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文檔簡介
猜想03軸對稱(易錯必刷40題13種題型專項訓練)
<A題型目錄展示?
一.線段垂直平分線的性質(zhì)(共4小題)二.等腰三角形的性質(zhì)(共9小題)
三.等腰三角形的判定(共3小題)四.等腰三角形的判定與性質(zhì)(共2小題)
五.等邊三角形的性質(zhì)(共1小題)六.等邊三角形的判定與性質(zhì)(共2小題)
七.含30度角的直角三角形(共3小題)八.生活中的軸對稱現(xiàn)象(共1小題)
九.軸對稱的性質(zhì)(共2小題)十.軸對稱圖形(共2小題)
十一.關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(共8小題)十二.作圖-軸對稱變換(共1小題)
十三.軸對稱-最短路線問題(共2小題)
?題型通關(guān)專訓?
一.線段垂直平分線的性質(zhì)(共4小題)
1.(2023春?定邊縣校級期末)如圖,在△ABC中,垂直平分BC,分別交BC、AB于。、E,連接CE,
平分/ABC,交CE于F,若BE=AC,ZACE=20°,則/EF2的度數(shù)為()
【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得EB=EC,從而可得/屈BC=/ECB,再根據(jù)已知可得CE=AC,
從而利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得/A=/AEC=80°,然后利用三角形的外角性質(zhì)
可得NEBC=NEC8=40°,再利用角平分線的定義NFBC=20°,最后利用三角形的外角性質(zhì)進行計算
即可解答.
【解答】解:垂直平分BC,
:.EB=EC,
:.ZEBC=ZECB,
":BE=AC,
CE=AC,
VZACE=20°,
:.ZA=ZAEC=1.(180°-/ACE)=80°,
2
,?ZAEC=ZEBC+ZECB=80°,
NEBC=NECB=40°,
,.9平分NABC,
ZFBC=^ZEBC=20°,
2
/EFB=ZFBC+ZECB=60°,
故選:C.
【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì),熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
2.(2022秋?漣源市期末)如圖,在足球場內(nèi),A,B,C表示三個足球運動員,為做折返跑游戲,現(xiàn)準備在
足球場內(nèi)放置一個足球,使它到三個運動員的距離相等,則足球應放置在()
,\
?@
A.AC,BC兩邊高線的交點處
B.AC,8c兩邊中線的交點處
C.AC,8C兩邊垂直平分線的交點處
D.ZA,兩內(nèi)角平分線的交點處
【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理,即可解答.
【解答】解:如圖,在足球場內(nèi),A,B,C表示三個足球運動員,為做折返跑游戲,現(xiàn)準備在足球場內(nèi)
放置一個足球,使它到三個運動員的距離相等,則足球應放置在AC,8c兩邊垂直平分線的交點處,
故選:C.
【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì),熟練掌握線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.
3.(2022秋?吉林期末)如圖,在△ABC中,A8的垂直平分線交8c于點E,AC的垂直平分線交于點
F.若/B+/C=70°,則NE4尸的度數(shù)是()
A
BEF
A.30°B.35°C.40°D.45°
【分析】先利用三角形的內(nèi)角和定理求出/BAC=U0。,再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得EA=E8,
FA=FC,從而可得NBAS,ZC=ZFAC,然后利用等量代換可得/BAE+N項C=70°,最后利用
角的和差關(guān)系進行計算即可解答.
【解答】解::/B+/C=70°,
.\ZBAC=180°-(ZB+ZC)=110°,
,.'AB的垂直平分線交BC于點E,AC的垂直平分線交BC于點F,
;.EA=EB,FA=FC,
:.ZB=ZBAE,ZC=ZFAC,
:.ZBAE+ZFAC=1Q°,
/.ZEAF=ABAC-(ZBAE+ZFAC)=40°,
故選:C.
【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì),熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
4.(2022秋?懷化期末)如圖,直線/與根分別是△ABC邊AC和的垂直平分線,/與根分別交邊48于
點D和點E.
(1)若A2=10,則△CDE的周長是多少?為什么?
(2)若/ACB=125°,求/。CE的度數(shù).
【分析】(1)依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),即可得至!!△(7£)£的周長=CO+OE+CE=AO+£)E+8E=A8;
(2)依據(jù)AO=C。,BE=CE,即可得到NA=NAC。,/B=/BCE,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,即可
得到/A+/B=55°,進而得到/ACZ)+/BCE=55°,再根據(jù)/OCE=/AC8-(/ACQ+/BCE)進行
計算即可.
【解答】解:(1)△(7£>£的周長為10.
直線/與m分別是AABC邊AC和BC的垂直平分線,
J.AD^CD,BE=CE,
,ACZJE的周長=CO+OE+C£=AD+DE+BE=AB=10;
(2)V直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線,
:.AD=CD,BE=CE,
NA=NAC。,/B=/BCE,
又:NACB=125°,
ZA+ZB=180°-125°=55°,
AZACD+ZBCE^55°,
ZDCE=ZACB-(/ACD+/BCE)=125°-55°=70°.
【點評】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì),線段垂直平分線上任意一點,到線段兩端點的距離相等.
二.等腰三角形的性質(zhì)(共9小題)
5.(2022秋?門頭溝區(qū)期末)一個等腰三角形的兩條邊分別是2cm和5cm,則第三條邊的邊長是()
A.2cmB.5cmC.2cm或5cmD.不能確定
【分析】分兩種情況:當?shù)妊切蔚难L為2c〃z,底邊長為5c機時,當?shù)妊切蔚难L為5c〃z,底
邊長為2c加時,然后分別進行計算即可解答.
【解答】解:分兩種情況:
當?shù)妊切蔚难L為2cm,底邊長為5c機時,
:2+2=4<5,
不能組成三角形;
當?shù)妊切蔚难L為5cd底邊長為2c機時,
.?.等腰三角形的三邊長分別為5CMJ,5cm,2cm,
綜上所述:等腰三角形的第三條邊的邊長是5cm
故選:B.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),三角形三邊關(guān)系,分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.
6.(2022秋?番禺區(qū)校級期末)等腰三角形的一條邊長為6,另一邊長為14,則它的周長為()
A.26B.26或34C.34D.20
【分析】分兩種情況:當?shù)妊切蔚难L為6,底邊長為14時;當?shù)妊切蔚难L為14,底邊長為
6時,然后分別進行計算即可解答.
【解答】解:分兩種情況:
當?shù)妊切蔚难L為6,底邊長為14時,
V6+6=12<14,
,不能組成三角形;
當?shù)妊切蔚难L為14,底邊長為6時,
.?.它的周長=14+14+6=34;
綜上所述:它的周長為34,
故選:C.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),三角形的三邊關(guān)系,分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.
7.(2022秋?南開區(qū)校級期末)等腰二角形的一個外角是70°,則它的頂角的度數(shù)為()
A.70°B.70°或40°C.110°D.110°或40°
【分析】利用平角定義,進行計算即可解答.
【解答】解:如圖:在△ABC中,AB=AC,
.\ZBAC=180°-ZDAC=110°,
...等腰三角形的頂角的度數(shù)為110°,
故選:C.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.
8.(2022秋?聊城期末)若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°,則這個等腰三角形的底角的度數(shù)
為()
A.20°B.50°或70°C.70°D.20°或70°
【分析】分兩種情況討論:①若該等腰三角形為鈍角三角形;②若該等腰三角形為銳角三角形;先求出
頂角/8AC,即可求出底角的度數(shù).
【解答】解:①如圖1,當該等腰三角形為鈍角三角形時,
???一腰上的高與另一腰的夾角是50°,
.?.底角=2(90°-50°)=20°,
2
②如圖2,當該等腰三角形為銳角三角形時,
???一腰上的高與另一腰的夾角是50°,
底角=_1口80°-(90°-50°)]=70°.
2
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及余角和鄰補角的定義;注意分類討論方法的運用,避免漏解.
9.(2022秋?平谷區(qū)期末)如圖,△ABC中,AB=AC,。是癡延長線上一點,且/D4C=100°,則NC
【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得NB=NC,再利用三角形的外角性質(zhì)可得404:=/2+/。=100°,
然后進行計算即可解答.
【解答】解:
:.ZB=ZC,
':ADACMAABC的一個外角,
/.ZDAC=ZB+ZC^100°,
:.ZB=ZC=50°,
故答案為:50°.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
10.(2022秋?衡山縣期末)已知等腰三角形的兩邊長分別為10和4,則三角形的周長是24.
【分析】分兩種情況:當?shù)妊切蔚难L為10,底邊長為4時,當?shù)妊切蔚难L為4,底邊長為
10時,然后分別進行計算即可解答.
【解答】解:分兩種情況:
當?shù)妊切蔚难L為10,底邊長為4時,
.?.這個等腰三角形的周長=10+10+4=24;
當?shù)妊切蔚难L為4,底邊長為10時,
?/4+4=8<10,
不能組成三角形;
綜上所述:這個等腰三角形的周長為24,
故答案為:24.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),三角形的三邊關(guān)系,分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.
11.(2022秋?東昌府區(qū)校級期末)如圖,在△A3C中,AB=AC,。為2C的是中點,AD=AE,NBAD=
30°,求N£DC的度數(shù).
【分析】先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得NA£?C=90°,ZBAD=ZCAD=30a,然后再利用等
腰三角形的性質(zhì),以及三角形內(nèi)角和定理可得a=75°,從而利用角的和差關(guān)系進行計算
即可解答.
【解答】解:。為BC的是中點,
/.ZA£)C=90°,ZBAD=ZCAD^3Q°,
":AD=AE,
:.ZADE^ZAED^l.(180°-ZCAD)=75°,
2
:.ZEDC=ZADC-ZADE=15°,
...N£DC的度數(shù)為15°.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
12.(2022秋?忠縣期末)如圖△ABC中,點。在45上,已知AO=8O=CD
(1)求/ACS的大小;
(2)若NA=30°,AB=4,求△BCD的周長.
【分析】(1)先利用等腰三角形的性質(zhì)可得NA=NACD,NB=/BCD,然后利用三角形的內(nèi)角和定理,
進行計算即可解答;
(2)利用(1)的結(jié)論,在Rt^ABC中,利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得BC=LAB=2,然后
2
再根據(jù)已知可得AO=BD=CD=2,從而利用三角形的周長公式,進行計算即可解答.
【解答】解:(1),:AD=BD=CD,
:.ZA^AACD,/B=/BCD,
":ZA+ZACD+ZBCD+ZB^180°,
:.2ZACD+2ZBCD=180°,
/.ZACD+ZBCD=90°,
AZACB=90°;
(2)VZA=30°,ZACB=90°,AB=4,
:.BC=1AB=2,
2
,:AD=BD=CD,
:.AD=BD=CD=1.AB=2,
2
J△BCD的周長為6.
【點評】本題考查了含30度角的直角三角形,等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握含30度角的直角三角形的
性質(zhì),以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
13.(2022秋?開封期末)已知在△ABC中,AB=20,BC=8,AC^lm-2.
(1)求機的取值范圍;
(2)若△ABC是等腰三角形,求△ABC的周長.
【分析】(1)利用三角形的三邊關(guān)系可得:20-8<2m-2<20+8,然后進行計算即可解答;
(2)分兩種情況:當AB=AC=20時;當8C=AC=8時,然后分別進行計算即可解答.
【解答】解:(1)在△ABC中,AB=20,BC=8,AC=2m-2.
.*.20-8<2/7?-2<20+8,
解得:7<m<15;
;.根的取值范圍為:7cMic15;
(2):△ABC是等腰三角形,
;?分兩種情況:
當AB=AC=20時,
.?.△ABC的周長=20+20+8=48;
當BC=AC=8時,
V8+8=16<20,
不能組成三角形;
綜上所述,/XABC的周長為48.
【點評】本題考查了三角形三邊關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握三角形三邊關(guān)系,以及等腰三角形
的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
三.等腰三角形的判定(共3小題)
14.(2022秋?平橋區(qū)校級期末)線段在如圖所示的8X8網(wǎng)格中(點A、2均在格點上),在格點上找一
點C,使△A8C是以為頂角的等腰三角形,則所有符合條件的點C的個數(shù)是()
A.4B.5C.6D.7
【分析】根據(jù)題意可得,以點8為圓心,8A長為半徑畫圓,圓與格點的交點即為符合條件的點C.
【解答】解:如圖所示:
使△ABC是以為頂角的等腰三角形,
所以所有符合條件的點C的個數(shù)是6個.
故選:C.
【點評】本題考查了等腰三角形的判定,解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定.
15.(2022秋?臥龍區(qū)校級期末)如圖,正方形的網(wǎng)格中,點A,8是小正方形的頂點,如果C點是小正方
【分析】當A8是腰長時,根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu),找出一個小正方形與4、2頂點相對的頂點,連接即可得到等
腰三角形;當是底邊時,根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等,A8垂直平分線上的
格點都可以作為點C,然后相加即可得解.
【解答】解:如圖,分情況討論:
①AB為等腰△ABC的底邊時,符合條件的C點有4個;
②A8為等腰△A8C其中的一條腰時,符合條件的C點有4個.
所以△ABC是等腰三角形,點C的個數(shù)為8個,
故選:C.
【點評】本題考查了等腰三角形的判定;解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意,畫出符合實際條件的圖形.分類討
論思想是數(shù)學解題中很重要的解題思想.
16.(2022秋?邳州市期末)如圖所示的正方形網(wǎng)格中,網(wǎng)格的交點稱為格點,己知A,B是兩格點,如果C
也是圖中的格點,且使得△ABC為等腰三角形,則符合條件的點C的個數(shù)是()
【分析】分A8是腰長時,根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu),找出一個小正方形與A、B頂點相對的頂點,連接即可得到等
腰三角形,AB是底邊時,根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等,AB垂直平分線上的格
點都可以作為點C,然后相加即可得解.
【解答】解:①A8為等腰△ABC底邊時,符合條件的C點有4個;
②為等腰△ABC其中的一條腰時,符合條件的C點有4個.
故選:C.
【點評】本題考查了等腰三角形的判定,熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點是解題的關(guān)鍵,要注意分A8是腰長與
底邊兩種情況討論求解.
四.等腰三角形的判定與性質(zhì)(共2小題)
17.(2022秋?潢川縣校級期末)如圖,在△ABC中,AB=3,AC=4,NA8C和/AC8的平分線交于點E,
過點£作分別交A3、AC于M、N,則的周長為()
A.4B.6C.7D.8
【分析】利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△”班和△NEC是等腰三角形,從而可得
NE=NC,然后利用等量代換可得△&斷的周長=AB+AC,進行計算即可解答.
【解答】解::臺石平分/ABC,CE平分
二ZABE=ZEBC,ZACE=ZECB,
':MN//BC,
/MEB=ZEBC,NNEC=ZECB,
:.NABE=ZMEB,ZACE=/NEC,
:.MB=ME,NE=NC,
VAB=3,AC=4,
JAAMN的周長=AM+MN+AN
=AM+ME+EN+AN
=AM+MB+CN+AN
=AB+AC
=3+4
=7,
故選:C.
【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰
三角形是解題的關(guān)鍵.
18.(2022秋?荊門期末)如圖,在△ABC中,ED//BC,NA5C和NAC3的平分線分別交瓦)于點G、F,
若尸G=4,皮)=8,求EB+DC=12.
【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△防G和△。尸C是等腰三角形,從而可得EB=EG,
DF=DC,進而可得然后進行計算即可解答.
【解答】解:???ED〃3C,
:?/EGB=/GBC,ZDFC=ZFCBf
?「BG平分NA8C,平分NACB,
ZABG=ZCBG,ZACF=/FCB,
:.ZEBG=NEGB,ZDFC=ZACFf
:?EB=EG,DF=DC,
VFG=4,ED=8,
:.EB+DC=EG+DF
=ED+FG
=12,
故答案為:12.
【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì),熟練掌握利用角平分線的定義和平行線
的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵.
五.等邊三角形的性質(zhì)(共1小題)
19.(2022秋?睢陽區(qū)期末)已知△ABC為等邊三角形,AB=10,M在AB邊所在直線上,點N在AC邊所
在直線上,且跖V=MC,若AM=16,則CN的長為4或36.
【分析】分兩種情形:①當點M在的延長線上時,作于D②當點〃在A4的延長線上
時,作MO_LCN于D分別求解即可.
【解答】解:由題意可知,BM=AN=6,
①如圖,當點M在A3的延長線上時,作M£>_LAC于。.
ZADM=90°,ZA=60°,AM=16,
2
:.CD=AC-AD=2,
':MN=MC,MD±CN,
:.DN=CD,
:.CN=2CD=4.
②如圖,當點M在BA的延長線上時,作MD_LCN于D,
N、
¥
BL--------Nc
在RtZSMZ)中,
VZADM^90°,ZDAM=60°,AM=16,
:.AD=^AM=S,
2
:.CD=AD+AC^1S,
":MN=MC,MD±CN,
:.DN=CD,
:.CN=2CD=36,
故答案為:4或36.
【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì),解直角三角形的應用,解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考
問題,學會添加常用輔助線面構(gòu)造直角三角形解決問題.
六.等邊三角形的判定與性質(zhì)(共2小題)
20.(2022秋?岳麓區(qū)校級期末)如圖,已知A8=AC,平分/BAC,ZDEB=ZEBC=6Q°,若BE=5,
DE=2,則BC=7.
【分析】作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出為等邊三角形,得出從而
得出8N的長,進而求出答案.
【解答】解:延長ED交BC于M,延長交BC于N,如圖,
":AB=AC,A。平分/BAC,
:.AN±BC,BN=CN,
':ZEBC=ZDEB=60°,
.?.△BEM為等邊三角形,
:.BM=EM=BE=5,ZEMB=60°,
;DE=2,
:.DM=3,
VAN±BC,
:.ZDNM=90°,
:.NNDM=30°,
:.NM=LDM=3,
22
:.BN=BM-MN=5-3=_L,
22
:.BC=2BN=1.
【點評】本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),含30°直角三角形的性質(zhì)等
知識,根據(jù)題意構(gòu)造含30°的直角三角形是解題的關(guān)鍵.
21.(2022秋?東洲區(qū)期末)如圖,直線?!◤摹鰽BC是等邊三角形,點A在直線。上,邊在直線b上,
把△ABC沿8c方向平移BC的一半得到AA'B'C(如圖①);繼續(xù)以上的平移得到圖②,再繼續(xù)以
上的平移得到圖③,…;請問在第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是400.
①②③
【分析】先證出陰影的三角形是等邊三角形,又觀察圖可得,第W個圖形中大等邊三角形有2〃個,小等
邊三角形有2〃個,據(jù)此求出第100個圖形中等邊三角形的個數(shù).
【解答】解:如圖①
「△ABC是等邊三角形,
:.AB=BC^AC,
":A'B'//AB,BB'=B'C”BC,
2
:.B'o=Laco=Lc,
22
.?.△8'OC是等邊三角形,同理陰影的三角形都是等邊三角形.
又觀察圖可得,第1個圖形中大等邊三角形有2個,小等邊三角形有2個,
第2個圖形中大等邊三角形有4個,小等邊三角形有4個,
第3個圖形中大等邊三角形有6個,小等邊三角形有6個,…
依次可得第n個圖形中大等邊三角形有2"個,小等邊三角形有2〃個.
故第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是:2X100+2X100=400.
故答案為:400.
【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)及平移的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是據(jù)圖找出規(guī)律.
七.含30度角的直角三角形(共3小題)
22.(2022秋?白云區(qū)校級期末)若等腰三角形腰上的高是腰長的一半,則這個等腰三角形的底角是()
A.75°或15°B.75°C.15°D.75°和30°
【分析】分兩種情況:當?shù)妊切螢殇J角三角形時;當?shù)妊切螢殁g角三角形時;然后分別進行計
算即可解答.
【解答】解:分兩種情況:
當?shù)妊切螢殇J角三角形時,如圖:
A
在△ABC中,AB=AC,BDLAC,
:.ZBDA^9Q°,
VBD=AAB,
2
:.ZBAD=30°,
':AB^AC,
:.ZAJBC=ZC=A(180°-ZA)=75
2
這個等腰三角形的底角是75°;
當?shù)妊切螢殁g角三角形時,如圖:
D
在△ABC中,AB=AC,BDLAC,
:.ZBDA=90°,
VBD=AAB,
2
:.ZBAD=3Q°,
ZABC+ZC=30°,
':AB^AC,
:.ZABC=ZC=^ZBAD=15°,
2
.??這個等腰三角形的底角是15°;
綜上所述:這個等腰三角形的底角是75。或15°,
故選:A.
【點評】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.
23.(2022秋?洪山區(qū)校級期末)如圖,在Rt^ABC中,ZBAC=90°,ZB=30°,AD1BC.則下列等式
成立的是()
2DCC.AB=4DCD.BD=2AC
【分析】根據(jù)在直角三角形中,30。角所對的直角邊等于斜邊的一半,求出BD=3DC,BD=^-AC,BC
2
=4QC,AC=2DC.
【解答】解:?.?/BAC=90°,ZB=30°,
:.BC^2AC,ZC=60°,
':AD±BC,
AZDAC=30°,
:.AC=2DC,
???8不符合要求;
:.BC=4DC,
;.C不符合要求;
:.BD^3DC,
:.A符合要求;
\'AC=2DC,BC=4DC
:.BD=^-AC,
2
D不符合要求;
故選:A.
【點評】本題考查了含30度角的直角三角形,掌握此定理,應用時,要注意找準30°的角所對的直角
邊,點明斜邊,是解題的關(guān)鍵.
24.(2022秋?楊浦區(qū)期末)已知,如圖,在△ABC中,4。為8C邊上的中線,且AE±BC.
2
(1)求證:/CAE=NB;
(2)若NCAE=30°,CE=2,求A2的長.
A
【分析】(1)根據(jù)三角形的中線定義可得8D=DC=』BC,從而可得Ar>=OC=8D,然后利用等腰三角
2
形的性質(zhì)可得NBA。,ZC=ZDAC,再利用三角形的內(nèi)角和定理可得/B+/C=90°,最后根據(jù)
垂直定義可得NAEC=90。,從而可得/CAE+/C=90°,進而根據(jù)同角的余角相等即可解答;
(2)在Rt^AEC中,利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AC的長,然后在Rt^ABC中,利用含30
度角的直角三角形的性質(zhì)即可解答.
【解答】(1)證明:為BC邊上的中線,
.?.BD=OC=」8C,
2
VAD=-1BC,
2
:.AD=DC=BD,
;./B=/BAD,ZC^ZDAC,
VZB+ZBAD+ZDAC+ZC^180°,
:.2(ZB+ZC)=180°,
/.ZB+ZC=90°,
':AE±BC,
:.ZAEC=90°,
;.NCAE+NC=90°,
:.ZCAE=ZB;
(2)解:VZAEC=90°,ZCAE=30°,CE=2,
;.AC=2CE=4,
VZB+ZC=90°,
/.ZBAC=180°-(ZB+ZC)=90°,
VZB=ZCAE=30°,
A5=VsAC=45/3,
.MB的長為4門.
【點評】本題考查了含30度角的直角三角形,熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
八.生活中的軸對稱現(xiàn)象(共1小題)
25.(2022秋?高陽縣校級期末)如圖是跳棋盤,其中格點上的黑色點為棋子,剩余的格點上沒有棋子,我
們約定跳棋游戲的規(guī)則是:把跳棋棋子在棋盤內(nèi)沿直線隔著棋子對稱跳行,跳行一次稱為一步,已知點
A為乙方一枚棋子,欲將棋子A跳進對方區(qū)域(陰影部分的格點),則跳行的最少步數(shù)為()
A.2步B.3步C.4步D.5步
【分析】根據(jù)題意,結(jié)合圖形,由軸對稱的性質(zhì)判定正確選項.
【解答】解:觀察圖形可知:先向右跳行,在向左,最后沿著對稱的方法即可跳到對方那個區(qū)域,所以
最少是3步.
故選艮
琮◎6口神2■或
【點評】此題考查軸對稱的基本性質(zhì),注意:對稱軸垂直平分對應點的連線.通過對稱的性質(zhì)找到最短
的路線是解題的關(guān)鍵.
九.軸對稱的性質(zhì)(共2小題)
26.(2022秋?大連期末)如圖,在2X2的正方形格紙中,有一個以格點為頂點的△ABC,在格紙中能畫出
與△ABC成軸對稱且也以格點為頂點的三角形(不包括△A8C本身),這樣的三角形共有3個
B
【分析】依據(jù)大正方形的對稱軸,即可畫出與△A8C成軸對稱且也以格點為頂點的三角形.
【解答】解:如圖所示,與△ABC成軸對稱且也以格點為頂點的三角形有3個:
AA
故答案為:3.
【點評】本題考查軸對稱圖形的定義與判斷,如果一個圖形沿著一條直線對折,兩側(cè)的圖形能完全重合,
這個圖形就是軸對稱圖形.折痕所在的這條直線叫做對稱軸.
27.(2022秋?華容區(qū)期末)如圖,四邊形A3C。中,點8關(guān)于AC的對稱點夕恰好落在CD上,
若,則/ACB的度數(shù)為()
A.45°B.a-45°C.工aD.90°-上a
22
【分析】連接AB',BB',過A作AE_LCD于E,依據(jù)NBAC=NB'AC,ZDAE=ZB'AE,即可得出NCAE
=」/8AZ)=La,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì),即可得到/AC8=NAC8=90°-Xa.
222
【解答】解:如圖,連接AB,BB',過A作AELCZ)于E,
:點B關(guān)于AC的對稱點8恰好落在CD上,
;.AC垂直平分
:.AB=AB',
:.ZBAC=ZB'AC,
\'AB=AD,
:.AD=AB',
XVAEXCD,
J.ZDAE^ZB'AE,
:.ZCAE=1.ZBAD=1-a,
22
,四邊形AO8E中,ZEB'O=180°-Xa,
2
J.ZACB'^ZEB'O-ZCOB'=180°-XQ-90°=90°--1a,
22
ZACB=ZACB'=90°-—a>
2
故選:D.
【點評】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì),四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)的運用,解決問題的關(guān)鍵是
作輔助線構(gòu)造四邊形AOB'E,解題時注意:如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱,那么對稱軸是任何一對對應
點所連線段的垂直平分線.
一十.軸對稱圖形(共2小題)
28.(2022秋?海安市期末)觀察如圖的網(wǎng)絡圖標,其中可以看成軸對稱圖形的是()
【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形叫做軸對稱圖形,這
條直線叫做對稱軸.
【解答】解:選項C的圖形能找到這樣的一條直線,使圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相
重合,所以是軸對稱圖形,
選項A、8、。的圖形均不能找到這樣的一條直線,使圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重
合,所以不是軸對稱圖形,
故選:C.
【點評】此題主要考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分折疊后可重
合.
29.(2023?岳麓區(qū)校級三模)“致中和,天地位焉,萬物育焉.”對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn),常
被運用于建筑、器物、繪畫、標識等作品的設計上,使對稱之美驚艷了千年的時光.下列大學的?;請D
案是軸對稱圖形的是()
【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形叫做軸對稱圖形,
這條直線叫做對稱軸進行分析即可.
【解答】解:A,C,。選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線,使圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的
部分能夠互相重合,所以不是軸對稱圖形;
B選項中的圖形能找到這樣的一條直線,使圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,所以
是軸對稱圖形;
故選:B.
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念,軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分折疊后可重合.
一十一.關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(共8小題)
30.(2022秋?天河區(qū)校級期末)下列說法正確的是()
A.已知點M(2,-5),則點M到x軸的距離是2
B.若點A(a-1,0)在x軸上,貝lJa=0
C.點A(-1,2)關(guān)于無軸對稱的點坐標為(-1,-2)
D.點C(-3,2)在第一象限內(nèi)
【分析】分別根據(jù)點的幾何意義;在x軸上的點的縱坐標為零;關(guān)于無軸的對稱點的坐標特點:橫坐標
不變,縱坐標互為相反數(shù);各個象限上的點的坐標符號逐一判斷即可.
【解答】解:A.已知點M(2,-5),則點M到x軸的距離是|-5|=5,故本選項不合題意;
B.若點A(a-1,0)在x軸上,則a可以是全體實數(shù),故本選項不合題意;
C.點A(-1,2)關(guān)于尤軸對稱的點坐標為(-1,-2),故本選項符合題意;
D.C(-3,2)在第二象限內(nèi),故本選項不合題意;
故選:C.
【點評】本題考查了關(guān)于x軸對稱的點的坐標以及點的坐標,掌握平面直角坐標系中的點的坐標特點是
解答本題的關(guān)鍵.
31.(2022秋?廣宗縣期末)若點A(°,3),8(2,-6)關(guān)于y軸對稱,則點M(a,6)所在的象限是()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
【分析】根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的點,縱坐標相同,橫坐標互為相反數(shù)”求出a、b的值,即可得到結(jié)論.
【解答】解::點A(a,3)、點、B(2,-b)關(guān)于y軸對稱,
".a--2,-b=3,
解得:a=-2,b=-3,
...點M(a,b)在第三象限,
故選:C.
【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標以及各點所在象限的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是掌握好
對稱點的坐標規(guī)律:(1)關(guān)于x軸對稱的點,橫坐標相同,縱坐標互為相反數(shù);(2)關(guān)于y軸對稱的點,
縱坐標相同,橫坐標互為相反數(shù);(3)關(guān)于原點對稱的點,橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù).
32.(2022秋?扶溝縣校級期末)已知點3)和N(4,b)關(guān)于y軸對稱,則a-b=-7.
【分析】直接利用關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)(橫坐標互為相反數(shù),縱坐標不變)得出a,6的值,進而得出
答案.
【解答】解::點M(a,3)和N(4,b)關(guān)于y軸對稱,
".a=-4,6=3,
.".a-b--4-3--7.
故答案為:-7.
【點評】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì),正確掌握橫縱坐標的關(guān)系是解題關(guān)鍵.
33.(2022秋?靈寶市期末)在平面直角坐標系中,點A(1+m,1-n)與點、B(-1,2)關(guān)于y軸對稱,則
m+n-—1.
【分析】關(guān)于y軸的對稱點的坐標特點:橫坐標互為相反數(shù),縱坐標不變.直接利用關(guān)于y軸對稱點的
性質(zhì)得出相,”的值,進而得出答案.
【解答】解::點A(1+加,1-w)與點8(-1,2)關(guān)于y軸對稱,
,加+1=1,1-n=2,
解得:m=Q,n=-1,
.".m+n=0-1=-1.
故答案為:-1.
【點評】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點的特征,點P(x,j)關(guān)于y軸的對稱點P'的坐標是(-x,
y).
34.(2022秋?辛集市期末)規(guī)定:在平面直角坐標系中,一個點作“0”變換表示將它向右平移一個單位,
一個點作“1”變換表示將它關(guān)于x軸作對稱點,一個點作“2”變換表示將它關(guān)于y軸作對稱點.由數(shù)
字0,1,2組成的序列表示一個點按照上面描述依次連續(xù)變換.例如:如圖,點4(-2,3)按序列“012”
作變換,表示點A先向右平移一個單位得到4(-1,3),再將4(-1,3)關(guān)于x軸對稱得到42(-
1,-3),再將42(7,-3)關(guān)于y軸對稱得到43(1,-3)…依次類推.點(1,1)經(jīng)過“012012012…”
100次變換后得到點的坐標為()(注:“012”算3次變換)
A.(2,1)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(-1,-1)
【分析】根據(jù)變換的定義解決問題即可.
【解答】解:點8(1,1)按序列“012”作變換,表示點8先向右平移一個單位得到81(2,1),再將
Ai(2,1)關(guān)于x軸對稱得到仍(2,-1),再將歷(2,-1)關(guān)于y軸對稱得到切(-2,-1)…依
次類推,點(1,1)經(jīng)過"012”變換得到點(-2,-1),點(-2,-1)經(jīng)過“012”變換得到點(1,
1),說明經(jīng)過6次變換回到原來的位置,
1004-6=16........4,
所以點(1,1)經(jīng)過“012012012…”100次變換后得到點的坐標為(-1,-1).
故選:D.
【點評】本題考查規(guī)律型:點的坐標,平移變換,旋轉(zhuǎn)變換等知識,解題的關(guān)鍵是理解題意,靈活運用
所學知識解決問題.
35.(2022秋?金牛區(qū)校級期末)已知有序數(shù)對(a,b)及常數(shù)k,我們稱有序數(shù)對Qka+b,。-6)為有序數(shù)
對(a,b)的“左階結(jié)伴數(shù)對”.如(3,2)的“1階結(jié)伴數(shù)”對為(1X3+2,3-2)即(5,1).若有序
數(shù)對(a,b)(匕W0)與它的'”階結(jié)伴數(shù)對“關(guān)于y軸對稱,則此時左的值為()
A.-2B.-3C.0D.-A
22
【分析】根據(jù)新定義可得:有序數(shù)對(a,b)(后0)的“左階結(jié)伴數(shù)對”是(ka+b,a-b\并根據(jù)y軸
對稱:橫坐標互為相反數(shù),縱坐標相等,可列方程組,從而可解答.
【解答】解:,??有序數(shù)對(a,b)(6W0)的'”階結(jié)伴數(shù)對"是Cka+b,a-b),
.(a-b=b
1a+ka+b=O
解得:k=-二.
2
故選:B.
【點評】本題考查了解二元一次方程組,新定義'〃階結(jié)伴數(shù)對”的理解和運用,能根據(jù)題意列出方程組
是解此題的關(guān)鍵.
36.(2022秋?寧波期末)在平面直角坐標系中,點A(-3,-4)平移后能與原來的位置關(guān)于y軸對稱,則
應把點A()
A.向左平移6個單位B.向右平移6個單位
C.向下平移8個單位D.向上平移8個單位
【分析】關(guān)于y軸成軸對稱的兩個點的縱坐標相同,橫坐標互為相反數(shù),那么向右平移兩個橫坐標差的
絕對值即可.
【解答】解::?點A(-3,-4)平移后能與原來的位置關(guān)于y軸軸對稱,
.,.平移后的坐標為(3,-4),
???橫坐標增大,
點是向右平移得到,平移距離為|3-(-3)|=6.
故選:B.
【點評】本題考查了平移中點的變化規(guī)律及點關(guān)于坐標軸對稱的知識點,用到的知識點為:兩點關(guān)于y軸
對稱,縱坐標相同,橫坐標互為相反數(shù);點的左右移動只改變點的橫坐標.
37.(2022秋?欽州期末)下列各點中,點M(1,-2)關(guān)于x軸對稱的點的坐標是()
A.(1,2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(1,-2)
【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點,橫坐標相同,縱坐標互為相反數(shù)”解答.
【解答】解:點M(1,-2)關(guān)于x軸對稱的點的坐標為(1,2).
故選:A.
【點評】本題考查了關(guān)于無軸、y軸對稱的點的坐標,解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律:(1)
關(guān)于無軸對稱的點,橫坐標相同,縱坐標互為相反數(shù);(2)關(guān)于y軸對稱的點,縱坐標相同,橫坐標互
為相反數(shù).
一十二.作圖-軸對稱變換(共1小題)
38.(2022秋?日于胎縣期末)△ABC在直角坐標系中的位置如圖所示,其中A(-3,5),B(-5,2),C(-
1,3),直線/經(jīng)過點(0,1),并且與無軸平行,XNB'C與aABC關(guān)于線1對稱.
(1)畫出AA'B'C,并寫出△?!'B'C三個頂點的坐標:4(-3,-3),BY-5,0),C(-
1,-1);
(2)觀察圖中對應點坐標之間的關(guān)系,寫出點
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