黑龍江省雞西虎林市東方紅林業(yè)局中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

黑龍江省雞西虎林市東方紅林業(yè)局中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線C：-＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1，若過(guò)原點(diǎn)傾斜角為的直線與雙曲線C左右兩支交于M、N兩點(diǎn)，且MF1NF1，則雙曲線C的離心率是（）A.2 B.C. D.2．直線的傾斜角是A. B.C. D.3．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.66 B.65C.64 D.634．在某次賽車中，名參賽選手的成績(jī)（單位：）全部介于到之間（包括和），將比賽成績(jī)分為五組：第一組，第二組，···，第五組，其頻率分布直方圖如圖所示.若成績(jī)?cè)趦?nèi)的選手可獲獎(jiǎng)，則這名選手中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為A. B.C. D.5．已知下列四個(gè)命題，其中正確的是（）A. B.C. D.6．拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P是準(zhǔn)線l上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A在拋物線C上，且，則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最小值為（）A. B.C. D.7．已知數(shù)列為等比數(shù)列，則“，”是“為遞減數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．如圖所示，用3種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C中，要求相鄰的矩形不能使用同一種顏色，則不同的涂法有（）ABCA.3種 B.6種C.12種 D.27種9．已知命題：△中，若，則；命題：函數(shù)，，則的最大值為.則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，，都有，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A. B.C. D.11．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則、、、中，最大的是（）A. B.C. D.12．德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才，10歲時(shí)，他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列，則（）A.96 B.97C.98 D.99二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______14．對(duì)于實(shí)數(shù)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和為，則___________.15．已知函數(shù)，則滿足實(shí)數(shù)的取值范圍是__16．在長(zhǎng)方體中，M、N分別是BC、的中點(diǎn)，若，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）2021年10月16日，搭載“神舟十三號(hào)”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過(guò)手機(jī)、電視等方式觀看有關(guān)新聞．某機(jī)構(gòu)將關(guān)注這件事的時(shí)間在2小時(shí)以上的人稱為“天文愛(ài)好者”，否則稱為“非天文愛(ài)好者”，該機(jī)構(gòu)通過(guò)調(diào)查，從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)抽取100人進(jìn)行分析，得到下表（單位：人）：天文愛(ài)好者非天文愛(ài)好者合計(jì)女203050男351550合計(jì)5545100（1）能否有99%的把握認(rèn)為“天文愛(ài)好者”或“非天文愛(ài)好者”與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛(ài)好者”和“非天文愛(ài)好者”這兩種類型進(jìn)行分層抽樣抽取5人，然后再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選出3人，記其中“天文愛(ài)好者”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818．（12分）已知的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為46，（1）求n；（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)19．（12分）已知為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列前n項(xiàng)和.20．（12分）如圖，OP為圓錐的高，AB為底面圓O的直徑，C為圓O上一點(diǎn)，并且，E為劣弧上的一點(diǎn)，且，.（1）若E為劣弧的中點(diǎn)，求證：平面POE；（2）若E為劣弧的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），求平面PEO與平面PEB的夾角的余弦值.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，且，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).22．（10分）已知點(diǎn)，點(diǎn)B為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B作直線的垂線，線段AB的中垂線與交于點(diǎn)P（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求面積的最小值．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)雙曲線和直線的對(duì)稱性，結(jié)合矩形的性質(zhì)、雙曲線的定義、離心率公式、余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2，過(guò)原點(diǎn)傾斜角為的直線為，設(shè)M、N分別在第三、第一象限，由雙曲線和直線的對(duì)稱性可知：M、N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而MF1NF1，因此四邊形是矩形，而，所以是等邊三角形，故，因此，因?yàn)?，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：，由矩形的性質(zhì)可知：，由雙曲線的定義可知：，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用矩形的性質(zhì)、雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵.2、D【解析】由方程得到斜率，然后可得其傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為所以其傾斜角為故選：D3、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的片段和性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由題知：，，，所以，，成等比數(shù)列，即5，15，成等比數(shù)列，所以，解得.故選：B.4、A【解析】先根據(jù)頻率分布直方圖確定成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得：成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，又本次賽車中，共名參賽選手，所以，這名選手中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖，會(huì)根據(jù)頻率分布直方圖求頻率即可，屬于常考題型.5、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則即可求解判斷.【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：B.6、D【解析】依題意得點(diǎn)坐標(biāo)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，求即為最小值【詳解】如圖所示：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)，不妨設(shè)，由題意知，直線l方程為，則，得所以，得，所以由，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，又所以最小值為故選：D7、A【解析】本題可依次判斷“，”是否是“為遞減數(shù)列”的充分條件以及必要條件，即可得出結(jié)果.【詳解】若等比數(shù)列滿足、，則數(shù)列為遞減數(shù)列，故“，”是“為遞減數(shù)列”的充分條件，因?yàn)槿舻缺葦?shù)列滿足、，則數(shù)列也是遞減數(shù)列，所以“，”不是“為遞減數(shù)列”的必要條件，綜上所述，“，”是“為遞減數(shù)列”的充分不必要條件，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件以及必要條件的判定，考查等比數(shù)列以及遞減數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性和綜合性，考查推理能力，是簡(jiǎn)單題.8、C【解析】根據(jù)給定信息，按用色多少分成兩類，再分類計(jì)算作答.【詳解】計(jì)算不同的涂色方法數(shù)有兩類辦法：用3種顏色，每個(gè)矩形涂一種顏色，有種方法，用2色，矩形A，C涂同色，有種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理得(種)，所以不同的涂法有12種.故選：C9、A【解析】由三角形內(nèi)角及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷、的真假，應(yīng)用換元法令，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)確定的值域即知、的真假，根據(jù)各選項(xiàng)復(fù)合命題判斷真假即可.【詳解】由且，可得或，故為假命題，為真命題；令，又，則，故，∵在上遞減，∴，故的最大值為.∴為真命題，為假命題；∴為真，為假，為假，為假.故選：A.10、B【解析】不妨設(shè)，由題意，可得，構(gòu)造函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，從而有在上恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值即可求解.【詳解】解：由題意，不妨設(shè)，因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，，都有，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，?shí)數(shù)的最小值為.故選：B.11、C【解析】求出的表達(dá)式，解不等式可得結(jié)果.【詳解】由已知可得，故數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，所以，，令可得.因此，當(dāng)時(shí)，最大.故選：C.12、C【解析】令，利用倒序相加原理計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】令，，兩式相加得：，∴，故選:C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)命題的否定與原命題真假性相反，即可得到，為真命題，則，從而求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：因?yàn)槊}“，”為假命題，所以命題“，”為真命題，所以，解得；故答案：14、54【解析】由，利用裂項(xiàng)相消法求得，再由的定義求解.【詳解】由已知可得：，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；；所以.故答案為：54.15、【解析】分別對(duì)，分別大于1，等于1，小于1的討論，即可.【詳解】對(duì)，分別大于1，等于1，小于1的討論，當(dāng),解得當(dāng)，不存在，當(dāng)時(shí)，，解得，故x的范圍為點(diǎn)睛】本道題考查了分段函數(shù)問(wèn)題，分類討論，即可，難度中等16、－2【解析】作出圖像，根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合空間向量的加減法運(yùn)算法則即可求解.【詳解】，∴，，，故答案為：－2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）有（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】（1）依題意由列聯(lián)表計(jì)算出卡方，與參考數(shù)值比較，即可判斷；（2）按照分層抽樣得到有2人為“天文愛(ài)好者”，有3人為“非天文愛(ài)好者”，記“天文愛(ài)好者”的人數(shù)為X，則X的可能值為0，1，2，即可求出所對(duì)應(yīng)的概率，從而得到分布列與數(shù)學(xué)期望；【小問(wèn)1詳解】解：由題意，所以有99%的把握認(rèn)為“天文愛(ài)好者”或“非天文愛(ài)好者”與性別有關(guān).【小問(wèn)2詳解】解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文愛(ài)好者”有20人，“非天文愛(ài)好者”有30人，所以按分層抽樣在50個(gè)女性人群中抽取5人，則有2人為“天文愛(ài)好者”，有3人為“非天文愛(ài)好者”再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選出3人，記其中“天文愛(ài)好者”的人數(shù)為X，則X的可能值為0，1，2，∴，，，X的分布列如下表：X012P18、（1）9（2）【解析】（1）根據(jù)要求列出方程，求出的值；（2）求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，列出不等式組，求出的取值范圍，從而求出，得到系數(shù)最大項(xiàng).【小問(wèn)1詳解】由題意得：，解得：或，因?yàn)椋裕ㄉ崛ィ?，從而【小?wèn)2詳解】二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為：，則系數(shù)為，要求其最大值，則只要滿足，即9!r!9-r!?2r≥9!r-1!10-r19、（1）；（2）.【解析】（1）先通過(guò)等比數(shù)列的基本量運(yùn)算求出公比，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合（1）求出，然后根據(jù)錯(cuò)位相減法求得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q,,,，（負(fù)值舍去），所以.【小問(wèn)2詳解】，，所以，解得：.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）推導(dǎo)出平面，，，由此能證明平面（2）推導(dǎo)出，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值【小問(wèn)1詳解】證明：為圓錐的高，平面，又平面，，為劣弧的中點(diǎn)，，，平面，平面【小問(wèn)2詳解】解：解：為劣弧的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)，為底面圓的直徑，為圓上一點(diǎn)，并且，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，0，，，0，，，，，，0，，，3，，0，，，，，，，，，3，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，設(shè)二面角的平面角為，則，二面角的余弦值為21、（1）.（2）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，求得，，由此可求得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求得導(dǎo)函數(shù)，分和討論，當(dāng)時(shí)，設(shè)，求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出所令函數(shù)的單調(diào)性，從而得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得答案.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，故，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【小問(wèn)2詳解】解：依題意，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，設(shè)，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)，即時(shí)，有唯一零點(diǎn)在區(qū)間上，當(dāng)，即時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)；故當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn).2