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2025屆江蘇省南通巿高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,則滿足的x的取值范圍是()A. B.C. D.2.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家,用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè),用表示不超過的最大整數(shù),則稱為高斯函數(shù),例如:,,已知函數(shù)(),則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.3.函數(shù)的最小正周期是()A. B.C. D.34.已知是定義在上的減函數(shù),若對(duì)于任意,均有,,則不等式的解集為()A. B.C. D.5.已知角,且,則()A. B.C. D.6.下列命題中正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則7.如圖,已知,,共線,且向量,則()A. B.C. D.8.已知全集,集合,,則?U(A∪B)=A. B.C. D.9.函數(shù)定義域是A. B.C. D.10.素?cái)?shù)也叫質(zhì)數(shù),部分素?cái)?shù)可寫成“”的形式(是素?cái)?shù)),法國數(shù)學(xué)家馬丁?梅森就是研究素?cái)?shù)的數(shù)學(xué)家中成就很高的一位,因此后人將“”形式(是素?cái)?shù))的素?cái)?shù)稱為梅森素?cái)?shù).2018年底發(fā)現(xiàn)的第個(gè)梅森素?cái)?shù)是,它是目前最大的梅森素?cái)?shù).已知第個(gè)梅森素?cái)?shù)為,第個(gè)梅森素?cái)?shù)為,則約等于(參考數(shù)據(jù):)()A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.若命題“是假命題”,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.12.已知函數(shù),若、、、、滿足,則的取值范圍為______.13.已知且,且,函數(shù)的圖象過定點(diǎn)A,A在函數(shù)的圖象上,且函數(shù)的反函數(shù)過點(diǎn),則______.14.若,,,則的最小值為____________.15.已知圓心為,且被直線截得的弦長為,則圓的方程為__________16.下列五個(gè)結(jié)論:集合2,3,4,5,,集合,若f:,則對(duì)應(yīng)關(guān)系f是從集合A到集合B的映射;函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域也是;存在實(shí)數(shù),使得成立;是函數(shù)的對(duì)稱軸方程;曲線和直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為m,則m不可能為1;其中正確有______寫出所有正確的序號(hào)三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.某農(nóng)戶利用墻角線互相垂直的兩面墻,將一塊可折疊的長為am的籬笆墻圍成一個(gè)雞圈,籬笆的兩個(gè)端點(diǎn)A,B分別在這兩墻角線上,現(xiàn)有三種方案:方案甲:如圖1,圍成區(qū)域?yàn)槿切?;方案乙:如圖2,圍成區(qū)域?yàn)榫匦?;方案丙:如圖3,圍成區(qū)域?yàn)樘菪?,?(1)在方案乙、丙中,設(shè),分別用x表示圍成區(qū)域的面積,;(2)為使圍成雞圈面積最大,該農(nóng)戶應(yīng)該選擇哪一種方案,并說明理由.18.如圖,矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M(2,0),AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0,點(diǎn)T(-1,1)在AD邊所在直線上.求:(1)AD邊所在直線的方程;(2)DC邊所在直線的方程19.我們知道,函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù),有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為:函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且當(dāng)時(shí),.(1)求的值;(2)設(shè)函數(shù).(i)證明函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;(ii)若對(duì)任意,總存在,使得成立,求的取值范圍.20.已知方程(1)若此方程表示圓,求的取值范圍;(2)若此方程表示圓,且點(diǎn)在圓上,求過點(diǎn)的圓的切線方程21.已知函數(shù)(1)求函數(shù)的對(duì)稱中心和單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若將函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)在區(qū)間上的值域
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】由題得函數(shù)在上單調(diào)遞減,且,再根據(jù)函數(shù)的圖象得到,解不等式即得解.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在上單調(diào)遞增,且,所以在上單調(diào)遞減,且,因?yàn)?,所以,所?故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.2、B【解析】先利用換元思想求出函數(shù)的值域,再分類討論,根據(jù)新定義求得函數(shù)的值域【詳解】(),令,可得,在上遞減,在上遞增,時(shí),有最小值,又因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),,即函數(shù)的值域?yàn)?,時(shí),;時(shí),;時(shí),;的值域是故選:B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:新定義是通過給出一個(gè)新概念,或約定一種新運(yùn)算,或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景,要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上,依據(jù)題目提供的信息,聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法,實(shí)現(xiàn)信息的遷移,達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問題,應(yīng)耐心讀題,分析新定義的特點(diǎn),弄清新定義的性質(zhì),按新定義的要求,“照章辦事”,逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算,使問題得以解決.3、A【解析】根據(jù)解析式,由正切函數(shù)的性質(zhì)求最小正周期即可.【詳解】由解析式及正切函數(shù)的性質(zhì),最小正周期.故選:A.4、D【解析】根據(jù)已知等式,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】令時(shí),,由,因?yàn)槭嵌x在上的減函數(shù),所以有,故選:D5、A【解析】依題意可得,再根據(jù),即可得到,從而求出,再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,最后利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可得;【詳解】解:因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以且,所以,即,所以,所以,所以;故選:A6、C【解析】分析】利用不等式性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A中,若,,則,若,,則,故錯(cuò)誤;選項(xiàng)B中,取,滿足,但,故錯(cuò)誤;選項(xiàng)C中,若,則兩邊平方即得,故正確;選項(xiàng)D中,取,滿足,但,故錯(cuò)誤.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用不等式性質(zhì)判斷大小,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】由已知得,再利用向量的線性可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,,,三點(diǎn)共線,所以,所以.故選:D.8、C【解析】,,,?U(A∪B)=故答案為C.9、A【解析】根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)的定義域【詳解】解:要使函數(shù)有意義,則,得,即,即函數(shù)的定義域?yàn)楣蔬xA【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的定義域的求解,要求熟練掌握常見函數(shù)成立的條件.函數(shù)的定義域主要由以下方面考慮來求解:一個(gè)是分?jǐn)?shù)的分母不能為零,二個(gè)是偶次方根的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù),第三是對(duì)數(shù)的真數(shù)要大于零,第四個(gè)是零次方的底數(shù)不能為零.10、C【解析】根據(jù)兩數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1,的值約等于,設(shè),運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算法則,把指數(shù)式轉(zhuǎn)化對(duì)數(shù)式,最后求出的值.【詳解】因?yàn)閮蓴?shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1,所以的值約等于,設(shè),因此有.故選C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)估算能力,考查了指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、####【解析】等價(jià)于,解即得解.【詳解】解:因?yàn)槊}“是假命題”,所以,所以.故答案為:12、【解析】設(shè),作出函數(shù)的圖象,可得,利用對(duì)稱性可得,由可求得,進(jìn)而可得出,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示:設(shè),當(dāng)時(shí),,由圖象可知,當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)的圖象有五個(gè)交點(diǎn),且點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱,可得,同理可得,由,可求得,所以,.因此,的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.13、8【解析】由圖象平移變換和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得點(diǎn)A坐標(biāo),然后結(jié)合反函數(shù)的性質(zhì)列方程組可解.【詳解】函數(shù)的圖象可以由的圖象向右平移2各單位長度,再向上平移3個(gè)單位長度得到,故點(diǎn)A坐標(biāo)為,又的反函數(shù)過點(diǎn),所以函數(shù)過點(diǎn),所以,解得,所以.故答案為:814、9【解析】“1”的代換法去求的最小值即可.【詳解】(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)則的最小值為9故答案為:915、【解析】由題意可得弦心距d=,故半徑r=5,故圓C的方程為x2+(y+2)2=25,故答案為x2+(y+2)2=2516、【解析】由,,結(jié)合映射的定義可判斷;由由,解不等式可判斷;由輔助角公式和正弦函數(shù)的值域,可判斷;由正弦函數(shù)的對(duì)稱軸,可判斷;由的圖象可判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù),可判斷【詳解】由于,,B中無元素對(duì)應(yīng),故錯(cuò)誤;函數(shù)的定義域?yàn)?,由,可得,則函數(shù)的定義域也是,故正確;由于的最大值為,,故不正確;由為最小值,是函數(shù)的對(duì)稱軸方程,故正確;曲線和直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為m,如圖所示,m可能為0,2,3,4,則m不可能為1,故正確,故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的定義域、值域和對(duì)稱性、圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù),考查運(yùn)算能力和推理能力,屬于基礎(chǔ)題三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;,.(2)農(nóng)戶應(yīng)該選擇方案三,理由見解析.【解析】(1)根據(jù)矩形面積與梯形的面積公式表示即可得答案;(2)先根據(jù)基本不等式研究方案甲得面積的最大值為,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合(1)研究,的最大值即可得答案.【小問1詳解】解:對(duì)于方案乙,當(dāng)時(shí),,所以矩形的面積,;對(duì)于方案丙,當(dāng)時(shí),,由于所以,所以梯形面積為,.【小問2詳解】解:對(duì)于方案甲,設(shè),則,所以三角形的面積為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故方案甲的雞圈面積最大值為.對(duì)于方案乙,由(1)得,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.故方案乙的雞圈面積最大值為;對(duì)于方案丙,,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.故方案丙的雞圈面積最大值為;由于所以農(nóng)戶應(yīng)該選擇方案丙,此時(shí)雞圈面積最大.18、(1);(2)【解析】分析:(1)先由AD與AB垂直,求得AD的斜率,再由點(diǎn)斜式求得其直線方程;(2)根據(jù)矩形特點(diǎn)可以設(shè)DC的直線方程為,然后由點(diǎn)到直線的距離得出,就可以求出m的值,即可求出結(jié)果.詳解:(1)由題意:ABCD為矩形,則AB⊥AD,又AB邊所在的直線方程為:x-3y-6=0,所以AD所在直線的斜率kAD=-3,而點(diǎn)T(-1,1)在直線AD上所以AD邊所在直線的方程為:3x+y+2=0.(2)方法一:由ABCD為矩形可得,AB∥DC,所以設(shè)直線CD的方程為x-3y+m=0.由矩形性質(zhì)可知點(diǎn)M到AB、CD的距離相等所以=,解得m=2或m=-6(舍)所以DC邊所在的直線方程為x-3y+2=0.方法二:方程x-3y-6=0與方程3x+y+2=0聯(lián)立得A(0,-2),關(guān)于M的對(duì)稱點(diǎn)C(4,2)因AB∥DC,所以DC邊所在的直線方程為x-3y+2=0.點(diǎn)睛:本題主要考查直線方程的求法,在求直線方程時(shí),應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式,并注意各種形式的適用條件.用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí),直線的斜率必須存在,而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線,截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線.故在解題時(shí),若采用截距式,應(yīng)注意分類討論,判斷截距是否為零;若采用點(diǎn)斜式,應(yīng)先考慮斜率不存在的情況19、(1);(2)(i)證明見解析;(ii).【解析】(1)根據(jù)題意∵為奇函數(shù),∴,令x=1即可求出;(2)(i)驗(yàn)證為奇函數(shù)即可;(ii))求出在區(qū)間上的值域?yàn)锳,記在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t.由此問題轉(zhuǎn)化為討論f(x)的值域B,分,,三種情況討論即可.【小問1詳解】∵為奇函數(shù),∴,得,則令,得.【小問2詳解】(i),∵為奇函數(shù),∴為奇函數(shù),∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(ii)在區(qū)間上單調(diào)遞增,∴在區(qū)間上的值域?yàn)?,記在區(qū)間上的值域?yàn)椋蓪?duì),總,使得成立知,①當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,由對(duì)稱性知,在上單調(diào)遞增,∴在上單調(diào)遞增,只需即可,得,∴滿足題意;②當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,由對(duì)稱性知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴或,當(dāng)時(shí),,,∴滿足題意;③當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,由對(duì)稱性知,在上單調(diào)遞減,∴在上單調(diào)遞減,只需即可,得,∴滿足題意.綜上所述,的取值范圍為.20、(1)或;(2)或【解析】(1)若此方程表示圓,則,即可得解;(2)代入點(diǎn)得,從而得圓心半徑,由已知得所求圓的切線斜率存在,設(shè)為,切線方程為:,由圓心到直線距離等于半徑列方程求解即可.試題解析:(1)若此方程表示圓,則或(2)由點(diǎn)在圓,代入圓的方程得,此
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