2025屆河北省保定市博野中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2025屆河北省保定市博野中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓，則橢圓的長軸長為（）A.2 B.4C. D.82．若直線的斜率，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，若，則的面積為（）A. B.C. D.4．下圖稱為弦圖，是我國古代三國時期趙爽為《周髀算經(jīng)》作注時為證明勾股定理所繪制，我們新教材中利用該圖作為“（）”的幾何解釋A.如果，，那么B.如果，那么C.對任意實數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立D.如果，那么5．已知不等式的解集為，關(guān)于x的不等式的解集為B，且，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.6．不等式的解集為（）A.或 B.C. D.7．雙曲線的焦距是（）A.4 B.C.8 D.8．正數(shù)a,b滿足,若不等式對任意實數(shù)x恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是A. B.C. D.9．已知橢圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.長軸長為2 B.焦距為C.短軸長為 D.離心率為10．設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）A.4 B.8C.16 D.3211．已知不等式解集為，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.12．設(shè)雙曲線：的左焦點和右焦點分別是，，點是右支上的一點，則的最小值為（）A.5 B.6C.7 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知幾何體如圖所示，其中四邊形ABCD，CDGF，ADGE均為正方形，且邊長為1，點M在DG上，若直線MB與平面BEF所成的角為45°，則___________.14．已知滿足的雙曲線（a，b＞0，c為半焦距）為黃金雙曲線，則黃金雙曲線的離心率為______15．從正方體的8個頂點中選取4個作為項點，可得到四面體的概率為________16．已知拋物線：，斜率為且過點的直線與交于，兩點，且，其中為坐標(biāo)原點（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)點，記直線，的斜率分別為，，證明：為定值三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓(a>b>0)的右焦點為F2(3，0)，離心率為e.（1）若e＝，求橢圓的方程；（2）設(shè)直線y＝kx與橢圓相交于A，B兩點，M，N分別為線段AF2，BF2的中點，若坐標(biāo)原點O在以MN為直徑的圓上，且<e≤，求k的取值范圍.18．（12分）（1）已知：方程表示雙曲線；：關(guān)于的不等式有解.若為真，求的取值范圍；（2）已知，，.若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.19．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和20．（12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點，（1）證明：；（2）設(shè)平面平面，求l與平面MND所成角的正弦值21．（12分）寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假：（1）：任意兩個等邊三角形都是相似的；（2）：，.22．（10分）在四棱錐中，平面，，，，，分別是的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)橢圓的方程求出即得解.【詳解】解：由題得橢圓的所以橢圓的長軸長為.故選：B2、B【解析】根據(jù)斜率的取值范圍，結(jié)合來求得傾斜角的取值范圍.【詳解】設(shè)傾斜角為，因為，且，所以.故選：B3、B【解析】求出，可知為等腰三角形，取的中點，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】在橢圓中，，，則，所以，，由橢圓的定義可得，取的中點，因為，則，由勾股定理可得，所以，.故選：B.4、C【解析】設(shè)圖中直角三角形邊長分別為a，b，則斜邊為，則可表示出陰影面積和正方形面積，根據(jù)圖象關(guān)系，可得即可得答案.【詳解】設(shè)圖中全等的直角三角形的邊長分別為a，b，則斜邊為，如圖所示：則四個直角三角形的面積為，正方形的面積為，由圖象可得，四個直角三角形面積之和小于等于正方形的面積，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以對任意實數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：C5、B【解析】解出不等式可得集合，由可得，然后可得在上恒成立，然后分離參數(shù)求解即可.【詳解】由得，，解得，因為，所以所以可得在上恒成立，即在上恒成立，故只需，，當(dāng)時，，故故選：B6、A【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法可得答案.【詳解】由不等式可得或不等式的解集為或故選：A7、C【解析】根據(jù)，先求半焦距，再求焦距即可.【詳解】解：由題意可得，，∴，故選：C【點睛】考查求雙曲線的焦距，基礎(chǔ)題.8、A【解析】利用基本不等式求得的最小值，把問題轉(zhuǎn)化為恒成立的類型，求解的最大值即可.【詳解】,，且a,b為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則對任意實數(shù)x恒成立，即對任意實數(shù)x恒成立，，，故選：A【點睛】本題主要考查了恒成立問題，基本不等式求最值，二次函數(shù)求最值，屬于中檔題.9、D【解析】根據(jù)已知條件求得，由此確定正確答案.【詳解】依題意橢圓，所以，所以長軸長為，焦距為，短軸長為，ABC選項錯誤.離心率為，D選項正確.故選：D10、B【解析】因為，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號的焦距的最小值：故選：B.【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.11、C【解析】根據(jù)不等式解集為，得方程的解為或，且，利用韋達(dá)定理即可將用表示，即可判斷各選項的正誤.【詳解】解：因為不等式解集為，所以方程的解為或，且，所以，所以，所以，故ABD錯誤；，故C正確.故選：C.12、C【解析】根據(jù)雙曲線的方程求出的值，由雙曲線的定義可得，由雙曲線的性質(zhì)可知，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.【詳解】由雙曲線：可得，，所以，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，所以，由雙曲線的性質(zhì)可知：，令，則，所以上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，此時點為雙曲線的右頂點，即的最小值為，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】把該幾何體補成一個正方體，如圖，利用正方體的性質(zhì)證明面面垂直得出直線MB與平面BEF所成的角，然后計算可得【詳解】把該幾何體補成一個正方體，如圖，，連接，由平面，平面，得，同理，又正方形中，，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，所以平面內(nèi)的直線在平面上的射影是，即是直線MB與平面BEF所成的角，，，，故答案為：14、##【解析】根據(jù)題設(shè)及雙曲線離心率公式可得，結(jié)合雙曲線離心率的性質(zhì)即可求離心率.【詳解】由題設(shè)，，整理得：，所以，而，故.故答案為：.15、【解析】計算出正方體的8個頂點中選取4個作為項點的取法和分從上底面取一個點下底面取三個點、從上底面取二個點下底面取二個點、從上底面取三個點下底面取一個點可得到四面體的取法，由古典概型概率計算公式可得答案.【詳解】正方體的8個頂點中選取4個作為項點，共有取法，可得到四面體的情況有從上底面取一個點下底面取三個點有種；從上底面取二個點下底面取二個點有種，其中當(dāng)上底面和下底面取的四個點在同一平面時共有10種情況不符合，此種情況共有種；從上底面取三個點下底面取一個點有種；一個有種，所以可得到四面體的概率為.故答案為：.16、（1）（2）為定值6【解析】（1）由題意可知：將直線方程代入拋物線方程，由韋達(dá)定理可知：，，，，求得p的值，即可求得拋物線E的方程；（2）由直線的斜率公式可知：，，，代入，，即可得到：.試題解析：（1）直線的方程為，聯(lián)立方程組得，設(shè)，，所以，，又，所以，從而拋物線的方程為（2）因為，，所以，，因此，又，，所以，即為定值點睛：定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】(1)根據(jù)右焦點為F2(3，0)，以及，求得a，b，c即可.(2)聯(lián)立，根據(jù)M，N分別為線段AF2，BF2中點，且坐標(biāo)原點O在以MN為直徑的圓上，易得OM⊥ON，則四邊形OMF2N為矩形，從而AF2⊥BF2，然后由0，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】(1)由題意得c＝3，，所以.又因為a2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以橢圓的方程為.(2)由,得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝0，x1x2＝，依題意易知，OM⊥ON，四邊形OMF2N為矩形，所以AF2⊥BF2.因為(x1－3，y1)，(x2－3，y2)，所以(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝0.即，將其整理為k2＝＝－1－.因為<e≤，所以2≤a<3，12≤a2<18.所以k2≥，即k∈【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是由O在以MN為直徑的圓上，即OM⊥ON，得到四邊形OMF2N為矩形，推出AF2⊥BF2，結(jié)合韋達(dá)定理得出斜率k與離心率e的關(guān)系.18、（1）1m2；（2）(0，1]【解析】（1）由pq為真，可得p真且q假，然后分別求出p真，q假時的的取值范圍，再求交集即可，（2）求得p：1x2，再由p是q的必要不充分條件，得，解不等式組可求得答案【詳解】（1）因為pq為真，所以p真且q假，p真：m1m301m3，q假，則不等式無解，則402m2，所以1m2.（2）依題意，p：1x2，因p是q的必要不充分條件，于是得（不同時取等號），解得0m1，所以實數(shù)m的取值范圍是(0，1].19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項和求和公式求出首項和公差，進(jìn)而求出通項公式；（2）結(jié)合（1）求出，再令得出數(shù)列的正數(shù)項和負(fù)數(shù)項，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列求和公式求得答案.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項和公差分別為和，∴，解得：所以.【小問2詳解】，所以.當(dāng)；當(dāng)，當(dāng)，時，，當(dāng)時，.綜上：.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得.（2）利用向量法求得與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】∵PD⊥平面ABCD，，以點D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D（0，0，0），N（，0，），P（0，0，2），M（1，2，0）所以，，所以,所以.【小問2詳解】由正方形ABCD得，CD//AB，∵平面PAB，平面PAB，∴CD//平面PAB；又∵平面PCD，平面平面∴CD//l；于是CD與平面MND所成的角即為l與平面MND所成的角由（1）知，設(shè)平面MND的一個法向量，則，取，則，于是是平面MND的一個法向量，因為，設(shè)l與平面MND所成角為，則21、（1）存在兩個等邊三角形不是相似的，假命題（2），真命題【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【小問1詳解】解：命題“任意兩個等邊三角形都是相似的”是一個全稱命題根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得其否定“存在兩個等邊三角形不是相似的”，命題為假命題.【小問2詳解】解：根據(jù)全稱命題與存在性命題關(guān)系，可得：命題的否定為.因為，所以命題為真命題.22、（1）證明見解析；（2）證明見解析；