2025屆遼寧大連市高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆遼寧大連市高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．設函數(shù)在定義域內可導，的圖像如圖所示，則導函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.3．已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則（）A.1 B.C.3 D.4．若，則=（）A.244 B.1C. D.5．雙曲線的焦點坐標是（）A. B.C. D.6．如圖，平行六面體中，為的中點，，，，則（）A. B.C. D.7．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作圓的切線分別交雙曲線的左、右兩支于，，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.8．下列說法中正確的是（）A.命題“若，則”的否命題是真命題；B.若為真命題，則為真命題；C.“”是“”的充分條件；D.若命題：“，”，則：“，”9．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，點在棱上，且，則與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.10．已知球O的半徑為2，球心到平面的距離為1，則球O被平面截得的截面面積為（）A. B.C. D.11．在等差數(shù)列中，為其前n項和，，則（）A.55 B.65C.15 D.6012．已知雙曲線的離心率，點是拋物線上的一動點，到雙曲線的上焦點的距離與到直線的距離之和的最小值為，則該雙曲線的方程為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足，則其通項公式_______14．若，則與向量同方向的單位向量的坐標為____________.15．將參加冬季越野跑的名選手編號為：，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為的樣本，把編號分為組后，第一組的到這個編號中隨機抽得的號碼為，這名選手穿著三種顏色的衣服，從到穿紅色衣服，從到穿白色衣服，從到穿黃色衣服，則抽到穿白色衣服的選手人數(shù)為__________16．設分別是平面的法向量，若，則實數(shù)的值是________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，分別是上的點，滿足.（1）求證：四點共面；（2）設與交于點，求證：三點共線.18．（12分）已知圓：，點A是圓上一動點，點，點是線段的中點.（1）求點的軌跡方程；（2）直線過點且與點的軌跡交于A，兩點，若，求直線的方程.19．（12分）已知等差數(shù)列的前n項和為，若公差，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.20．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.21．（12分）如圖，四棱錐中，底面為梯形，底面，，，，.（1）求證：平面平面；（2）設為上一點，滿足，若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.22．（10分）在平面直角坐標系xOy中，曲線1與坐標軸的交點都在圓C上（1）求圓C的方程；（2）設過點P(0，－2)的直線l與圓C交于A，B兩點，且AB＝2，求l的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先求出方程表示雙曲線時滿足的條件，然后根據(jù)“小推大”的原則進行判斷即可.【詳解】因方程為雙曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.2、D【解析】根據(jù)函數(shù)的單調性得到導數(shù)的正負，從而得到函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，當時，單調遞增，則，所以A選項和C選項錯誤；當時，先增，再減，然后再增，則先正，再負，然后再正，所以B選項錯誤.故選：D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調性和導數(shù)的關系，意在考查學生對該知識的掌握水平，屬于基礎題.一般地，函數(shù)在某個區(qū)間可導，，則在這個區(qū)間是增函數(shù)；函數(shù)在某個區(qū)間可導，，則在這個區(qū)間是減函數(shù).3、D【解析】由向量平行充要條件代入解之即可解決.【詳解】由，可知，則有，解之得故選：D4、D【解析】分別令代入已知關系式，再兩式求和即可求解.【詳解】根據(jù)，令時，整理得：令x=2時，整理得:由①+②得，，所以.故選：D.5、B【解析】根據(jù)雙曲線的方程，求得，結合雙曲線的幾何性質，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，所以，且雙曲線的焦點再軸上，所以雙曲線的焦點坐標為.故選：B.6、B【解析】先用向量與表示，然后用向量表示向量與，即可得解【詳解】解：為的中點，故選：【點睛】本題考查了平面向量基本定理的應用，解決本題的關鍵是熟練運用向量的加法、減法及實數(shù)與向量的積的運算，屬于基礎題7、D【解析】直線的斜率為，計算，，利用余弦定理得到，化簡知，得到答案【詳解】由題意知直線的斜率為，，又，由雙曲線定義知，，.由余弦定理：，，即，即，解得.故雙曲線漸近線的方程為.故答案選D【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線，與圓的關系，意在考查學生的綜合應用能力和計算能力.8、C【解析】A.寫出原命題的否命題，即可判斷其正誤；B.根據(jù)為真命題可知的p,q真假情況，由此判斷的真假；C.看命題“”能否推出“”，即可判斷；D.根據(jù)含有一個量詞的命題的否定的要求，即可判斷該命題的正誤.【詳解】A.命題“若x=y，則sinx=siny”，其否命題為若“，則”為假命題，因此A不正確；B.命題“”為真命題，則p，q中至少有一個為真命題，當二者為一真一假時，為假命題，故B不正確C.命題“若，則”為真命題，故C正確；D.命題：“，”，為特稱命題，其命題的否定：“，”，故D錯誤，故選：C9、C【解析】取AC的中點M，過點M作，且使得，進而證明平面，然后判斷出是與平面所成的角，最后求出答案.【詳解】如圖，取AC的中點M，因為，則，過點M作，且使得，則四邊形BDNM是平行四邊形，所以.由題意，平面ABC，則平面ABC，而平面ABC，所以，又，所以平面，而所以平面，連接DA,NA，則是與平面所成的角.而，于是，.故選：.10、B【解析】根據(jù)球的性質可求出截面圓的半徑即可求解.【詳解】由球的性質可知，截面圓的半徑為，所以截面的面積.故選：B11、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式結合等差數(shù)列的性質即可求得.【詳解】解析：因為為等差數(shù)列，所以，即，.故選:B12、B【解析】先根據(jù)離心率得，再根據(jù)拋物線定義得最小值為（為拋物線焦點），解得，即得結果.【詳解】因為雙曲線的離心率，所以，設為拋物線焦點，則，拋物線準線方程為，因此到雙曲線的上焦點的距離與到直線的距離之和等于，因為，所以，即，即雙曲線的方程為，選B.【點睛】本題考查雙曲線方程、離心率以及拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】構造法可得，由等比數(shù)列的定義寫出的通項公式，進而可得.【詳解】令，則，又，∴，故，而，∴是公比為，首項為，則，∴.故答案為：.14、【解析】由空間向量的模的計算求得向量的模，再由單位向量的定義求得答案.【詳解】解：因為，所以，所以與向量同方向的單位向量的坐標為，故答案為：.15、【解析】，所以抽到穿白色衣服的選手號碼為，共16、4【解析】根據(jù)分別是平面的法向量，且，則有求解.【詳解】因為分別是平面的法向量，且所以所以解得故答案為：4【點睛】本題主要考查空間向量垂直，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【小問1詳解】連接AC，分別是的中點，.在中，，所以四點共面.【小問2詳解】，所以，又平面平面，同理平面，為平面與平面的一個公共點.又平面平面，即三點共線.18、（1）；（2）x＝1或y＝1.【解析】(1)設線段中點為，點，用x，y表示，代入方程即可；(2)分l斜率存在和不存在進行討論，根據(jù)弦長求出l方程.【小問1詳解】設線段中點為，點，，，，，，即點C的軌跡方程為.【小問2詳解】直線l的斜率不存在時，l為x＝1，代入得，則弦長滿足題意；直線l斜率存在時，設直線l斜率為k，其方程為，即，圓的圓心到l的距離，則；綜上，l為x＝1或y＝1.19、（1）；（2）.【解析】（1）由等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式結合等比數(shù)列的性質列方程可得數(shù)列首項與公差，即可得解；（2）由，結合裂項相消法即可得解.【詳解】（1）因為數(shù)列為等差數(shù)列，，，，成等比數(shù)列，所以，所以，即，又因為，所以，所以；（2）因為，所以.【點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用及裂項相消法的應用，考查了運算求解能力，屬于中檔題.20、（1）極大值為，無極小值（2）【解析】（1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的正負判斷極值點，代入原函數(shù)計算即可；（2）將變形，即對恒成立，然后構造函數(shù)，利用求導判定函數(shù)的單調性，進而確定實數(shù)a的取值范圍..【小問1詳解】對函數(shù)求導可得：,可知當時，時，，即可知在上單調遞增，在上單調遞減由上可知，的極大值為，無極小值【小問2詳解】由對恒成立,當時，恒成立；當時，對恒成立,可變形為：對恒成立,令，則;求導可得：由（1）知即恒成立，當時，，則在上單調遞增;又，因，故，，所以在上恒成立，當時，令，得，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞減，從而可知的最大值為，即，因此，對都有恒成立，所以，實數(shù)a的取值范圍是.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由三角形的邊角關系可證，再由底面，可得.即可證明底面，由面面垂直的判定定理得證.（2）以點為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值.【詳解】解析：（1）證明：由，，，，，所以，又，∴，∴，∴，因為底面，底面，∴.因為，底面，底面，底面，底面，所以面面.（2）由（1）可知為與平面所成的角，∴，∴，，由及，可得，，以點為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間坐標系，則，，，，設平面的法向量為，則，，取，設平面的法向量為，則，，取，所以，所以二面角余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的判定，線面垂直的性質，利用空間向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題.22、（1