三明市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析

三明市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C：交于，兩點(diǎn)，若，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.2．若平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)，，，，到平面的距離為（）A.1 B.2C.3 D.43．若拋物線與直線：相交于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為（）A.6 B.8C. D.4．有一個(gè)圓錐形鉛垂，其底面直徑為10cm，母線長(zhǎng)為15cm．P是鉛垂底面圓周上一點(diǎn)，則關(guān)于下列命題：①鉛垂的側(cè)面積為150cm2；②一只螞蟻從P點(diǎn)出發(fā)沿鉛垂側(cè)面爬行一周、最終又回到P點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)度為cm．其中正確的判斷是（）A.①②都正確 B.①正確、②錯(cuò)誤C.①錯(cuò)誤、②正確5．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，若（），則n的值為（）A.15 B.14C.13 D.126．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（）A. B.C. D.7．雙曲線的焦距是（）A.4 B.C.8 D.8．已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.9．有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為A. B.C. D.10．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.11．某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校男教師的人數(shù)為（）A.167 B.137C.123 D.11312．已知等差數(shù)列的公差，記該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最大值為（）A.66 B.72C.132 D.198二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知命題：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；命題：方程表示雙曲線.若為真，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.14．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則___________.15．已知為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____.16．設(shè)雙曲線(0<a<b)的半焦距為c，直線l過(guò)(a,0)，(0，b)兩點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線l的距離為c，求雙曲線的離心率三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓：，直線：．圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱（1）求圓的方程；（2）點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、．求四邊形面積的取值范圍18．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F(，0)，且點(diǎn)M(－，)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）直線l過(guò)點(diǎn)F，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作l的垂線，垂足為P，若，求λ的值.19．（12分）已知雙曲線，直線l與交于P、Q兩點(diǎn)（1）若點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，求的漸近線方程；（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線l的斜率等于1，且，求雙曲線的離心率20．（12分）已知橢圓C：短軸長(zhǎng)為2，且點(diǎn)在C上（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線l交橢圓C與A、B兩點(diǎn)，若的面積是，求直線l的方程21．（12分）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切.（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）直線過(guò)點(diǎn)與曲線相交于兩點(diǎn)，問(wèn)：在軸上是否存在定點(diǎn)，使？若存在，求點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，其中P為E的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且（1）求拋物線E的方程；（2）過(guò)的直線與E交于C，D兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)，使得x軸平分？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，可知，從而可以確定出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程求得的值，進(jìn)而求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，且，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線與拋物線的交點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)在拋物線上的條件，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡(jiǎn)單題目.2、B【解析】求出，點(diǎn)A到平面的距離：，由此能求出結(jié)果【詳解】解：，，，，∴為平面的一條斜線，且∴點(diǎn)到平面的距離：故選：B.3、B【解析】由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為剛好在直線上，再聯(lián)立直線和拋物線的方程，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義求解.【詳解】解：由題得.由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為剛好在直線上，設(shè)，聯(lián)立直線和拋物線方程得,所以.所以.故選：B4、C【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，由扇形的面積公式計(jì)算即可判斷①，在展開(kāi)圖中可知沿著爬行即為最短路徑，計(jì)算即可判斷②.【詳解】直徑為10cm，母線長(zhǎng)為15cm.底面圓周長(zhǎng)為.將其側(cè)面展開(kāi)后得到扇形半徑為cm，弧長(zhǎng)為，則扇形面積為，①錯(cuò)誤.將其側(cè)面展開(kāi)，則爬行最短距離為，由弧長(zhǎng)公式得展開(kāi)后扇形弧度數(shù)為,作，，又,,cm,②正確.故選：C5、B【解析】由已知條件列方程組求出，再由列方程求n的值【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，，得，解得，因?yàn)?，所以，即，解得或（舍去），故選：B6、A【解析】構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及已知條件判斷的單調(diào)性，而題設(shè)不等式等價(jià)于即可得解.【詳解】設(shè)，則，∴R上單調(diào)遞增.又，則.∵等價(jià)于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A.7、C【解析】根據(jù)，先求半焦距，再求焦距即可.【詳解】解：由題意可得，，∴，故選：C【點(diǎn)睛】考查求雙曲線的焦距，基礎(chǔ)題.8、D【解析】根據(jù)空間中射影的定義即可得到答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，所以的豎坐標(biāo)為0，橫、縱坐標(biāo)與A點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相同，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D9、A【解析】每個(gè)同學(xué)參加的情形都有3種，故兩個(gè)同學(xué)參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A10、D【解析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線的定義可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】易知拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，可得準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，由拋物線的性質(zhì)，，可得，所以，，解得，即點(diǎn)，所以.故選：D.11、C【解析】根據(jù)圖形分別求出初中部和高中部男教師的人數(shù)，最后相加即可.【詳解】初中部男教師的人數(shù)為110×(170%)=33；高中部男教師的人數(shù)為150×60%=90，∴該校男教師的人數(shù)為33+90=123.故選：C.12、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的公差，求得其通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差,所以，則，所以，由，得，所以或12時(shí)，該數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，最大值為，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】既然為真，那么就是為真，即p是假，并且q是真，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義即可解出?！驹斀狻俊邽檎妫鄍為假，q為真；考慮p為真的情況：解得……①；由于p為假，∴或；由于q為真，∴，即……②；由①和②得：；故答案為：.14、2【解析】由，可兩平面的法向量也平行，從而可求出，進(jìn)而可求得答案【詳解】因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，平面的法向量為，，所以∥，所以存?shí)數(shù)使，所以，所以，解得，所以，故答案為：215、【解析】由拋物線的幾何性質(zhì)知：，由圖知為的最小值，求長(zhǎng)度即可.【詳解】點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線方程為，作于，作于，∴，當(dāng)且僅當(dāng)為與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取得等號(hào)，∴的最小值為.故答案為：.16、e＝2.【解析】先求出直線的方程，利用原點(diǎn)到直線的距離為，，求出的值，進(jìn)而根據(jù)求出離心率【詳解】由l過(guò)兩點(diǎn)(a,0)，(0，b)，得l的方程為bx＋ay－ab＝0.由原點(diǎn)到l的距離為c，得＝c.將b＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.解關(guān)于的一元二次方程得＝或.∵e＝，∴e＝或e＝2.又0<a<b，故e＝＝＝>.∴應(yīng)舍去e＝.故所求離心率e＝2.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線性質(zhì)，考查求雙曲線的離心率常用的方法即構(gòu)造出關(guān)于的等式，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）圓關(guān)于直線對(duì)稱，半徑不變，只需求出圓心對(duì)稱的坐標(biāo)即可.（2）將四邊形面積分成兩個(gè)全等的直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)，一條直角邊不變時(shí)，斜邊與另外一條直角邊的大小成正相關(guān)，從而得到面積的最小值與最大值.【小問(wèn)1詳解】由題可知的圓心為，圓的半徑與之相同，圓心與之關(guān)于對(duì)稱，設(shè)的圓心為，故可根據(jù)中點(diǎn)在對(duì)稱的直線上得到①，根據(jù)斜率相乘為-1得到②，聯(lián)立①②可得，所以圓心坐標(biāo)為，且半徑為，故的方程為【小問(wèn)2詳解】連接，將四邊形分割成兩個(gè)全等的直角三角形，所以有，四邊形面積的范圍可轉(zhuǎn)化為MP長(zhǎng)度的范圍，在中，根據(jù)勾股定理可知，因?yàn)榘霃介L(zhǎng)度不變，所以最大時(shí)最大；所以最小時(shí)最??；畫(huà)出如下圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P移動(dòng)至在時(shí)面積最小，時(shí)面積最大；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以有，解得，所以，，所以，所以；，所以.所以18、（1）（2）【解析】（1）求得，的值即可確定橢圓方程；（2）分類討論直線的斜率存在和斜率不存在兩種情況即可確定為定值【小問(wèn)1詳解】由題意知：根據(jù)橢圓的定義得：，即，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程是此時(shí)，所以當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，由可得顯然△，則，因?yàn)?，所以所以，此時(shí)綜上所述，為定值19、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)題意可得，又因?yàn)榍?，解得，可得雙曲線方程，進(jìn)而可得的漸近線方程（2）設(shè)直線的方程為：，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理可得，，再由兩點(diǎn)之間距離公式得，解得，進(jìn)而由可求出，即可求得離心率.【小問(wèn)1詳解】∵點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，∴，又∵且，解得，∴雙曲線方程為，∴的漸近線方程為：；小問(wèn)2詳解】設(shè)直線的方程為，且，，聯(lián)立，可得，則，∴，即，∴，解得或，即由可得或，故雙曲線的離心率或.20、（1）；（2）或.【解析】(1)根據(jù)短軸長(zhǎng)求出b，根據(jù)M在C上求出a；(2)根據(jù)題意設(shè)直線l為，與橢圓方程聯(lián)立得根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)＝即可求出m的值.【小問(wèn)1詳解】∵短軸長(zhǎng)為2，∴，∴，又∵點(diǎn)在C上，∴，∴，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】由(1)知，∵當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，不符合題意，∴設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立，消x得：，∵，∴設(shè)，，則，∵，∴，∴，即，解得，∴直線l的方程為：或.21、（1）；（2）存在，.【解析】（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式和直線與圓相切的性質(zhì)即可得出；（2）假設(shè)存在點(diǎn)，滿足題設(shè)條件，設(shè)直線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)【小問(wèn)1詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心，依題意：化簡(jiǎn)得：，即為動(dòng)圓的圓心的軌跡的方程【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在點(diǎn)，滿足條件，使①，顯然直線斜率不為0，所以由直線過(guò)點(diǎn)，可設(shè)，由得設(shè)，，，，則，由①式得，