高考總復習理數(shù)（人教版）第11章概率隨機變量及其分布列第2節(jié)古典概型

第二節(jié)古典概型考點高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)古典概型2013·新課標全國卷Ⅱ·T14·5分利用組合知識求基本事件的件數(shù)，利用古典概型概率公式求概率數(shù)學運算命題分析古典概型是高考常考知識，一般是運用計數(shù)原理或排列組合求出基本事件總數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求概率，一般以選擇題形式出現(xiàn)，有時候也出在解答題中，難度不大.(對應學生用書P145)1．基本事件的特點(1)任何兩個基本事件是互斥的；(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．2．古典概型的定義具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)有限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個.(2)等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.3．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù)).提醒：1．在計算古典概型中試驗的所有結(jié)果數(shù)和事件發(fā)生結(jié)果時，易忽視他們是否是等可能的．2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽視只有當A∩B＝?，即A，B互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此時P(A∩B)＝0.1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．()(2)基本事件的概率都是eq\f(1,n)，若某個事件A包括的結(jié)果有m個，則P(A)＝eq\f(m,n).()(3)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”、“一正一反”、“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能事件．()(4)在古典概型中，如果事件A中基本事件構(gòu)成集合A，所有的基本事件構(gòu)成集合I，那么事件A的概率為eq\f(cardA,cardI).()(5)當事件A、B互斥時，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2．(教材習題改編)從1,2,3,4,5中隨機取出三個不同的數(shù)，則其和為偶數(shù)的基本事件個數(shù)為()A．4 B．5C．6 D．7解析：選C任取三個數(shù)和為偶數(shù)共有：(1,2,3)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,4,5)，(2,3,5)，(3,4,5)共6個，選C．3．(教材習題改編)盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個．若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率為________.解析：設(shè)紅球為A1，A2，A3，黃球為B1，B2，共有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2,10個，其中不同色的有6個，P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)4．(2018·南京模擬)現(xiàn)從甲、乙、丙3人中隨機選派2人參加某項活動，則甲被選中的概率為________.解析：從甲、乙、丙3人中隨機選派2人參加某項活動，有甲乙，甲丙，乙丙三種可能，則甲被選中的概率為eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)(對應學生用書P145)基本事件及事件的構(gòu)成[明技法]古典概型中基本事件的探求方法(1)枚舉法：適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的．(2)樹狀圖法：適合較為復雜的問題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同．有時也可以看成是無序的，如(1,2)，(2,1)相同．[提能力]【典例】有兩顆正四面體的玩具，其四個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4，下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗：用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第1顆正四面體玩具底面出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第2顆正四面體玩具底面出現(xiàn)的點數(shù)．試寫出：(1)試驗的基本事件；(2)事件“底面出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”(3)事件“底面出現(xiàn)點數(shù)相等”．解：(1)利用枚舉法，共有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)16種情況．(2)事件“底面出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”的有(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共13種情況(3)事件“底面出現(xiàn)點數(shù)相等”的有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)共4種情況．[刷好題]一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同．隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.(1)求寫出所有基本事件；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率．解：(1)由題意，(a，b，c)所有的可能為(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種．(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A，則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種．所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率為eq\f(1,9).簡單的古典概型問題[明技法]求古典概型概率的基本步驟(1)算出所有基本事件的個數(shù)n.(2)求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m.(3)代入公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出P(A)．[提能力]【典例】(1)(2015·全國卷Ⅰ)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A．eq\f(3,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,10) D．eq\f(1,20)解析：選C從1,2,3,4,5中任取3個數(shù)有10個基本事件，構(gòu)成勾股數(shù)的只有3,4,5一組，故概率為eq\f(1,10).(2)(2017·山東卷)從分別標有1,2，…，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是()A．eq\f(5,18) B．eq\f(4,9)C．eq\f(5,9) D．eq\f(7,9)解析：選C方法一∵9張卡片中有5張奇數(shù)卡片，4張偶數(shù)卡片，且為不放回地隨機抽取，∴P(第一次抽到奇數(shù)，第二次抽到偶數(shù))＝eq\f(5,9)×eq\f(4,8)＝eq\f(5,18)，P(第一次抽到偶數(shù)，第二次抽到奇數(shù))＝eq\f(4,9)×eq\f(5,8)＝eq\f(5,18).∴P(抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同)＝eq\f(5,18)＋eq\f(5,18)＝eq\f(5,9).故選C．方法二依題意，得P(抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同)＝eq\f(5×4,C\o\al(2,9))＝eq\f(5,9).故選C．[刷好題]1．擲兩枚均勻的骰子，則點數(shù)之和為5的概率等于()A．eq\f(1,18) B．eq\f(1,9)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,12)解析：選B擲兩枚骰子的所有基本事件為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種，其中點數(shù)之和為5的基本事件為(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4種，所以所求概率為eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).2．甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為________.解析：甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種的所有可能情況為(紅，白)，(白，紅)，(紅，藍)，(藍，紅)，(白，藍)，(藍，白)，(紅，紅)，(白，白)，(藍，藍)，共9種，他們選擇相同顏色運動服的所有可能情況為(紅，紅)，(白，白)，(藍，藍)，共3種．故所求概率為P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)較復雜的古典概型問題[明技法]求解復雜古典概型的答題模板[提能力]【典例】有7名歌手(1至7號)參加一場歌唱比賽，由500名大眾評委現(xiàn)場投票決定歌手名次．根據(jù)年齡將大眾評委分為五組，各組的人數(shù)如下：組別ABCDE人數(shù)5010015015050(1)為了調(diào)查評委對7名歌手的支持情況，現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委，其中從B組抽取了6人，請將其余各組抽取的人數(shù)填入下表；組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)6(2)在(1)中，若A，B兩組被抽到的評委中各有2人支持1號歌手，現(xiàn)從這兩組被抽到的評委中分別任選1人，求這2人都支持1號歌手的概率．解：(1)由題設(shè)知，分層抽樣的抽取比例為6%，所以各組抽取的人數(shù)如表.組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)36993(2)記從A組抽到的3個評委為a1，a2，a3，其中a1，a2支持1號歌手；從B組抽到的6個評委為b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1號歌手，從{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有結(jié)果為由以上樹狀圖知所有結(jié)果共18種，其中2人都支持1號歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，共4種，故所求概率P＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9).[刷好題](2015·山東卷)某中學調(diào)查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人)參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230(1)從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個社團的概率；(2)在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中，有5名男同學A1，A2，A3，A4，A5,3名女同學B1，B2，B3.現(xiàn)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率．解：(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人，故至少參加上述一個社團的共有45－30＝15(人)，所以從該班隨機選1名同學，該同學至少參加上述一個社團的概率為P＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3).(2)從這5名男同學和3名女同學中各隨機