2024-2025學(xué)年廣東省佛山某中學(xué)高三一調(diào)模擬考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省佛山一中高三一調(diào)模擬考試數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知等比數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為若q=l,且公比為2,則S”與a,,的關(guān)系正確的是（）

A.1B.Sn=2an+l

C.S“=2a“-1D.Sn-3

2.某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.0

3.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，且滿(mǎn)足§6-253=2,則紅的最小值為

A.8B.16C.24D.36

4.將函數(shù)y=2cos2-1的圖像向左平移機(jī)（%>0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則機(jī)的

最小值為（）

5.已知平面向量〃涉滿(mǎn)足|〃|=|回，且（0。-Z?）_LZ?,則〃,b所夾的銳角為（）

兀

A.-B.—C.-D.0

643

6.若復(fù)數(shù)Z滿(mǎn)足(l+3i)z=(l+i)2,則1z|=()

A.BB器「V10

B.----D.

452

7.ABC中，點(diǎn)。在邊AB上，CD平分N4CB,若CB=a，CA=b，\a\=2,|/?|=1,則()

匕+4B.N+勺匕+射D.43,

A.C.—a+—b

33335555

8.已知各項(xiàng)都為正的等差數(shù)列｛??｝中，+6+=15,若4+2,%+4,&+16成等比數(shù)列，則4o=（）

A.19B.20C.21D.22

9.已知S”為等比數(shù)列｛”“｝的前”項(xiàng)和，05=16,a3a4=-32,貝!|Ss=()

A.-21B.-24C.85D.-85

10.生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個(gè)人才識(shí)技藝過(guò)人，這里的“六藝”其實(shí)源于中國(guó)周朝的貴族教育體系，具

體包括“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”.為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開(kāi)展了“六藝”知識(shí)講座，每

藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿(mǎn)足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂(lè)”必須分開(kāi)安排的概率為（）

71131

A.—B.—C.—D.一

606604

11.過(guò)拋物線(xiàn)￡：%2=2加（0>0）的焦點(diǎn)尸作兩條互相垂直的弦45,CD,設(shè)尸為拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，2（1,2）,若

看+表=；，則FW+IPQI的最小值是（）

A.1B.2C.3D.4

12.閱讀如圖的程序框圖，若輸出的值為25,那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)可填寫(xiě)的條件是（）

I開(kāi)始）

A.i>5B.z>8C.z>10D.z>12

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某高校組織學(xué)生辯論賽，六位評(píng)委為選手A成績(jī)打出分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，若去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低

分，則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為.

S123S7

91s8

22

14.已知橢圓C：L+2L=i的左、右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)2,如圖A3是過(guò)月且垂直于長(zhǎng)軸的弦，則AABg的內(nèi)切

圓方程是.

15.設(shè)集合A={-1,。,3=卜"2(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),且AC5W0,則滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為，

16.已知函數(shù)"x)=wy,若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)%,々,馬,均存在以/(占),〃毛),〃龍3)為三邊邊長(zhǎng)的三角形，

則實(shí)數(shù)后的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)相交于尸，Q兩點(diǎn)，且OPLOQ,若尸，。到x軸距離的乘積為16.

(1)求。的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)p為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，當(dāng)APF。面積最小時(shí)，求直線(xiàn)/的方程.

12

18.(12分)在A6c中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知(“+0)6=不a.

(1)若。，b,C成等差數(shù)列，求COSB的值；

(2)是否存在45c滿(mǎn)足3為直角？若存在，求sinA的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Xy2

19.(12分)已知橢圓C：=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,焦距為2,點(diǎn)尸為橢圓上異于A、

ab2

3

5的點(diǎn)，且直線(xiàn)叢和心的斜率之積為-“

(1)求。的方程;

|4尸"4。1

(2)設(shè)直線(xiàn)AP與y軸的交點(diǎn)為Q,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。作交橢圓于點(diǎn)"，試探究是否為定值，若

\OM\2

是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.(12分)已知點(diǎn)P(0,l),直線(xiàn)y=x+f?<0)與拋物線(xiàn)尸=2x交于不同兩點(diǎn)A、B,直線(xiàn)Q4、P3與拋物線(xiàn)

的另一交點(diǎn)分別為兩點(diǎn)C、D,連接CD,點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)Q,連接AQ、BQ.

(1)證明：AB//CD

（2）若△。鉆的面積S21—求f的取值范圍.

21.（12分）在四棱柱ABCD—4與G2中，底面ABC。為正方形，ACBD=O,平面ABC。.

（D證明：4。〃平面4c2；

（2）若A3=A4,,求二面角。一Ag—A的余弦值.

22.（10分）隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強(qiáng)烈的沖擊.某雜志社近9年來(lái)的紙質(zhì)廣告收入如下表所

示:

年份201020112012201320142015201620172018

時(shí)間代號(hào)，123456789

廣告收入y（千萬(wàn)元）22.22.52.832.S2.321.8

根據(jù)這9年的數(shù)據(jù)，對(duì)f和丁作線(xiàn)性相關(guān)性檢驗(yàn)，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.243；

根據(jù)后5年的數(shù)據(jù)，對(duì)f和y作線(xiàn)性相關(guān)性檢驗(yàn)，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.984.

（1）如果要用線(xiàn)性回歸方程預(yù)測(cè)該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入，現(xiàn)在有兩個(gè)方案,

方案一：選取這9年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，方案二：選取后5年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè).

從實(shí)際生活背景以及線(xiàn)性相關(guān)性檢驗(yàn)的角度分析，你覺(jué)得哪個(gè)方案更合適？

附：相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表：

小粒率

n-2

0.050.01

30.8780.959

70.6660.798

（2）某購(gòu)物網(wǎng)站同時(shí)銷(xiāo)售某本暢銷(xiāo)書(shū)籍的紙質(zhì)版本和電子書(shū)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，在該網(wǎng)站購(gòu)買(mǎi)該書(shū)籍的大量讀者中，只購(gòu)買(mǎi)電

子書(shū)的讀者比例為50%,紙質(zhì)版本和電子書(shū)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的讀者比例為10%,現(xiàn)用此統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為概率，若從上述讀者

中隨機(jī)調(diào)查了3位，求購(gòu)買(mǎi)電子書(shū)人數(shù)多于只購(gòu)買(mǎi)紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

在等比數(shù)列中，由S,=即可表示之間的關(guān)系.

i-q

【詳解】

由題可知，等比數(shù)列｛。"｝中％=1,且公比為2,故s0=Z44=：2：'=—1

q1—2

故選：C

本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù).

【詳解】

由三視圖還原原幾何體如圖，

其中AA5C,ABCD,AA0C為直角三角形.

該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為3.

故選：C.

本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

方法一：由題意得56-2品=（邑-53）-邑=2,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得59-品，久-53,53成等差數(shù)列，設(shè)工=無(wú)。〉。），

則艮-$3=X+2,S9-S6=X+4,則肛=^^=（々壓I%:=（.[3）2+電+822犀+8=]6,

%3%ax+a2+a3S3xx\x

當(dāng)且僅當(dāng)尤=4時(shí)等號(hào)成立，從而一工的最小值為16,故選B.

方法二：設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛凡｝的公差為d,由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式及S6-283=2,化簡(jiǎn)可得

,6x573x2八三即dj,則至=3(%+6d>=+3了=3,+也+822限.也+8=16,當(dāng)且

6%~\———d—2(3qH———d)=2,

a2a2a23%y3a2

僅當(dāng)3出=獸，即出=3時(shí)等號(hào)成立，從而肛的最小值為16,故選B.

3ch3a2

4.B

【解析】

由余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為y=cosI"+7:1\，要想在括號(hào)內(nèi)構(gòu)造T一C變?yōu)檎液瘮?shù)，至少需要向左平移一1T個(gè)單位

I4J24

長(zhǎng)度，即為答案.

【詳解】

1=cos[%+]卜寸其向左平移I個(gè)單位長(zhǎng)度后,

由題可知,

(兀兀(Tc\

V=COSXH--1--=COSXH——=-sinx,其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

-I44)I2)

71

故加的最小值為一

4

故選：B

本題考查三角函數(shù)圖象性質(zhì)與平移變換，還考查了余弦的二倍角公式逆運(yùn)用，屬于簡(jiǎn)單題.

5.B

【解析】

根據(jù)題意可得(、回a-6)小=0,利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.

【詳解】

因?yàn)?忘d-方)J_6n(V2t7-b)-b=0

即

./,\a-ba-b叵

而cos()=------=——-=——

'/\a\-\b\\b\22

一.71

所以色力夾角為:

4

故選：B

本題考查了向量數(shù)量積求夾角，需掌握向量數(shù)量積的定義求法，屬于基礎(chǔ)題.

6.D

【解析】

31

先化簡(jiǎn)得z=1+1i,再求|z|得解.

【詳解】

2i2i(l-3i)31.

Z-l+3i-_10——g+

所以|z|=]0.

故選：D

本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

7.B

【解析】

由CD平分NACB,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線(xiàn)定理可得絲=笑，再根據(jù)平面向量的加減法運(yùn)算即得答案.

DACA

【詳解】

CD平分NACB,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線(xiàn)定理可得竺=笑，

DACA

又CB=a，CA=b9忖=2,"=1,

:.—=2,:.BD=2DA.

DA

22/\12

.*.CD=CB+BD=CB+—BA=a+—\b-a\=—a-\--b.

33、,33

故選：B.

本題主要考查平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】

試題分析：設(shè)公差為I,%+生+%=3生=15=>%=+2d=5=>弓=5-22=>(6+2)(%+52+16)

=(7—2d)(3d+21)=81n2d2+74—22=0=>4=2或1=一°(舍)=4=1=a.=1-9U=19，故選A.

2?“

考點(diǎn)：等差數(shù)列及其性質(zhì).

9.D

【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)求得。q4=16,的2爐=一32,通過(guò)解該方程求得它們的值，求首項(xiàng)和公比，根據(jù)等比數(shù)列的前W項(xiàng)

和公式解答即可.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,

?〃5=16,的處=-32,

；?aiq4=i6,a12q5=-32,

:?q=-2,則q=1,

以1-（-2月~85,

81+2

故選：D.

本題主要考查等比數(shù)列的前"項(xiàng)和，根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

分情況討論，由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂(lè)”必須分開(kāi)的事件個(gè)數(shù)，不考慮限制因素，總數(shù)有那種，

進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】

當(dāng)“數(shù)”位于第一位時(shí)，禮和樂(lè)相鄰有4種情況，禮和樂(lè)順序有2種，其它剩下的有用種情況，由間接法得到滿(mǎn)足條件

的情況有團(tuán)-C：用團(tuán)

當(dāng)，數(shù)”在第二位時(shí)，禮和樂(lè)相鄰有3種情況，禮和樂(lè)順序有2種，其它剩下的有用種,

由間接法得到滿(mǎn)足條件的情況有團(tuán)-C；用團(tuán)

共有：用/+盤(pán)-以用用種情況，不考慮限制因素，總數(shù)有魔種,

13

故滿(mǎn)足條件的事件的概率為:九一。臂團(tuán)+團(tuán)―CM國(guó)

60

故答案為：C.

解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：①按元素（或位置）的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)；②按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步.具體地說(shuō)，解排

列組合問(wèn)題常以元素（或位置）為主體，即先滿(mǎn)足特殊元素（或位置），再考慮其他元素（或位置）.

11.C

【解析】

設(shè)直線(xiàn)AB的方程為丁=履+々，代入必=2py得：x2-2pkx-p2=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得4+4=2。左，

2

xAxB=-p,從而得至U|AB|=2夕(1+左2)，同理可得|8|=2。(1+二)，再利用」7；+/^=!求得0的值，

kIAo||CD|4

當(dāng)。，P,M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，即可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，可知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為(0,~|),則直線(xiàn)48的斜率存在且不為0,

設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=fcr+看，代入得：x2-2pkx-p2=0.

由根與系數(shù)的關(guān)系得xA+xB^2pk,xAxB=-p-,

所以|AB|=2p(l+Z：2).

又直線(xiàn)CD的方程為y=--x+^,同理|CD|=2p(l+4),

k2k

111111

所以|AB||C0—2p(l+42)2P(1+3)—2p—4，

所以2P=4.故￡=4%過(guò)點(diǎn)尸作PM垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，加為垂足，

則由拋物線(xiàn)的定義可得\PF|=|PM|.

所以|Pb|+|PQ|=|PM|+|PQ|2|MQ|=3,當(dāng)Q,P,M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立.

故選：C.

本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系、焦半徑公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力

和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意取最值的條件.

12.C

【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，帶入依次計(jì)算可得輸出為25時(shí)i的值，進(jìn)而得判斷框內(nèi)容.

【詳解】

根據(jù)循環(huán)程序框圖可知，S=0,i=l

則S=l,i=3,

S=4,，=5,

S=9,i=7,

s=16,7=9,

S=25,z=11,

此時(shí)輸出S,因而，=9不符合條件框的內(nèi)容，但，=11符合條件框內(nèi)容，結(jié)合選項(xiàng)可知C為正確選項(xiàng),

故選：C.

本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，完善程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

,3

13.一

2

【解析】

先根據(jù)莖葉圖求出平均數(shù)和中位數(shù)，然后可得結(jié)果.

【詳解】

1175

剩下的四個(gè)數(shù)為83,85,87,95,且這四個(gè)數(shù)的平均數(shù)無(wú)-(83+85+87+95)=^,這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)為

1(85+87)=861753

則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為--86=-.

22

本題主要考查莖葉圖的識(shí)別和統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

14.L+T

【解析】

利用公式S。咫=￡＞計(jì)算出廠(chǎng)，其中/為AABK的周長(zhǎng)，廠(chǎng)為AA3K內(nèi)切圓半徑，再利用圓心到直線(xiàn)的距離等

于半徑可得到圓心坐標(biāo).

【詳解】

由已知，A(-2,—)，)，鳥(niǎo)(2,0),設(shè)內(nèi)切圓的圓心為90)。＞一2),半徑為，則

S詡。."百f(物伍+犯"=小"，故有半x4=4a,

2248

解得「=§，由|f—(―2)1=3，f=—§或/=—](舍)，所以AA38的內(nèi)切圓方程為

故答案為：++y2=.

本題考查橢圓中三角形內(nèi)切圓的方程問(wèn)題，涉及到橢圓焦點(diǎn)三角形、橢圓的定義等知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一

道中檔題.

15.1

【解析】

可看出。力小，這樣根據(jù)網(wǎng)〕8。0即可得出a=2,從而得出滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)。的個(gè)數(shù)為1.

【詳解】

解：AfB^0,

.-.a=2^(J,

d-c

在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y="與y=3的圖象，

由圖可知y=x與無(wú)交點(diǎn)，,0=一無(wú)解，則滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)。的個(gè)數(shù)為

故答案為：1.

考查列舉法的定義，交集的定義及運(yùn)算，以及知道方程丫_』無(wú)解，屬于基礎(chǔ)題.

A-C

16.

2

【解析】

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知/（石）+/（/）>/（演）對(duì)任意的看,々,馬恒成立，將/⑺的解析式用分離常數(shù)法變形，由均

值不等式可得分母的取值范圍,則整個(gè)式子的取值范圍由左-1的符號(hào)決定，故分為三類(lèi)討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)

值域,再討論鼠轉(zhuǎn)化為/（%）+/伍）的最小值與/?）的最大值的不等式,進(jìn)而求出k的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)閷?duì)任意正實(shí)數(shù)石,々,都存在以/（玉）,/（W）,/（七）為三邊長(zhǎng)的三角形,

故/（%）+/（%）>/（項(xiàng)）對(duì)任意的%，%2，％3恒成立，

（）=■?+"+i（左—1）「一

/⑴—f+x+1V+x+1i,令f=x+—+123,

X+1H---X

X

k

則y=\+—^（t＞3\

（k+2~

當(dāng)左一1＞0,即左＞1時(shí)，該函數(shù)在［3,+＜?）上單調(diào)遞減，則ye1,工一；

當(dāng)左=1,即左=1時(shí),ye{l},

「k+2、

當(dāng)上一1＜0,即左＜1時(shí)，該函數(shù)在［3,+＜?）上單調(diào)遞增，則ye二一,1,

所以，當(dāng)左＞1時(shí)，因?yàn)?＜/（玉）+/（々）＜二—,1＜/（七）＜號(hào)一，

左+2

所以——42,解得1〈左44；

3

當(dāng)上=1時(shí),/（%）=/（/）=/（七）=1，滿(mǎn)足條件；

當(dāng)左＜1時(shí)7,^4^-4-?/（%）+/（9）＜2,且k+餐D《/（七）＜1,

2G+41

所以------21,解得—左＜1,

32

綜上,—〈左＜4,

2

故答案為：一；,4

本題考查參數(shù)范圍，考查三角形的構(gòu)成條件，考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域，考查分類(lèi)討論思想與轉(zhuǎn)化思想.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（1）y2=4x；（2）x=4

【解析】

（1）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由距離之積為16,可得%%=T6.利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，將O尸，OQ轉(zhuǎn)化為

0尸?0。=%9+%%=°?再利用兩點(diǎn)均在拋物線(xiàn)上，即可求得P的值，從而求出拋物線(xiàn)的方程；

（2）設(shè)出直線(xiàn)/的方程，代入拋物線(xiàn)方程，由韋達(dá)定理發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)M（4,0）,將APFQ面積用參數(shù)f表示,

求出其最值，并得出此時(shí)的直線(xiàn)方程.

【詳解】

解:(1)由題設(shè)尸(%,%),.Q(x2,y2)

因?yàn)镻，。到X軸的距離的積為16,所以％為=T6,

又因?yàn)镺尸，OQ,.?.0。.0。=%/+%%=0，

/.x；x2=16=————=-^^-,:.p=2

2P2P4P2卜

所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為/=4%.

(2)因?yàn)橹本€(xiàn)/與拋物線(xiàn)兩個(gè)公共點(diǎn)，所以/的斜率不為0,

所以設(shè)42：%=打+根

x=ty+m0

聯(lián)立<2，得y-4/y-4m=0，

y=4x

即%+%=由，x%=T6=-4m,

.".m=4

即直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)M（4,0）,

2

所以S,PFQ=^\FM\\yi-y2\=|V16?+64

當(dāng)f=0時(shí)，APFQ面積取得最小值12,此時(shí)x=4.

本題考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交的問(wèn)題，其中垂直條件的轉(zhuǎn)化，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)均為該題的關(guān)鍵,

屬于綜合性較強(qiáng)的題.

18.見(jiàn)解析

【解析】

(1)因?yàn)?。，b,。成等差數(shù)列，所以2〃=a+c,

工人」4xTE_zpt_（〃+c）2—2QC—Z??3b2—2QC3Z72.

由余弦r定理可r得cosB=^——---------------=-------------=--------1,

2ac2ac2ac

因?yàn)椋╝+c）6=U4,所以2〃=Uqc,即匕=9,

55ac5

濟(jì)四n3萬(wàn)236?4

所以cosB=-------1=—x—1=一.

2ac255

（2）若3為直角，則sin3=l,sinC=cosA,

12I?

由（a+c）Z?=《ac及正弦定理可得sinA+sinC=—sinAsinC,

126

所以sinA+cosA=-^-sinAcosA,即sinA+cosA=—sin2A,

上式兩邊同時(shí)平方,可得1+sin2A所以(9sin2A+5)(4sin2A-5)=。(*).

25

又0<sin2AVl,所以9sin24+5>0,4sin2A-5<0,

所以(9sin2A+5)(4sin2A-5)<0,與(*)矛盾，

所以不存在43C滿(mǎn)足3為直角.

22

19.(1)—+^=1(2)是定值，且定值為2

43

【解析】

2

(1)設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)并代入橢圓方程，根據(jù)3P?凝尸=-二3列方程，求得h二的值，結(jié)合2c=2求得的值，進(jìn)而求

4a

得橢圓。的方程.

(2)設(shè)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)AP的方程和橢圓方程，求得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓

方程，求得xj,由此化簡(jiǎn)求得0面「一一？為定值.

【詳解】

V2

(1)已知點(diǎn)P在橢圓C：—+A(a>b>0)上,

a

22

可設(shè)P?,%),即3+4=1,

ab

2

又.七b3

4

且2c=2,可得橢圓。的方程為三+工=1.

43

(2)設(shè)直線(xiàn)AP的方程為：y=k(x+2),則直線(xiàn)OAf的方程為>=履.

聯(lián)立直線(xiàn)AP與橢圓C的方程可得：(3+4左2.2+16左2工+16左2—12=0,

由無(wú)A=-2,可得x=9空，

3+4%'

聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓。的方程可得：(3+4公卜2—12=0,即將=上言,

\十

\AP\-\AQ\_h-xA\-\xQ-xA\_\Xp+2[\0+2\_

即三k=一小一=W2-

即10M1為定值，且定值為2.

本小題主要考查本小題主要考查橢圓方程的求法，考查橢圓中的定值問(wèn)題的求解，考查直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系，考查

運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

20.(1)見(jiàn)解析；(2).

【解析】

/2\(2\

(1)設(shè)點(diǎn)A子,％、By,求出直線(xiàn)B4、

2P5的方程，與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)C、。的坐標(biāo)，利

12)[2)

用直線(xiàn)AB、8的斜率相等證明出A5〃C。；

(2)設(shè)點(diǎn)尸到直線(xiàn)AB、CD的距離分別為4、d2求出4,利用相似得出也，可得出AQA5的邊A6上的高，

并利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算出即可得出S關(guān)于f的表達(dá)式,結(jié)合不等式S21-/可解出實(shí)數(shù)，的取值范圍.

【詳解】

2

、(y)，y；)2(yx-1)

(1)設(shè)點(diǎn)A、B,y,則女尸A-2，

I2JI22JX

22

直線(xiàn)H的方程為…=2(；L)y一2(：T,

’22

丫_/I，X22

由＜2(%—1)2(%-1),消去x并整理得-1y+〃=o,

2D%-1%T

y-lx

y2%

由韋達(dá)定理可知，ycyA-ycy\-,，??〃?—1，

%-1

2A2、

代入直線(xiàn)AP的方程，得%=總%八2,解得C—21___%

2(%T)(2(%-

(2)

同理，可得O/乂、2,^h，

12(%-1)…

%X

y2f=2.

-k=____3I-「I____=______Z______kAB=

一、CD22、，、，，goi，

%__________%%+%

2(%-1)22(%-1)2%-1%-1

222(17

%+%=2,；.y=2—%代入得CD2-y,X—2+X2y-2

2,\+1

(2-yJ-l%-1yT

因此，AB!/CD；

1-t

(2)設(shè)點(diǎn)P到直線(xiàn)45、CD的距離分別為4、4,則4=

由(1)知AB〃CD,

"d2~\PC\~\PD\'"d^~\PC\\PD\'

:』PA|="1+勤,乙，|PC|=$1+曦,xc-瑞士山M

2

=(%-if，.[/

同理，得P不B\

y=X+tr

由<0c，整理得y2—2y+2/=0,由韋達(dá)定理得%+%=2,X%=2八

y'=2x

2

i-ti-t

2,得4=

y/2-(l-2ty

1-t

設(shè)點(diǎn)Q到直線(xiàn)AB的高為〃，則力=|4-2%=3+1],

6(1-2t)

|AB|=.J(%+%)2-4%%=2應(yīng)■，

1-t

S=-\AB\-h=-x2y/2M—2tx

11舊+i卜+占3+I|?IT,

2272(1-2?)7i—Zt

r<0,解得m，因此，實(shí)數(shù)/的取值范圍是1-8,-3

2

本題考查直線(xiàn)與直線(xiàn)平行的證明，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查拋物線(xiàn)、直線(xiàn)方程、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、直線(xiàn)

的斜率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是難題.

21.(1)詳見(jiàn)解析；(2)叵.

5

【解析】

(i)連接4G，設(shè)&AcAG=a，可證得四邊形4。。。1為平行四邊形，由此得到4?！ā妫鶕?jù)線(xiàn)面平行判

定定理可證得結(jié)論；

（2）以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的空間向量求法可求得結(jié)果.

【詳解】

（1）連接AG，設(shè)用。cAG=a，連接。C，

在四棱柱ABC?！?耳中，分別為AC,A￡的中點(diǎn)，學(xué)。1，

???四邊形A.OCO,為平行四邊形，.?.，

4。＜2平面片CD],。1。€=平面51。2，，4?！ㄆ矫?1。。1.

（2）以。為原點(diǎn)，03,OC,