人教版八年級數學上冊重難考點專題02與三角形有關的角(知識串講+7大考點)特訓(原卷版+解析)

專題02與三角形有關的角考點類型知識串講（一）三角形內角（和）（1）內角和定理：三角形三個內角和等于180°。（2）推論：①直角三角形的兩個銳角互余。②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內角的和。③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。（二）三角形外角（1）概念：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角（2）性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和。

三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角。（3）三角形的外角與內角的關系：①三角形的一個外角與它相鄰的內角互補；②三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；③三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角。（三）三角形內、外角角平分線模型如圖①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，則∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；如圖②，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，則有∠O=∠A+90°；如圖③，BO、CO分別為∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分線，則∠O=∠A，∠O’=∠O；如圖④，BO、CO分別為∠CBD、∠BCE的平分線，則∠O=90°-∠A．考點訓練考點1：三角形內角和定理的證明典例1：（2023春·江蘇·七年級專題練習）在探究證明“三角形的內角和等于180°”時，飛翔班的同學作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形的內角和等于180°”的是（

）A．延長BC至D過C作CE∥AB B．過A作DE∥C．過D作DE∥BC D．過P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC【變式1】（2022秋·全國·八年級專題練習）定理：三角形的內角和等于180°．已知：△ABC的三個內角為∠A，∠B，∠C．求證：∠A+∠B+∠C=180°．證法1證法2如圖1，延長BC到點D，則∠ACD=∠A+∠B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）．∵∠ACD+∠ACB=180°（平角的定義），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）．如圖2，過點C作DE∥AB，∵DE∥∠2=∠A（兩直線平行，內錯角相等），又∵∠1+∠ACB+∠2=180°（平角定義），∴∠A+∠ACB+∠B=180°（等量代換）．下列說法正確的是（

）A．證法1采用了從特殊到一般的方法證明了該定理B．證法1用合理的推理證明了該定理C．證法2還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明過程才完整D．證法2用嚴謹的推理證明了該定理【變式2】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤缦聢D所示，能利用圖中作法：過點A作BC的平行線，證明三角形內角和是180°的原理是（

）A．兩直線平行，同旁內角互補 B．兩直線平行，內錯角相等C．內錯角相等，兩直線平行 D．兩直線平行，同位角相等【變式3】（2023春·江蘇·七年級專題練習）在探究證明“三角形的內角和是180°”時，綜合實踐小組的同學作了如圖所示的四種輔助線，其中能證明“△ABC的內角和是180°”的有（

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考點2：三角形內角和定理的應用——平行線典例2：（2023春·安徽黃山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，∠C=90°，∠CAB=30°，AD∥BE，∠DAE=120°，給出以下結論：①∠2=∠EAB；②AC平分∠DAB；③∠1+∠2=90°A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1】（2023·湖北荊門·校聯(lián)考一模）如圖，直線l1∥l2，∠1=40°，A．70° B．65° C．60° D．55°【變式2】（2022秋·八年級課時練習）將一副三角板的直角頂點重合按如圖放置，小明得到下列結論：①如果∠2=30°，則AC∥DE；②∠BAE+∠CAD=180°；③如果BC∥AD，則∠2=30°；④如果∠CAD=150°，則∠4=∠C．其中正確的結論有（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④【變式3】（2023春·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于點E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分別是BA,CD延長線上的點，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F．下列結論：①AB//CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F為定值．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考點3：三角形內角和定理的應用——角平分線典例3：（2023春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于點G，則下列結論①∠CEG=2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=12∠AA．2 B．3 C．4 D．5【變式1】（2022秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于點G，則下列結論①∠CEG=2∠DCA；②∠DFE=130°；③∠DFB=12∠A；④∠ADC=∠GCD；⑤CAA．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④【變式2】（2023秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，BC=10，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面結論：①△ABE的面積=△BCE的面積；②∠AFG=∠AGF；③其中正確的結論是（

）A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④【變式3】（2022春·重慶榮昌·七年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠DAB＝70°，∠DAB的平分線交CD于點M，連接BM，若∠CBM＝38°，則∠AMB的度數是（）A．51 B．73 C．75 D．90考點4：三角形內角和定理的應用——折疊問題典例4：（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCED內點A'的位置∠A=35°，則∠1+∠2的度數是（

A．80° B．70° C．45° D．35°【變式1】（2022秋·貴州黔西·八年級統(tǒng)考期中）在△ABC中，將∠B，∠C按如圖方式折疊，點B，C均落在BC邊上的點G處，線段MN，EF為折痕．若∠A=85°，則∠MGE的度數為（

）A．45° B．55° C．85° D．95°【變式2】（2023春·江蘇·七年級期中）如圖，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，將點A與點B分別沿MN和EF折疊，使點A、A．22° B．21° C．20° D．19°【變式3】（2023·山東濟南·模擬預測）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，將四邊形沿對角線AC折疊，使點B落在點B'處，若∠1=∠2=44°A．66° B．104° C．114° D．124°考點5：三角形內角和定理的綜合應用典例5：（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，分別將三角板ABC與ADE的一邊AB與AE放置在直線l上，邊AC與AD所在直線重合．現(xiàn)將三角板ABC繞點A逆時針旋轉，三角板ADE繞點A順時針旋轉．當AB與AE第一次重合時，三角板停止運動．在旋轉過程中，下列說法不正確的是（

）A．當AB與DE垂直時，∠BAE=150° B．當BC與DE平行時，∠BAE=120°C．當AC與DE垂直時，∠BAE=60° D．當BC與AE平行時，∠BAE=45°【變式1】（2023·江西·模擬預測）如圖，從A點發(fā)出的光線AB，AD經平面鏡l反射后得到反射光線BC，DE，m，n為法線，設∠A=α°，∠ABC=β°，∠ADE=γ°，那么α,β,γ之間的數量關系是（

）A．α+β=γ B．2α+β=γ C．α+2β=γ D．α+2β=2γ【變式2】（2023春·吉林長春·九年級?？茧A段練習）某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖②是其示意圖，其中AB，CD都與地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=55°．當∠MAC為（

）度時，AM與CB平行．A．55 B．65 C．75 D．80【變式3】（2022秋·八年級單元測試）如圖所示，考古學家發(fā)現(xiàn)在地下A處有一座古墓，古墓上方是煤氣管道，為了不影響管道，準備在B和C處開工挖出“V”字形通道，如果∠DBA=120°，∠ECA=125°，則∠A的度數是（）A．65° B．80° C．85° D．90°考點6：直角三角形的兩個銳角互余典例6：（2023春·安徽·七年級期中）如圖，直線a∥b，△ABC是直角三角形，∠C=90°，頂點A在直線b上，邊AB交直線a于點D，邊BC交直線a于點E，若∠1=20°，則∠2的度數為()A．100° B．105° C．110° D．120°【變式1】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）將含30°角的直角三角板ABC如圖放置，使其三個頂點分別落在三條平行直線上，其中∠ACB=90°．若∠1=50°，則∠ABQ的度數為（）A．120° B．130° C．150° D．160°【變式2】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）一副三角形板如圖放置，DE∥BC，∠C=∠DBE=90°，∠E=45°，∠A=30°，則∠ABD的度數為（A．5° B．15° C．20°【變式3】（2023春·重慶沙坪壩·七年級重慶市南渝中學校?？计谥校┤鐖D，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，若∠B=48°，∠C=68°，則∠DAE的度數是（）A．10° B．12° C．14° D．16°考點7：三角形外角的定義與性質典例7：（2023·貴州黔南·統(tǒng)考一模）如圖，AB∥CD，∠B=72°，∠D=48°，則∠F的度數是（

）A．24° B．30° C．40° D．60°【變式1】（2023·山東濱州·模擬預測）如圖，CD∥EF，直線AB與直線CD,EF分別相交于點G，H，GM平分∠CGH交EF于點M．若∠GME=150°，則∠GHF的度數為（A．100° B．80° C．60° D．50°【變式2】（2022秋·云南德宏·八年級統(tǒng)考期末）已知AD、AE分別為△ABC的角平分線、高線，若∠B:∠BAC=2:3，∠C=60°，則∠ADB的度數為（A．96° B．100° C．106° D．110°【變式3】（2023春·江蘇宿遷·七年級?？计谥校┤鐖D，l1∥lA．∠α+∠β?∠γ=180° B．∠α+∠β+∠γ=180° C．∠α+∠β=2∠γ D．∠α+∠β=∠γ考點8：三角形內外角角平分線規(guī)律典例8：（2023秋·黑龍江牡丹江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BI，CI分別平分∠ABC,∠ACB，且∠BIC=140°，BM,CM分別平分∠ABC,∠ACB的外角，則∠BMC的度數是（

）A．25° B．30° C．35° D．40°【變式1】（2022秋·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，∠BAC=128°，P1是△ABC的內角∠ABC的平分線BP1與外角∠ACE的平分線CP1的交點；P2是△BP1C的內角∠P1BC的平分線BP2與外角∠P1CE的平分線CA．2° B．4° C．8° D．16°【變式2】（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE，BF分別是∠BAC和∠ABC的角平分線，它們相交于點O，∠AOB=125°，則∠CAD的度數為（

）A．20° B．30° C．45° D．50°【變式3】（2023秋·黑龍江·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，∠A=80°，∠ABC和∠ACB的外角平分線相交于點D，則∠BDC=（）A．45° B．60° C．50° D．無法確定同步過關一、單選題1．（2023春·七年級單元測試）如圖，把一副常用三角板如圖所示拼在一起，延長ED交AC于F，那么圖中∠AFE的度數是（

）度．A．75 B．90 C．100 D．1052．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，BC⊥AE于點C，CD//AB，∠B=60°，則∠ECD的度數是（A．25° B．30° C．35° D．40°3．（2022秋·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）一副三角板如圖疊放在一起，則∠α的度數是（

）A．135° B．145° C．150° D．165°4．（2023春·全國·七年級專題練習）一塊直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的兩條直角邊DE，DF恰好分別經過點B，C，已知∠DBA+∠DCA=50°，則∠A的度數是（

）A．50° B．40° C．45° D．44°5．（2023·浙江杭州·八年級專題練習）如圖，AD是∠CAE的平分線，∠B=30°,∠DAE=60°，那么∠ACD等于（

）A．90° B．60° C．80° D．100°6．（2023春·福建三明·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點重合于點O，AB∥OC，CD與OA交于點E，已知∠A=30°，則∠DEO的度數為（

）A．45° B．60° C．70° D．75°7．（2022秋·全國·八年級專題練習）滿足條件2∠A=2∠B=∠C的△ABC是(

)A．銳角三角形 B．等腰直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定8．（2023春·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）把含有30°角的直角三角板（∠ABC=30°）如圖放置，若EF//MN，∠1=100°，則∠2=（

）A．110° B．120° C．130° D．140°9．（2023秋·內蒙古通遼·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，D是CA延長線上一點，∠B=40°，∠BAD=76°，則∠C的度數為（）A．36° B．116° C．26° D．104°10．（2023·山東菏澤·中考真題）將一副三角板按圖中方式疊放，則角α等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°11．（2022春·山東東營·七年級統(tǒng)考期中）給出下列命題：（1）三角形的一個外角一定大于它的一個內角（2）若一個三角形的三個內角之比為1：3：4，它肯定是直角三角形（3）三角形的最小內角不能大于60°（4）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和其中真命題的個數是(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．（2023春·八年級課時練習）如圖，DE為△ABC的邊BC的垂直平分線，交BC于E，交AB于D，且∠B=40°，∠A=60°，則∠ACD的度數為（）A．40°B．50°C．30°D．45°13．（2023·廣西百色·統(tǒng)考一模）如圖，AC∥BD，AD與BC相交于O，∠A＝45°，∠B＝30°，那么∠AOB等于（）A．75° B．60° C．45° D．30°14．（2023秋·安徽馬鞍山·八年級統(tǒng)考期末）若三角形三個內角度數之比為2：3：7，則這個三角形一定是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形15．（2023秋·湖北孝感·八年級?？茧A段練習）四邊形ABCD兩組對邊AD，BC與AB，DC延長線分別交于點E，F(xiàn)，∠AEB，∠AFD的平分線交于點P，∠A=64°，∠BCD=136°，則下列結論中正確的是（

）①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；④∠PEA+∠PFA=36°A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④二、填空題16．（2023·北京·九年級專題練習）在直角三角形中，其中一個銳角是22°，則另外一個銳角是_____．17．（2022秋·福建龍巖·八年級校考階段練習）若直角三角形的一個銳角為15°，則另一個銳角等于________．18．（2023秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB∥CD，且AC⊥CB于點C，若∠BAC=35°，則19．（2022春·山東濱州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝88°，則∠BOC＝_____．20．（2023秋·重慶渝中·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，若∠B＝∠C＝2∠A，則∠C的度數為_____．21．（2023秋·安徽安慶·八年級?？计谀┤鐖D，已知AB∥CD，∠A=25°，∠E=15°，則∠C等于_______.22．（2023春·七年級課時練習）已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分線交于點O，則∠AOC的度數為_________.23．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，AC⊥OB，BD⊥AO，若∠B＝50°，則∠A=_________.24．（2022秋·山西大同·八年級大同市第七中學校?？茧A段練習）如圖，P是△ABC的∠ABC和∠ACB的外角的平分線的交點，若∠P=40°，則∠A=__________．25．（2022秋·八年級課時練習）如圖，AB∥CD，將一副直角三角板作如下擺放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列結論：①GE∥MP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正確的結論有_____(寫出所有正確結論的序號)．三、解答題26．（2023秋·湖南懷化·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，直線AD和BC相交于O，AB∥CD，AD⊥BC于O，∠B=50°，求∠A和∠C．27．（2023秋·八年級課時練習）說出下列圖形中∠1和∠2的度數：28．（2022秋·廣東江門·八年級校考階段練習）如圖所示，AD，AE是三角形ABC的高和角平分線，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAE的度數．29．（2023秋·廣東·八年級?？茧A段練習）如圖，在ΔABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=54°，BE是AC邊上的高，CF是AB邊上的高，H是BE和CF的交點，HD是∠BHC的平分線，求∠ABE、∠ACF和∠CHD的度數．30．（2023·重慶·中考真題）如圖，AB∥CD，△EFG的頂點F，G分別落在直線AB，CD上，GE交AB于點H，GE平分∠FGD，若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度數．31．（2022秋·安徽六安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=60°，求∠DAC的度數．32．（2023秋·全國·八年級期末）直線MN與直線PQ垂直相交于O，點A在直線PQ上運動，點B在直線MN上運動．（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，點A，B在運動的過程中，∠AEB的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出∠AEB的大小．（2）如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，點A、B在運動的過程中，∠CED的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值．33．（2023春·陜西西安·七年級統(tǒng)考期中）如圖，平面內的直線有相交和平行兩種位置關系（1）如圖①，已知AB∥CD，求證：∠BPD＝∠B+∠D；（提示；可過點P作PO∥AB）（2）如圖②，已知AB∥CD，求證：∠B＝∠P+∠D．34．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，直線AB∥CD,EF⊥CD分別交AB、CD于點E、F，射線EP、EQ分別從EC、EF同時開始繞點E順時針旋轉，分別與直線AB交于點M、N，射線EP每秒轉10°，射線EQ每秒轉5°，點O是∠PMN、∠MNQ角平分線的交點．設旋轉時間為t秒（0<t<8）．(1)①用含t的代數式表示：∠AMP=___________°，∠QNB=__________°；②當t=4時，∠OMN=____________°；(2)試探索∠MON與∠ONM的數量關系，并說明理由；(3)∠MEF的角平分線與直線MO交于點K，直接寫出∠MKE的度數為___________．35．（2023春·七年級單元測試）（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“8字形”，試說明：∠A+∠B=∠C+∠D．（2）如圖②，AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度數．（3）如圖（3），直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的數量關系是________；（4）如圖（4），直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的數量關系是________．

專題02與三角形有關的角考點類型知識串講（一）三角形內角（和）（1）內角和定理：三角形三個內角和等于180°。（2）推論：①直角三角形的兩個銳角互余。②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內角的和。③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。（二）三角形外角（1）概念：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角（2）性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和。

三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角。（3）三角形的外角與內角的關系：①三角形的一個外角與它相鄰的內角互補；②三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；③三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角。（三）三角形內、外角角平分線模型如圖①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，則∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；如圖②，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，則有∠O=∠A+90°；如圖③，BO、CO分別為∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分線，則∠O=∠A，∠O’=∠O；如圖④，BO、CO分別為∠CBD、∠BCE的平分線，則∠O=90°-∠A．考點訓練考點1：三角形內角和定理的證明典例1：（2023春·江蘇·七年級專題練習）在探究證明“三角形的內角和等于180°”時，飛翔班的同學作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形的內角和等于180°”的是（

）A．延長BC至D過C作CE∥AB B．過A作DE∥C．過D作DE∥BC D．過P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC【答案】C【分析】根據平行線性質和三角形內角和定理即可求解．【詳解】A、∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE，∠B=∠ECD，由∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°，得∠BCA+∠BAC+∠B=180°，故A不符合題意；B、∵DE∥BC，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，由∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°，得C、∵DE∥BC，∠B=∠ADE，∠C=∠AED，無法證得三角形的內角和等于D、如圖，∵DE∥BC，∴∠B=∠AOE=∠BOP，∠C=∠AMP，∵∠A+∠AMP=∠AOP，∴∠A+∠C=∠AOP，∵∠BOP+∠AOP=180°，∴∠BOP+∠A+∠C=180°∴∠A+∠B+∠C=180°，故D不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了三角形內角和定理和平行線的性質的知識點，熟悉以上知識點是解題關鍵．【變式1】（2022秋·全國·八年級專題練習）定理：三角形的內角和等于180°．已知：△ABC的三個內角為∠A，∠B，∠C．求證：∠A+∠B+∠C=180°．證法1證法2如圖1，延長BC到點D，則∠ACD=∠A+∠B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）．∵∠ACD+∠ACB=180°（平角的定義），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）．如圖2，過點C作DE∥AB，∵DE∥∠2=∠A（兩直線平行，內錯角相等），又∵∠1+∠ACB+∠2=180°（平角定義），∴∠A+∠ACB+∠B=180°（等量代換）．下列說法正確的是（

）A．證法1采用了從特殊到一般的方法證明了該定理B．證法1用合理的推理證明了該定理C．證法2還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明過程才完整D．證法2用嚴謹的推理證明了該定理【答案】D【分析】根據三角形內角和定理證明的常見思路去判斷即可．【詳解】三角形外角和性質是建立在三角形內角和定理的基礎上的，不能循環(huán)證明，故A、B都不符合題意；證法2用嚴謹的推理證明了該定理，故不需要分三角形的形狀，故C不符合題意；D符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了三角形內角和定理的證明，熟練掌握嚴謹的定理證明是解題的關鍵．【變式2】（2023·廣東佛山·校考一模）如下圖所示，能利用圖中作法：過點A作BC的平行線，證明三角形內角和是180°的原理是（

）A．兩直線平行，同旁內角互補 B．兩直線平行，內錯角相等C．內錯角相等，兩直線平行 D．兩直線平行，同位角相等【答案】B【分析】根據題意得，EF∥BC，則∠EAB=∠CBA，∠FAC=∠BCA，根據平角的性質得【詳解】解：根據題意得，EF∥∴∠EAB=∠CBA，∠FAC=∠BCA，∵∠EAB+∠BAC+∠CAF=180°，∴∠CBA+故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質，掌握“兩直線平行，內錯角相等”是解決本題的關鍵．【變式3】（2023春·江蘇·七年級專題練習）在探究證明“三角形的內角和是180°”時，綜合實踐小組的同學作了如圖所示的四種輔助線，其中能證明“△ABC的內角和是180°”的有（

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題運用轉化的思想作出相應的平行線，把三角形的內角進行轉化，再根據平角的定義解決此題．【詳解】解：①．由EF∥AB，則∠ECA=∠A，∠②．由CE∥AB，則∠A=∠FCE，∠③．由CD⊥AB于D，則∠ADC④．由DF∥AC，得∠EDF=∠AED，∠A=∠FDB．由ED∥BC，得共有：①②④符合條件，故選：C．【點睛】本題主要考查三角形內角和的定理的證明，熟練掌握轉化的思想以及平角的定義是解決本題的關鍵．考點2：三角形內角和定理的應用——平行線典例2：（2023春·安徽黃山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，∠C=90°，∠CAB=30°，AD∥BE，∠DAE=120°，給出以下結論：①∠2=∠EAB；②AC平分∠DAB；③∠1+∠2=90°A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】先由∠CAB=30°、∠C=90°得到∠ABC=60°，從而得到∠ABE+∠2=120°，再利用平行線的性質得到∠2=∠EAB；再結合∠CAB=30°、∠DAE=120°得到∠EAB+∠1=90°，進而得到∠1+∠2=90°；由∠1+∠EAB=90°得到∠1=90°?∠EAB，然后由∠EAB的度數不固定得到∠1不一定等于30°，即∠1=∠BAC不一定成立，進而得到CA不一定平分∠DAB；同理可知∠2=60°不一定成立．【詳解】解：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°，∴∠ABE+∠2=180°?∠ABC=180°?60°=120°，∵AD∥BE，∴∠ABE=∠BAD，∵∠DAE=120°，∴∠BAD+∠EAB=120°，即∠ABE+∠EAB=120°，∴∠2=∠EAB，故①正確，符合題意；∵∠BAC=30°，∠DAE=120°，∴∠EAB+∠1=90°，∵∠EAB=∠2，∴∠1+∠2=90°，故③正確，符合題意；∵∠1+∠EAB=90°，∴∠1=90°?∠EAB，∴∠1的大小隨∠EAB的大小變化而變化，∵∠EAB的度數不固定，∴∠1=30°不一定成立，即∠1=∠BAC不一定成立，∴AC不一定平分∠DAB，故②錯誤，不符合題意；同理可知，∠2=60°不一定成立，∴BC∥故有①③正確，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是熟知平行線的性質．【變式1】（2023·湖北荊門·校聯(lián)考一模）如圖，直線l1∥l2，∠1=40°，A．70° B．65° C．60° D．55°【答案】B【分析】先由平行線性質得出∠4的度數，∠3=180°?∠1?∠4即可．【詳解】解：因為直線l1所以∠4=∠2=75°，所以∠3=180°?∠1?∠4=180°?40?75°=65°．故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，熟練應用性質是解題的關鍵．【變式2】（2022秋·八年級課時練習）將一副三角板的直角頂點重合按如圖放置，小明得到下列結論：①如果∠2=30°，則AC∥DE；②∠BAE+∠CAD=180°；③如果BC∥AD，則∠2=30°；④如果∠CAD=150°，則∠4=∠C．其中正確的結論有（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】根據平行線的性質和判定和三角形內角和定理逐個判斷即可．【詳解】解：∵∠2=30°，∠CAB=90°，∴∠1=60°，∵∠E=60°，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，故①正確；∵∠CAB=∠DAE=90°，∴∠BAE+∠CAD=90°-∠1+90°+∠1=180°，故②正確；∵BC∥AD，∠B=45°，∴∠3=∠B=45°，∵∠2+∠3=∠DAE=90°，∴∠2=45°，故③錯誤；∵∠CAD=150°，∠BAE+∠CAD=180°，∴∠BAE=30°，∵∠E=60°，∴∠BOE=∠BAE+∠E=90°，∴∠4+∠B=90°，

∵∠B=45°，∴∠4=45°，∵∠C=45°，∴∠4=∠C，故④正確；所以其中正確的結論有①②④．故選：D．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理和平行線的性質和判定，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵．【變式3】（2023春·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于點E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分別是BA,CD延長線上的點，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F．下列結論：①AB//CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F為定值．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】先根據AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，由三角形內角和定理以及平行線的性質即可得出結論．【詳解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正確；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②錯誤；∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正確；∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，∴∠EAF+∠EDF=12∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質與判定、三角形內角和定理、直角三角形的性質及角平分線的計算，熟知三角形的內角和等于180°是解答此題的關鍵．考點3：三角形內角和定理的應用——角平分線典例3：（2023春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于點G，則下列結論①∠CEG=2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=12∠AA．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據平行線的性質與角平分線的定義即可判斷結論①；只需要證明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判斷結論③；根據角平分線的定義和三角形內角和定理先推出∠BFC=180°?1【詳解】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD，∵EG∥∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故結論①正確；∵∠A=90°，CG⊥EG，EG∥∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，∴∠GCD+∠BCD=90°，又∵∠BCD=∠ACD，∴∠ADC=∠GCD，故結論③正確；∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BE、CD分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠FBC=12∠ABC∴∠BFC=180°?1∴∠DFB=180°?∠BFC=45°，∴∠DFB=1∵∠BFC=135°，∴∠DFE=∠BFC=135°，故結論⑤正確；若CA平分∠BCG，而∠BCG=90°=∠EGC，∴∠ECG=∠ACB=45°，與題干條件不相符，故結論②錯誤．故選C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質、角平分線的定義、三角形內角和定理等知識，熟知平行線的性質和角平分線的定義是解題的關鍵．【變式1】（2022秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于點G，則下列結論①∠CEG=2∠DCA；②∠DFE=130°；③∠DFB=12∠A；④∠ADC=∠GCD；⑤CAA．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④【答案】B【分析】根據平行線的性質與角平分線的定義即可判斷①；只需要證明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判斷④；根據角平分線的定義和三角形內角和定理先推出∠BFC=135【詳解】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD∵EG∥∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正確；∵∠A=90°，CG⊥EG，EG∥∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，∴∠GCD+∠BCD=90°，又∵∠BCD=∠ACD，∴∠ADC=∠GDC，故④正確；∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠FBC=1∴∠BFC=∴∠DFB=180°?∠BFC=45°，∴∠DFB=1∵∠BFC=135°，∴∠DFE=∠BFC=135°，故②錯誤；根據現(xiàn)有條件，無法推出CA平分∠BCG，故⑤錯誤；故選B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，三角形內角和定理，熟知平行線的性質，角平分線的定義是解題的關鍵．【變式2】（2023秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，BC=10，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面結論：①△ABE的面積=△BCE的面積；②∠AFG=∠AGF；③其中正確的結論是（

）A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】根據三角形角平分線和高的性質可確定角之間的數量關系；根據三角形的中線和面積公式可確定△ABE和△BCE的面積關系以及求出AD的長度．【詳解】解：∵BE是△ABC的中線，∴AE=EC，∴△ABE的面積等于△BCE的面積，故①正確；∵∠BAC=90°，AD是△ABC的高，∴∠AFG+∠ACG=90°，∠DCG+∠DGC=90°，∵CF是△ABC的角平分線，∴∠ACG=∠DCG，∴∠AFG=∠DGC，又∵∠DGC=∠AGF，∴∠AFG=∠AGF，故②正確；

∵∠FAG+∠DAC=∠DAC+∠ACD=90°，∴∠FAG=∠ACD，∵∠ACD=∠ACF+∠DCF=2∠ACF，∴∠FAG=2∠ACF，故③正確；∵S△ABC∴AD=AB?ACBC=綜上分析可知，正確的有①②③④，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形的中線、高、角平分線，余角的性質，三角形面積的計算，靈活運用三角形的中線、高、角平分線的性質是解決本題的關鍵．【變式3】（2022春·重慶榮昌·七年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠DAB＝70°，∠DAB的平分線交CD于點M，連接BM，若∠CBM＝38°，則∠AMB的度數是（）A．51 B．73 C．75 D．90【答案】B【分析】由平行線的性質可求出∠CBA=110°，從而可求出∠MBA=72°．由角平分線的定義可求出∠BAM=12【詳解】∵AD∥BC，∠DAB＝70°，∴∠CBA=180°-70°=110°，∴∠MBA=∠CBA-∠CBM＝110°-38°=72°．∵∠DAB的平分線交CD于點M，∴∠BAM=∴∠AMB＝180°-∠BAM-∠MBA=180°-35°-72°=73°．故選：B．【點睛】本題考查平行線的性質，角平分線的定義以及三角形內角和定理．熟練掌握上述知識，并利用數形結合的思想是解題關鍵．考點4：三角形內角和定理的應用——折疊問題典例4：（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCED內點A'的位置∠A=35°，則∠1+∠2的度數是（

A．80° B．70° C．45° D．35°【答案】B【分析】根據三角形的內角和定理求出∠ADE+∠AED的度數，根據折疊的性質，得到∠ADA'+∠AE【詳解】解：∵∠A=35°，∴∠ADE+∠AED=180°?∠A=145°，∵折疊，∴∠ADA∴∠1+∠2=180°?∠ADA故選B．【點睛】本題考查三角形的內角和定理，折疊的性質，熟練掌握折痕是角平分線，三角形的內角和是180°，是解題的關鍵．【變式1】（2022秋·貴州黔西·八年級統(tǒng)考期中）在△ABC中，將∠B，∠C按如圖方式折疊，點B，C均落在BC邊上的點G處，線段MN，EF為折痕．若∠A=85°，則∠MGE的度數為（

）A．45° B．55° C．85° D．95°【答案】C【分析】根據圖形對折的性質，找到相等的角，然后利用平角的定義計算即可．【詳解】解：由題意知：∠B=∠MGN，∵∠A=180°?∠B+∠C∠MGE=180°?∠MGN?∠EGF=180°?∠B+∠C∴∠MGE=∠A，∵∠A=85°，∴∠MGE=85°；故選：C．【點睛】此題考查了折疊的性質，三角形內角和定理，熟練掌握折疊圖形中對應角相等是解題的關鍵．【變式2】（2023春·江蘇·七年級期中）如圖，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，將點A與點B分別沿MN和EF折疊，使點A、A．22° B．21° C．20° D．19°【答案】C【分析】根據∠A＝20°，∠B＝60°，點A與點B分別沿MN和EF折疊，使點A、B與點【詳解】因為∠A＝20°，∠B＝60°，點A與點B分別沿MN和EF折疊，使點所以∠A=因為∠ACB=所以100°=解得∠NCF=故選C．【點睛】本題考查了折疊的性質，三角形內角和定理，熟練掌握性質和定理是解題的關鍵．【變式3】（2023·山東濟南·模擬預測）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，將四邊形沿對角線AC折疊，使點B落在點B'處，若∠1=∠2=44°A．66° B．104° C．114° D．124°【答案】C【分析】由平行線得到∠BAB'=∠1=44°，由折疊得到∠BAC=∠【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠BAB由折疊得，∠BAC=∠B∴∠BAC=∠B∵∠2=44°，∴∠B=180°?∠2?∠BAC=180°?44°?22°=114°，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形的內角和定理，折疊的性質，解題的關鍵是利用平行線的性質求得∠BAB考點5：三角形內角和定理的綜合應用典例5：（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，分別將三角板ABC與ADE的一邊AB與AE放置在直線l上，邊AC與AD所在直線重合．現(xiàn)將三角板ABC繞點A逆時針旋轉，三角板ADE繞點A順時針旋轉．當AB與AE第一次重合時，三角板停止運動．在旋轉過程中，下列說法不正確的是（

）A．當AB與DE垂直時，∠BAE=150° B．當BC與DE平行時，∠BAE=120°C．當AC與DE垂直時，∠BAE=60° D．當BC與AE平行時，∠BAE=45°【答案】B【分析】畫出各選項對應的圖形，然后根據平行線的性質，三角形內角和定理進行求解判斷即可．【詳解】解：當AB與DE垂直時，如圖1，由題意知∠AFE=90°，∴∠EAF=180°?∠AFE?∠E=30°，∴∠BAE=180°?∠EAF=150°，∴A正確，故不符合要求；當BC與DE平行時，如圖2，過A作FQ∥BC，則FQ∥DE，∴∠QAE=∠E=60°，∠BAQ=∠B=45°，∴∠BAE=∠QAE+∠BAQ=105°，∴B錯誤，故符合要求；當AC與DE垂直時，如圖3，∴AB∥DE，∴∠BAE=∠E=60°，∴C正確，故不符合要求；當BC與AE平行時，如圖4，∴∠BAE=∠B=45°，∴D正確，故不符合要求；故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理等知識．解題的關鍵在于正確的作圖求解．【變式1】（2023·江西·模擬預測）如圖，從A點發(fā)出的光線AB，AD經平面鏡l反射后得到反射光線BC，DE，m，n為法線，設∠A=α°，∠ABC=β°，∠ADE=γ°，那么α,β,γ之間的數量關系是（

）A．α+β=γ B．2α+β=γ C．α+2β=γ D．α+2β=2γ【答案】B【分析】根據光的反射定律，求出∠CBD=12180°?β°【詳解】解：由題意可得：∠CBD=12180°?β°∵∠ADB+∠ABD+∠A=180°，即∠ADB+∠ABC+∠CBD+∠A=180°∴90°?∴2α+β=γ故選：B．【點睛】本題考查三角形內角和定理，光的反射定律，熟練掌握查三角形內角和定理和光的反射定律是解題的關鍵，注意跨學科之間的聯(lián)系．【變式2】（2023春·吉林長春·九年級?？茧A段練習）某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖②是其示意圖，其中AB，CD都與地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=55°．當∠MAC為（

）度時，AM與CB平行．A．55 B．65 C．75 D．80【答案】B【分析】先根據平行的公理得出AB∥CD，再根據平行線的性質得出∠ABC=∠BCD=60°，根據三角形內角和定理得出∠ACB=65°，根據∠ACB=∠MAC時AM與CB，得出【詳解】解：∵AB∥l，∴AB∵∠BCD=60°，∴∠ABC=∠BCD=60°，∵∠BAC=55°，∴∠ACB=180°?∠BAC?∠ABC=180°?60°?55°=65°，∵要使AM與CB平行，則有∠ACB=∠MAC，∴∠MAC=65°，故B正確．故答案為：B．【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質，熟記平行線的判定定理與性質定理是解題的關鍵．【變式3】（2022秋·八年級單元測試）如圖所示，考古學家發(fā)現(xiàn)在地下A處有一座古墓，古墓上方是煤氣管道，為了不影響管道，準備在B和C處開工挖出“V”字形通道，如果∠DBA=120°，∠ECA=125°，則∠A的度數是（）A．65° B．80° C．85° D．90°【答案】A【分析】根據鄰補角的定義求得△ABC的兩個內角∠ABC、∠ACB的度數；然后利用△ABC的內角和是180°，求∠A的度數即可．【詳解】解：∵∠DBA=120°，∠ECA=125°，∴∠ABC=180°-∠DBA=60°，∠ACB=180°-∠ECA=55°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-55°=65°，即∠A=65°．故選A．【點睛】本題考查了三角形內角和定理．解答該題時，先利用了鄰補角的性質求得△ABC的兩個內角∠ABC、∠ACB的度數，然后由三角形內角和定理求得的∠A的度數．當然了，也可以利用三角形外角的性質來求∠A的度數．考點6：直角三角形的兩個銳角互余典例6：（2023春·安徽·七年級期中）如圖，直線a∥b，△ABC是直角三角形，∠C=90°，頂點A在直線b上，邊AB交直線a于點D，邊BC交直線a于點E，若∠1=20°，則∠2的度數為()A．100° B．105° C．110° D．120°【答案】C【分析】根據直角三角形兩個銳角互余得出∠AFC=90°?∠1=70°，根據平行線的性質以及對頂角的性質得出∠2=∠DEC=110°，即可求解．【詳解】解：延長BC交直線b于點F，如圖所示：∵∠ACB=90°，∴∠ACF=90°，∵∠1=20°，∴∠AFC=90°?∠1=70°，∵直線a∥b，∴∠DEC+∠AFC=180°，∴∠DEC=180°?70°=110°，∴∠2=∠DEC=110°，故選：C．【點睛】本題考查了直角三角形的兩銳角互余，平行線的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．【變式1】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）將含30°角的直角三角板ABC如圖放置，使其三個頂點分別落在三條平行直線上，其中∠ACB=90°．若∠1=50°，則∠ABQ的度數為（）A．120° B．130° C．150° D．160°【答案】D【分析】根據直角三角形兩銳角互余，得出∠CBD=40°，再根據題意，得出∠CAB=30°，再根據直角三角形兩銳角互余，得出∠CBA=60°，再根據角之間的數量關系，得出∠DBA=20°，再根據鄰補角互補，計算即可得出答案．【詳解】解：∵∠ACB=90°,∠1=50°，∴∠CBD=90°?50°=40°，∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠CAB=30°，∴∠CBA=90°?∠CAB=60°，∴∠DBA=∠CBA?∠CBD=60°?40°=20°，∴∠ABQ=180°?∠DBA=180°?20°=160°．故選：D．【點睛】此題考查了直角三角形兩銳角互余、鄰補角互補，解題的關鍵在理清角之間的數量關系．【變式2】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）一副三角形板如圖放置，DE∥BC，∠C=∠DBE=90°，∠E=45°，∠A=30°，則∠ABD的度數為（A．5° B．15° C．20°【答案】B【分析】根據∠C=∠DBE=90°，∠E=45°，∠A=30°可得∠EDB=45°，∠ABC=60°，結合DE∥BC，即可得到【詳解】解：∵∠C=∠DBE=90°，∠E=45°，∠A=30°，∴∠EDB=45°，∠ABC=60°，∵DE∥∴∠EDB=∠DBC=45°，∴∠ABD=∠ABC?∠DBC=60°?45°=15°，故選B．【點睛】本題考查平行線性質，直角三角形兩銳角互余，解題的關鍵是根據直角三角板得到相應的角度．【變式3】（2023春·重慶沙坪壩·七年級重慶市南渝中學校?？计谥校┤鐖D，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，若∠B=48°，∠C=68°，則∠DAE的度數是（）A．10° B．12° C．14° D．16°【答案】A【分析】根據三角形內角和定理求出∠BAC，根據角平分線的定義求出∠EAC，求出∠DAC，再求出答案即可．【詳解】解：∵∠B=48°，∠C=68°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=64°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=1∵AD是△ABC的BC邊上的高，∴∠ADC=90°，∵∠C=68°，∴∠DAC=90°?∠C=22°，∴∠DAE=∠EAC?∠DAC=32°?22°=10°，故選：A．【點睛】此題考查了三角形內角和的性質，解題的關鍵是掌握三角形內角和有關性質．考點7：三角形外角的定義與性質典例7：（2023·貴州黔南·統(tǒng)考一模）如圖，AB∥CD，∠B=72°，∠D=48°，則∠F的度數是（

）A．24° B．30° C．40° D．60°【答案】A【分析】由AB∥CD，∠B=72°，根據兩直線平行，同位角相等，即可求得∠CEF的度數，然后根據三角形外角的性質，求得∠F的度數．【詳解】解：∵AB∥CD，∠B=72°，∴∠CEF=∠B=72°，∵∠CEF=∠D+∠F，∠D=48°，∴∠F=∠CEF?∠D=72°?48°=24°．故選：A．【點睛】此題考查了平行線的性質與三角形外角的性質．此題難度不大，注意掌握兩直線平行，同位角相等定理的應用，注意數形結合思想的應用．【變式1】（2023·山東濱州·模擬預測）如圖，CD∥EF，直線AB與直線CD,EF分別相交于點G，H，GM平分∠CGH交EF于點M．若∠GME=150°，則∠GHF的度數為（A．100° B．80° C．60° D．50°【答案】C【分析】根據鄰補角的性質可得∠GMH=30°，再由平行線的性質可得∠CGM=∠GMH=30°，然后根據GM平分∠CGH，可得∠CGM=∠HGM=30°，再根據三角形外角的性質，即可求解．【詳解】解：∵∠GME=150°，∴∠GMH=30°，∵CD∥∴∠CGM=∠GMH=30°，∵GM平分∠CGH，∴∠CGM=∠HGM=30°，∴∠GHF=∠GMH+∠HGM=60°．故選：C【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質，平行線的性質，鄰補角的性質，熟練掌握三角形外角的性質，平行線的性質，鄰補角的性質是解題的關鍵．【變式2】（2022秋·云南德宏·八年級統(tǒng)考期末）已知AD、AE分別為△ABC的角平分線、高線，若∠B:∠BAC=2:3，∠C=60°，則∠ADB的度數為（A．96° B．100° C．106° D．110°【答案】A【分析】根據三角形內角和定理可得∠B+∠BAC=120°，再由∠B:∠BAC=2:3，可得∠BAC=72°，然后根據AD為△ABC的角平分線，可得∠CAD=1【詳解】解：∵∠C=60°，∴∠B+∠BAC=180°?60°=120°，∵∠B:∠BAC=2:3，∴∠B=2∴23解得：∠BAC=72°，∵AD為△ABC的角平分線，∴∠CAD=1∴∠ADB=∠CAD+∠C=96°．故選：A【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質，有關角平分線的計算，三角形內角和定理，熟練掌握三角形外角的性質，三角形內角和定理是解題的關鍵．【變式3】（2023春·江蘇宿遷·七年級校考期中）如圖，l1∥lA．∠α+∠β?∠γ=180° B．∠α+∠β+∠γ=180° C．∠α+∠β=2∠γ D．∠α+∠β=∠γ【答案】A【分析】根據平行線的性質求出∠1，再根據鄰補角，用∠α表示出∠2，最后根據三角形的外角即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵l1∴∠α=∠1，∵∠1+∠2=180°，∴∠2=180°?∠1=180°?∠α，∵∠β是外角，即∠β=∠γ+∠2，∴∠β=∠γ+180°?∠α，∴∠α+∠β?∠γ=180°，故選：A．【點睛】本題主要考查平行線的性質，鄰補角，三角形的外角的綜合，掌握平行線的性質，三角形的外角和定理是解題的關鍵．考點8：三角形內外角角平分線規(guī)律典例8：（2023秋·黑龍江牡丹江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BI，CI分別平分∠ABC,∠ACB，且∠BIC=140°，BM,CM分別平分∠ABC,∠ACB的外角，則∠BMC的度數是（

）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】D【分析】BI，CI分別平分∠ABC,∠ACB，BM,CM分別平分∠ABC,∠ACB的外角，可求出BI⊥BM,CI⊥CM，根據四邊形的內角和定理即可求解．【詳解】解：根據題意得，∠ABC+∠DBC=180°，∠ACB+∠ECB=180°，∵BI，CI分別平分∠ABC,∠ACB，BM,CM分別平分∠ABC,∠ACB的外角，∴∠IBC=12∠ABC，∠CBM=12∴∠IBC+∠CBM=1同理，∠ICB+∠BCM=90°，在四邊形IBMC中，∠BIC=140°，∠IBM=∠ICM=90°，∴∠BMC=360°?140°?90°?90°=40°，故選：D．【點睛】本題主要考查角平分線，四邊形內角和定理的綜合，理解并掌握角平分線的性質，四邊形內角和定理是解題的關鍵．【變式1】（2022秋·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，∠BAC=128°，P1是△ABC的內角∠ABC的平分線BP1與外角∠ACE的平分線CP1的交點；P2是△BP1C的內角∠P1BC的平分線BP2與外角∠P1CE的平分線CA．2° B．4° C．8° D．16°【答案】A【分析】根據角平分線的定義得∠PBC＝12∠ABC，∠PCE＝12∠ACE，再根據三角形外角性質得∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠PCE＝∠PBC＋∠P，于是得到12（∠A＋∠ABC）＝∠PBC＋∠P＝12∠ABC＋∠P，然后整理可得∠P＝【詳解】解：∵△ABC的內角平分線BP與外角平分線CP1交于P1，∴∠P1BC＝12∠ABC，∠P1CE＝12∠∵∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC＋∠P1，∴12（∠A＋∠ABC）＝∠P1BC＋∠P1＝12∠ABC＋∠P∴∠P1＝12∠A＝1同理∠P2＝12∠P1∴∠P6＝2°，故選：A．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180°是解答此題的關鍵．【變式2】（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE，BF分別是∠BAC和∠ABC的角平分線，它們相交于點O，∠AOB=125°，則∠CAD的度數為（

）A．20° B．30° C．45° D．50°【答案】A【分析】根據∠AOB=125°和三角形內角和，可以得到∠OAB+∠OBA的度數，再根據AE，BF分別是∠BAC和∠ABC的角平分線，即可得到∠BAC+∠ABC的度數，進而得到∠C的度數，再根據AD是BC邊上的高，即可得到∠CAD的度數．【詳解】解：∵∠AOB=125°，∴∠OAB+∠OBA=55°，∵AE，BF分別是∠BAC和∠ABC的角平分線，它們相交于點O，∴∠BAC+∠ABC=2（∠OAB+∠OBA）=110°，∴∠C=70°，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=20°，即∠CAD的度數是20°．故選：A．【點睛】本題考查了三角形內角和，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．【變式3】（2023秋·黑龍江·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠A=80°，∠ABC和∠ACB的外角平分線相交于點D，則∠BDC=（）A．45° B．60° C．50° D．無法確定【答案】C【分析】根據∠A得出∠ABC+∠ACB的度數，再根據角平分線的定義得到∠DBC+∠DCB的度數，從而利用三角形內角和定理得到結果．【詳解】解：∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，∵∠ABC和∠ACB的外角平分線相交于點D，∴∠DBC+∠DCB=12∠EBC+1=12（180°-∠ABC）+1=180°-12=180°-12=90°+12=130°∴∠BDC=180-（∠DBC+∠DCB）=50°，故選C．【點睛】本題考查了三角形內角和，角平分線的定義，根據題意得出∠DBC+∠DCB的度數是解題的關鍵．同步過關一、單選題1．（2023春·七年級單元測試）如圖，把一副常用三角板如圖所示拼在一起，延長ED交AC于F，那么圖中∠AFE的度數是（

）度．A．75 B．90 C．100 D．105【答案】A【分析】由題意可得：∠E=30°,∠C=45°，然后根據三角形的外角性質即可得．【詳解】解：如圖所示的圖形是把一副常用三角板拼在一起，所以∠E=30°,∠C=45°，所以∠AFE=∠E+∠C=30°+45°=75°．故選：A．【點睛】本題以三角板為載體，主要考查三角形的外角性質，熟知三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和是解題的關鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，BC⊥AE于點C，CD//AB，∠B=60°，則∠ECD的度數是（A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】B【分析】根據直角三角形兩銳角互余求得∠A，再結合平行線的性質求解即可．【詳解】在Rt△ABC中，∠A=90°?∠B=30°，∵CD//AB，故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余及平行線的性質，熟練掌握基本結論且靈活運用是解題關鍵．3．（2022秋·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）一副三角板如圖疊放在一起，則∠α的度數是（

）A．135° B．145° C．150° D．165°【答案】D【分析】根據三角形的外角定理可得∠2=∠3+∠4=135°，進而得出∠α=∠1+∠2，即可得出結論．【詳解】解：如圖：∵∠3=45°,∠4=90°，∴∠2=∠3+∠4=135°，∵∠1=30°，∴∠α=∠1+∠2=135°+30°=165°，故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形的外角定理，解題的關鍵是掌握三角板的內角度數，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和．4．（2023春·全國·七年級專題練習）一塊直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的兩條直角邊DE，DF恰好分別經過點B，C，已知∠DBA+∠DCA=50°，則∠A的度數是（

）A．50° B．40° C．45° D．44°【答案】B【分析】在△DBC和△ABC中分別使用三角形內角和定理，即可得出答案．【詳解】∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBA+∠DCA+∠DBC+∠DCB+∠A=180°，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠DBA+∠DCA+∠A=∠D．∵∠D=90°，∴∠A=90°?∠DBA+∠DCA∵∠DBA+∠DCA=50°，∴∠A=90°?∠DBA+∠DCA故選：B．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，熟練使用三角形內角和定理進行導角是解本題的關鍵．5．（2023·浙江杭州·八年級專題練習）如圖，AD是∠CAE的平分線，∠B=30°,∠DAE=60°，那么∠ACD等于（

）A．90° B．60° C．80° D．100°【答案】A【詳解】解：根據AD平分∠CAE，且∠DAE=60°，可得∠CAE=120°，然后根據鄰補角的意義可知∠CAB=60°，再根據三角形的外角等于不相鄰的兩內角的和，可直接求得∠ACD=90°．故選A．【點睛】此題主要考查了三角形的內角和和外角性質，解題關鍵是明確三角形的內外角的關系，然后可求解．三角形的內角和定理：三角形的內角和為180°；三角形的外角：三角形的一個外角大于不相鄰兩內角的和．6．（2023春·福建三明·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點重合于點O，AB∥OC，CD與OA交于點E，已知∠A=30°，則∠DEO的度數為（

）A．45° B．60° C．70° D．75°【答案】D【分析】由平行線的性質求出∠COA=30°，然后根據三角形的外角性質即可得出結論.【詳解】解：∵AB∥OC，∠A=30°，∴∠COA=30°，∴∠DEO=∠C+∠COE=45°+30°=75°；故選D.【點睛】本題主要考查了平行線的性質、三角形的外角性質；熟練掌握平行線的性質和三角形的外角性質是解決問題的關鍵.7．（2022秋·全國·八年級專題練習）滿足條件2∠A=2∠B=∠C的△ABC是(

)A．銳角三角形 B．等腰直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定【答案】B【詳解】解：設∠A=x，則∠B=x，∠C=2x．又∠A+∠B+∠C=180°，則x+x+2x=180，x=45，∴∠A=∠B=△ABC是等腰直角三角形．故選B．8．（2023春·山東威海·七年級統(tǒng)考期末）把含有30°角的直角三角板（∠ABC=30°）如圖放置，若EF//MN，∠1=100°，則∠2=（

）A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】C【分析】先根據三角形外角性質，得到∠3的度數，再根據平行線的性質，即可得到∠2的度數．【詳解】解：如圖所示，∵∠1=∠4=100°，∠B=30°，∴∠3=∠B+∠4=130°，∵EF∥MN，∴∠2=∠3=130°，故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質以及三角形外角性質的運用，解題時注意：兩直線平行，同位角相等．9．（2023秋·內蒙古通遼·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，D是CA延長線上一點，∠B=40°，∠BAD=76°，則∠C的度數為（）A．36° B．116° C．26° D．104°【答案】A【詳解】解：∵∠BAD是△ABC的一個外角，∴∠BAD=∠B+∠C，∴∠C=∠BAD-∠B=76°-40°=36°.故選A.10．（2023·山東菏澤·中考真題）將一副三角板按圖中方式疊放，則角α等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】D【分析】利用兩直線平行，內錯角相等和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和計算．【詳解】如圖，根據兩直線平行，內錯角相等，∴∠1=45°，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，∴∠α=∠1+30°=75°．故選：D．11．（2022春·山東東營·七年級統(tǒng)考期中）給出下列命題：（1）三角形的一個外角一定大于它的一個內角（2）若一個三角形的三個內角之比為1：3：4，它肯定是直角三角形（3）三角形的最小內角不能大于60°（4）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和其中真命題的個數是(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】(1)三角形的任何一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，故(1)為假命題，(4)為真命題．(2)180°×41+3+4=180°×1(3)若三角形的最小內角大于60°，三角形三個角的和大于180°，則三角形的最小內角不能大于60°，故(3)為真命題．故選C．12．（2023春·八年級課時練習）如圖，DE為△ABC的邊BC的垂直平分線，交BC于E，交AB于D，且∠B=40°，∠A=60°，則∠ACD的度數為（）A．40°B．50°C．30°D．45°【答案】A【詳解】試題解析：∵∠B=40°，∠A=60°，

∴∠ACB=180°﹣60°﹣40°=80°，∵DE為△ABC邊BC的垂直平分線，∴∠BCD=∠B=40°，∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCD=80°﹣40°=40°．故選A．13．（2023·廣西百色·統(tǒng)考一模）如圖，AC∥BD，AD與BC相交于O，∠A＝45°，∠B＝30°，那么∠AOB等于（）A．75° B．60° C．45° D．30°【答案】A【詳解】解：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和,由題,∵AC∥BD，∴∠C=∠B=30°,∵∠AOB是△AOC的一個外角,∴∠AOB=∠C+∠A=45°+30°=75°，選A．【點睛】本題考查平行線的性質和三角形的外角．14．（2023秋·安徽馬鞍山·八年級統(tǒng)考期末）若三角形三個內角度數之比為2：3：7，則這個三角形一定是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】根據三角形內角和180°來計算出最大的內角度數,然后來判斷三角形的形狀.【詳解】解:∵三角形三個內角度數之比為2：3：7,∴三角形最大的內角為:180°×7∴這個三角形一定為鈍角三角形.故選:C.【點睛】本題主要考查三角形內角和180°,計算三角形最大內角是解題關鍵.15．（2023秋·湖北孝感·八年級?？茧A段練習）四邊形ABCD兩組對邊AD，BC與AB，DC延長線分別交于點E，F(xiàn)，∠AEB，∠AFD的平分線交于點P，∠A=64°，∠BCD=136°，則下列結論中正確的是（

）①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；④∠PEA+∠PFA=36°A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據四邊形內角和證明結論②正確，再根據∠AEB=116°?∠ABC和∠AFD=116°?∠ADC結合結論②證明結論④正確，連接AP并延長至點G，根據外角和定理證明結論①正確，結論③也可以通過前面的證明得到．【詳解】解：∵∠A=64°，∠BCD=136°，∴∠ADC+∠ABC=360°?∠A?∠BCD=160°，故②正確，∵∠AEB=180°?∠A?∠ABC=116°?∠ABC，∠AFD=180°?∠A?∠ADC=116°?∠ADC，∴∠AEB+∠AFD=116°?∠ABC+116°?∠ADC=232°?∠ADC+∠ABC∵EP平分∠AEB，F(xiàn)P平分∠AFD，∴∠PEA=12∠AEB∴∠PEA+∠PFA=1同理：∠PEB+∠PFC=36°，如圖，連接AP并延長至點G，∠EPF=∠EPG+∠FPG=∠EAP+∠AEP+∠FAP+∠AFP=∠EAF+∠AEP+∠AFP=64°+36°=100°，故①正確，∴∠PEB+∠PFC+∠EPF=36°+100°=136°，故③正確．故選：D．【點睛】本題考查角度關系求解，解題的關鍵是掌握角度和差關系的計算．二、填空題16．（2023·北京·九年級專題練習）在直角三角形中，其中一個銳角是22°，則另外一個銳角是_____．【答案】68°【分析】根據直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解．【詳解】∵直角三角形一個銳角為22°，∴另一個銳角的度數=90°-22°=68°．故答案為68°．【點睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質，熟記性質是解題的關鍵．17．（2022秋·福建龍巖·八年級校考階段練習）若直角三角形的一個銳角為15°，則另一個銳角等于________．【答案