廣東省部分學校2025屆高三年級上冊8月摸底測試數(shù)學試題（含答案）

廣東省部分學校2025屆高三上學期8月摸底測試數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4={y\y=log2x,x>1},集合B=(y\y=拉>1},則2nB=()

A.(1,1)B.(0,1)C.(0,1)D.0

2.已知等邊三角形力BC的邊長為1,-AC+AC-AB+AB-'BC=()

A.-B.——C.—5D.―

3.已知sina+cosa=1,ae(0,兀)，則2；in2a=()

5、'1—tan2a'7

724

A.——B.---C.-1D.2

4.已知?i為異面直線，m_L平面a,n1平面若直線E滿足/1m,I1n,lUa,1鄴,則()

A.a//13,l//aB.a與￡相交，且交線平行于I

C.a1I1aD.a與￡相交，且交線垂直于I

5.移動互聯(lián)網(wǎng)給人們的溝通交流帶來了方便.某種移動社交軟件平臺，既可供用戶彼此添加“好友”單獨交

流，又可供多個用戶建立一個“群”(“群里”的人彼此不一定是“好友”關(guān)系)共同交流.如果某人在平臺

上發(fā)了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到，現(xiàn)有一個10人的“群”，其

中一人在平臺上發(fā)了一條信息，“群”里有3人說看到了，那么這個“群”里與發(fā)信息這人是“好友”關(guān)

系的情況可能有()

A.56種B.120種C.64種D.210種

6.已知函數(shù)/(%)=爐+32—X的圖象在點4(1/(1))處的切線方程為y=4*—3,則函數(shù)/(x)的極大值為()

A.-1B.——C.——D.1

7.已知拋物線C:y2=8%,圓尸:0一2)2+y2=4(點F為其圓心)，直線上y=fc(x-2)(fcW0)自上而下順次與

上述兩曲線交于Ml、M2、“3、”4四點，則下列各式結(jié)果為定值的是()

A.\MXM3\■\M2M4\B.IFMJ■|FM4|C.\M^M2\■\M3M4\D.\FMX\■\MrM2\

8.已知函數(shù)/(%)的定義域為R,/(2+x)+/(-x)=0,對任意的％i，x26[1,+oo)(%1<x2),均有/(冷

)-/(xi)>°>已知a,b(a芋b)為關(guān)于x的方程久2-2I+/_3=0的兩個解,則關(guān)于t的不等式

/(a)+/(b)+/(t)>0的解集為()

A.(1,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(-2,2)

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二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.設(shè)4B兩點的坐標分別是(一1,0),(1,0),直線AM,相交于點M,設(shè)直線AM、的斜率分別為的、

k2,下列說法正確的是()

A.當上的=-拊，點M的軌跡是橢圓的一部分

B.當心?=4時，點M的軌跡是雙曲線的一部分

C.當心一矽=2時，點M的軌跡是拋物線的一部分

D.當好+七=2時，點M的軌跡是橢圓的一部分

10.已知函數(shù)/'(久)=Acos(a)x+w)(4>0,3>0,|如<$的圖象如圖所示，令g(x)=/(久)一，(x)，則下列

說法正確的是()

A.遍)=2

B.函數(shù)g(x)圖象的對稱軸方程為x=/ot+巖(kGZ)

C.若函數(shù)九(x)=g(x)+2的兩個不同零點分別為久1，x2>則|孫-型1的最小值為三

D.函數(shù)。(久)的圖象上存在點P,使得在點P處的切線斜率為-2

11.定義域是復(fù)數(shù)集的子集的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)，f(Z)=Z2就是一個多項式復(fù)變函數(shù).給定多項式復(fù)變函

數(shù)/(z)之后，對任意一個復(fù)數(shù)zo,通過計算公式zn+i=/(z“)，neN可以得到一列值zo,z2,....

zn，….如果存在一個正數(shù)M,使得|Zn|<M對任意neN都成立，則稱Zo為f(z)的收斂點；否則，稱z0為

/(z)的發(fā)散點.則下列選項中是/(z)=z2的收斂點的是

A.V2B.—iC.1—iD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

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12.已知△ABC的三個內(nèi)角分別為4B,C,若sin4sinB,sinC成等差數(shù)列，則角B的取值范圍是

13.中國傳世數(shù)學著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問題為主的各種形體體積的計算公式.

例如在推導(dǎo)正四棱臺(古人稱方臺)體積公式時，將正四棱臺切割成九部分進行求解.下圖(1)為俯視圖，圖

(2)為立體切面圖,E對應(yīng)的是正四棱臺中間位置的長方體，B,D,H,F對應(yīng)四個三棱柱，A,C,I,G對應(yīng)

四個四棱錐.若這四個三棱柱的體積之和為12,四個四棱錐的體積之和為4,則該正四棱臺的體積為.

圖⑴圖⑵

14.袋中裝有10個除顏色外完全一樣的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率

是(現(xiàn)從該袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X,貝傷(X)=.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知力，B,C為△ABC的三個內(nèi)角，向量訪=(2-2sin4sinA+cos4)與ri=(sinA-cos4,l+sin力)共線，

且荏?前＞0.

(1)求角4

(2)求函數(shù)y=2sin2-1+cos￡1O的值域.

16.(本小題12分)

如圖，已知四邊形4BCD和四邊形A8EF都是邊長為1的正方形，且它們所在的平面互相垂直.”、N兩點分

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別在正方形對角線AC和上移動，且CM=BN=a（0＜a＜避）.

（1）當M、N分別為力C、BF的中點時，求證：MN〃平面BCE;

（2）當MN的長最小時，求平面MM4與平面MNB夾角的余弦值.

17.（本小題12分）

一般地，我們把平面內(nèi)與兩個定點％,尸2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)（小于IF1&I）的點的軌跡叫做

雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距.

（1）請用上述定義證明反比例函數(shù)曠=;的圖象是雙曲線；

（2）利用所學的知識，指出雙曲線y=%k〉0）的焦點坐標與漸近線方程；

（3）我們知道，雙曲線y=%k＞0）上的任意一點到x=0與y=0的距離之積是常數(shù)，即xy=北探討雙曲

線今爺=1（。＞。力＞0）上的任意一點是否有類似結(jié)論，若有，寫出結(jié)論并證明;若沒有，則說明理由?

18.（本小題12分）

立德中學為了解全校學生體能達標的情況，從高三年級1000名學生中隨機選出40名學生參加體能達標測

試，并且規(guī)定體能達標測試成績小于60分的為“不合格”，否則為“合格”.若高三年級“不合格”的人數(shù)不

超過總?cè)藬?shù)的5%,則該年級體能達標為“合格”，否則該年級體能達標為“不合格”，需要重新對高三年級學

生加強訓練.現(xiàn)將這40名學生隨機分成甲、乙兩個組，其中甲組有24名學生，乙組有16名學生.經(jīng)過測試后，

兩組各自將測試成績統(tǒng)計分析如下:甲組的平均成績?yōu)?0,標準差為4;乙組的平均成績?yōu)?0,標準差為6.（數(shù)

據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù)）

（1）求這40名學生測試成績的平均分h和標準差s（結(jié)果保留整數(shù)）；

（2）假設(shè)高三學生的體能達標測試成績服從正態(tài)分布Not。?）,用樣本平均數(shù)又作為由的估計值"用樣本標準差

s作為。的估計值H利用估計值估計,高三學生體能達標測試是否“合格”；

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(3)為增強趣味性，在體能達標的跳繩測試項目中,同學們可以向體育特長班的強手發(fā)起挑戰(zhàn).每場挑戰(zhàn)賽都采

取七局四勝制.積分規(guī)則如下:以4:0或4:1結(jié)束，獲勝隊員積4分，落敗隊員積0分;以4:2或4:3結(jié)束，獲勝隊員

積3分，落敗隊員積1分.假設(shè)體育特長生小強每局比賽獲勝的概率均為|,求小強在一場挑戰(zhàn)賽中所得積分為

3分的條件下，他前3局比賽都獲勝的概率.

附：；〃個數(shù)的方差52三￡憶1(%-%)2;

②若隨機變量Z?N(出。2),則尸(的Z</z+ff)=0.6826,P(/z-2o-<Z<〃+2G=0.9544,P(〃-3b<Z<〃+3。尸0.9974.

19.(本小題12分)

對于函數(shù)f(x)QeD),若存在正常數(shù)r,使得對任意的久eD,都有/(%+T)N/(X)成立，我們稱函數(shù)

f(x)為“7同比不減函數(shù)”.

(1)求證：對任意正常數(shù)7,/(%)=/都不是“T同比不減函數(shù)”；

TT

(2)若函數(shù)/(無)=kx+sinx是同比不減函數(shù)”，求k的取值范圍；

(3)是否存在正常數(shù)T,使得函數(shù)/(x)=x+|x-l|-|x+1|為“T同比不減函數(shù)”，若存在，求T的取值范

圍;若不存在，請說明理由.

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參考答案

l.c

2.D

3.X

4.B

5.C

6.D

7.C

8.A

9.ABC

IQ.ACD

11.BD

TT

12.(0同

13.28

14.|

15.解：(1)由題設(shè)知：(2—2smi4)(l+sinA)—^sinA+cosA)(sinA-cosA)=0,

2(1—sin2i4)—sin2i4+cos2A=0,

???sir^A=-|,

4

又a為三角形內(nèi)角，所以shM=岑，

由樂?赤>o知a為銳角，

(2)由⑴及題設(shè)知：B+C=^,

所以：y—2sin2-1+cos(^--B)=1—cosB+cos?！狟)

=1+岑sinB—|cosB=1+sin(B—^),

又0<B<^,

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17T

???一萬<sin(B-%)<1,

yG8,2),

因此函數(shù)y=2s出2?+cos￡/的值域為6，2).

16.解：(1)如圖,連接CE,AE,

???M、N分別為AC、BF的中點,

■-■N是4E中點，

MN//CE,

又MNU平面BCE,CEu平面8CE.

???MN〃平面BCE.

（2）如圖，建立空間直角坐標系,

則X(l,0,0),C(0,0,l),F(l,l,0),￡(0,l,0),

CM=BN-a,,0,1-N\__oi

----->aci

???MN=（0,殺聲I）,

...|MN|=，（哀—」）2+（。―/）2+（1一a）2=,2—J2a+1；

當。=字時，|MN|最小，最小值為孝；此時M,N為中點時，MN最短,

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則M(1,O,1),W(|,1,O),取MN的中點G,連接4G,BG,

則,3

???AM=AN,BM=BN,???AG1MN,BG1MN,

N4GB是平面MN力與平面MNB所成二面角,

設(shè)平面MM4與平面MNB的夾角為a,

???褊=&[-6，而=(《，U)

\GA?GB\1

???cosa=^=；~.

\GA\-\GB\3

-1

???平面MM4與平面MNB夾角的余弦值是w.

-I111

17.1?：(1)證明：(1)對于y=-，有％=[,注意到1=T='，

xyy*

則函數(shù)y=;的反函數(shù)為其本身.

故y=3關(guān)于直線y="對稱，

同時又因y=—%與y=久垂直，

故反比例函數(shù)y=§的兩條對稱軸分別為y=±久，

則若其符合雙曲線的定義，其焦點一定在y=x上.

而y=》與雙曲線丫=5的兩個交點AM—1,—1),4(1,1)是雙曲線的兩個頂點.

則實軸長2a=2避，兩焦點坐標為％(-避，-也)，尸2(&，避).

設(shè)點P(x,y)在函數(shù)y=§的圖象上，則y=1,即P(x9,

(E)當久>0時，x+1>2,當且僅當x=1時取等號，

所以|PF1|一|PF2I=+V^)2+(1---+(工\/5)2

=+1)+也]2_j[(x+])一避]2=(x+1)+避一(x+《)+也=2”.

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(ii)當x<0時，從而x+§W-2,當且僅當乂=一1時，取等號，

同理，有IPF2HPF1I=2避.

因此，無論點P(x,y)在第一象限或者在第三象限，

均有IIPF1HPF2II=2M(小于[%尸2|).

所以函數(shù)y=?的圖象是雙曲線.

(2)函數(shù)y=*k>0)的圖象是以Fi(—Jn,—J很)，F(xiàn)2a2kz2k)為兩焦點、，

實軸長2a=2網(wǎng)的雙曲線，兩漸近線方程分別為％=0和丫=0.

(3)因為x=0與y=0是雙曲線y=§(k>0)的兩條漸近線，有孫=k.

27

類似地：雙曲線左=l(a>0力>0)上的任意一點到它的兩條漸近線的距離之積是常數(shù).

證明：設(shè)。(右,月)是雙曲線:—j|=l(a>0,b>0)上任意一點，

則有爐話=a2b2

雙曲線今-，=l(a>0,b>0)的漸近線方程為b%±ay=0.

于是點。到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為辭篇1?埠=儼于吸=碧蘇結(jié)論成立.

b7a+a2+b21a2+b2

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18.解：(1)由題意可得，這40名學生測試成績的平均分返金(70X24+80X16)=74,

故這40名學生測試成績的平均分74,

22

由公式s2=/，=i(X廠%)2=京(xJ+/H---Fxn)-nX],

設(shè)甲組學生的測試成績分別為修，必，…，切4，

設(shè)乙組學生的測試成績分別為犯5,必6,…，必0，

222

則甲組的方差為(XJ+MH---1-%24)-24X70]=4,

則(X12+X22+,**+^242)=24(16+702)

22,,，+222

則乙組的方差為*2=9(X25+X26+X4O)-16X80]=6,

則(X252+X26^--卜入4()2)=16(36+802),

則這40名學生的方差為(煌+歷2+…+如2)+(X252W+-+W)-40X742]

1

=—[24(16+702)+16(36+802)-40X742]=48,

所以s=0^=4平27,

故這40名學生測試成績的標準差為7；

(2)由久=74,s七7,得口的估計值&=74,◎的估計值3=7.

P(|i-2o<^<n+2o)=P(60<^<88)=0.9544,

1—o9S44

■■.P(X<60)=P(X288)=；