2024年中考數(shù)學(xué)試題分類訓(xùn)練：因式分解

4因式分解(28題)

一、選擇題

1.(2024?廣西)如果a+b=3,ab=\,a3b+2a2b2+ab3()

A.0B.1C.4D.9

【答案】D

【分析】本題考查因式分解，代數(shù)式求值，先將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，利用整體代入法，求值即可.

【解析】a+b=3>ab=1,c^b+lc^b"+ab3=ab(^a~+2ab+b2j=ab^a+by-ix32=9,故選D.

2.(2024?云南)分解因式：a3-9a=()

A.a(a—3)(a+3)B.a(a~+9)C.(a—3)(a+3)D.—9)

【答案】A

【分析】本題考查了提取公因式和公式法進(jìn)行因式分解，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

將d-9a先提取公因式，再運(yùn)用平方差公式分解即可.

【解析】a，—9a=—9)=a(a+3)(a—3),故選A.

二、填空題

3.(2024.甘肅)因式分解：2尤2-8=.

【答案】2(x+2)(x-2)

【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可.

本題考查了因式分解，熟練掌握先提取公因式，再套用公式分解是解題的關(guān)鍵.

【解析】2x2-8=2(x2-22)=2(j：+2)(x-2).

4.(2024?綏化)分解因式：2mx2-8/wy2=.

【答案】2Mx+2y)(x-2y)

【分析】本題考查了因式分解，先提公因式2m，然后根據(jù)平方差公式因式分解，即可求解.

【解析】2mx2-8my2=2Mf-4力=2Mx+2y)(x-2y).

5.(2024?浙江)因式分解：a2-la=

【答案】-7)

【分析】本題考查了提公因式法因式分解，先提公因式。是解題的關(guān)鍵.

【解析】a?—7a=a(a—7).

6.(2024.臨夏州)因式分解：%2-|=____.

4

【答案】［一J1+3

【分析】本題考查因式分解，掌握公式法分解因式是解題關(guān)鍵.直接利用平方差公式分解因式即可.

【解析】/一：｛一］尤+；，

7.(2024?眉山)分解因式：3m3-12m=.

【答案】3zn(zn+2)(?i-2)

【分析】本題考查因式分解，涉及提公因式法因式分解及公式法因式分解，根據(jù)多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征，先提

公因式再利用平方差公式因式分解即可得到答案，綜合應(yīng)用提公因式法因式分解及公式法因式分解是解決

問題的關(guān)鍵.

【解析】3m3-12m=3m(m2-4)=3m(/n+2)(m-2).

8.(2024?北京)分解因式：尤3_25了=.

【答案】x(x+5)(x-5)

【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可.

本題考查了因式分解，熟練掌握先提取公因式，再套用公式分解是解題的關(guān)鍵.

【解析】爐-25x=-5?)=x(x+5)(x-5).

9.(2024?威海)因式分解：(x+2)(x+4)+l=

【答案】(X+3)2

【分析】本題主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開，然后利用完全平方公

式分解因式即可.

22

【解析】(X+2)(X+4)+1=%+4X+2^+8+1=X+6X+9=(X+3):

10.(2024?涼山州)己知且。-6=-2,貝.

【答案】-6

【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，先把片-/=12的左邊分解因式，再把。-6=-2代入即可求出a+b

的值.

【解析】o2-/?2=12,(a+6)(a—6)=12.,:a—b=—2,?.a+b=-6.

11.(2024?山東)因式分解：尤2y+2孫=.

【答案】孫(x+2)

【分析】本題考查了因式分解，直接提取公因式孫即可.

【解析】原式=孫用+2).

12.(2024?遂寧)分解因式：ab+4a=.

【答案】a(b+4)

【分析】本題主要考查了提公因式分解因式，提公因式。即可解答.

【解析】ab+4a=a(b+4).

3

13.(2024?廣安)分解因式：a-9a=.

【答案】a(a+3)(a-3)

【分析】本題主要考查了分解因式，先提取公因式。再利用公式法即可得到答案.

【析】—9a=a(a+3)(a-3).

14.(2024?自貢)分解因式：/—3x=.

【答案】%(%-3)

【分析】根據(jù)提取公因式法因式分解進(jìn)行計(jì)算即可.

【解析】%2-3X=^(J;-3).

15.(2024?內(nèi)江)分解因式：m2-5m=.

【答案】

【分析】原式提取公因式即可得到結(jié)果.

【解析】原式

16.(2024?內(nèi)蒙古赤峰)因式分解：3am2-3a=.

【答案】3a(m+l)(m-l)

【分析】先提取公因式3a,再利用平方差公式分解因式.

【解析】3am2-3a=3a(〃>-1)=3a(〃z+l)(7w-l).

17.(2024?廣元)分解因式：(a+l)2-4a=.

［答案］(a—l)/(—1+a)-

【分析】首先利用完全平方式展開(。+1)2,然后合并同類項(xiàng)，再利用完全平方公式進(jìn)行分解即可.

【角星］(a+1)--4a=cr+1+2a—4a-ci~—2a+1=(<7—I)-.

18.(2024?陜西)分解因式：a1-ab=.

【答案】a(a-b).

【解析】a1-ab=a(a-b).

19.(2024?吉林)因式分解：a2-3a=.

【答案】a(a-3)

【分析】直接把公因式a提出來即可.

【解析】a2-3a=a(a-3).

20.(2024.宜賓)分解因式：2病-2=.

【答案】2(m+D(m-I)

【解析】2m2-2=2(m2-l)=2(m+1)(/7?-1).

21.(2024?達(dá)州)分解因式：3x2-18x+27=.

【答案】3(x-3)2

【分析】先提取公因式3,再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行二次分解.

【解析】3x2-18x+27=3(x2-6x+9)=3(x-3)2.

22.(2024?揚(yáng)州)分解因式：2a2-44+2=.

【答案】2(a-l)2

【解析】先提取公因式2后繼續(xù)應(yīng)用完全平方公式分解即可：

原式=2(/-2。+1)=2(a-1)~.

23.(2024?福建)因式分解：x2+x=.

【答案】x(x+l)

【分析】要將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的一般步驟是首先看各項(xiàng)有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，

之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式.因此，直接提取公因

式X即可.

【解析】d+尤=x(x+l).

24.(2024?江蘇鹽城)分解因式：N+2X+1=

【答案】(尤+1)2/(1+尤『

【分析】本題中沒有公因式，總共三項(xiàng)，其中有兩項(xiàng)能化為兩個(gè)數(shù)的平方和，第三項(xiàng)正好為這兩個(gè)數(shù)的積

的2倍，直接運(yùn)用完全平方和公式進(jìn)行因式分解.

【解析】x2+2x+l=(尤+1)2.

25.(2024?江西)因式分解："+2〃=.

【答案】a(a+2)

【解析】根據(jù)分解因式提取公因式法，將方程a2+2a提取公因式為a(a+2).故a?+2a=a(a+2).

三、解答題

26.(2024?齊齊哈爾)(1)計(jì)算：74+1-4cos60°|-(71-5)°+

(2)分解因式：2a3-8他2

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，因式分解；

(1)根據(jù)算術(shù)平方根，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)累，負(fù)整數(shù)指數(shù)脫，進(jìn)行計(jì)算即可求解；

(2)先提公因式2°,進(jìn)而根據(jù)平方差公式因式分解，即可求解.

解:(1)原式=2+4X,-1+4=2+2—1+4=7.

2

(2)原式=2。(a?—4"=2a(a+26)(a-26).

27.(2024?安徽)數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動，研究了“正整數(shù)N能否表示為爐-9(劉丫均為自然數(shù))

的問題.

(1)指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，部分信息如下(〃為正整數(shù)):

N奇數(shù)4的倍數(shù)

1=12-024=22-02

3=22-128=32-12

5=32-2212=42-22

表示結(jié)果

7=42-3216=52-32

9=52-4220=62-42

LL

一般結(jié)論2n-l=n2-（Ai-1）24n=______

按上表規(guī)律，完成下列問題:

⑴24=（）2-（廣；

（ii）4n=；

（2）興趣小組還猜測：像2,6,10,14,…這些形如4〃-2（〃為正整數(shù)）的正整數(shù)N不能表示為Y-y2（x＞丁均

為自然數(shù)）.師生一起研討，分析過程如下：

假設(shè)4〃-2=x2_y2,其中x,y均為自然數(shù).

分下列三種情形分析：

①若x，＞均為偶數(shù)，設(shè)x=23y=2m,其中后加均為自然數(shù)，

則x2-y2=（2左）2-（2根）2=4儼一加2）為4的倍數(shù).

而4”-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故劉，不可能均為偶數(shù).

②若x，丁均為奇數(shù)，設(shè)x=2左+1,y=2,77+1,其中后相均為自然數(shù)，

則X2-y2=（2左+以-（2m+1）2=為4的倍數(shù).

而4〃-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故劉，不可能均為奇數(shù).

③若X，y一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則Y-V為奇數(shù).

而4〃-2是偶數(shù)，矛盾.故工，丫不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù).

由①②③可知，猜測正確.

閱讀以上內(nèi)容，請?jiān)谇樾微诘臋M線上填寫所缺內(nèi)容.

【分析】（1）（i）根據(jù)規(guī)律即可求解；（ii）根據(jù)規(guī)律即可求解；

（2）利用完全平方公式展開，再合并同類項(xiàng)，最后提取公因式即可；

本題考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

解：（1）7,5.

（ii）（n+1）2-（/i-l）2.

（2）假設(shè)4〃-2=Y-y2,其中x,y均為自然數(shù).

分下列三種情形分析：

①若為＞均為偶數(shù)，設(shè)x=2Z,y=2m,其中％，機(jī)均為自然數(shù)，

則/-曠=（2左了-⑵療=4（左2一九2）為4的倍數(shù).

而4〃-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故劉，不可能均為偶數(shù).

②若X，y均為奇數(shù)，設(shè)x=2%+l,y=2m+l,其中％，機(jī)均為自然數(shù)，

貝5|X2-y2=（2左+1）--（2機(jī)+1）~=4（左②+后_〃,為4的倍數(shù).

而4〃-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故工，丫不可能均為奇數(shù).

③若X，y一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則x2-y2為奇數(shù).

而4〃-2是偶數(shù)，矛盾.故劉y不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù).

由①②③可知，猜測正確.

,be

28.（2024?福建）已知實(shí)數(shù)。，"滿足3〃?+“=—,M〃=—.

aa

⑴求證：廿-12ac為非負(fù)數(shù)；

（2）若。，"c均為奇數(shù)，孤"是否可以都為整數(shù)？說明你的理由.

【分析】本小題考查整式的運(yùn)算、因式分解、等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識：考查運(yùn)算能力、推理能力、創(chuàng)新意

識等，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識分析、解決問題的能力.

（1）根據(jù)題意得出b=。（3根+M，c=a〃w,進(jìn)而計(jì)算廿-12ac，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求解；