專題01 靜電力作用下物體的平衡與加速模型(解析版)

專題01靜電力作用下物體的平衡與加速模型模型1共線庫侖力的平衡問題1.平衡條件：每個點電荷受到的兩個庫侖力必須大小相等，方向相反。2.平衡規(guī)律可概括為“三點共線”——三個點電荷分布在同一條直線上；“兩同夾異”——正、負(fù)電荷相互間隔；“兩大夾小”——中間電荷的電荷量最??；“近小遠(yuǎn)大”——中間電荷靠近電荷量較小的電荷。3.只要其中兩個點電荷平衡，第三個點電荷一定平衡，只需根據(jù)平衡條件對其中的兩個點電荷列式即可。模型2非共線庫侖力的平衡問題分析靜電力作用下點電荷的平衡問題時，方法仍然與力學(xué)中分析物體的平衡方法一樣，具體步驟如下：(1)確定研究對象：如果有幾個物體相互作用時，要依據(jù)題意，適當(dāng)選取“整體法”或“隔離法”。(2)對研究對象進(jìn)行受力分析，此時多了靜電力(F＝eq\f(kQ1Q2,r2))。(3)根據(jù)F合＝0列方程，若采用正交分解，則有Fx＝0，F(xiàn)y＝0。(4)求解方程。模型3兩電懸繩平衡問題+++)θ1αβθ2(l1l2m1、q1m2、q2如圖，比較m1和m2、q1和q2大小?(1)電荷間的庫侖力是相互作用力，無論q1和q2大小關(guān)系如何，二者間的庫侖力始終等值反向，所以q1和q2大小無法判斷；(2)方法一、正弦定理法++)θ1αβθ++)θ1αβθ2(l1l2m1、q1m2、q2m1gm2gFFαβ)θ1θ2(對m1：[來源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X+K]對m2：對懸繩構(gòu)成的三角形有：聯(lián)立解得m1gl1sinα=m2gl2sinβ特殊情況：若l1=l2，α=β，則m1=m2。方法二、力乘力臂法+++αβl1l2m1、q1m2、q2m1gm2gα以整體為研究對象，以懸點為轉(zhuǎn)動軸，兩根輕繩拉力的力臂均為零，根據(jù)轉(zhuǎn)動平衡知:動力乘以動力臂等于阻力乘以阻力臂，即m1g·l1sinα=m2g·l2sinβ。方法三、重心法+++αβl1l2m1、q1m2、q2重心以整體為研究對象，整體受重力和兩根輕繩的拉力，根據(jù)三力平衡必共點，因此整體的重心必過懸點正下方。所以有m1·l1sinα=m2·l2sinβ。模型4庫侖力作用下的非平衡問題與力學(xué)問題的處理方法相同，明確研究對象，分析運動過程，再分析包括庫侖力在內(nèi)的所有力，依據(jù)牛頓運動定律或者動能定理列方程，并靈活選用整體法和隔離法分析問題。【模型演練1】如圖所示，帶電荷量分別為＋q和＋4q的兩點電荷A、B，相距L，問：(1)若A、B固定，在何處放置點電荷C，才能使C處于平衡狀態(tài)？(2)在(1)中的情形下，C的電荷量和電性對C的平衡有影響嗎？(3)若A、B不固定，在何處放一個什么性質(zhì)的點電荷，才可以使三個點電荷都處于平衡狀態(tài)？【答案】見解析【解析】(1)由平衡條件，對C進(jìn)行受力分析，C應(yīng)在AB的連線上且在A的右邊，設(shè)與A相距r，則eq\f(k·q·qc,r2)＝eq\f(k·4q·qc,（L－r）2)解得：r＝eq\f(L,3)(2)電荷量的大小和電性對平衡無影響。(3)設(shè)放置的點電荷的電荷量為Q，分別對A、B受力分析，根據(jù)平衡條件對電荷A：eq\f(k·4q·q,L2)＝eq\f(kQ·q,r2)對電荷B：eq\f(k·4q·q,L2)＝eq\f(kQ·4q,（L－r）2)聯(lián)立可得：r＝eq\f(L,3)，Q＝eq\f(4,9)q(負(fù)電荷)即應(yīng)在AB連線上且在A的右邊，距A點電荷eq\f(L,3)處放置一個電荷量為eq\f(4,9)q的負(fù)電荷?！灸Ｐ脱菥?】（2024·全國·高考真題）如圖，兩根不可伸長的等長絕緣細(xì)繩的上端均系在天花板的O點上，下端分別系有均帶正電荷的小球P、Q；小球處在某一方向水平向右的勻強電場中，平衡時兩細(xì)繩與豎直方向的夾角大小相等。則（）A．兩繩中的張力大小一定相等B．P的質(zhì)量一定大于Q的質(zhì)量C．P的電荷量一定小于Q的電荷量D．P的電荷量一定大于Q的電荷量【答案】B【詳解】由題意可知設(shè)Q和P兩球之間的庫侖力為F，繩子的拉力分別為T1，T2，質(zhì)量分別為m1，m2；與豎直方向夾角為θ，對于小球Q有對于小球P有聯(lián)立有所以可得又因為可知，即P的質(zhì)量一定大于Q的質(zhì)量；兩小球的電荷量則無法判斷。故選B。【模型演練3】如圖所示，在光滑的絕緣水平面上，有兩個質(zhì)量相等、相距為r、帶電荷量分別為和的小球甲、乙，在水平恒力F作用下做勻加速直線運動。若甲、乙兩球的質(zhì)量分別為m和2m，帶有異種電荷，現(xiàn)在甲球上施加水平向右大小為F的作用力后，當(dāng)兩小球保持相對靜止時，兩小球間的距離為r；若改用方向水平向左大小為的力作用在乙上后，兩小球仍能保持相對靜止時，則兩小球間的距離變?yōu)?/p>

A．4r B．2r C．r D．0.5r【答案】C【詳解】當(dāng)方向水平向右、大小為的力作用在甲上，甲、乙間的距離為r時，有若改用方向水平向左大小為的力作用在乙上，設(shè)兩小球間的距離保持為并相對靜止時，有聯(lián)立可得故選C?！灸Ｐ脱菥?】如圖所示，長為L的絕緣細(xì)線系一質(zhì)量為m、電荷量為q的小球，細(xì)線的另一端固定在O點，由于空間存在水平向右的電場，小球靜止時細(xì)線與豎直方向的夾角為37°。當(dāng)給小球一定的初速度時，小球可繞O點在豎直平面內(nèi)做圓周運動。重力加速度為g。請思考下列問題：（1）小球所受的靜電力為多大？（2）小球做圓周運動時，在哪個位置速度最??？在哪個位置速度最大？（3）在小球靜止處給小球一個多大的初速度v0，小球剛好能在豎直平面內(nèi)繞O做圓周運動？【答案】（1）；（2）見解析；（3）【詳解】（1）對小球受力分析如圖所示根據(jù)平衡條件有（2）小球靜止時，重力與靜電力的合力沿細(xì)線方向，當(dāng)小球做圓周運動時，小球無論運動到什么位置，小球所受靜電力與重力的合力總是與豎直方向成角，大小恒定不變，這與沒有電場時小球可以靜止在最低點，無論小球運動到什么位置重力總是豎直向下一樣，因此存在電場的情況下，小球可以保持靜止的位置相當(dāng)于只有重力時的“最低點”，而能保持靜止處于圓心對稱的位置，相當(dāng)于只有重力時的“最高點”，因此小球做圓周運動時在“最低點”速度最大，在“最高點”速度最小。（3）小球恰好做圓周運動，在“最高點”的速度最小應(yīng)滿足從“最低點”到“最高點”由動能定理可得聯(lián)立解得一、單選題1．如圖所示，用兩根絕緣細(xì)線各懸掛質(zhì)量分別為和的小球，懸點為O，兩小球均帶正電荷，當(dāng)小球由于靜電力作用張開一角度時，A球和B球在同一水平面，A球懸線與豎直線夾角為α，B球懸線與豎直線夾角為β，如果，，已知：，。則兩小球和之比為（）A．4∶3 B．9∶16 C．16∶9 D．3∶4【答案】C【詳解】設(shè)A、B兩球之間的靜電力為，對A根據(jù)幾何關(guān)系有對B根據(jù)幾何關(guān)系有聯(lián)立可得故選C。2．如圖所示，用兩根等長的輕質(zhì)細(xì)線把兩個可視為點電荷的小球、懸掛在點。兩小球靜止時，細(xì)線與豎直方向的夾角分別為和，兩小球的質(zhì)量分別為和，電荷量絕對值分別為和。已知大于，則（）A．一定大于 B．可能等于C．可能等于 D．一定大于【答案】B【詳解】CD.對兩球受力分析，如圖所示根據(jù)共點力平衡和幾何關(guān)系的相比，得由于已知大于，則則有故CD錯誤；AB.兩球間的庫侖力是作用力與反作用力，一定相等，與兩個球帶電量的多少無關(guān)，所以不能確定電荷的多少，故A錯誤，B正確；故選B。3．如圖所示，電量為Q的帶正電的小球A通過絕緣桿固定，為了使帶電小球B在A的左下方連線與水平方向成角處靜止，在豎直平面內(nèi)加一個勻強電場，兩小球均可視為點電荷，AB兩球的距離為r，靜電力常量為k。則所加電場的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由圖可知，當(dāng)電場力與庫侖力垂直時電場力最小，則所加電場力的最小值為則場強最小值為故選A。4．如圖所示，三個點電荷、、電性如圖所示，其中、電荷固定且所帶電荷量均為，點電荷質(zhì)量為，自由放在傾角為的光滑斜面上處于靜止?fàn)顟B(tài)。、、三點連線構(gòu)成等邊三角形，邊長為，連線平行于斜面，已知靜電力常量為，重力加速度為，所處空間為真空，則電荷所帶的電荷量為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】對點電荷受力分析，如圖所示根據(jù)庫侖定律可得因為點電荷處于平衡狀態(tài)，根據(jù)平衡條件，可得解得故選A。5．如圖所示，光滑絕緣的水平桌面的同一直線上，放置三個可視為點電荷的小球M、N和P，其中M和N固定，帶電量分別為-q1和+q2，若小球P能保持靜止，則（）A．P一定帶正電，q1＝q2 B．P一定帶負(fù)電，q1＝q2C．P可能帶正電，q1＞q2 D．P可能帶負(fù)電，q1＜q2【答案】C【詳解】根據(jù)題意可知，若小球P能保持靜止，則小球M、N對P的作用力等大反向，由同種電荷相互吸引，異種電荷相互排斥可知，由于小球M、N帶異種電荷，無論P帶何種電荷，小球M、N對P的作用力方向都相反，設(shè)小球P的帶電量為，由庫侖定律可得可得故選C。6．如圖所示，在絕緣且光滑水平地面上有兩個帶異種電荷的小球A、B，質(zhì)量分別為、帶電量分別為、當(dāng)用力F向右拉著A時，A、B小球共同運動，兩小球之間的間距為。當(dāng)用力F向左拉著B時，A、B小球共同運動，兩小球之間的間距為，則和的比值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】對A、B整體由牛頓第二定律有可知，無論拉力作用在A上還是作用在B上兩球共同運動的加速度大小相同，則當(dāng)拉力作用在A上時，對小球B由牛頓第二定律有當(dāng)拉力作用在B上時，對小球A由牛頓第二定律有解得故選C。7．如圖所示，在光滑的絕緣水平面上，有兩個質(zhì)量相等、相距為r、帶電荷量分別為和的小球甲、乙，在水平恒力F作用下做勻加速直線運動。若甲、乙兩球的質(zhì)量分別為2m和m，兩小球帶異種電荷。將方向水平向右、大小為F的力作用在甲上，當(dāng)兩小球間的距離為r時，兩小球可保持相對靜止。若改用方向水平向左的力作用在乙上，欲使兩小球間的距離保持為2r并相對靜止，則外力的大小應(yīng)為（）

A． B．C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)方向水平向右、大小為的力作用在甲上，甲、乙間的距離為r時，有若改用方向水平向左的力作用在乙上，兩小球間的距離保持為并相對靜止時，有聯(lián)立可得故選B。二、多選題8．（2021·湖北·高考真題）如圖所示，一勻強電場E大小未知、方向水平向右。兩根長度均為L的絕緣輕繩分別將小球M和N懸掛在電場中，懸點均為O。兩小球質(zhì)量均為m、帶等量異號電荷，電荷量大小均為q（q>0）。平衡時兩輕繩與豎直方向的夾角均為θ=45°。若僅將兩小球的電荷量同時變?yōu)樵瓉淼?倍，兩小球仍在原位置平衡。已知靜電力常量為k，重力加速度大小為g，下列說法正確的是（）A．M帶正電荷 B．N帶正電荷C． D．【答案】BC【分析】本題考查庫侖定律、受力分析以及共點力的平衡。【詳解】AB．由題圖可知，對小球M受力分析如圖（a）所示，對小球N受力分析如圖（b）所示，由受力分析圖可知小球M帶負(fù)電，小球N帶正電，故B正確，A錯誤；CD．由幾何關(guān)系可知，兩小球之間的距離為當(dāng)兩小球的電荷量為q時，由力的平衡條件得兩小球的電荷量同時變?yōu)樵瓉淼?倍后，由力的平衡條件得整理解得故C正確，D錯誤。故選BC。9．如圖所示，光滑絕緣水平面上放置兩個帶電小球、，帶電量分別為、，兩球間距為，將帶電量為的小球放在球右側(cè)處時，三個球恰好都處于靜止?fàn)顟B(tài)；若球電荷量增大為，且保持球的電荷量和、兩球間距不變時，將帶電量為的小球放在球左側(cè)處，三個球也恰好都處于靜止?fàn)顟B(tài)，各小球都可視為點電荷。下列選項正確的是（）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】B．根據(jù)同一直線上三個點電荷能處于靜止?fàn)顟B(tài)，三個電荷的電性關(guān)系具有“兩同夾異”的特點，則、電性相反，、電性相同，、電性相反，選項B錯誤；ACD．若小球能保持靜止，則小球、在處形成的場強矢量和為零若小球能保持靜止，則小球、在處形成的場強矢量和為零，結(jié)合兩式得同理得選項D錯誤，選項AC正確。故選AC。三、解答題10．某學(xué)習(xí)小組通過實驗用共點力平衡的方法來測量帶電體之間靜電力的大小，實驗裝置示意圖如圖所示。一個質(zhì)量為m帶正電的小球B用絕緣細(xì)絲線懸掛于C點，O點在C點正下方h處，以O(shè)點為坐標(biāo)原點，沿水平方向建立一維坐標(biāo)系。將另一個帶正電的小球D靠近B，B受到靜電力F作用而發(fā)生偏移。調(diào)整D的位置，使B、D球心在同一高度，且始終與坐標(biāo)軸在同一豎直平面內(nèi)，記錄小球B靜止時細(xì)絲線與坐標(biāo)軸交點A的坐標(biāo)x。已知重力加速度為g。（1）畫出小球B的受力示意圖。（2）推導(dǎo)靜電力F與坐標(biāo)x的關(guān)系式。（3）定義單位靜電力變化引起的坐標(biāo)x變化為測量的靈敏度，即，請說明提高靈敏度的辦法。【答案】（1）；（2）；（3）增大，減小【詳解】（1）小球B的受力示意如圖（2）沿水平和豎直方向建立直角坐標(biāo)系，如圖所示正交分解力，小球B靜止，由平衡條件，水平方向有豎直方向有由幾何關(guān)系聯(lián)立解得（3）由（2）的結(jié)論得由此可知，提高靈敏度的辦法：增大，減小。11．兩個完全相同的質(zhì)量都為m、帶等量電荷的小球A、B分別用等長的絕緣細(xì)線懸掛在同一水平面上相距為的M、N兩點，平衡時小球A、B的位置如圖甲所示，已知小球B帶負(fù)電，此時兩球相距為l，細(xì)線與豎直方向夾角均為θ=45°，若外加水平向左的勻強電場，兩小球平衡時位置如圖乙所示，細(xì)線剛好沿豎直方向，已知靜電力常量為k，重力加速度為g，求：（1）A球的電性及所帶的電荷量Q；（2）外加勻強電場的場強E的大小?！敬鸢浮浚?）正電，；（2）【詳解】（1）已知小球B帶負(fù)電，由甲圖可知，A球帶正電，對A球受力分析，由平衡條件可得解得A球所帶的電荷量為（2）加電場后對A球受力分析，由平衡條件可得解得12．如圖所示，在豎直平面內(nèi)有兩個點電荷，固定在同一水平直線上相距為的A、兩點，其電荷量分別為、。在A、兩點連線的垂直平分線處固定一光滑豎直絕緣桿，在桿上點有一個質(zhì)量為、電荷量為的小環(huán)（可視為點電荷）由靜止釋放。已知A、、三點連線為正三角形，重力加速度為。求：（1）釋放小環(huán)瞬間，小環(huán)所受庫侖力的大??；（2）小環(huán)滑到點時的速度大小?！敬鸢浮浚?）；（2）【詳解】（1）由庫侖定律A處正點電荷對點處小環(huán)的庫侖力大小處負(fù)點電荷對點處小環(huán)的庫侖力大小釋放小環(huán)瞬間，兩點電荷對小環(huán)的合力大?。?）小環(huán)從滑到，電場力不做功，根據(jù)動能定理有因為所以小環(huán)滑到點時的速度大小13．如圖所示，帶電小球A和B（可視為點電荷）放在傾角為的光滑固定絕緣斜面上，A球的質(zhì)量為，所帶電荷量為，B球的質(zhì)量為，所帶電荷量為。沿斜面向上的恒力作用于A球，可使AB保持間距不變沿斜面向上做勻加速直線運動，已知重力加速度為，靜電力常量為，求：（1）加速度的大??；（2）恒力的大小。【答案】（1）；（2）【詳解】（1）根據(jù)庫侖定律，兩球相互吸引的庫侖力A球和B球的加速度相同，隔離B球，由牛頓第二定律有所以（2）把A球和B球看成整體，AB間的庫侖力為系統(tǒng)內(nèi)力，由牛頓第二定律有所以14．如圖所示，質(zhì)量為m的小球穿在絕緣細(xì)桿上，桿的傾角為，小球A帶正電，電荷量為q。在斜面上B點處固定一個電荷量為Q的正電荷。將A由距B豎直高度為H處無初速度釋放，小球A下滑過程中電荷量不變。不計A與細(xì)桿間的摩擦，整個裝置處在真空中，已知靜電力常量k和重力加速度g。求：（1）A球剛釋放時的加速度大??；（2）當(dāng)A球的動能最大時，求此時A球與B點的距離。【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由牛頓第二定律可得根據(jù)庫侖定律有A球剛釋放時，有聯(lián)立解得（2）當(dāng)A球受到的合力為零，即加速度為零時，動能最大。設(shè)此時A球與B點間的距離為d，則有解得15．如圖所示，質(zhì)量為1kg的小球A穿在光滑絕緣細(xì)桿上，桿的傾角為，小球A帶正電，電荷量為。在桿上B點處固定一個電量為1C的正電荷。將小球A由距B豎直高度為1m處無初速度釋放。已知靜電力常量和重力加速度。求：（1）A球剛釋放時的加速度的大小；（2）當(dāng)A球的速度最大時，A球與B點的距離（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）。

【答案】（1）；（2）【詳解】（1）在A點位置上，受力分析，由牛頓第二定律有解得（2）對小球分析可知，小球在向B處下滑過程，其開始做加速度減小的加速運動，當(dāng)加速度為零的時候其速度達(dá)到最大值，設(shè)此時距離B點的距離為l，有解得16．如圖，小球用兩根等長的絕緣細(xì)繩、懸掛在水平天花板上，兩繩之間的夾角為，的質(zhì)量為，電荷量為，的正下方處固定有一帶等量異種電荷的小球，、均可視為點電荷，靜電力常量，重力加速度。問：（1）細(xì)繩的拉力大小為多少？（2）若剪斷細(xì)繩瞬間，小球的加速度方向與細(xì)繩垂直，則細(xì)繩的拉力大小和小球的加速度大小分別為多少？

【答案】（1）N；（2），【詳解】（1）小球、之間的庫侖力對小球A受力分析，根據(jù)平衡條件有解得N（2）根據(jù)牛頓第二定律聯(lián)立解得17．如圖，質(zhì)量的帶正電小球套在光滑的豎直絕緣細(xì)桿上，桿底端固定一個與小球電荷量相等的小球，整個裝置處在真空中。小球從離底端的位置由靜止釋放后沿桿下滑，剛釋放時加速度大小已知靜電力常量，取重力加速度求：（1）小球所帶的電荷量：（2）小球速度最大時與的距離。（3）已知小球的最大速度為求（2）下降H過程中庫侖力所做的功W。【答案】（1）；（2）（3）【詳解】（1）小球剛釋放時受重力與庫侖力，根據(jù)牛頓第二定律，則有其中剛釋放時加速度大小為綜上所解得（2）當(dāng)小球加速度時，速度最大，則有解得（3）對小球速度最大，用動能定理，有解得18．如圖所示，Q為固定的正點電荷，A、B兩點在Q的正上方和Q相距分別為h和0.25h，將另一點電荷從A點由靜止釋放，運動到B點時速度正好又變?yōu)榱?。若此電荷在A點處的加速度大小為，試求：（1）此電荷在B點處的加速度；（2）A、B兩點間的電勢差（用Q和h表