(tǒng)考二模）己知函數(shù)/（x）=lnx+依2+6,若在區(qū)間［2,3］上有零

點，則必的最大值為.

【對點訓(xùn)練7】（2023?上海浦東新?高三上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=sinG-asinx在

（0,271）上有零點，則實數(shù)。的取值范圍___________.

【解題總結(jié)】

本類問題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不

等式，解不等式，從而獲解.

題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題

【例3】（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）已知實數(shù)x,y滿足lnj2y+l+y=2,

e，+尤=5,貝！Jx+2y=.

【對點訓(xùn)練8】（2023?新疆?校聯(lián)考二模）已知函數(shù)〃"=依3+3/—4,若存在唯一的零點％,且

%<0,則。的取值范圍是.

x2+4%+a,%<0

【對點訓(xùn)練9】（2023?天津濱海新?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)/（尤）=1,若函數(shù)

—Fa+1,%>0

g（X）="X）-or-1在R上恰有三個不同的零點，貝ua的取值范圍是.

【對點訓(xùn)練10］（2023?江蘇?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若曲線y=xlnx有兩條過（e,a）的切線，則。的范圍是

【對點訓(xùn)練11］（2023?天津北辰?統(tǒng)考三模）設(shè)aeR,對任意實數(shù)無，記

/（x）=min{e1-2,e2j:-acx+a+24）.若有三個零點，則實數(shù)。的取值范圍是.

【對點訓(xùn)練12】（2023?廣東?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)機(jī)，九滿足

2023-2m3-ln2

——------m=---------Inn-In^2e2020）=0,貝!|機(jī)“=.

【解題總結(jié)】

方程的根或函數(shù)零點的存在性問題，可以依據(jù)區(qū)間端點處函數(shù)值的正負(fù)來確定，但是要確定函數(shù)零

點的個數(shù)還需要進(jìn)一步研究函數(shù)在這個區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個零點；如

果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.

題型四：嵌套函數(shù)的零點問題

21c

【例4】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/"）=2',若關(guān)于x的方程

-|2JC-1|+1,X>0

/⑴-（左+1）獷（耳+履2=0有且只有三個不同的實數(shù)解，則正實數(shù)上的取值范圍為（）

A.［o,；B.1^（1,2）C.（O,1）U（1,2）D.（2,+s）

【對點訓(xùn)練13］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=|2兇-211,則關(guān)于x的方程

產(chǎn)（x）+時（x）+〃=0有7個不同實數(shù)解，則實數(shù)機(jī)，〃滿足（）

A.機(jī)>0且〃>0B.m<0^n>0

C.0<m<1且〃=0D.—lv根<0且〃=0

【對點訓(xùn)練14】（2023?四川資陽?高三統(tǒng)考期末）定義在R上函數(shù)f（x）,若函數(shù)y=/（x-l）關(guān)于點

（1,0）對稱，且“力=a1「、則關(guān)于工的方程尸⑺-2時（尤）=1（機(jī)￡尺）有〃個不同的實數(shù)解，

e—2,xGi,+oo）,

則n的所有可能的值為

A.2B.4

C.2或4D.2或4或6

【對點訓(xùn)練15］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/5）=，7-1修，設(shè)關(guān)于無的方程

/（x）-nrf（x）=-（meR）有幾個不同的實數(shù)解，則?的所有可能的值為

e

A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6

【解題總結(jié)】

1、涉及幾個根的取值范圍問題，需要構(gòu)造新的函數(shù)來確定取值范圍.

2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過參變分離減少運算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實.

題型五：函數(shù)的對稱問題

【例5】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=2x+1

的圖象上存在點P,函數(shù)g

X

（無）=ar-3的圖象上存在點。，且P,。關(guān)于原點對稱，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.H，0]B.o,jC.[0,4]D.j,4

oo

【對點訓(xùn)練16］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/5）=靖，函數(shù)g（x）與/（x）的圖象關(guān)于直線y=x

對稱，若〃（x）=g（x）-質(zhì)無零點，則實數(shù)左的取值范圍是（）

A.B.C.（e,+oo）D.

【對點訓(xùn)練17］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=a-21nx,dvx〈e）的圖象上存在點函數(shù)

e

>=/+1的圖象上存在點雙，且/,N關(guān)于無軸對稱，則a的取值范圍是（）

【對點訓(xùn)練18］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)g（x）=。-/（:VxVe,e為自然對數(shù)的底數(shù)）

與/?（x）=21nx的圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.1,-7+2B.[l,e2-2]

e

C.3+24-2D.[_e2-2,+co)

e

【解題總結(jié)】

轉(zhuǎn)化為零點問題

題型六：函數(shù)的零點問題之分段分析法模型

[例6](2023?浙江寧波?高三統(tǒng)考期末)若函數(shù)/(x)=x3.2ex2+-Inx至少存在一個零點,則加的

X

取值范圍為()

(11「21、(1]「1

A.-s,e2+-B.e+—,+8C.-8,e+—D.e+-,+8

卜\e_e

【對點訓(xùn)練19]（2023?湖北?高三校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)/（尤）=/—2e/+yTnx,記g（x）=3,若函

數(shù)g（x）至少存在一個零點，則實數(shù)加的取值范圍是

A.[-oo]+JB.[oR+Jc.D.^-co,e2+1

【對點訓(xùn)練20】（2023?福建廈門?廈門外國語學(xué)校?？家荒＃┤糁辽俅嬖谝粋€x,使得方程

Inx-mx=x（x2-lex）.則實數(shù)用的取值范圍為

1111

A.m>e2+—B.m<e2+—C.m>e+—D.m<e+—

eeee

【對點訓(xùn)練2。（2023?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（無）=/-2工-三+。（其中e為

自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)/（無）至少存在一個零點，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（0,1H—]B.（0,eH-]C.[eH—,+co）D.（—co,1H—]

eeee

【解題總結(jié)】

分類討論數(shù)學(xué)思想方法

題型七：唯一零點求值問題

【例7】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃力=|無+2|+e'+2+e-2r+a有唯一零點，則實數(shù)。=

（）

A.1B.-1C.2D.-2

【對點訓(xùn)練22]（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/⑴=-、a（sinx+cosx）有唯一零點，則

。二（）

A.-B.—C.y/2D.1

ee

【對點訓(xùn)練23]（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)廉無），”（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函

數(shù),且g（x）+Mx）=e*+sinx-x,若函數(shù)"到二廣20組-Xg（x-2020）-2萬有唯一零點,則實數(shù)彳的值為

A.T或1B.1或C.-1或2D.-2或1

【對點訓(xùn)練24］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃無）=2$1一：421+22-，）”2有唯一零點，則

負(fù)實數(shù)。=

A.—2B.—C.—1D.—或—1

22

【解題總結(jié)】

利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：

（1）利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解.

（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解.

（3）轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.

題型八：分段函數(shù)的零點問題

⑵r<0

【例8】（2023?天津南開?高三南開中學(xué)?？计谀┘褐瘮?shù)/（無）=,”一八，若函數(shù)

［log2x,x>0

g（x）=〃x）+/n有兩個零點，則機(jī)的取值范圍是（）

A.[-1,。)B.C.(f0)D.

(x—2)ln(x+1),-1<x<m,

【對點訓(xùn)練25】（?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)恰有

202377?>0,cosI3x+^-j,m<x<K,3

個零點，則根的取值范圍是（)

715兀c3兀)715兀,3兀唔吟吟

A.2TB.勺CD.

1291212n

ex,x>0#

【對點訓(xùn)練261（2023?陜西西安?高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（司=；八，若函數(shù)

-3x,x<0

g（x）=/（-x）-/（x）,則函數(shù)g（x）的零點個數(shù)為（）

A.1B.3C.4D.5

2sin2TT\x-a+—,x<a

【對點訓(xùn)練27】（2023?全國-高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃力=<I2,若函數(shù)

x2-(2a+l)x+a2+2,x>A

/（x）在［0,伏）內(nèi)恰有5個零點，則a的取值范圍是（）

【解題總結(jié)】

已知函數(shù)零點個數(shù)（方程根的個數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍;

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的

圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

題型九：零點嵌套問題

【例9】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=（xe，）2+（a_l）（尤靖）+1-。有三個不同的零點

孫孫％.其中再＜々＜須，則（1一平』）（1一"也）（1一X3j）2的值為（）

A.1B.（o-l）2C.-1D.1一a

【對點訓(xùn)練28】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/'（x）=（ox+lnx）（x-lnx）-x2,有三個不同的零

【對點訓(xùn)練29】（2023?遼寧?校聯(lián)考二模）已知函數(shù)〃x）=9（lnxy+（a-3）xlnx+3（3-a）x2有三個不同

【對點訓(xùn)練301（2023?重慶南岸?高三重慶市第H■?一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)定義在R上的函數(shù)/⑺滿

足"X）=9x2+（a-3）xex+3（3-a）e2x有三個不同的零點占,％,X3,且玉＜。＜馬＜W，貝U

【解題總結(jié)】

解決函數(shù)零點問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

題型十：等高線問題

—兀？一2xX（0

【例10】（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)〃x）='一

7|lnx|,x＞0

①若方程/（力=。有四個不同的實根毛，巧，匕，則西?XzKf的取值范圍是（?！梗?/p>

②若方程y（x）=a有四個不同的實根毛，巧，x3,x4,則再+X2+X3+尤4的取值范圍是（。，+°°）

③若方程〃力=依有四個不同的實根，則”的取值范圍是（0,』

@方程廣（可-、+￡|〃力+1=0的不同實根的個數(shù)只能是1,2,3,6

四個結(jié)論中，正確的結(jié)論個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

（X+1）",x<0

【對點訓(xùn)練311（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（尤）=<，若方程〃力=。有四個不

|log2x|,x>0

同的解工,馬出3/4,且占<當(dāng)<W〈七，則%，（占+%）+三一的取值范圍是（）

九3，*4

A.（-1,1]B.[-1,1]C.[-1,1）D.（-1,1）

【對點訓(xùn)練32]（2023?四川瀘州?高一四川省瀘縣第四中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)

|log3x|,0<x<3

〃尤）=<1210°，若方程/（尤）=機(jī)有四個不同的實根占，巧，X3,x4,滿足x<三<%,

—x-----x+8,x>3

133

則（入一3）（.%-3）的取值范圍是（）

2

A.（0,3）B.（0,4]C.（3,4]D.（1,3）

工,1

【對點訓(xùn)練33】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)兀0=<若互不相等的實數(shù)無/,

x>1

尤2,尤3滿足尤/）=/（X2）=/（尤3）,貝“』+^-j的取值范圍是（）

95

A.）B.（1,4）C.（0,4）D.（4,6）

42

【解題總結(jié)】

數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法

題型十一：二分法

【例11]（2023?遼寧大連?統(tǒng)考一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法.對于非線性可導(dǎo)函

數(shù)“X）在與附近一點的函數(shù)值可用〃力，/（5）+/（尤o）（x-x。）代替，該函數(shù)零點更逼近方程的解，以此

法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解.利用這個方法，解方程/一3彳+1=0,選取初始值

%=（,在下面四個選項中最佳近似解為（）

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

【對點訓(xùn)練34】（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)AM的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計

算，參考數(shù)據(jù)如下：

/（I）=-241.5）=0.625/（1.25）=-0.984

“1.375）=-0.260/（1.438）=0.165/（1.4065）=-0.052

那么方程的一個近似解（精確度為0.1）為（）

A.1.5B.1.25C.1.41D.1.44

【對點訓(xùn)練35］（2023?全國?高三專題練習(xí)）利用二分法求方程logsx=3-x的近似解，可以取的一個區(qū)

間是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【對點訓(xùn)練36］（2023?全國?高三專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)f（x）=lg尤+彳-2的一個零點，根據(jù)參考數(shù)

據(jù)，可得函數(shù)八力的一個零點的近似解（精確至U0」）為（）（參考數(shù)據(jù)：1g1.570.176,

1g1.625?0.211,lgl.75?0.243,1g1.875a0.273,1g1.937570.287）

A.1.6B.1.7C.1.8D.1.9

【對點訓(xùn)練371（2023?全國?高三專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)〃x）=ln（x+l）+x-1在區(qū)間［0,1］上的零

點，要求精確度為0.01時，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（）

A.6B.7C.8D.9

【解題總結(jié)】

所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求

方程/（x）=0的近似解就是求函數(shù)/（X）零點的近似值.

cos(24x-2%〃).x<a

1.（2021.天津.統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)/（%）=，若〃龍）在區(qū)間（。,+8）

爐—2(〃+l)x+Q?+5,x>a

內(nèi)恰有6個零點，則。的取值范圍是（）

2)5n

A.54

c911c

C.2]D'3

4

2.（2019?全國?高考真題）函數(shù)/（x）=2sinx-sin2x在［0,2句的零點個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2014?湖南.高考真題）已知函數(shù)/（尤）=尤2+e'-g（尤<0）與g（x）=x2+3ln（x+?）圖象上存在關(guān)于y軸對稱

的點，則。的取值范圍是（）

A.(一8,B.(-00,五)C.D.

第07講函數(shù)與方程

目錄

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

從近幾年高考命題來看，高考對

(1)理解函數(shù)的零點與函數(shù)與方程也經(jīng)常以不同的方

2022年天津卷第15題,5分

方程的解的聯(lián)系.式進(jìn)行考查，比如：函數(shù)零點的

2021年天津卷第9題，5分

(2)理解函數(shù)零點存在個數(shù)問題、位置問題、近似解問

2021年北京卷第15題,5分

定理，并能簡單應(yīng)用.題，以選擇題、填空題、解答題

(3)了解用二分法求方等形式出現(xiàn)在試卷中的不同位

程的近似解.置，且考查得較為靈活、深刻，

值得廣大師生關(guān)注.

函數(shù)零點的概念

函數(shù)與方程

一、函數(shù)的零點

對于函數(shù)y=〃尤)，我們把使〃x)=0的實數(shù)X叫做函數(shù)y=〃x)的零點.

二、方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系

方程〃彳)=0有實數(shù)根0函數(shù)〉="同的圖像與；1軸有公共點0函數(shù)>=/(x)有零

點.

三、零點存在性定理

如果函數(shù)y=〃尤)在區(qū)間［凡句上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

/(a)"㈤<0,那么函數(shù)y=在區(qū)間(a,6)內(nèi)有零點，即存在ce(a,b),使得

f(c)=0,c也就是方程/(x)=0的根.

四、二分法

對于區(qū)間［a,“上連續(xù)不斷且?/㈤<0的函數(shù)/⑺，通過不斷地把函數(shù)/(x)的

零點

所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點的近似值的方

法叫做二分法.求方程〃尤)=0的近似解就是求函數(shù)“X)零點的近似值.

五、用二分法求函數(shù)“X)零點近似值的步驟

(1)確定區(qū)間［a,b］,驗證了(4卜/伊卜。，給定精度￡.

(2)求區(qū)間(a,6)的中點士.

(3)計算/(%).若〃%)=0,則%就是函數(shù)的零點；若/伍)-〃X)<0,則令

b=xl(此時零點％e(a,±)).若/??〃用)<0,則令〃=為(此時零點七e(占,匕))

(4)判斷是否達(dá)到精確度￡,即若|a-4<￡,則函數(shù)零點的近似值為a(或6);否

則重復(fù)第(2)—(4)步.

用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.

【解題方法總結(jié)】

函數(shù)的零點相關(guān)技巧：

①若連續(xù)不斷的函數(shù)/(%)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則/(%)至多有一個零點.

②連續(xù)不斷的函數(shù)/(x),其相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值同號.

③連續(xù)不斷的函數(shù)/(x)通過零點時，函數(shù)值不一定變號.

④連續(xù)不斷的函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［。，句上有零點，不一定能推出f(a)f(b)<0.

.提升?必考題型歸納

【典例例題】

題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間

【例1】(2023?廣西玉林?博白縣中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃(x)是奇函數(shù)，且

f(元)=6(元)+2,若x=2是函數(shù)>=/(元)的一個零點，則〃-2)=()

A.-4B.0C.2D.4

【答案】D

【解析】因為尤=2是函數(shù)y=/(x)的一個零點，則/(2)=0,于是〃2)=〃⑵+2=0,即

M2)=-2,

而函數(shù)〃(x)是奇函數(shù)，貝IJ有場(-2)=-"⑵=2,

所以/(-2)=飄-2)+2=4.

故選：D

【對點訓(xùn)練11(2023?吉林?通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知%是函數(shù)

/(x)=tanx-2的一個零點，則sinZx。的值為()

43c34

A.—B.--C.-D.一

5555

【答案】D

【解析】因為不是函數(shù)〃x)=tanx-2的一個零點，

所以tan%—2=0,即tan/=2,故cos%。w0,

Qi]sin-2，由與,cosx0_2tanx0_4

222

sinx0+cosx01+tanx05"

故選：D.

【對點訓(xùn)練2】(2023?全國-高三專題練習(xí))已知函數(shù)

/(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,/i(x)=log2尤一2的零點依次為”,瓦c,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【答案】A

【解析】對于/(x)=2，+x,顯然是增函數(shù)，/(0)=1>0,/(-1)=-1<0,所以/(X)的

唯一零點ae(-l,0)；

對于g(x)=log2》+x,顯然也是增函數(shù)，g^=-1<0,g(l)=l>0,所以g(x)的唯一

零點6d

對于〃(x)=log2X-2,顯然也是增函數(shù)，/z(4)=log24-2=0,所以〃(x)的唯一零點

c=4；

/.a<.b<c；

故選：A.

【對點訓(xùn)練3】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知〃x)=eX+lnx+2,若為是方程

“力-_f(x)=e的一個解，則與可能存在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【解析】r(x)=ev+-,所以-尸⑺=e，+lnx+2'+口=1門-'+2,

XIX，％

因為與是方程/(力--⑺=e的一個解，

所以與是方程1皿_4+2—?=0的角軋4^(g(^)=lnx--+2-e,

xx

貝='當(dāng)犬>0時，，(％)=4+3>0恒成立，

XXXX

所以g(%)=liix-工+2-e單調(diào)遞增，

X

131S

又g⑵=In2-—+2-e=ln2+--e<0,,g(3)=ln3-耳+2-e=ln3+--e>0,

所以％0w(2,3).

故選：C.

【解題總結(jié)】

求函數(shù)y(x)零點的方法：

(1)代數(shù)法，即求方程/(x)=0的實根，適合于宜因式分解的多項式；(2)幾何

法，即利用函數(shù)y=/(x)的圖像和性質(zhì)找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).

題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍

[例2](2023?山西陽泉?統(tǒng)考三模)函數(shù)〃尤)=log2尤+^+機(jī)在區(qū)間(L2)存在零

點.則實數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(—oo,—5)B.(-5,-1)C.(L5)D.(5,+oo)

【答案】B

【解析】由M=logzx在(0,+“)上單調(diào)遞增，%=1+根在(0,+8)上單調(diào)遞增，得函數(shù)

/(%)=log2x+d+機(jī)在區(qū)間(0,4-00)上單調(diào)遞增,

因為函數(shù)/(x)=log2X+d+m在區(qū)間(1,2)存在零點,

訴I、//⑴<°Jl°g21+F+〃2<0

P2

所以伉2)3|log22+2+/77>0解得一5<相<一1,

所以實數(shù)m的取值范圍是(-5,-1).

故選：B.

3

【對點訓(xùn)練4】(2023?全國-高三專題練習(xí))函數(shù)/(%)=2、-―-。的一個零點在區(qū)間

x

(1,3)內(nèi)，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(7,+co)B.(-oo,-l)C._(7,-H?)D.(-1,7)

【答案】D

3

【解析】=和丁=-3在(0,+8)上是增函數(shù)，

x

3

/(%)=2'——。在(0,+8)上是增函數(shù)，

x

.?.只需/⑴"(3)<0即可,gp(-l-a)-(7-a)<0,解得-L<a<7.

故選：D.

2

【對點訓(xùn)練5】(2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試)已知函數(shù)/(x)=a-h二是R上的奇函數(shù),

2+1

若函數(shù)y=/(x-2*的零點在區(qū)間(-1,1)內(nèi)，則機(jī)的取值范圍是()

A.B.(-L1)C.(-2,2)D.(0,1)

【答案】A

22

【解析】???〃尤)是奇函數(shù)，???/(0)=。一「=0,a=l,=易知〃龍)在H

1+12X+1

上是增函數(shù)，

???/⑺有唯一零點①

函數(shù)y=f(x-2%)的零點在區(qū)間內(nèi)，.?.彳一2?1=0在(-M)上有解，"7=5

根€(-：,；).

22

故選：A.

【對點訓(xùn)練6】(2023?浙江紹興?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/'("=1!?+依2+6,若在區(qū)

間[2,3]上有零點，則而的最大值為

【答案】i

【解析】設(shè)/(與)=。，x0e[2,3].則lru：o+ax；+b=O,

止匕時人=-lnx0-axl,貝！Jab=-a\nx

2

2

令g(a)=—a\wc0-ax1=-xQa+

lnxn,、

當(dāng)"=一壽時，g(")max

乙人0

記〃。）=等，貝|］〃。）=與生

2x2x

所以力（無）在［2,e）上遞增，在［e,3］上遞減,

故無（X）max=〃（e）=［,所以g⑷

所以"的最大值為*.

故答案為：今

【對點訓(xùn)練7】（2023?上海浦東新?高三上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)

/3=$111依-411》在（0,2兀）上有零點，則實數(shù)。的取值范圍

1U，+

【答案】—00,------(2°°{0}

2

.?7L].兀兀.兀71八

【解析】當(dāng)a＞l時，。＜烏＜兀，fsin〃?一一4sm—=一〃sin一<0,

aaaa

3兀3。兀

=sin+a>0,

故噌卜3兀713兀

＜0,由零點存在性定理知：/（x）在區(qū)間上至少有1個零點;

a'2

當(dāng)a=l時，/（%）=0,符合題意;

I兀兀

當(dāng)一＜a＜1時,TC＜—＜2兀,一＜〃兀＜兀,兀＜2。?！罚?兀，

2a2

/[—j=-?sin—>0,/(兀)=sinan>0,/(2K)=sin2a兀<0,

\a)a

由零點存在性定理知，在區(qū)間(兀,2兀)至少有1個零點;

當(dāng)工時，

2

f\x)-acosax-acosx-a(cosax-cosx)

ax+xax-x.ax+x.ax-x(ax+xax-x.ax+x.冰一

=acos--------cos----------sin--------sin----------cos----------cos---------Fsin--------sin--------

2222(2222)\

_.(a+I)x.(a-V)x

=-2asm---------sin----------,

22

因為0<。4工，xG(0,2TC),所以一兀――<0,sin―—―<0,

222

、1,/八2兀.._(Q+1)%.(Q+1)X八”/、八"/、、當(dāng)4?￥

當(dāng)X￡(O,------)時，0<^--------<71,sm---------->0,/(X)遞增，

〃+122

、［//2兀_.?,(a+l)x3兀.(Q+1)X八a,、八￡,、、當(dāng)、T

當(dāng)％w(---,2兀)時，7i<-------<一,sin-------<0,/(%)<0,7(x)遞減，

〃+1222

故了⑺在(0,21)上遞增，在(烏,2兀)上遞減，

又/'(0)=0,，(2兀)=5抗2加20,即在(兀,2兀)上，/(x)>0,

故/(x)在區(qū)間(0,271)上沒有零點.

所以，當(dāng)時，函數(shù)/(x)=sinov-qsinx在(0,2兀)上有零點.

令(p(a)=sin依一asin%,(p(-a)=sin(-av)+asinx=-sinax+asinx=~(p(d),

可知奴a)=sin?v-osinx為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，

從而，當(dāng)時，函數(shù)/(x)=sinor-asinx在(0,2兀)上有零點.

又當(dāng)a=0時，f(x)=0,符合題意，

綜上，實數(shù)0的取值范圍［-鞏-￡|口,，+，|{0}.

故答案為：1一0°廠3卜網(wǎng)-

【解題總結(jié)】

本類問題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系,

列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.

題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題

【例3】(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考模擬預(yù)測)已知實數(shù)無，>滿足

InJ2y+1+y=2,e"+x=5,則x+2y=.

【答案】4

【解析】由InJ2y+l+y=2,艮|3In)2y+l=2—丁,

gpe4-2"=2)7+1,

令4—2y=，，則2y=4T,