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2025屆江蘇省徐州市睢寧高中南校數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),其中,若恒成立,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.2.把滿(mǎn)足條件(1),,(2),,使得的函數(shù)稱(chēng)為“D函數(shù)”,下列函數(shù)是“D函數(shù)”的個(gè)數(shù)為()①②③④⑤A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)3.已知復(fù)數(shù),若,則的值為()A.1 B. C. D.4.連接雙曲線(xiàn)及的4個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為,連接4個(gè)焦點(diǎn)的四邊形的面積為,則當(dāng)取得最大值時(shí),雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),若時(shí),恒成立,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.6.正三棱錐底面邊長(zhǎng)為3,側(cè)棱與底面成角,則正三棱錐的外接球的體積為()A. B. C. D.7.已知點(diǎn)、.若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,則使得的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.8.如果實(shí)數(shù)滿(mǎn)足條件,那么的最大值為()A. B. C. D.9.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,則()A. B. C. D.10.定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足,若,,則()A. B.0 C.1 D.211.已知實(shí)數(shù),則下列說(shuō)法正確的是()A. B.C. D.12.已知函數(shù),且關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.平面向量,,(R),且與的夾角等于與的夾角,則.14.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a值范圍為_(kāi)________.15.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若,則____.16.已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),,是該拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn),若,則線(xiàn)段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓,直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸,與有兩個(gè)交點(diǎn),,線(xiàn)段的中點(diǎn)為.(Ⅰ)證明:直線(xiàn)的斜率與的斜率的乘積為定值;(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn),延長(zhǎng)線(xiàn)段與交于點(diǎn),四邊形能否為平行四邊形?若能,求此時(shí)的斜率,若不能,說(shuō)明理由.18.(12分)如圖,已知四邊形的直角梯形,∥BC,,,,為線(xiàn)段的中點(diǎn),平面,,為線(xiàn)段上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合).(1)若,(?。┣笞C:PC∥平面;(ⅱ)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值;(2)否存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,使得直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為,若存在,確定的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.19.(12分)已知函數(shù),.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,且函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的值;(2)求證:(,且).20.(12分)在中,.(Ⅰ)求角的大?。唬á颍┤?,,求的值.21.(12分)已知等腰梯形中(如圖1),,,為線(xiàn)段的中點(diǎn),、為線(xiàn)段上的點(diǎn),,現(xiàn)將四邊形沿折起(如圖2)(1)求證:平面;(2)在圖2中,若,求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.22.(10分)在直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)的參數(shù)方程為.(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程及的直角坐標(biāo)方程;(2)求曲線(xiàn)上的點(diǎn)到距離的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
,從而可得,,再解不等式即可.【詳解】由已知,,所以,,由,解得,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,涉及到恒成立問(wèn)題,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.2、B【解析】
滿(mǎn)足(1)(2)的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),分別對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】滿(mǎn)足(1)(2)的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),①不滿(mǎn)足(2);②不滿(mǎn)足(1);③不滿(mǎn)足(2);④⑤均滿(mǎn)足(1)(2).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查新定義函數(shù)的問(wèn)題,涉及到函數(shù)的性質(zhì),考查學(xué)生邏輯推理與分析能力,是一道容易題.3、D【解析】由復(fù)數(shù)模的定義可得:,求解關(guān)于實(shí)數(shù)的方程可得:.本題選擇D選項(xiàng).4、D【解析】
先求出四個(gè)頂點(diǎn)、四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo),四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)菱形,求出菱形的面積,四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形,求出其面積,利用重要不等式求得取得最大值時(shí)有,從而求得其離心率.【詳解】雙曲線(xiàn)與互為共軛雙曲線(xiàn),四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,四個(gè)頂點(diǎn)形成的四邊形的面積,四個(gè)焦點(diǎn)連線(xiàn)形成的四邊形的面積,所以,當(dāng)取得最大值時(shí)有,,離心率,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線(xiàn)的離心率的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有共軛雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn),焦點(diǎn),菱形面積公式,重要不等式求最值,等軸雙曲線(xiàn)的離心率,屬于簡(jiǎn)單題目.5、D【解析】
通過(guò)分析函數(shù)與的圖象,得到兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn),解方程組即得解.【詳解】如圖所示,函數(shù)與的圖象,因?yàn)闀r(shí),恒成立,于是兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn),所以,解得.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,考查不等式的恒成立問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6、D【解析】
由側(cè)棱與底面所成角及底面邊長(zhǎng)求得正棱錐的高,再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積.【詳解】如圖,正三棱錐中,是底面的中心,則是正棱錐的高,是側(cè)棱與底面所成的角,即=60°,由底面邊長(zhǎng)為3得,∴.正三棱錐外接球球心必在上,設(shè)球半徑為,則由得,解得,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查球體積,考查正三棱錐與外接球的關(guān)系.掌握正棱錐性質(zhì)是解題關(guān)鍵.7、C【解析】
設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),以為底結(jié)合的面積計(jì)算出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得出關(guān)于的方程,求出方程的解,即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線(xiàn)的方程為,即,設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,則,解得,另一方面,由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得,整理得或,,解得或或.綜上,滿(mǎn)足條件的點(diǎn)共有三個(gè).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算,涉及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.8、B【解析】
解:當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí),最大,故選B9、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,可得,然后利用復(fù)數(shù)模的概念,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:由,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,考驗(yàn)計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.10、C【解析】
首先判斷出是周期為的周期函數(shù),由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù),得,而,所以,所以,即的周期為.由于,,,所以,,,.所以,又,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
利用不等式性質(zhì)可判斷,利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】解:對(duì)于實(shí)數(shù),,不成立對(duì)于不成立.對(duì)于.利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增性質(zhì),即可得出.對(duì)于指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減性質(zhì),因此不成立.故選:.【點(diǎn)睛】利用不等式性質(zhì)比較大?。⒁獠坏仁叫再|(zhì)成立的前提條件.解決此類(lèi)問(wèn)題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外,還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法.12、B【解析】
根據(jù)條件可知方程有且只有一個(gè)實(shí)根等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn),作出圖象,數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】解:因?yàn)闂l件等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn),作出圖象如圖,由圖可知,,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象與方程零點(diǎn)之間的關(guān)系,數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】試題分析:,與的夾角等于與的夾角,所以考點(diǎn):向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量夾角14、【解析】
由在上恒成立可求解.【詳解】,令,∵,∴,又,,從而,令,問(wèn)題等價(jià)于在時(shí)恒成立,∴,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,解題關(guān)鍵是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立,利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)易求解.15、【解析】
由,,成等差數(shù)列,代入可得的值.【詳解】解:由等差數(shù)列的性質(zhì)可得:,,成等差數(shù)列,可得:,代入,可得:,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì),相對(duì)不難.16、2【解析】
運(yùn)用拋物線(xiàn)的定義將拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)距離,然后求解結(jié)果.【詳解】拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,則拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為,設(shè),,則,所以,則線(xiàn)段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的定義,由拋物線(xiàn)定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離,需要熟練掌握定義,并能靈活運(yùn)用,本題較為基礎(chǔ).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)詳見(jiàn)解析;(Ⅱ)能,或.【解析】試題分析:(1)設(shè)直線(xiàn),直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)韋達(dá)定理求根與系數(shù)的關(guān)系,并表示直線(xiàn)的斜率,再表示;(2)第一步由(Ⅰ)得的方程為.設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立求點(diǎn)的坐標(biāo),第二步再整理點(diǎn)的坐標(biāo),如果能構(gòu)成平行四邊形,只需,如果有值,并且滿(mǎn)足,的條件就說(shuō)明存在,否則不存在.試題解析:解:(1)設(shè)直線(xiàn),,,.∴由得,∴,.∴直線(xiàn)的斜率,即.即直線(xiàn)的斜率與的斜率的乘積為定值.(2)四邊形能為平行四邊形.∵直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),∴不過(guò)原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是,由(Ⅰ)得的方程為.設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.∴由得,即將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)的方程得,因此.四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線(xiàn)段與線(xiàn)段互相平分,即∴.解得,.∵,,,∴當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí),四邊形為平行四邊形.考點(diǎn):直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用【一題多解】第一問(wèn)涉及中點(diǎn)弦,當(dāng)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交時(shí),點(diǎn)是弦的中點(diǎn),(1)知道中點(diǎn)坐標(biāo),求直線(xiàn)的斜率,或知道直線(xiàn)斜率求中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,或知道求直線(xiàn)斜率與直線(xiàn)斜率的關(guān)系時(shí),也可以選擇點(diǎn)差法,設(shè),,代入橢圓方程,兩式相減,化簡(jiǎn)為,兩邊同時(shí)除以得,而,,即得到結(jié)果,(2)對(duì)于用坐標(biāo)法來(lái)解決幾何性質(zhì)問(wèn)題,那么就要求首先看出幾何關(guān)系滿(mǎn)足什么條件,其次用坐標(biāo)表示這些幾何關(guān)系,本題的關(guān)鍵就是如果是平行四邊形那么對(duì)角線(xiàn)互相平分,即,分別用方程聯(lián)立求兩個(gè)坐標(biāo),最后求斜率.18、(1)(ⅰ)證明見(jiàn)解析(ⅱ)(2)存在,【解析】
(1)(i)連接交于點(diǎn),連接,,依題意易證四邊形為平行四邊形,從而有,,由此能證明PC∥平面(ii)推導(dǎo)出,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解;(2)設(shè),求出平面的法向量,利用向量法求解.【詳解】(1)(ⅰ)證明:連接交于點(diǎn),連接,,因?yàn)闉榫€(xiàn)段的中點(diǎn),所以,因?yàn)?,所以因?yàn)椤嗡运倪呅螢槠叫兴倪呅危杂忠驗(yàn)椋杂忠驗(yàn)槠矫?,平面,所以平面.(ⅱ)解:如圖,在平行四邊形中因?yàn)椋?,所以以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則,,,所以,,,平面的法向量為設(shè)平面的法向量為,則,即,取,得,設(shè)平面和平面所成的銳二面角為,則所以銳二面角的余弦值為(2)設(shè)所以,,設(shè)平面的法向量為,則,取,得,因?yàn)橹本€(xiàn)與平面所成的角的正弦值為,所以解得所以存在滿(mǎn)足,使得直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為.【點(diǎn)睛】此題二查線(xiàn)面平行的證明,考查銳二面角的余弦值的求法,考查滿(mǎn)足線(xiàn)面角的正弦值的點(diǎn)是否存在的判斷與求法,考查空間中線(xiàn)線(xiàn),線(xiàn)面,面面的位置關(guān)系等知識(shí),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.19、(1)1;(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)分別求得與的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求得的值;(2)由(1)可知當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因而,構(gòu)造,由對(duì)數(shù)運(yùn)算及不等式放縮可證明,從而不等式可證明.【詳解】(1)∵函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴,即在上恒成立,∴,又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴,即在上恒成立,,∴綜上可知,.(2)證明:由(1)知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),而,∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.∴∴即,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,放縮法在證明不等式中的應(yīng)用,屬于難題.20、(1);(2).【解析】試題分析:(1)由正弦定理得到.消去公因式得到所以.進(jìn)而得到角A;(2)結(jié)合三角形的面積公式,和余弦定理得到,聯(lián)立兩式得到.解析:(I)因?yàn)?,所以,由正弦定理,得.又因?yàn)椋?,所以.又因?yàn)?,所以.(II)由,得,由余弦定理,得,即,因?yàn)椋獾?因?yàn)?,所?21、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)先連接,根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理,即可證明結(jié)論成立;(2)在圖2中,過(guò)點(diǎn)作,垂足為,連接,,證明平面平面,得到點(diǎn)在底面上的投影必落在直線(xiàn)上,記為點(diǎn)在底面上的投影,連接,,得出即是直線(xiàn)與平面所成角,再由題中數(shù)據(jù)求解,即可得出結(jié)果.【詳解】(1)連接,因?yàn)榈妊菪沃校ㄈ鐖D1),,,所以與平行且相等,即四邊形為平行四邊形;所以;又為線(xiàn)段的中點(diǎn),為中點(diǎn),易得:四邊形也為平行四邊形,所以;將四邊形沿折起后,平行關(guān)系沒(méi)有變化,仍有:,且,所以翻折后四邊形也為平行四邊形;故;因?yàn)槠矫?,平面,所以平面;?)在圖2中,過(guò)點(diǎn)作,垂足為,連接,,因?yàn)?,,翻折前梯形的高為,所以,則,;所以;又,,所以,即,所以;又,且平面,平面,所以平面;因此,平面平面;所以點(diǎn)在底面上的投影必落在直線(xiàn)上;記為點(diǎn)在底面上的投影,連接,,則平面;所以即是直線(xiàn)與平面所成角,因?yàn)?,所以,因此,,故;因?yàn)?,所以,因此,故,所?即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查證明線(xiàn)面平行,以及求直線(xiàn)與平面所成的角,熟記線(xiàn)面平行的判定定理,以及線(xiàn)
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