北京市通州區(qū)市級名校2025屆高一數學第一學期期末考試試題含解析

北京市通州區(qū)市級名校2025屆高一數學第一學期期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，則的值為（）A. B.C.或 D.2．在R上定義運算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1對任意的實數x∈R恒成立，則實數a的取值范圍為（）A.－1<a<1 B.0<a<2C.－<a< D.－<a<3．中國的5G技術領先世界，5G技術的數學原理之一便是著名的香農公式：.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內信號的平均功率S，信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比.當信噪比較大時，公式中真數中的1可以忽略不計.按照香農公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至8000，則C大約增加了()（）A.10% B.30%C.60% D.90%4．若“”是“”的充分不必要條件，則（）A. B.C. D.5．下列各式中成立的是A. B.C. D.6．若，則是（）A.第一象限或第三象限角 B.第二象限或第四象限角C.第三象限或第四象限角 D.第二象限或第三象限角7．將函數的圖象向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度，得到函數的圖象，那么可以取的值為（）A. B.C. D.8．已知定義在上的函數滿足，則（）A. B.C. D.9．將函數的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數（）A.在區(qū)間上單調遞減 B.在區(qū)間上單調遞增C.在區(qū)間上單調遞減 D.在區(qū)間上單調遞增10．已知定義域為的函數滿足，且，若，則（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某學校在校學生有2000人，為了增強學生的體質，學校舉行了跑步和登山比賽，每人都參加且只參加其中一項比賽，高一、高二、高三年級參加跑步的人數分別為a，b，c，且，全校參加登山的人數占總人數的.為了了解學生對本次比賽的滿意程度，按分層抽樣的方法從中抽取一個容量為200的樣本進行調查，則應從高三年級參加跑步的學生中抽取人數為______.12．若函數的圖象過點，則函數的圖象一定經過點________.13．若點在角終邊上，則的值為_____14．已知函數，若，則___________.15．若方程組有解，則實數的取值范圍是__________16．邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則折疊后AC的長為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數，函數的最小正周期為，是函數的一條對稱軸.（1）求函數的對稱中心和單調區(qū)間；（2）若，求函數在的最大值和最小值，并寫出對應的的值18．已知，函數.（1）當時，解不等式；（2）若關于的方程的解集中恰有一個元素，求的取值范圍；（3）設，若對任意，函數在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.19．已知1與2是三次函數的兩個零點.（1）求的值；（2）求不等式的解集.20．已知函數，其中.（1）當時，求的值域和單調區(qū)間；（2）若存在單調遞增區(qū)間，求a的取值范圍.21．已知函數（1）求函數的零點；（2）若實數滿足，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】分別令和，根據集合中元素的互異性可確定結果.【詳解】若，則，不符合集合元素的互異性；若，則或（舍），此時，符合題意；綜上所述：.故選：A.2、C【解析】根據新定義把不等式轉化為一般的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立得結論【詳解】∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，即(x－a)(1－x－a)<1對任意實數x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0對任意實數x恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，解得，故選:C.3、B【解析】根據所給公式、及對數的運算法則代入計算可得；【詳解】解：當時，，當時，，∴，∴約增加了30%.故選：B4、B【解析】轉化“”是“”的充分不必要條件為，分析即得解【詳解】由題意，“”是“”的充分不必要條件故故故選：B5、D【解析】根據指數運算法則分別驗證各個選項即可得到結果.【詳解】中，中，，中，；且等式不滿足指數運算法則，錯誤；中，，錯誤；中，，則，錯誤；中，，正確.故選：【點睛】本題考查指數運算法則的應用，屬于基礎題.6、D【解析】由已知可得即可判斷.【詳解】，即，則且，是第二象限或第三象限角.故選：D.7、B【解析】寫出平移變換后的函數解析式，將函數的解析式利用二倍角公式降冪，化為正弦型函數，進而可得出的表達式，利用賦特殊值可得出結果.【詳解】將函數的圖象向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度，所得圖象對應的函數的解析式為，，，解得，當時，.故選：B.【點睛】本題考查利用三角函數圖象變換求參數，解題的關鍵就是結合圖象變換求出變換后所得函數的解析式，考查計算能力，屬于中等題.8、B【解析】分別令，，得到兩個方程，解方程組可求得結果【詳解】∵，∴當時，，①，當時，，②，，得，解得故選：B9、D【解析】由條件根據函數的圖象變換規(guī)律得到變換之后的函數解析式，再根據正弦函數的單調性判斷即可【詳解】解：將函數的圖象向右平移個單位長度，得到，若，則，因為在上不單調，故在上不單調，故A、B錯誤；若，則，因為在上單調遞增，故在上單調遞增，故C錯誤，D正確；故選：D10、A【解析】根據，，得到求解.【詳解】因為，，所以，所以，所以，所以，，故選：A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由題意求得樣本中抽取的高三的人數為人進而求得樣本中高三年級參加登山的人，即可求解.【詳解】由題意，高一、高二、高三年級參加跑步的人數分別為a，b，c，且，所以樣本中抽取的高三的人數為人，又因為全校參加登山的人數占總人數的，所以樣本中高三年級參加登山的人數為，所以樣本中高三年級參加跑步的人數為人.故答案為：.12、【解析】函數的圖象可以看作的圖象先關于軸對稱，再向右平移4個單位得到，先求出關于軸的對稱點，再向右平移4個單位即得.【詳解】由題得，函數的圖象先關于軸對稱，再向右平移個單位得函數，點關于軸的對稱點為，向右平移4個單位是，所以函數圖象一定經過點.故答案為：.【點睛】本題主要考查函數的平移變換和對稱變換，考查了分析能力，屬于基礎題.13、5【解析】由三角函數定義得14、0【解析】由，即可求出結果.【詳解】由知，則，又因為，所以.故答案：0.15、【解析】，化為，要使方程組有解，則兩圓相交或相切，，即或，，故答案為.16、2【解析】取的中點，連接，，則，則為二面角的平面角點睛：取的中點，連接，，根據正方形可知，，則為二面角的平面角，在三角形中求出的長．本題主要是在折疊問題中考查了兩點間的距離．折疊問題要注意分清在折疊前后哪些量發(fā)生了變化，哪里量沒變三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）對稱中心是，單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是（2）當時，，當時，【解析】（1）由函數的最小正周期，求得，再根據當時，函數取到最值求得，根據函數的性質求對稱中心和單調區(qū)間；（2）寫出的解析式，根據定義域，求最值【詳解】（1），，，所以，，對稱中心是，單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是（2），，當時，，當時，【點睛】三角函數最值問題要注意整體代換思想的體現，由的取值范圍推斷的取值范圍18、（1）．（2）．（3）【解析】（1）當時，解對數不等式即可；（2）根據對數的運算法則進行化簡，轉化為一元二次方程，討論的取值范圍進行求解即可；（3）根據條件得到，恒成立，利用換元法進行轉化，結合對勾函數的單調性進行求解即可.試題解析：（1）由，得，解得（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0得log2（a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0即log2（a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①則（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，當a＝4時，方程②的解為x＝﹣1，代入①，成立當a＝3時，方程②的解為x＝﹣1，代入①，成立當a≠4且a≠3時，方程②的解為x＝﹣1或x，若x＝﹣1是方程①的解，則a＝a﹣1＞0，即a＞1，若x是方程①的解，則a＝2a﹣4＞0，即a＞2，則要使方程①有且僅有一個解，則1＜a≤2綜上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一個元素，則a的取值范圍是1＜a≤2，或a＝3或a＝4（3）函數f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調遞減，由題意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（a）﹣log2（a）≤1，即a≤2（a），即a設1﹣t＝r，則0≤r，，當r＝0時，0，當0＜r時，，∵y＝r在（0，）上遞減，∴r，∴，∴實數a的取值范圍是a【一題多解】（3）還可采用：當時，，，所以在上單調遞減則函數在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，即，對任意成立因為，所以函數在區(qū)間上單調遞增，時，有最小值，由，得故的取值范圍為19、（1）；（2）【解析】（1）根據函數零點的定義得，解方程即可得答案；（2）由（1）得，進而根據二次函數性質解不等式即可.【詳解】解：（1）因為1與2是三次函數的兩個零點所以根據函數的零點的定義得：，解得：.（2）由（1）得，根據二次函數的性質得不等式的解集為：所以不等式的解集為20、（1）見解析（2）【解析】（1）利用換元法設，求出的范圍，再由對數函數的性質得出值域，再結合復合函數的單調性得出的單調區(qū)間；（2）分別討論，兩種情況，結合復合函數的單調性以及二次函數的性質得出a的取值范圍.【詳解】（1）當時，設，由，解得即函數的定義域為，此時則，即的值域為要求單調增（減）區(qū)間，等價于求的增（減）區(qū)間在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減（2）當時，存在單調遞增區(qū)間，則函數存在單調遞增區(qū)間則判別式，解得或（舍）當時，存在單調遞增區(qū)間，則函數存在單調遞減區(qū)間則判別式，解得或，此時不成立綜上，a的取值范圍為【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了對數型復合函數的單調性問題，解題的關鍵在于利用復合函數單調性的性質進