2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題變式題16-18題-(學(xué)生版+解析)

2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題變式題16-18題原題161．在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．變式題1基礎(chǔ)2．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求B；(2)若，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng).變式題2基礎(chǔ)3．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng)．變式題3基礎(chǔ)4．在中，角的對(duì)邊分別為，.(1)求角；(2)若，面積，求△的周長(zhǎng).變式題4基礎(chǔ)5．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的值；(2)若2a+b=6，且的面積為，求的周長(zhǎng).變式題5鞏固6．已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且.(1)求角的大??；(2)若，且，求的周長(zhǎng).變式題6鞏固7．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量，，且(1)求A；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng)．變式題7鞏固8．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.(1)求B；(2)若，面積為，求周長(zhǎng).變式題8鞏固9．在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且.(1)求角的大??；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng).變式題9提升10．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．(1)求A；(2)若點(diǎn)D在BC邊上，AD平分BAC，且，求的周長(zhǎng)．變式題10提升11．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求角A的大??；(2)若AD為的平分線，且，，求的周長(zhǎng).變式題11提升12．在中，角A，，的對(duì)邊分別是，，，且向量和向量互相垂直．(1)求角的大??；(2)若外接圓的半徑是1，面積是，求的周長(zhǎng)．變式題12提升13．在中，(1)求角A的大小(2)若BC邊上的中線，且，求的周長(zhǎng)原題1714．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．變式題1基礎(chǔ)15．如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，.再從條件①：、條件②：、條件③：平面平面、中選擇兩個(gè)能解決下面問題的條件作為已知，并作答.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式題2基礎(chǔ)16．如圖，四棱錐中，平面，四邊形是矩形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，若，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式題3基礎(chǔ)17．如圖，在四棱錐中，，，平面ABCD，，M為PC的中點(diǎn).(1)求證：平面PAD；(2)設(shè)點(diǎn)N在平面PAD內(nèi)，且平面PBD，求直線BN與平面ABCD所成角的正弦值.變式題4鞏固18．在①平面平面，②，③平面這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并作答.如圖，在四棱錐中，底面是梯形，點(diǎn)在上，，，，，且______.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.變式題5鞏固19．如圖，在四棱錐中，平面，，，，為中點(diǎn)，___.(1)求證：四邊形是直角梯形；(2)并求直線與平面所成角的正弦值.從①；②平面這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中，并完成解答.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.變式題6鞏固20．如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，，點(diǎn)為棱上動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），平面與棱交于點(diǎn).(1)求證：；(2)若，從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)條件作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：平面平面；條件②：；條件③：.變式題7鞏固21．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，丄平面，且，，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式題8鞏固22．如圖，在直三棱柱中，D，E分別是棱AB，的中點(diǎn)，，．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得各條件相融．并求直線與平面所成的角的正弦值．條件①：；條件②：；條件③：到平面的距離為1．變式題9鞏固23．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．變式題10提升24．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，為的中點(diǎn).（1）證明:平面;（2）在①，②這兩個(gè)條件中任一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并作答.若________，求與平面所成的角.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.變式題11提升25．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，E為PB的中點(diǎn)，______．從①；②平面PAD這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題的橫線中，并完成解答．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答按第一個(gè)解答計(jì)分．(1)求證：四邊形ABCD是直角梯形．(2)求直線AE與平面PCD所成角的正弦值．(3)在棱PB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．變式題12提升26．如圖，在四棱錐中，已知底面為直角梯形，，，，平面平面，，.(1)從下列條件①?條件②中再選擇一個(gè)作為已知條件，求證：平面PAB；條件①：E，F(xiàn)分別為棱PD，BC的中點(diǎn)；條件②：E，F(xiàn)分別為棱PC，AD的中點(diǎn).(2)若點(diǎn)M在棱PD（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為何值時(shí)，直線CM與平面PAD所成角的正弦值為.變式題13提升27．已知底面為菱形的四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面平面ABCD，E，F(xiàn)分別是棱PC，AB上的點(diǎn).(1)從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立；①F是AB的中點(diǎn)；②E是PC的中點(diǎn)；③平面PFD.(2)若.求PB與平面PDC所成角的正弦值.原題1828．在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）變式題1基礎(chǔ)29．某地區(qū)為了實(shí)現(xiàn)產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型發(fā)展，利用當(dāng)?shù)芈糜钨Y源豐富多樣的特點(diǎn)，決定大力發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，一方面對(duì)現(xiàn)有旅游資源進(jìn)行升級(jí)改造，另一方面不斷提高旅游服務(wù)水平．為此該地區(qū)旅游部門，對(duì)所推出的報(bào)團(tuán)游和自助游項(xiàng)目進(jìn)行了深入調(diào)查，如表是該部門從去年某月到該地區(qū)旅游的游客中，隨機(jī)抽取的100位游客的滿意度調(diào)查表．滿意度老年人中年人青年人報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游滿意121184156一般2164412不滿意116232（1）由表中的數(shù)據(jù)分析，老年人、中年人和青年人這三種人群中，哪一類人群更傾向于選擇報(bào)團(tuán)游？（2）為了提高服務(wù)水平，該旅游部門要從上述樣本里滿意度為“不滿意”的游客中，隨機(jī)抽取3人征集整改建議，記表示這3人中老年人的人數(shù)，求的分布列和期望；（3）若你朋友要到該地區(qū)旅游，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你會(huì)建議他選擇哪種旅游項(xiàng)目？變式題2基礎(chǔ)30．某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過的包裹收費(fèi)元；重量超過的包裹，除收費(fèi)元之外，超過的部分，每超出(不足，按計(jì)算)需再收元.該公司將最近承攬的件包裹的重量統(tǒng)計(jì)如表：包裹重量（單位：）包裹件數(shù)公司對(duì)近天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如表：包裹件數(shù)范圍包裹件數(shù)（近似處理）天數(shù)以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.（）計(jì)算該公司未來天攬件數(shù)在之間的概率；（）①估計(jì)該公司對(duì)每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值；②公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺(tái)工作人員的工資和公司利潤(rùn)，剩余的用作其他費(fèi)用.目前前臺(tái)有工作人員人，每人每天攬件不會(huì)超過件，且日工資為元.公司正在考慮是否將前臺(tái)工作人員裁減人，試計(jì)算裁員前后公司每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，并判斷裁員是否對(duì)提高公司利潤(rùn)更有利?變式題3基礎(chǔ)31．近期，某中學(xué)全體學(xué)生參加了“全國(guó)節(jié)約用水大賽”活動(dòng)．現(xiàn)從參加該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了男、女各25名學(xué)生，將他們的成績(jī)（單位：分）記錄如下：成績(jī)男生（人數(shù)）25891女生（人數(shù)）ab1032（1）在抽取的50名學(xué)生中，從大賽成績(jī)?cè)?0分以上的人中隨機(jī)取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分?jǐn)?shù)段不同的概率；（2）從該校參加活動(dòng)的男學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中大賽成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）試確定a、b為何值時(shí)，使得抽取的女生大賽成績(jī)方差最?。ㄖ粚懗鼋Y(jié)論，不需要說明理由）變式題4基礎(chǔ)32．《中華人民共和國(guó)老年人權(quán)益保障法》規(guī)定，老年人的年齡起點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)是60周歲．為解決老年人打車難問題，許多公司均推出老年人一鍵叫車服務(wù)．某公司為調(diào)查老年人對(duì)打車軟件的使用情況，在某地區(qū)隨機(jī)抽取了100位老年人，調(diào)查結(jié)果整理如下：年齡/歲80歲以上使用過打車軟件人數(shù)41201151未使用過打車軟件人數(shù)13963(1)從該地區(qū)的老年人中隨機(jī)抽取1位，試估計(jì)該老年人的年齡在且未使用過打車軟件的概率；(2)從參與調(diào)查的年齡在且使用過打車軟件的老年人中，隨機(jī)抽取2人進(jìn)一步了解情況，用X表示這2人中年齡在的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)為鼓勵(lì)老年人使用打車軟件，該公司擬對(duì)使用打車軟件的老年人贈(zèng)送1張10元的代金券，若該地區(qū)有5000位老年人，用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)該公司至少應(yīng)準(zhǔn)備多少張代金券．變式題5鞏固33．自由購是通過自助結(jié)算方式購物的一種形式.某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購的情況，隨機(jī)抽取了100人，統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下：20以下70以上使用人數(shù)312176420未使用人數(shù)003143630（Ⅰ）現(xiàn)隨機(jī)抽取1名顧客，試估計(jì)該顧客年齡在且未使用自由購的概率；（Ⅱ）從被抽取的年齡在使用自由購的顧客中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況，用表示這3人中年齡在的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）為鼓勵(lì)顧客使用自由購，該超市擬對(duì)使用自由購的顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購物袋.若某日該超市預(yù)計(jì)有5000人購物，試估計(jì)該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購物袋.變式題6鞏固34．某企業(yè)為了解職工款A(yù)PP和款A(yù)PP的用戶量情況，對(duì)本單位職工進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男職工女職工使用不使用使用不使用款A(yù)PP72人48人40人80人款A(yù)PP60人60人84人36人假設(shè)所有職工對(duì)兩款A(yù)PP是否使用相互獨(dú)立.（1）分別估計(jì)該企業(yè)男職工使用款A(yù)PP的概率?該企業(yè)女職工使用款A(yù)PP的概率；（2）從該企業(yè)男，女職工中各隨機(jī)抽取1人，記這2人中使用款A(yù)PP的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）據(jù)電商行業(yè)發(fā)布的市場(chǎng)分析報(bào)告顯示，款A(yù)PP的用戶中男性占%?女性占%；款A(yù)PP的用戶中男性占%?女性占%.試分析該企業(yè)職工使用款A(yù)PP的男?女用戶占比情況和使用款A(yù)PP的男?女用戶占比情況哪一個(gè)與市場(chǎng)分析報(bào)告中的男?女用戶占比情況更相符.變式題7鞏固35．某調(diào)研機(jī)構(gòu)就該市工薪階層對(duì)“樓市限購令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，抽調(diào)了5000名市民，他們?cè)率杖肴藬?shù)分布表和對(duì)“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表：月收入(單位：百元)調(diào)查人數(shù)500100015001000500500贊成人數(shù)40080012004149987（1）若從抽調(diào)的5000名市民中隨機(jī)選取一名市民，求該市民贊成“樓市限購令”的概率；（2）依據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，若從該市工薪階層隨機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若從抽調(diào)的收入在(百元)的市民中隨機(jī)抽取兩名，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為，期望記作；若從抽調(diào)的收入在(百元)的市民中隨機(jī)抽取兩名，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為，期望記作，比較與的大小關(guān)系.(直接寫出結(jié)論即可)變式題8鞏固36．北京市某區(qū)針對(duì)高三年級(jí)的一次測(cè)試做調(diào)研分析，隨機(jī)抽取同時(shí)選考物理?化學(xué)的學(xué)生330名，下表是物理?化學(xué)成績(jī)等級(jí)和人數(shù)的數(shù)據(jù)分布情況：物理成績(jī)等級(jí)化學(xué)成績(jī)等級(jí)人數(shù)（名）11053255701531210(1)從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理?化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，已知該生的物理成績(jī)等級(jí)為，估計(jì)該生的化學(xué)成績(jī)等級(jí)為的概率；(2)從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理?化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，以表示這2人中物理?化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（以上表中物理?化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的頻率作為每名學(xué)生物理?化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的概率）；(3)記抽取的330名學(xué)生在這次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分150分）的方差為，排名前的成績(jī)方差為，排名后的成績(jī)方差為，則不可能同時(shí)大于和，這種判斷是否正確.（直接寫出結(jié)論）.變式題9提升37．人類常見的遺傳病類型主要分為單基因遺傳病、多基因遺傳病和染色體異常遺傳病三大類，高度近視（600度以上）、紅綠色盲都是較常見的單基因遺傳?。硨W(xué)校課后實(shí)踐活動(dòng)對(duì)學(xué)生這兩種遺傳病情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，分別從男、女同學(xué)中各隨機(jī)抽取100人進(jìn)行調(diào)查，對(duì)患病情況統(tǒng)計(jì)如下，其中“√”表示是，“×”表示否．人數(shù)男生高度近視紅綠色盲3√×√2√√×1√√√1××√2×√×(1)分別估計(jì)該校男生紅綠色盲的發(fā)病率和該校女生紅綠色盲的發(fā)病率；(2)為做家庭訪問，從已調(diào)查出患紅綠色盲的同學(xué)中任選兩人，記這兩人中男同學(xué)人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)該校男生人數(shù)為1500，女生人數(shù)為2500，試估計(jì)該校學(xué)生高度近視發(fā)病率與該校學(xué)生紅綠色盲發(fā)病率的大小關(guān)系，并說明理由．（注：）變式題10提升38．2021年是北京城市軌道交通新線開通的“大年”，開通線路的條?段數(shù)為歷年最多.12月31日首班車起，地鐵19號(hào)線一期開通試運(yùn)營(yíng).地鐵19號(hào)線一期全長(zhǎng)約22公里，共設(shè)10座車站，此次開通牡丹園?積水潭?牛街?草橋?新發(fā)地?新宮共6座車站.在試運(yùn)營(yíng)期間，地鐵公司隨機(jī)選取了乘坐19號(hào)線一期的名乘客，記錄了他們的乘車情況，得到下表（單位：人）：下車站上車站牡丹園積水潭牛街草橋新發(fā)地新宮合計(jì)牡丹園///5642724積水潭12///20137860牛街57///38124草橋1399///1638新發(fā)地410162///335新宮25543///19合計(jì)363656262125200(1)在試運(yùn)營(yíng)期間，從在積水潭站上車的乘客中任選一人，估計(jì)該乘客在牛街站下車的概率；(2)在試運(yùn)營(yíng)期間，從在積水潭站上車的所有乘客中隨機(jī)選取三人，設(shè)其中在牛街站下車的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望；(3)為了研究各站客流量的相關(guān)情況，用表示所有在積水潭站上下車的乘客的上?下車情況，“”表示上車，“”表示下車.相應(yīng)地，用，分別表示在牛街，草橋站上?下車情況，直接寫出方差，，大小關(guān)系.變式題11提升39．2022年冬奧會(huì)在北京舉行，冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”自亮相以來就好評(píng)不斷，出現(xiàn)了“一墩難求”的現(xiàn)象.主辦方現(xiàn)委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀(jì)念品在專賣店進(jìn)行售賣.已知這款紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為80元/件，為了確定其銷售價(jià)格，調(diào)查了對(duì)這款紀(jì)念品有購買意向的消費(fèi)者（以下把對(duì)該紀(jì)念品有購買意向的消費(fèi)者簡(jiǎn)稱為消費(fèi)者）的心理價(jià)位，并將收集的100名消費(fèi)者的心理價(jià)位整理如下：心理價(jià)位（元/件）90100110120人數(shù)10205020假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)這款紀(jì)念品的銷售價(jià)格小于或等于某位消費(fèi)者的心理價(jià)位時(shí)，該消費(fèi)者就會(huì)購買該紀(jì)念品.公司為了滿足更多消費(fèi)者的需求，規(guī)定每位消費(fèi)者最多只能購買一件該紀(jì)念品.設(shè)這款紀(jì)念品的銷售價(jià)格為x（單位：元/件），，且每位消費(fèi)者是否購買該紀(jì)念品相互獨(dú)立.用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，頻率視為概率.(1)若，試估計(jì)消費(fèi)者購買該紀(jì)念品的概率；(2)在（1）的前提下，某時(shí)段有4名消費(fèi)者進(jìn)店，X為這一時(shí)段該紀(jì)念品的購買人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)共有M名消費(fèi)者，設(shè)該公司售賣這款紀(jì)念品所得總利潤(rùn)為Y（單位：元），當(dāng)該紀(jì)念品的銷售價(jià)格x定為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？變式題12提升40．小明所在學(xué)習(xí)小組開展社會(huì)調(diào)查，記錄了某快餐連鎖店每天騎手的人均業(yè)務(wù)量．現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)隨機(jī)選取一天，估計(jì)這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率；(2)將上圖中的頻率作為相應(yīng)的概率，從該連鎖店的騎手中任意選3人，記其中業(yè)務(wù)量不少于65單的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．(3)如果該連鎖店的騎手每送1單可以提成3元，試估計(jì)一名騎手每天的收入．并說明理由．2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題變式題16-1原題161．在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．變式題1基礎(chǔ)2．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求B；(2)若，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng).變式題2基礎(chǔ)3．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng)．變式題3基礎(chǔ)4．在中，角的對(duì)邊分別為，.(1)求角；(2)若，面積，求△的周長(zhǎng).變式題4基礎(chǔ)5．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的值；(2)若2a+b=6，且的面積為，求的周長(zhǎng).變式題5鞏固6．已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且.(1)求角的大??；(2)若，且，求的周長(zhǎng).變式題6鞏固7．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量，，且(1)求A；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng)．變式題7鞏固8．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.(1)求B；(2)若，面積為，求周長(zhǎng).變式題8鞏固9．在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且.(1)求角的大??；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng).變式題9提升10．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．(1)求A；(2)若點(diǎn)D在BC邊上，AD平分BAC，且，求的周長(zhǎng)．變式題10提升11．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求角A的大??；(2)若AD為的平分線，且，，求的周長(zhǎng).變式題11提升12．在中，角A，，的對(duì)邊分別是，，，且向量和向量互相垂直．(1)求角的大小；(2)若外接圓的半徑是1，面積是，求的周長(zhǎng)．變式題12提升13．在中，(1)求角A的大小(2)若BC邊上的中線，且，求的周長(zhǎng)原題1714．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．變式題1基礎(chǔ)15．如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，.再從條件①：、條件②：、條件③：平面平面、中選擇兩個(gè)能解決下面問題的條件作為已知，并作答.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式題2基礎(chǔ)16．如圖，四棱錐中，平面，四邊形是矩形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，若，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式題3基礎(chǔ)17．如圖，在四棱錐中，，，平面ABCD，，M為PC的中點(diǎn).(1)求證：平面PAD；(2)設(shè)點(diǎn)N在平面PAD內(nèi)，且平面PBD，求直線BN與平面ABCD所成角的正弦值.變式題4鞏固18．在①平面平面，②，③平面這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并作答.如圖，在四棱錐中，底面是梯形，點(diǎn)在上，，，，，且______.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.變式題5鞏固19．如圖，在四棱錐中，平面，，，，為中點(diǎn)，___.(1)求證：四邊形是直角梯形；(2)并求直線與平面所成角的正弦值.從①；②平面這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中，并完成解答.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.變式題6鞏固20．如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，，點(diǎn)為棱上動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），平面與棱交于點(diǎn).(1)求證：；(2)若，從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)條件作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：平面平面；條件②：；條件③：.變式題7鞏固21．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，丄平面，且，，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式題8鞏固22．如圖，在直三棱柱中，D，E分別是棱AB，的中點(diǎn)，，．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得各條件相融．并求直線與平面所成的角的正弦值．條件①：；條件②：；條件③：到平面的距離為1．變式題9鞏固23．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．變式題10提升24．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，為的中點(diǎn).（1）證明:平面;（2）在①，②這兩個(gè)條件中任一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并作答.若________，求與平面所成的角.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.變式題11提升25．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，E為PB的中點(diǎn)，______．從①；②平面PAD這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題的橫線中，并完成解答．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答按第一個(gè)解答計(jì)分．(1)求證：四邊形ABCD是直角梯形．(2)求直線AE與平面PCD所成角的正弦值．(3)在棱PB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．變式題12提升26．如圖，在四棱錐中，已知底面為直角梯形，，，，平面平面，，.(1)從下列條件①?條件②中再選擇一個(gè)作為已知條件，求證：平面PAB；條件①：E，F(xiàn)分別為棱PD，BC的中點(diǎn)；條件②：E，F(xiàn)分別為棱PC，AD的中點(diǎn).(2)若點(diǎn)M在棱PD（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為何值時(shí)，直線CM與平面PAD所成角的正弦值為.變式題13提升27．已知底面為菱形的四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面平面ABCD，E，F(xiàn)分別是棱PC，AB上的點(diǎn).(1)從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立；①F是AB的中點(diǎn)；②E是PC的中點(diǎn)；③平面PFD.(2)若.求PB與平面PDC所成角的正弦值.原題1828．在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）變式題1基礎(chǔ)29．某地區(qū)為了實(shí)現(xiàn)產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型發(fā)展，利用當(dāng)?shù)芈糜钨Y源豐富多樣的特點(diǎn)，決定大力發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，一方面對(duì)現(xiàn)有旅游資源進(jìn)行升級(jí)改造，另一方面不斷提高旅游服務(wù)水平．為此該地區(qū)旅游部門，對(duì)所推出的報(bào)團(tuán)游和自助游項(xiàng)目進(jìn)行了深入調(diào)查，如表是該部門從去年某月到該地區(qū)旅游的游客中，隨機(jī)抽取的100位游客的滿意度調(diào)查表．滿意度老年人中年人青年人報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游滿意121184156一般2164412不滿意116232（1）由表中的數(shù)據(jù)分析，老年人、中年人和青年人這三種人群中，哪一類人群更傾向于選擇報(bào)團(tuán)游？（2）為了提高服務(wù)水平，該旅游部門要從上述樣本里滿意度為“不滿意”的游客中，隨機(jī)抽取3人征集整改建議，記表示這3人中老年人的人數(shù)，求的分布列和期望；（3）若你朋友要到該地區(qū)旅游，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你會(huì)建議他選擇哪種旅游項(xiàng)目？變式題2基礎(chǔ)30．某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過的包裹收費(fèi)元；重量超過的包裹，除收費(fèi)元之外，超過的部分，每超出(不足，按計(jì)算)需再收元.該公司將最近承攬的件包裹的重量統(tǒng)計(jì)如表：包裹重量（單位：）包裹件數(shù)公司對(duì)近天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如表：包裹件數(shù)范圍包裹件數(shù)（近似處理）天數(shù)以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.（）計(jì)算該公司未來天攬件數(shù)在之間的概率；（）①估計(jì)該公司對(duì)每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值；②公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺(tái)工作人員的工資和公司利潤(rùn)，剩余的用作其他費(fèi)用.目前前臺(tái)有工作人員人，每人每天攬件不會(huì)超過件，且日工資為元.公司正在考慮是否將前臺(tái)工作人員裁減人，試計(jì)算裁員前后公司每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，并判斷裁員是否對(duì)提高公司利潤(rùn)更有利?變式題3基礎(chǔ)31．近期，某中學(xué)全體學(xué)生參加了“全國(guó)節(jié)約用水大賽”活動(dòng)．現(xiàn)從參加該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了男、女各25名學(xué)生，將他們的成績(jī)（單位：分）記錄如下：成績(jī)男生（人數(shù)）25891女生（人數(shù)）ab1032（1）在抽取的50名學(xué)生中，從大賽成績(jī)?cè)?0分以上的人中隨機(jī)取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分?jǐn)?shù)段不同的概率；（2）從該校參加活動(dòng)的男學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中大賽成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）試確定a、b為何值時(shí)，使得抽取的女生大賽成績(jī)方差最小．（只寫出結(jié)論，不需要說明理由）變式題4基礎(chǔ)32．《中華人民共和國(guó)老年人權(quán)益保障法》規(guī)定，老年人的年齡起點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)是60周歲．為解決老年人打車難問題，許多公司均推出老年人一鍵叫車服務(wù)．某公司為調(diào)查老年人對(duì)打車軟件的使用情況，在某地區(qū)隨機(jī)抽取了100位老年人，調(diào)查結(jié)果整理如下：年齡/歲80歲以上使用過打車軟件人數(shù)41201151未使用過打車軟件人數(shù)13963(1)從該地區(qū)的老年人中隨機(jī)抽取1位，試估計(jì)該老年人的年齡在且未使用過打車軟件的概率；(2)從參與調(diào)查的年齡在且使用過打車軟件的老年人中，隨機(jī)抽取2人進(jìn)一步了解情況，用X表示這2人中年齡在的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)為鼓勵(lì)老年人使用打車軟件，該公司擬對(duì)使用打車軟件的老年人贈(zèng)送1張10元的代金券，若該地區(qū)有5000位老年人，用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)該公司至少應(yīng)準(zhǔn)備多少張代金券．變式題5鞏固33．自由購是通過自助結(jié)算方式購物的一種形式.某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購的情況，隨機(jī)抽取了100人，統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下：20以下70以上使用人數(shù)312176420未使用人數(shù)003143630（Ⅰ）現(xiàn)隨機(jī)抽取1名顧客，試估計(jì)該顧客年齡在且未使用自由購的概率；（Ⅱ）從被抽取的年齡在使用自由購的顧客中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況，用表示這3人中年齡在的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）為鼓勵(lì)顧客使用自由購，該超市擬對(duì)使用自由購的顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購物袋.若某日該超市預(yù)計(jì)有5000人購物，試估計(jì)該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購物袋.變式題6鞏固34．某企業(yè)為了解職工款A(yù)PP和款A(yù)PP的用戶量情況，對(duì)本單位職工進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男職工女職工使用不使用使用不使用款A(yù)PP72人48人40人80人款A(yù)PP60人60人84人36人假設(shè)所有職工對(duì)兩款A(yù)PP是否使用相互獨(dú)立.（1）分別估計(jì)該企業(yè)男職工使用款A(yù)PP的概率?該企業(yè)女職工使用款A(yù)PP的概率；（2）從該企業(yè)男，女職工中各隨機(jī)抽取1人，記這2人中使用款A(yù)PP的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）據(jù)電商行業(yè)發(fā)布的市場(chǎng)分析報(bào)告顯示，款A(yù)PP的用戶中男性占%?女性占%；款A(yù)PP的用戶中男性占%?女性占%.試分析該企業(yè)職工使用款A(yù)PP的男?女用戶占比情況和使用款A(yù)PP的男?女用戶占比情況哪一個(gè)與市場(chǎng)分析報(bào)告中的男?女用戶占比情況更相符.變式題7鞏固35．某調(diào)研機(jī)構(gòu)就該市工薪階層對(duì)“樓市限購令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，抽調(diào)了5000名市民，他們?cè)率杖肴藬?shù)分布表和對(duì)“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表：月收入(單位：百元)調(diào)查人數(shù)500100015001000500500贊成人數(shù)40080012004149987（1）若從抽調(diào)的5000名市民中隨機(jī)選取一名市民，求該市民贊成“樓市限購令”的概率；（2）依據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，若從該市工薪階層隨機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若從抽調(diào)的收入在(百元)的市民中隨機(jī)抽取兩名，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為，期望記作；若從抽調(diào)的收入在(百元)的市民中隨機(jī)抽取兩名，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為，期望記作，比較與的大小關(guān)系.(直接寫出結(jié)論即可)變式題8鞏固36．北京市某區(qū)針對(duì)高三年級(jí)的一次測(cè)試做調(diào)研分析，隨機(jī)抽取同時(shí)選考物理?化學(xué)的學(xué)生330名，下表是物理?化學(xué)成績(jī)等級(jí)和人數(shù)的數(shù)據(jù)分布情況：物理成績(jī)等級(jí)化學(xué)成績(jī)等級(jí)人數(shù)（名）11053255701531210(1)從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理?化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，已知該生的物理成績(jī)等級(jí)為，估計(jì)該生的化學(xué)成績(jī)等級(jí)為的概率；(2)從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理?化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，以表示這2人中物理?化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（以上表中物理?化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的頻率作為每名學(xué)生物理?化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的概率）；(3)記抽取的330名學(xué)生在這次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分150分）的方差為，排名前的成績(jī)方差為，排名后的成績(jī)方差為，則不可能同時(shí)大于和，這種判斷是否正確.（直接寫出結(jié)論）.變式題9提升37．人類常見的遺傳病類型主要分為單基因遺傳病、多基因遺傳病和染色體異常遺傳病三大類，高度近視（600度以上）、紅綠色盲都是較常見的單基因遺傳?。硨W(xué)校課后實(shí)踐活動(dòng)對(duì)學(xué)生這兩種遺傳病情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，分別從男、女同學(xué)中各隨機(jī)抽取100人進(jìn)行調(diào)查，對(duì)患病情況統(tǒng)計(jì)如下，其中“√”表示是，“×”表示否．人數(shù)男生高度近視紅綠色盲3√×√2√√×1√√√1××√2×√×(1)分別估計(jì)該校男生紅綠色盲的發(fā)病率和該校女生紅綠色盲的發(fā)病率；(2)為做家庭訪問，從已調(diào)查出患紅綠色盲的同學(xué)中任選兩人，記這兩人中男同學(xué)人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)該校男生人數(shù)為1500，女生人數(shù)為2500，試估計(jì)該校學(xué)生高度近視發(fā)病率與該校學(xué)生紅綠色盲發(fā)病率的大小關(guān)系，并說明理由．（注：）變式題10提升38．2021年是北京城市軌道交通新線開通的“大年”，開通線路的條?段數(shù)為歷年最多.12月31日首班車起，地鐵19號(hào)線一期開通試運(yùn)營(yíng).地鐵19號(hào)線一期全長(zhǎng)約22公里，共設(shè)10座車站，此次開通牡丹園?積水潭?牛街?草橋?新發(fā)地?新宮共6座車站.在試運(yùn)營(yíng)期間，地鐵公司隨機(jī)選取了乘坐19號(hào)線一期的名乘客，記錄了他們的乘車情況，得到下表（單位：人）：下車站上車站牡丹園積水潭牛街草橋新發(fā)地新宮合計(jì)牡丹園///5642724積水潭12///20137860牛街57///38124草橋1399///1638新發(fā)地410162///335新宮25543///19合計(jì)363656262125200(1)在試運(yùn)營(yíng)期間，從在積水潭站上車的乘客中任選一人，估計(jì)該乘客在牛街站下車的概率；(2)在試運(yùn)營(yíng)期間，從在積水潭站上車的所有乘客中隨機(jī)選取三人，設(shè)其中在牛街站下車的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望；(3)為了研究各站客流量的相關(guān)情況，用表示所有在積水潭站上下車的乘客的上?下車情況，“”表示上車，“”表示下車.相應(yīng)地，用，分別表示在牛街，草橋站上?下車情況，直接寫出方差，，大小關(guān)系.變式題11提升39．2022年冬奧會(huì)在北京舉行，冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”自亮相以來就好評(píng)不斷，出現(xiàn)了“一墩難求”的現(xiàn)象.主辦方現(xiàn)委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀(jì)念品在專賣店進(jìn)行售賣.已知這款紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為80元/件，為了確定其銷售價(jià)格，調(diào)查了對(duì)這款紀(jì)念品有購買意向的消費(fèi)者（以下把對(duì)該紀(jì)念品有購買意向的消費(fèi)者簡(jiǎn)稱為消費(fèi)者）的心理價(jià)位，并將收集的100名消費(fèi)者的心理價(jià)位整理如下：心理價(jià)位（元/件）90100110120人數(shù)10205020假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)這款紀(jì)念品的銷售價(jià)格小于或等于某位消費(fèi)者的心理價(jià)位時(shí)，該消費(fèi)者就會(huì)購買該紀(jì)念品.公司為了滿足更多消費(fèi)者的需求，規(guī)定每位消費(fèi)者最多只能購買一件該紀(jì)念品.設(shè)這款紀(jì)念品的銷售價(jià)格為x（單位：元/件），，且每位消費(fèi)者是否購買該紀(jì)念品相互獨(dú)立.用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，頻率視為概率.(1)若，試估計(jì)消費(fèi)者購買該紀(jì)念品的概率；(2)在（1）的前提下，某時(shí)段有4名消費(fèi)者進(jìn)店，X為這一時(shí)段該紀(jì)念品的購買人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)共有M名消費(fèi)者，設(shè)該公司售賣這款紀(jì)念品所得總利潤(rùn)為Y（單位：元），當(dāng)該紀(jì)念品的銷售價(jià)格x定為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？變式題12提升40．小明所在學(xué)習(xí)小組開展社會(huì)調(diào)查，記錄了某快餐連鎖店每天騎手的人均業(yè)務(wù)量．現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)隨機(jī)選取一天，估計(jì)這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率；(2)將上圖中的頻率作為相應(yīng)的概率，從該連鎖店的騎手中任意選3人，記其中業(yè)務(wù)量不少于65單的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．(3)如果該連鎖店的騎手每送1單可以提成3元，試估計(jì)一名騎手每天的收入．并說明理由．參考答案：1．(1)(2)【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長(zhǎng).（1）解：因?yàn)椋瑒t，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長(zhǎng)為.2．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式即可求出，進(jìn)而求出；（2）根據(jù)余弦定理可得到，再根據(jù)三角形面積公式得到，即可求出，進(jìn)而求出的周長(zhǎng).（1）解：由及正弦定理得，∴，∵，∴，∵，∴.（2）解：由（1）及已知得，∴，由余弦定理知，∴，∴，∴△ABC的周長(zhǎng)為.3．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理得到，從而求出；（2）利用面積公式求出，進(jìn)而用余弦定理求出，求出周長(zhǎng).（1）由正弦定理得：，即，因?yàn)?，所以因?yàn)椋?，故，因?yàn)?，所以?）由面積公式得：，解得：，由余弦定理得：將，代入，求得：，故的周長(zhǎng)為4．(1)；(2)【分析】（1）由正弦定理邊角互化化簡(jiǎn)計(jì)算；（2）由面積公式結(jié)合余弦定理代入求解，即可得周長(zhǎng).（1）在中，∵，∴由正弦定理可得．又∵，，∴．整理得．∵，∴，．∴．（2）∵，∴，即，亦即．又由余弦定理知，∴．∴．∴．∴的周長(zhǎng)為．5．(1)(2)6或【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合，代換整理得，再結(jié)合倍角公式整理；（2）根據(jù)面積公式代入整理得，結(jié)合題意可得或，分情況討論處理．（1）∵，則∵∴，即∵，則∴（2）∵△ABC的面積為，則∴根據(jù)題意得，則或若，則△ABC為等邊三角形，的周長(zhǎng)為6；若，則，即，的周長(zhǎng)為∴的周長(zhǎng)為6或6．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合余弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，進(jìn)而可求得的周長(zhǎng).（1）解：由，利用正弦定理可得，化為，所以，，，.（2）解：，且，所以，，由余弦定理可得，所以，，解得，因此，周長(zhǎng)為.7．(1)；(2).【分析】（1）由題意，再由正弦定理化簡(jiǎn)得，可得A；（2）由余弦定理得，再由三角形面積公式得，即可求，進(jìn)而得出的周長(zhǎng)．（1）由，則，由正弦定理得：，在中，故，即，因?yàn)椋?；?）由余弦定理得，即，可得，又，得，則，即，所以的周長(zhǎng)為8．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理和兩角和公式即可得到結(jié)果（2）根據(jù)三角形面積公式以及余弦定理即可得到結(jié)果（1）因?yàn)?，由正弦定理：，得，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，?（2）由題意知，∴由余弦定理得，又∵，，∴∴，故，所以的周長(zhǎng).9．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得結(jié)果；（2）利用三角形的面積公式結(jié)合已知條件可求得、的值，再利用余弦定理可求得的值，即可得出的周長(zhǎng).（1）解：因?yàn)椋烧叶ɡ?又，，所以，所以.（2）解：因?yàn)椋?，又，所以，，由余弦定理可得，所?所以的周長(zhǎng)為.10．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換求出角即可；（2）利用角平分線分三角形面積等于兩個(gè)小三角形面積之和得出等式，再用余弦定理聯(lián)立求解周長(zhǎng)即可.（1）由正弦定理得，在中，，化簡(jiǎn)為，又，，又；（2）依題意得，即，由余弦定理得，，解得的周長(zhǎng)為.11．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理將邊化為角，結(jié)合三角恒等式的化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）通過三角形面積公式可得，，結(jié)合余弦定理求出即可得出周長(zhǎng).（1）∵，由正弦定理可得，即，化簡(jiǎn)得，又∵在中，，∴，即，∴，結(jié)合，可知.（2）∵AD為的平分線，，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為.12．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，并結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；（2）根據(jù)正弦定理可得，在結(jié)合面積公式和余弦定理運(yùn)算處理，注意的使用．（1）因?yàn)椋ハ啻怪?，所以，則．由余弦定理得．因?yàn)?，所以．?）∵，則因?yàn)?，所以．即，則，因此，即．故的周長(zhǎng)．13．(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理可求角的大?。唬?）由面積公式可得，再在和中，由余弦定理可得，最后用完全平方公式可求的值，即可求得三角形的周長(zhǎng).（1）由已知，由正弦定理得：，由余弦定理得：，在中，因?yàn)椋?；?）由，得①，由（1）知，即②，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，因?yàn)椋寓?，由①②③，得，所以，所以的周長(zhǎng).14．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面平面，從而可證平面.（2）選①②均可證明平面，從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求線面角的正弦值.（1）取的中點(diǎn)為，連接，由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，而，則，而平面，平面，故平面，而，則，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，（2）因?yàn)閭?cè)面為正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因?yàn)椋势矫?，因?yàn)槠矫?，故，若選①，則，而，，故平面，而平面，故，所以，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.若選②，因?yàn)?，故平面，而平面，故，而，故，而，，故，所以，故，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)所選的條件，應(yīng)用勾股定理易得，再由線面垂直的判定、面面垂直的性質(zhì)證結(jié)論即可.（2）構(gòu)建為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由已知確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，再求直線的方向向量、面的法向量，進(jìn)而應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面所成角的正弦值.（1）選①②：由，，，易知：，又，，面，則面；選①③：由，，，易知：.又面面，面面，面，∴平面（2）由（1）知：，，又四邊形是正方形，則，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，即令，則，，即，設(shè)直線與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，可證得四邊形為平行四邊形，得，由線面平行的判定即可得到結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量求法可求得結(jié)果.（1）取中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)，，；四邊形為矩形，為中點(diǎn)，，；且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，即直線與平面所成角的正弦值為.17．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取PD的中點(diǎn)E，連接EM，AE，易證ABME是平行四邊形，則，根據(jù)線面平行的判定即可證結(jié)論.（2）（法一）利用線面垂直的性質(zhì)及判定可得面ABME，作交AE于點(diǎn)N，易證面PBD，則，根據(jù)相似比求出N的位置，由線面角的定義求線面角的大?。唬ǚǘ?gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)平面PBD求出參數(shù)，進(jìn)而求、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線BN與平面ABCD所成角的正弦值.（1）取PD的中點(diǎn)E，連接EM，AE，則且，而，，則，又，所以，，從而四邊形ABME是平行四邊形，故.因?yàn)槠矫鍼AD，平面PAD，所以平面PAD.（2）當(dāng)N為AE的中點(diǎn)時(shí)，面PBD，理由如下：（法一）面ABCD，面ABCD，，又，，平面PAD，所以面PAD，而面PAD，則，又，E是PD的中點(diǎn)，即，而，面ABME，所以面ABME，在面ABME中作交AE于點(diǎn)N，所以，又，面PBD，所以面PBD，易知：，而，，，即，而，N為AE的中點(diǎn)時(shí)，面PBD.作于G，則面，是BN與平面ABCD所成角，因?yàn)?，，，則.即直線BN與平面AD所成角的正弦值為.（法二）易得AP，AB，AD兩兩垂直，故以A為原點(diǎn)，直線AB為x軸，直線AD為y軸，直線AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1).設(shè)，則，，.因?yàn)槠矫鍼BD，故，可得.，又平面的法向量為，設(shè)BN與平面ABCD所成角為，則.即直線BN與平面ABCD所成角的正弦值為.18．選條件①（1）證明見解析；（2）；選條件②（1）證明見解析；（2）；選條件③（1）證明見解析；（2）.【分析】若選①：（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系結(jié)合向量法證明和線面垂直的判定定理，可證平面，根據(jù)面面垂直判定定理，即可證明平面平面；（2）由（1）可得平面的一個(gè)法向量為，再利用向量法結(jié)合線面所成角正弦公式即可求解直線與平面所成角的正弦值.若選②：根據(jù)線面垂直的判定定理，可證明平面；建立空間直角坐標(biāo)系結(jié)合向量法證明和線面垂直的判定定理，可證平面，根據(jù)面面垂直判定定理，即可證明平面平面；（2）由（1）可得平面的一個(gè)法向量為，再利用向量法結(jié)合線面所成角正弦公式即可求解直線與平面所成角的正弦值.若選③：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可得，又，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系結(jié)合向量法證明和線面垂直的判定定理，可證平面，根據(jù)面面垂直判定定理，即可證明平面平面；（2）由（1）可得平面的一個(gè)法向量為，再利用向量法結(jié)合線面所成角正弦公式即可求解直線與平面所成角的正弦值.【詳解】方案一：選條件①.（1）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面.又，∴，，兩兩垂直.以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，.∵，，∴，.又，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）由（1）可得平面的一個(gè)法向量為，又，設(shè)直線與平面所成角為，則.方案二：選條件②.（1）∵底面為梯形，，∴兩腰，必相交.又，，，平面，∴平面.又，∴，，兩兩垂直.以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，.∵，，∴，.又，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）由（1）可得平面的一個(gè)法向量為，又，設(shè)直線與平面所成角為，則.方案三：選條件③.（1）∵平面，平面，∴.又，，平面，，∴平面.又，∴，，兩兩垂直.以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，.∵，，∴，.又，∴平面.又平面，∴平面平面（2）由（1）可得平面的一個(gè)法向量為，又，設(shè)直線與平面所成角為，則.(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】選擇①.(1)由平面可得，由勾股定理可得.再由線面垂直的判定可得平面，從而得到進(jìn)而得到.即四邊形是直角梯形.(2)以為坐標(biāo)系原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面的法向量與的坐標(biāo)，再由兩向量所成角的余弦值可得直線與平面所成的角的正弦值.選擇②。(1)由平面可得，由勾股定理可得.再由線面垂直的判定可得平面，從而得到，再由平面,得，即得四邊形是直角梯形.(2)同(1)（1）選擇①.(1)證明：如圖所示因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以又因?yàn)椋?，即又因?yàn)樗云矫妫杂忠驗(yàn)?，所以又因?yàn)樗运倪呅问侵苯翘菪?選擇②.因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)椋杂忠驗(yàn)?，，即又因?yàn)樗云矫?，所以又因?yàn)槠矫?，平面，平面∩平面所以，又因?yàn)樗运倪呅问侵苯翘菪危?）選擇①.(2)過作的垂線交于點(diǎn)，由題意易知，，故以為坐標(biāo)系原點(diǎn)，以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意知，，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知，所以，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，得設(shè)直線與平面所成的角為，所以所以直線與平面所成角的正弦值為選擇②.解法同①20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由棱柱的性質(zhì)可得，即可得到平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)證明即可；（2）選條件①②，連接，取中點(diǎn)，連接，，即可得到，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，再由，即可建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角的正弦值；選條件②③，連接，取中點(diǎn)，連接，，依題意可得，再由勾股定理逆定理得到，即可得到平面，接下來同①②；選條件①③，取中點(diǎn)，連接，，即可得到，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而得到，再由勾股定理逆定理得到接下來同①②；（1）證明：在三棱柱中，，又平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所?（2）解：選條件①②.連接，取中點(diǎn)，連接，.在菱形中，，所以為等邊三角形.又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，且，所以平面，平面，所?又因?yàn)?，所?以為原點(diǎn)，以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以令，則，，故.又因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成角為，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.選條件②③.連接，取中點(diǎn)，連接，.在菱形中，，所以為等邊三角形.又為中點(diǎn)，故，且.又因?yàn)椋?所以，所以.又因?yàn)椋云矫?以下同選①②.選條件①③取中點(diǎn)，連接，.在中，因?yàn)?，所以，且?又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?在中，.又因?yàn)?，，所以，所?以下同選①②.21．(1)證明見解析(2)【分析】(1)連接BD交AC于F點(diǎn)，連接EF，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，利用線面平行的判定定理即可證明；(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，易知為為平面PAB的一個(gè)法向量，利用空間向量的坐標(biāo)表示求出和，結(jié)合空間向量的數(shù)量積的定義即可得出結(jié)果.（1）連接BD交AC于F點(diǎn)，連接EF，在中，∵EF是中位線，∴．又∵平面AEC，平面AEC，∴平面AEC．（2）由題意知，AC，AB，AP兩兩互相垂直，如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AC，AB，AP分別為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．則，，，∴，易知平面PAB的一個(gè)法向量為，設(shè)直線CE與平面PAB所成角為，則．∴直線CE與平面PAB所成角的正弦值為．22．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理及平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理即可求解；（2）選擇①，根據(jù)直棱柱的定義及線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，建立空間直角坐標(biāo)系，得出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平面的法向量，再利用向量的夾角公式，進(jìn)而可以求出線面角的正弦值.選擇②，根據(jù)直棱柱的定義及線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，建立空間直角坐標(biāo)系，得出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平面的法向量，再利用向量的夾角公式，進(jìn)而可以求出線面角的正弦值.選擇③，根據(jù)直棱柱的定義及直線到平面的距離的定義，再利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，建立空間直角坐標(biāo)系，得出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平面的法向量，再利用向量的夾角公式，進(jìn)而可以求出線面角的正弦值.（1）取的中點(diǎn)為，連接.分別是，的中點(diǎn),.D是的中點(diǎn)，直三棱柱，.，.四邊形為平行四邊形.又平面，平面，所以平面.（2）選擇條件①：；直三棱柱，平面，平面，，，平面，所以平面.而平面.又，.以為原點(diǎn)，分別以所在方向?yàn)檩S，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，，設(shè)直線DE與平面所成的角為，則.所以直線DE與平面所成的角的正弦值為.選擇條件②：；取的中點(diǎn)為，連接.直三棱柱，分別是，的中點(diǎn),平面，平面，，，平面，所以平面.而平面..分別是，的中點(diǎn),，.以為原點(diǎn)，分別以所在方向?yàn)檩S，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，，設(shè)直線DE與平面所成的角為，則.所以直線DE與平面所成的角的正弦值為.選擇條件③：到平面的距離為1．過點(diǎn)作,垂足為，直三棱柱，平面，平面，，，平面，所以平面.平面.所以由（1）知平面；因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為1，所以.又，所以又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),,所以是的中點(diǎn),.又，.以為原點(diǎn)，分別以所在方向?yàn)檩S，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，，設(shè)直線DE與平面所成的角為，則.所以直線DE與平面所成的角的正弦值為.23．(1)證明見解析(2)【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用向量法證明線面平行；（2）利用向量法求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明:以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,則,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,則平面的一個(gè)法向量為,平面（2）由（1）得,設(shè)直線與平面所成角為.直線與平面所成角的正弦值為.24．（1）證明見解析；（2）【分析】（1）連接，交于，連接，根據(jù)可證；（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，利用向量關(guān)系可求.【詳解】（1）連接，交于，連接，底面是菱形，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，平面，平面，平面；（2）選①：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，底面是菱形，，，，則，設(shè)平面的法向量為，則，取可得，設(shè)與平面所成的角為，則，所以與平面所成的角為；選②：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，取中點(diǎn)，連接，底面是菱形，，，平面，為的中點(diǎn)，，平面，，，，則，設(shè)平面的法向量為，則，取可得，設(shè)與平面所成的角為，則，所以與平面所成的角為；25．(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】選擇①：（1）由平面，可得，再由線面垂直的判定可得平面，則，進(jìn)一步得到，由此能證明四邊形是直角梯形．（2）過作的垂線，交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量與的坐標(biāo)，再由兩向量所成角的余弦值可得直線與平面所成角的正弦值．（3）設(shè)，利用，可求出．選擇②：（1）由平面，可得，再由線面垂直的判定可得平面，則，再由平面，得，由此能證明四邊形是直角梯形．（2）過作的垂線，交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量與的坐標(biāo)，再由兩向量所成角的余弦值可得直線與平面所成角的正弦值．（3）設(shè)，利用，可求出．（1）解：選擇①：證明：平面，平面，，，因?yàn)椋?，，，，，平面，平面，平面，，，，四邊形是直角梯形．選擇②：證明：平面，平面，，，，，，，，，平面，平面，平面，，，四邊形是直角梯形．（2）解：過作的垂線交于點(diǎn)，平面，，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，2，，，0，，，，，為的中點(diǎn)，，，，，，，，2，，，2，，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，得，1，，設(shè)直線與平面所成角為，則，．直線與平面所成角的正弦值為．（3）解：設(shè)，則，，，，，，，，平面，，，解得．故存在點(diǎn)F，且．26．(1)證明見解析(2)【分析】（1）若選條件①，取AD的中點(diǎn)為G，連接EG，GF，則∥，∥，從而由面面平行的判定定理和性質(zhì)定理可得結(jié)論，若選條件②，取BC的中點(diǎn)為G，連接EG，GF，則∥，∥，從而由面面平行的判定定理和性質(zhì)定理可得結(jié)論，（2）取AB中點(diǎn)為O，連接PO，CO，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖，利用空間向量求解即可（1）若選條件①，取AD的中點(diǎn)為G，連接EG，GF，則，，因?yàn)槠矫妫矫?，平面，平面，所以∥平面，∥平面，因?yàn)?，所以平面∥平面，又因?yàn)槠矫?，所以∥平面PAB.若選條件②，取BC的中點(diǎn)為G，連接EG，GF，則∥，∥，因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，因?yàn)?，所以平面∥平面PAB，又因?yàn)槠矫鍱FG，所以∥平面PAB.（2）取AB中點(diǎn)為O，連接PO，CO，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫鍼AB，平面平面ABCD，平面平面所以平面ABCD，又因?yàn)?，，，所以，又因?yàn)?，，為AB中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)?，所以四邊形OADC為矩形，所以，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，，，，所以，又因?yàn)镸在PD上，所以存在，使，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，，設(shè)平面PAD的法向量，則，所以，取，則.所以.設(shè)直線CM與平面PAD所成角為，則，故，所以或，又因?yàn)?，所以，?27．(1)答案見解析(2)【分析】（1）選①F是AB的中點(diǎn)，②E是PC的中點(diǎn)為已知條件，證明③平面PFD；取的中點(diǎn)，連接，可得四邊形是平行四邊形，，由線面平行的判定定理可得平面PFD；選②E是PC的中點(diǎn)，③平面PFD為已知條件證明①F是AB的中點(diǎn)；取的中點(diǎn)，連接，可得，再由線面平行的性質(zhì)定理可得，所以四邊形是平行四邊形，，由可得答案；選①F是AB的中點(diǎn)，③平面PFD為已知條件，證明②E是PC的中點(diǎn)；取的中點(diǎn)，連接，得四邊形是平行四邊形，，由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性質(zhì)定理可得答案.（2）取的中點(diǎn)，連接，可得，由平面平面ABCD，可得平面，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由線面角的向量求法可得答案.（1）選①F是AB的中點(diǎn)，②E是PC的中點(diǎn)為已知條件，證明③平面PFD，取的中點(diǎn)，連接，所以，，，所以四邊形是平行四邊形，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面PFD.選②E是PC的中點(diǎn)，③平面PFD為已知條件，證明①F是AB的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，所以，因?yàn)?，所以，即平面平面，因?yàn)槠矫鍼FD，所以，所以四邊形是平行四邊形，，因?yàn)?，所以即F是AB的中點(diǎn).選①F是AB的中點(diǎn)，③平面PFD為已知條件，證明②E是PC的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，所以，四邊形是平行四邊形，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面PFD，因?yàn)槠矫鍼FD，，所以平面平面，平面，所以平面，平面平面，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以E是PC的中點(diǎn).（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，，所以，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，所以平面，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，所以，即，令，則，所以，設(shè)PB與平面PDC所成角的為，所以.所以PB與平面PDC所成角的正弦值為.28．(1)0.4(2)(3)丙【分析】(1)

由頻率估計(jì)概率即可(2)

求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.(3)

計(jì)算出各自獲得最高成績(jī)的概率，再根據(jù)其各自的最高成績(jī)可判斷丙奪冠的概率估計(jì)值最大.（1）由頻率估計(jì)概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.因?yàn)殂U球比賽無論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)越多，對(duì)丙越有利.29．（1）老年人更傾向于選擇報(bào)團(tuán)游；（2）分布列見解析，；（3）建議他選擇報(bào)團(tuán)游．【分析】（1）分別計(jì)算三種人群的頻率，進(jìn)行比較即可；（2）根據(jù)題意，列出的可能取值，分別求概率，寫出分布列；（3）計(jì)算兩種旅游方式的滿意度，得到結(jié)論.【詳解】解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得老年人、中年人和青年人選擇報(bào)團(tuán)游的頻率分別為，，，因?yàn)椋岳夏耆烁鼉A向于選擇報(bào)團(tuán)游；（2）由題意可得，的可能取值為0，1，2，所以，，，所以的分布列為：012所以；（3）由上表可知，報(bào)團(tuán)游的滿意率為，自助游的滿意率為，因?yàn)?，故建議他選擇報(bào)團(tuán)游．【點(diǎn)睛】（1）在實(shí)際問題中，通常用頻率估計(jì)概率；、（2）求離散型隨機(jī)變量的分布列，應(yīng)按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：①明確離散型隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每個(gè)值所表示的意義；②利用概率的有關(guān)知識(shí)求出隨機(jī)變量每個(gè)取值的概率；③按規(guī)范形式寫出分布列并用分布列的性質(zhì)進(jìn)行檢驗(yàn).30．（1）；（2）①元；②裁員前期望值為1000元，裁員后期望值為元，不利.【分析】（1）由頻率估計(jì)概率即可；（2）①利用平均數(shù)公式直接求解即可；②根據(jù)題意及（）（），攬件數(shù)每增加，可使前臺(tái)工資和公司利潤(rùn)增加（元），然后分別求出裁員前后公司每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望比較即可【詳解】（）樣本包裹件數(shù)在之間的天數(shù)為，頻率，顯然未來天中，包裹件數(shù)在之間的概率為（）（）樣本中快遞費(fèi)用及包裹件數(shù)如下表：包裹重量（單位：）快遞費(fèi)（單位：元）包裹件數(shù)故樣本中每件快遞收取的費(fèi)用的平均值為（元），故該公司對(duì)每件快遞收取的費(fèi)用的平均值可估計(jì)為元（）根據(jù)題意及（）（），攬件數(shù)每增加，可使前臺(tái)工資和公司利潤(rùn)增加（元），將題目中的天數(shù)轉(zhuǎn)化為頻率，得包裹件數(shù)范圍包裹件數(shù)近似天數(shù)頻率若不裁員，則每天可攬件的上限為件，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)近似實(shí)際攬件數(shù)頻率故公司平均每日利潤(rùn)的期望值為（元）；若裁員人，則每天可攬件的上限為件，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)近似實(shí)際攬件數(shù)頻率故公司平均每日利潤(rùn)的期望值為（元）因，故公司將前臺(tái)工作人員裁員人對(duì)提高公司利潤(rùn)不利.31．（1）；（2）分布列見解析；期望為；（3）．【分析】（1）由表中的數(shù)據(jù)可知成績(jī)?cè)?0分以上的有15人，其中男生10人，女生5人，先求出從15人抽2人的方法數(shù)，再求出這2人恰好男、女生各1名，且分?jǐn)?shù)段不同的方法數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求解即可；（2）先求出從25名男生中抽取1人成績(jī)?cè)?0分以上的頻率，從而可得從全校男生抽取1人成績(jī)?cè)?0分以上的概率，由題意可得可取，且，然后利用二項(xiàng)分布的概率公式可求出分布列，進(jìn)而可求出數(shù)學(xué)期望；（3）通過方差的意義分析即可【詳解】解：（1）設(shè)“從大賽成績(jī)?cè)谝陨系娜酥须S機(jī)取出2人，恰好男、女生各1名，且所在分?jǐn)?shù)段不同”為事件A，由表格可得：隨機(jī)抽取的50名學(xué)生中，成績(jī)?cè)?0分以上的男生人數(shù)是10人，女生5人，共15人，即從15名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，所以樣本空間；如果這2人恰好男、女生各1名，且分?jǐn)?shù)段不同，即．所以事件A包含21個(gè)樣本點(diǎn)，因此．（2）由數(shù)據(jù)可知，從抽取的25名男學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生大賽成績(jī)?cè)?0分以上的概率為．即從該校參加活動(dòng)的男學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生大賽成績(jī)?cè)?0分以上的概率為，因此從該校參加活動(dòng)的男學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，這3人中大賽成績(jī)?cè)谝陨系娜藬?shù)可取，且．，，，．所以隨機(jī)變量的分布列0123數(shù)學(xué)期望或者，所以．（3）（由題意可得，由于方差是衡量一組數(shù)據(jù)的離散程度，當(dāng)數(shù)據(jù)越集中，方差越小，所以時(shí)，數(shù)據(jù)更集中，方差最?。?2．(1)(2)分布列見解析，(3)3900張【分析】（1）求出調(diào)查的100位老年人中年齡在且未使用過打車軟件的人數(shù)，再利用頻率估計(jì)概率，即可估計(jì)該老年人的年齡在且未使用過打車軟件的概率；（2）求出X的所有可能取值，并分別求出X取每個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率，即可寫出X的分布列，然后利用定義或超幾何分布的期望公式得其數(shù)學(xué)期望；（3）先求出隨機(jī)抽取的100位老年人中使用過打車軟件的人數(shù)，即可估計(jì)該公司至少應(yīng)準(zhǔn)備代金券的數(shù)量．（1）在隨機(jī)抽取的100位老年人中，年齡在且未使用過打車軟件的人數(shù)為，所以隨機(jī)抽取的這1位老年人的年齡在且未使用過打車軟件的概率．（2）由題可知，X的所有可能取值為0，1，2，且，，．所以X的分布列為X012P故X的數(shù)學(xué)期望．（3）在隨機(jī)抽取的100位老年人中，使用過打車軟件的共有（人），所以估計(jì)該公司至少應(yīng)準(zhǔn)備張代金券．33．；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）2200【解析】（Ⅰ）隨機(jī)抽取的100名顧客中，年齡在[30，50）且未使用自由購的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；（Ⅱ）所有的可能取值為1,2,3，求出相應(yīng)的概率值，即可得到分布列與期望；（Ⅲ）隨機(jī)抽取的100名顧客中，使用自由購的有44人，計(jì)算可得所求值．【詳解】（Ⅰ）在隨機(jī)