2023-2024學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)：軸對(duì)稱（易錯(cuò)必刷40題13種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）解析版

猜想03軸對(duì)稱（易錯(cuò)必刷40題13種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）

<A題型目錄展示?

一.線段垂直平分線的性質(zhì)（共4小題）二.等腰三角形的性質(zhì)（共9小題）

三.等腰三角形的判定（共3小題）四.等腰三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）

五.等邊三角形的性質(zhì)（共1小題）六.等邊三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）

七.含30度角的直角三角形（共3小題）八.生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象（共1小題）

九.軸對(duì)稱的性質(zhì)（共2小題）十.軸對(duì)稱圖形（共2小題）

十一.關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（共8小題）十二.作圖-軸對(duì)稱變換（共1小題）

十三.軸對(duì)稱-最短路線問題（共2小題）

?題型通關(guān)專訓(xùn)?

一.線段垂直平分線的性質(zhì)（共4小題）

1.（2023春?定邊縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，垂直平分BC,分別交BC、AB于。、E,連接CE,

平分/ABC,交CE于F,若BE=AC,ZACE=20°,則/EF2的度數(shù)為（）

【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得EB=EC,從而可得/屈BC=/ECB,再根據(jù)已知可得CE=AC,

從而利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得/A=/AEC=80°,然后利用三角形的外角性質(zhì)

可得NEBC=NEC8=40°,再利用角平分線的定義NFBC=20°,最后利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算

即可解答.

【解答】解：垂直平分BC,

：.EB=EC,

：.ZEBC=ZECB,

"：BE=AC,

CE=AC,

VZACE=20°,

：.ZA=ZAEC=1.（180°-/ACE）=80°,

2

,?ZAEC=ZEBC+ZECB=80°,

NEBC=NECB=40°,

,.9平分NABC,

ZFBC=^ZEBC=20°,

2

/EFB=ZFBC+ZECB=60°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?漣源市期末）如圖，在足球場(chǎng)內(nèi)，A,B,C表示三個(gè)足球運(yùn)動(dòng)員，為做折返跑游戲，現(xiàn)準(zhǔn)備在

足球場(chǎng)內(nèi)放置一個(gè)足球，使它到三個(gè)運(yùn)動(dòng)員的距離相等，則足球應(yīng)放置在（）

,\

?@

A.AC,BC兩邊高線的交點(diǎn)處

B.AC,8c兩邊中線的交點(diǎn)處

C.AC,8C兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處

D.ZA,兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處

【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理，即可解答.

【解答】解：如圖，在足球場(chǎng)內(nèi)，A,B,C表示三個(gè)足球運(yùn)動(dòng)員，為做折返跑游戲，現(xiàn)準(zhǔn)備在足球場(chǎng)內(nèi)

放置一個(gè)足球，使它到三個(gè)運(yùn)動(dòng)員的距離相等，則足球應(yīng)放置在AC,8c兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?吉林期末）如圖，在△ABC中，A8的垂直平分線交8c于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交于點(diǎn)

F.若/B+/C=70°,則NE4尸的度數(shù)是（）

A

BEF

A.30°B.35°C.40°D.45°

【分析】先利用三角形的內(nèi)角和定理求出/BAC=U0。，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得EA=E8,

FA=FC,從而可得NBAS,ZC=ZFAC,然后利用等量代換可得/BAE+N項(xiàng)C=70°,最后利用

角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：：/B+/C=70°,

.\ZBAC=180°-(ZB+ZC)=110°,

,.'AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F,

；.EA=EB,FA=FC,

：.ZB=ZBAE,ZC=ZFAC,

：.ZBAE+ZFAC=1Q°,

/.ZEAF=ABAC-(ZBAE+ZFAC)=40°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.(2022秋?懷化期末)如圖，直線/與根分別是△ABC邊AC和的垂直平分線，/與根分別交邊48于

點(diǎn)D和點(diǎn)E.

(1)若A2=10,則△CDE的周長是多少？為什么？

(2)若/ACB=125°,求/。CE的度數(shù).

【分析】(1)依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得至!!△(7￡)￡的周長=CO+OE+CE=AO+￡)E+8E=A8；

(2)依據(jù)AO=C。，BE=CE,即可得到NA=NAC。，/B=/BCE,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可

得到/A+/B=55°,進(jìn)而得到/ACZ)+/BCE=55°,再根據(jù)/OCE=/AC8-(/ACQ+/BCE)進(jìn)行

計(jì)算即可.

【解答】解：(1)△(7￡>￡的周長為10.

直線/與m分別是AABC邊AC和BC的垂直平分線，

J.AD^CD,BE=CE,

，ACZJE的周長=CO+OE+C￡=AD+DE+BE=AB=10；

（2）V直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，

：.AD=CD,BE=CE,

NA=NAC。，/B=/BCE,

又：NACB=125°,

ZA+ZB=180°-125°=55°,

AZACD+ZBCE^55°,

ZDCE=ZACB-（/ACD+/BCE）=125°-55°=70°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等.

二.等腰三角形的性質(zhì)（共9小題）

5.（2022秋?門頭溝區(qū)期末）一個(gè)等腰三角形的兩條邊分別是2cm和5cm,則第三條邊的邊長是（）

A.2cmB.5cmC.2cm或5cmD.不能確定

【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為2c〃z,底邊長為5c機(jī)時(shí)，當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5c〃z,底

邊長為2c加時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為2cm,底邊長為5c機(jī)時(shí)，

：2+2=4<5,

不能組成三角形；

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5cd底邊長為2c機(jī)時(shí)，

.?.等腰三角形的三邊長分別為5CMJ,5cm,2cm,

綜上所述：等腰三角形的第三條邊的邊長是5cm

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?番禺區(qū)校級(jí)期末）等腰三角形的一條邊長為6,另一邊長為14,則它的周長為（）

A.26B.26或34C.34D.20

【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為6,底邊長為14時(shí)；當(dāng)?shù)妊切蔚难L為14,底邊長為

6時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為6,底邊長為14時(shí),

V6+6=12<14,

，不能組成三角形；

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為14,底邊長為6時(shí)，

.?.它的周長=14+14+6=34；

綜上所述：它的周長為34,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.

7.（2022秋?南開區(qū)校級(jí)期末）等腰二角形的一個(gè)外角是70°,則它的頂角的度數(shù)為（）

A.70°B.70°或40°C.110°D.110°或40°

【分析】利用平角定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：如圖：在△ABC中，AB=AC,

.\ZBAC=180°-ZDAC=110°,

...等腰三角形的頂角的度數(shù)為110°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

8.（2022秋?聊城期末）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°,則這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)

為（）

A.20°B.50°或70°C.70°D.20°或70°

【分析】分兩種情況討論：①若該等腰三角形為鈍角三角形；②若該等腰三角形為銳角三角形；先求出

頂角/8AC,即可求出底角的度數(shù).

【解答】解：①如圖1,當(dāng)該等腰三角形為鈍角三角形時(shí)，

???一腰上的高與另一腰的夾角是50°,

.?.底角=2（90°-50°）=20°,

2

②如圖2,當(dāng)該等腰三角形為銳角三角形時(shí)，

???一腰上的高與另一腰的夾角是50°,

底角=_1口80°-(90°-50°)]=70°.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及余角和鄰補(bǔ)角的定義；注意分類討論方法的運(yùn)用，避免漏解.

9.(2022秋?平谷區(qū)期末)如圖，△ABC中，AB=AC,。是癡延長線上一點(diǎn)，且/D4C=100°,則NC

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得NB=NC,再利用三角形的外角性質(zhì)可得404:=/2+/。=100°,

然后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：

：.ZB=ZC,

'：ADACMAABC的一個(gè)外角,

/.ZDAC=ZB+ZC^100°,

：.ZB=ZC=50°,

故答案為：50°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2022秋?衡山縣期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為10和4,則三角形的周長是24.

【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為10,底邊長為4時(shí)，當(dāng)?shù)妊切蔚难L為4,底邊長為

10時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為10,底邊長為4時(shí)，

.?.這個(gè)等腰三角形的周長=10+10+4=24；

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為4,底邊長為10時(shí)，

?/4+4=8<10,

不能組成三角形；

綜上所述：這個(gè)等腰三角形的周長為24,

故答案為：24.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.

11.（2022秋?東昌府區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△A3C中，AB=AC,。為2C的是中點(diǎn)，AD=AE,NBAD=

30°,求N￡DC的度數(shù).

【分析】先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得NA￡?C=90°,ZBAD=ZCAD=30a,然后再利用等

腰三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理可得a=75°,從而利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算

即可解答.

【解答】解：。為BC的是中點(diǎn)，

/.ZA￡）C=90°,ZBAD=ZCAD^3Q°,

"：AD=AE,

：.ZADE^ZAED^l.（180°-ZCAD）=75°,

2

：.ZEDC=ZADC-ZADE=15°,

...N￡DC的度數(shù)為15°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.(2022秋?忠縣期末)如圖△ABC中，點(diǎn)。在45上，已知AO=8O=CD

(1)求/ACS的大??；

(2)若NA=30°,AB=4,求△BCD的周長.

【分析】(1)先利用等腰三角形的性質(zhì)可得NA=NACD,NB=/BCD,然后利用三角形的內(nèi)角和定理，

進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)利用(1)的結(jié)論，在Rt^ABC中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得BC=LAB=2,然后

2

再根據(jù)已知可得AO=BD=CD=2,從而利用三角形的周長公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：(1),:AD=BD=CD,

：.ZA^AACD,/B=/BCD,

"：ZA+ZACD+ZBCD+ZB^180°,

：.2ZACD+2ZBCD=180°,

/.ZACD+ZBCD=90°,

AZACB=90°；

(2)VZA=30°,ZACB=90°,AB=4,

：.BC=1AB=2,

2

,:AD=BD=CD,

：.AD=BD=CD=1.AB=2,

2

J△BCD的周長為6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30度角的直角三角形的

性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.(2022秋?開封期末)已知在△ABC中，AB=20,BC=8,AC^lm-2.

(1)求機(jī)的取值范圍；

(2)若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周長.

【分析】（1）利用三角形的三邊關(guān)系可得：20-8<2m-2<20+8,然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；

（2）分兩種情況：當(dāng)AB=AC=20時(shí)；當(dāng)8C=AC=8時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）在△ABC中，AB=20,BC=8,AC=2m-2.

.*.20-8<2/7?-2<20+8,

解得:7<m<15；

；.根的取值范圍為：7cMic15；

（2）：△ABC是等腰三角形，

；?分兩種情況:

當(dāng)AB=AC=20時(shí)，

.?.△ABC的周長=20+20+8=48；

當(dāng)BC=AC=8時(shí)，

V8+8=16<20,

不能組成三角形；

綜上所述，/XABC的周長為48.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形三邊關(guān)系，以及等腰三角形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三.等腰三角形的判定（共3小題）

14.（2022秋?平橋區(qū)校級(jí)期末）線段在如圖所示的8X8網(wǎng)格中（點(diǎn)A、2均在格點(diǎn)上），在格點(diǎn)上找一

點(diǎn)C,使△A8C是以為頂角的等腰三角形，則所有符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】根據(jù)題意可得，以點(diǎn)8為圓心，8A長為半徑畫圓，圓與格點(diǎn)的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)C.

【解答】解：如圖所示：

使△ABC是以為頂角的等腰三角形，

所以所有符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是6個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定.

15.（2022秋?臥龍區(qū)校級(jí)期末）如圖，正方形的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,8是小正方形的頂點(diǎn)，如果C點(diǎn)是小正方

【分析】當(dāng)A8是腰長時(shí)，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個(gè)小正方形與4、2頂點(diǎn)相對(duì)的頂點(diǎn)，連接即可得到等

腰三角形；當(dāng)是底邊時(shí)，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，A8垂直平分線上的

格點(diǎn)都可以作為點(diǎn)C,然后相加即可得解.

【解答】解：如圖，分情況討論：

①AB為等腰△ABC的底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)；

②A8為等腰△A8C其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè).

所以△ABC是等腰三角形，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為8個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形.分類討

論思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想.

16.（2022秋?邳州市期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，己知A,B是兩格點(diǎn)，如果C

也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）

【分析】分A8是腰長時(shí)，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個(gè)小正方形與A、B頂點(diǎn)相對(duì)的頂點(diǎn)，連接即可得到等

腰三角形，AB是底邊時(shí)，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，AB垂直平分線上的格

點(diǎn)都可以作為點(diǎn)C,然后相加即可得解.

【解答】解：①A8為等腰△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)；

②為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，要注意分A8是腰長與

底邊兩種情況討論求解.

四.等腰三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）

17.（2022秋?潢川縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB=3,AC=4,NA8C和/AC8的平分線交于點(diǎn)E,

過點(diǎn)￡作分別交A3、AC于M、N,則的周長為（）

A.4B.6C.7D.8

【分析】利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△”班和△NEC是等腰三角形，從而可得

NE=NC,然后利用等量代換可得△&斷的周長=AB+AC,進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：：臺(tái)石平分/ABC,CE平分

二ZABE=ZEBC,ZACE=ZECB,

'：MN//BC,

/MEB=ZEBC,NNEC=ZECB,

：.NABE=ZMEB,ZACE=/NEC,

:.MB=ME,NE=NC,

VAB=3,AC=4,

JAAMN的周長=AM+MN+AN

=AM+ME+EN+AN

=AM+MB+CN+AN

=AB+AC

=3+4

=7,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰

三角形是解題的關(guān)鍵.

18.（2022秋?荊門期末）如圖，在△ABC中，ED//BC,NA5C和NAC3的平分線分別交瓦）于點(diǎn)G、F,

若尸G=4,皮）=8,求EB+DC=12.

【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△防G和△。尸C是等腰三角形，從而可得EB=EG,

DF=DC,進(jìn)而可得然后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：???ED〃3C,

:?/EGB=/GBC,ZDFC=ZFCBf

?「BG平分NA8C,平分NACB,

ZABG=ZCBG,ZACF=/FCB,

：.ZEBG=NEGB,ZDFC=ZACFf

：?EB=EG,DF=DC,

VFG=4,ED=8,

：.EB+DC=EG+DF

=ED+FG

=12,

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握利用角平分線的定義和平行線

的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

五.等邊三角形的性質(zhì)（共1小題）

19.（2022秋?睢陽區(qū)期末）已知△ABC為等邊三角形，AB=10,M在AB邊所在直線上，點(diǎn)N在AC邊所

在直線上，且跖V=MC,若AM=16,則CN的長為4或36.

【分析】分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)M在的延長線上時(shí)，作于D②當(dāng)點(diǎn)〃在A4的延長線上

時(shí)，作MO_LCN于D分別求解即可.

【解答】解：由題意可知，BM=AN=6,

①如圖，當(dāng)點(diǎn)M在A3的延長線上時(shí)，作M￡>_LAC于。.

ZADM=90°,ZA=60°,AM=16,

2

：.CD=AC-AD=2,

'：MN=MC,MD±CN,

:.DN=CD,

：.CN=2CD=4.

②如圖，當(dāng)點(diǎn)M在BA的延長線上時(shí)，作MD_LCN于D,

N、

￥

BL--------Nc

在RtZSMZ）中，

VZADM^90°,ZDAM=60°,AM=16,

：.AD=^AM=S,

2

：.CD=AD+AC^1S,

"：MN=MC,MD±CN,

:.DN=CD,

：.CN=2CD=36,

故答案為：4或36.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考

問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線面構(gòu)造直角三角形解決問題.

六.等邊三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）

20.（2022秋?岳麓區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知A8=AC,平分/BAC,ZDEB=ZEBC=6Q°,若BE=5,

DE=2,則BC=7.

【分析】作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出為等邊三角形，得出從而

得出8N的長，進(jìn)而求出答案.

【解答】解：延長ED交BC于M,延長交BC于N,如圖，

"：AB=AC,A。平分/BAC,

：.AN±BC,BN=CN,

'：ZEBC=ZDEB=60°,

.?.△BEM為等邊三角形，

:.BM=EM=BE=5,ZEMB=60°,

;DE=2,

：.DM=3,

VAN±BC,

：.ZDNM=90°,

:.NNDM=30°,

:.NM=LDM=3,

22

:.BN=BM-MN=5-3=_L,

22

：.BC=2BN=1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)等

知識(shí)，根據(jù)題意構(gòu)造含30°的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

21.（2022秋?東洲區(qū)期末）如圖，直線?！◤摹鰽BC是等邊三角形，點(diǎn)A在直線。上，邊在直線b上，

把△ABC沿8c方向平移BC的一半得到AA'B'C（如圖①）；繼續(xù)以上的平移得到圖②，再繼續(xù)以

上的平移得到圖③，…；請(qǐng)問在第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是400.

①②③

【分析】先證出陰影的三角形是等邊三角形，又觀察圖可得，第W個(gè)圖形中大等邊三角形有2〃個(gè)，小等

邊三角形有2〃個(gè)，據(jù)此求出第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù).

【解答】解：如圖①

「△ABC是等邊三角形，

：.AB=BC^AC,

"：A'B'//AB,BB'=B'C”BC,

2

：.B'o=Laco=Lc,

22

.?.△8'OC是等邊三角形，同理陰影的三角形都是等邊三角形.

又觀察圖可得，第1個(gè)圖形中大等邊三角形有2個(gè)，小等邊三角形有2個(gè)，

第2個(gè)圖形中大等邊三角形有4個(gè)，小等邊三角形有4個(gè)，

第3個(gè)圖形中大等邊三角形有6個(gè)，小等邊三角形有6個(gè)，…

依次可得第n個(gè)圖形中大等邊三角形有2"個(gè)，小等邊三角形有2〃個(gè).

故第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是：2X100+2X100=400.

故答案為：400.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)及平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是據(jù)圖找出規(guī)律.

七.含30度角的直角三角形（共3小題）

22.（2022秋?白云區(qū)校級(jí)期末）若等腰三角形腰上的高是腰長的一半，則這個(gè)等腰三角形的底角是（）

A.75°或15°B.75°C.15°D.75°和30°

【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)；當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)；然后分別進(jìn)行計(jì)

算即可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)，如圖：

A

在△ABC中，AB=AC,BDLAC,

：.ZBDA^9Q°,

VBD=AAB,

2

：.ZBAD=30°,

'：AB^AC,

：.ZAJBC=ZC=A(180°-ZA)=75

2

這個(gè)等腰三角形的底角是75°；

當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)，如圖：

D

在△ABC中，AB=AC,BDLAC,

：.ZBDA=90°,

VBD=AAB,

2

：.ZBAD=3Q°,

ZABC+ZC=30°,

'：AB^AC,

：.ZABC=ZC=^ZBAD=15°,

2

.??這個(gè)等腰三角形的底角是15°；

綜上所述：這個(gè)等腰三角形的底角是75?；?5°,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.

23.（2022秋?洪山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,ZB=30°,AD1BC.則下列等式

成立的是（）

2DCC.AB=4DCD.BD=2AC

【分析】根據(jù)在直角三角形中，30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,求出BD=3DC,BD=^-AC,BC

2

=4QC,AC=2DC.

【解答】解：?.?/BAC=90°,ZB=30°,

：.BC^2AC,ZC=60°,

'：AD±BC,

AZDAC=30°,

：.AC=2DC,

???8不符合要求;

:.BC=4DC,

；.C不符合要求;

：.BD^3DC,

：.A符合要求;

\'AC=2DC,BC=4DC

：.BD=^-AC,

2

D不符合要求;

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形，掌握此定理，應(yīng)用時(shí),要注意找準(zhǔn)30°的角所對(duì)的直角

邊，點(diǎn)明斜邊，是解題的關(guān)鍵.

24.（2022秋?楊浦區(qū)期末）已知，如圖，在△ABC中，4。為8C邊上的中線，且AE±BC.

2

(1)求證：/CAE=NB；

(2)若NCAE=30°,CE=2,求A2的長.

A

【分析】(1)根據(jù)三角形的中線定義可得8D=DC=』BC,從而可得Ar>=OC=8D,然后利用等腰三角

2

形的性質(zhì)可得NBA。，ZC=ZDAC,再利用三角形的內(nèi)角和定理可得/B+/C=90°,最后根據(jù)

垂直定義可得NAEC=90。，從而可得/CAE+/C=90°,進(jìn)而根據(jù)同角的余角相等即可解答；

(2)在Rt^AEC中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AC的長，然后在Rt^ABC中，利用含30

度角的直角三角形的性質(zhì)即可解答.

【解答】(1)證明：為BC邊上的中線，

.?.BD=OC=」8C,

2

VAD=-1BC,

2

：.AD=DC=BD,

；./B=/BAD,ZC^ZDAC,

VZB+ZBAD+ZDAC+ZC^180°,

：.2(ZB+ZC)=180°,

/.ZB+ZC=90°,

'：AE±BC,

：.ZAEC=90°,

；.NCAE+NC=90°,

：.ZCAE=ZB；

(2)解：VZAEC=90°,ZCAE=30°,CE=2,

；.AC=2CE=4,

VZB+ZC=90°,

/.ZBAC=180°-(ZB+ZC)=90°,

VZB=ZCAE=30°,

A5=VsAC=45/3,

.MB的長為4門.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

八.生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象（共1小題）

25.（2022秋?高陽縣校級(jí)期末）如圖是跳棋盤，其中格點(diǎn)上的黑色點(diǎn)為棋子，剩余的格點(diǎn)上沒有棋子，我

們約定跳棋游戲的規(guī)則是：把跳棋棋子在棋盤內(nèi)沿直線隔著棋子對(duì)稱跳行，跳行一次稱為一步，已知點(diǎn)

A為乙方一枚棋子，欲將棋子A跳進(jìn)對(duì)方區(qū)域（陰影部分的格點(diǎn)），則跳行的最少步數(shù)為（）

A.2步B.3步C.4步D.5步

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)判定正確選項(xiàng).

【解答】解：觀察圖形可知：先向右跳行，在向左，最后沿著對(duì)稱的方法即可跳到對(duì)方那個(gè)區(qū)域，所以

最少是3步.

故選艮

琮◎6口神2■或

【點(diǎn)評(píng)】此題考查軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，注意：對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線.通過對(duì)稱的性質(zhì)找到最短

的路線是解題的關(guān)鍵.

九.軸對(duì)稱的性質(zhì)（共2小題）

26.（2022秋?大連期末）如圖，在2X2的正方形格紙中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC,在格紙中能畫出

與△ABC成軸對(duì)稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形（不包括△A8C本身），這樣的三角形共有3個(gè)

B

【分析】依據(jù)大正方形的對(duì)稱軸，即可畫出與△A8C成軸對(duì)稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形.

【解答】解：如圖所示，與△ABC成軸對(duì)稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有3個(gè)：

AA

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱圖形的定義與判斷，如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能完全重合，

這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形.折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸.

27.（2022秋?華容區(qū)期末）如圖，四邊形A3C。中，點(diǎn)8關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)夕恰好落在CD上,

若，則/ACB的度數(shù)為（）

A.45°B.a-45°C.工aD.90°-上a

22

【分析】連接AB',BB',過A作AE_LCD于E,依據(jù)NBAC=NB'AC,ZDAE=ZB'AE,即可得出NCAE

=」/8AZ）=La，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)，即可得到/AC8=NAC8=90°-Xa.

222

【解答】解：如圖，連接AB,BB',過A作AELCZ）于E,

:點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)8恰好落在CD上，

；.AC垂直平分

：.AB=AB',

：.ZBAC=ZB'AC,

\'AB=AD,

：.AD=AB',

XVAEXCD,

J.ZDAE^ZB'AE,

：.ZCAE=1.ZBAD=1-a，

22

，四邊形AO8E中，ZEB'O=180°-Xa,

2

J.ZACB'^ZEB'O-ZCOB'=180°-XQ-90°=90°--1a,

22

ZACB=ZACB'=90°-—a>

2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是

作輔助線構(gòu)造四邊形AOB'E,解題時(shí)注意：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)

點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

一十.軸對(duì)稱圖形（共2小題）

28.（2022秋?海安市期末）觀察如圖的網(wǎng)絡(luò)圖標(biāo)，其中可以看成軸對(duì)稱圖形的是（）

【分析】如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這

條直線叫做對(duì)稱軸.

【解答】解：選項(xiàng)C的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，所以是軸對(duì)稱圖形，

選項(xiàng)A、8、。的圖形均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重

合，所以不是軸對(duì)稱圖形，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重

合.

29.（2023?岳麓區(qū)校級(jí)三模）“致中和，天地位焉，萬物育焉.”對(duì)稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常

被運(yùn)用于建筑、器物、繪畫、標(biāo)識(shí)等作品的設(shè)計(jì)上，使對(duì)稱之美驚艷了千年的時(shí)光.下列大學(xué)的?；?qǐng)D

案是軸對(duì)稱圖形的是()

【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，

這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可.

【解答】解：A,C,。選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的

部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；

B選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以

是軸對(duì)稱圖形；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

一十一.關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)(共8小題)

30.(2022秋?天河區(qū)校級(jí)期末)下列說法正確的是()

A.已知點(diǎn)M(2,-5),則點(diǎn)M到x軸的距離是2

B.若點(diǎn)A(a-1,0)在x軸上，貝lJa=0

C.點(diǎn)A(-1,2)關(guān)于無軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-2)

D.點(diǎn)C(-3,2)在第一象限內(nèi)

【分析】分別根據(jù)點(diǎn)的幾何意義；在x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為零；關(guān)于無軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)

不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；各個(gè)象限上的點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)逐一判斷即可.

【解答】解：A.已知點(diǎn)M(2,-5),則點(diǎn)M到x軸的距離是|-5|=5,故本選項(xiàng)不合題意；

B.若點(diǎn)A(a-1,0)在x軸上，則a可以是全體實(shí)數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；

C.點(diǎn)A(-1,2)關(guān)于尤軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-2),故本選項(xiàng)符合題意；

D.C(-3,2)在第二象限內(nèi)，故本選項(xiàng)不合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)以及點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是

解答本題的關(guān)鍵.

31.(2022秋?廣宗縣期末)若點(diǎn)A(°,3),8(2,-6)關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)M(a,6)所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】根據(jù)“關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”求出a、b的值，即可得到結(jié)論.

【解答】解：：點(diǎn)A(a,3)、點(diǎn)、B(2,-b)關(guān)于y軸對(duì)稱，

".a--2,-b=3,

解得：a=-2,b=-3,

...點(diǎn)M(a,b)在第三象限，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)以及各點(diǎn)所在象限的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好

對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：(1)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；(2)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，

縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).

32.(2022秋?扶溝縣校級(jí)期末)已知點(diǎn)3)和N(4,b)關(guān)于y軸對(duì)稱，則a-b=-7.

【分析】直接利用關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)(橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變)得出a,6的值，進(jìn)而得出

答案.

【解答】解：：點(diǎn)M(a,3)和N(4,b)關(guān)于y軸對(duì)稱，

".a=-4,6=3,

.".a-b--4-3--7.

故答案為：-7.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

33.(2022秋?靈寶市期末)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1+m,1-n)與點(diǎn)、B(-1,2)關(guān)于y軸對(duì)稱，則

m+n-—1.

【分析】關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變.直接利用關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的

性質(zhì)得出相，”的值，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：：點(diǎn)A(1+加，1-w)與點(diǎn)8(-1,2)關(guān)于y軸對(duì)稱，

，加+1=1,1-n=2,

解得：m=Q,n=-1,

.".m+n=0-1=-1.

故答案為：-1.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的特征，點(diǎn)P(x,j)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)是(-x,

y).

34.(2022秋?辛集市期末)規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)點(diǎn)作“0”變換表示將它向右平移一個(gè)單位,

一個(gè)點(diǎn)作“1”變換表示將它關(guān)于x軸作對(duì)稱點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)作“2”變換表示將它關(guān)于y軸作對(duì)稱點(diǎn).由數(shù)

字0,1,2組成的序列表示一個(gè)點(diǎn)按照上面描述依次連續(xù)變換.例如：如圖，點(diǎn)4(-2,3)按序列“012”

作變換，表示點(diǎn)A先向右平移一個(gè)單位得到4(-1,3),再將4(-1,3)關(guān)于x軸對(duì)稱得到42(-

1,-3),再將42(7,-3)關(guān)于y軸對(duì)稱得到43(1,-3)…依次類推.點(diǎn)(1,1)經(jīng)過“012012012…”

100次變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為()(注：“012”算3次變換)

A.(2,1)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(-1,-1)

【分析】根據(jù)變換的定義解決問題即可.

【解答】解：點(diǎn)8(1,1)按序列“012”作變換，表示點(diǎn)8先向右平移一個(gè)單位得到81(2,1),再將

Ai(2,1)關(guān)于x軸對(duì)稱得到仍(2,-1),再將歷(2,-1)關(guān)于y軸對(duì)稱得到切(-2,-1)…依

次類推，點(diǎn)(1,1)經(jīng)過"012”變換得到點(diǎn)(-2,-1),點(diǎn)(-2,-1)經(jīng)過“012”變換得到點(diǎn)(1,

1),說明經(jīng)過6次變換回到原來的位置，

1004-6=16........4,

所以點(diǎn)(1,1)經(jīng)過“012012012…”100次變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，平移變換，旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用

所學(xué)知識(shí)解決問題.

35.(2022秋?金牛區(qū)校級(jí)期末)已知有序數(shù)對(duì)(a,b)及常數(shù)k,我們稱有序數(shù)對(duì)Qka+b,。-6)為有序數(shù)

對(duì)(a,b)的“左階結(jié)伴數(shù)對(duì)”.如(3,2)的“1階結(jié)伴數(shù)”對(duì)為(1X3+2,3-2)即(5,1).若有序

數(shù)對(duì)(a,b)(匕W0)與它的'”階結(jié)伴數(shù)對(duì)“關(guān)于y軸對(duì)稱，則此時(shí)左的值為()

A.-2B.-3C.0D.-A

22

【分析】根據(jù)新定義可得：有序數(shù)對(duì)(a,b)(后0)的“左階結(jié)伴數(shù)對(duì)”是(ka+b,a-b\并根據(jù)y軸

對(duì)稱：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，可列方程組，從而可解答.

【解答】解：,??有序數(shù)對(duì)(a,b)(6W0)的'”階結(jié)伴數(shù)對(duì)"是Cka+b,a-b),

.(a-b=b

1a+ka+b=O

解得：k=-二.

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程組，新定義'〃階結(jié)伴數(shù)對(duì)”的理解和運(yùn)用，能根據(jù)題意列出方程組

是解此題的關(guān)鍵.

36.(2022秋?寧波期末)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(-3,-4)平移后能與原來的位置關(guān)于y軸對(duì)稱，則

應(yīng)把點(diǎn)A()

A.向左平移6個(gè)單位B.向右平移6個(gè)單位

C.向下平移8個(gè)單位D.向上平移8個(gè)單位

【分析】關(guān)于y軸成軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，那么向右平移兩個(gè)橫坐標(biāo)差的

絕對(duì)值即可.

【解答】解：:?點(diǎn)A(-3,-4)平移后能與原來的位置關(guān)于y軸軸對(duì)稱，

.,.平移后的坐標(biāo)為(3,-4),

???橫坐標(biāo)增大，

點(diǎn)是向右平移得到，平移距離為|3-(-3)|=6.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平移中點(diǎn)的變化規(guī)律及點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的知識(shí)點(diǎn)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩點(diǎn)關(guān)于y軸

對(duì)稱，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；點(diǎn)的左右移動(dòng)只改變點(diǎn)的橫坐標(biāo).

37.(2022秋?欽州期末)下列各點(diǎn)中，點(diǎn)M(1,-2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(1,2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(1,-2)

【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答.

【解答】解：點(diǎn)M(1,-2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于無軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：(1)

關(guān)于無軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；(2)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互

為相反數(shù).

一十二.作圖-軸對(duì)稱變換(共1小題)

38.(2022秋?日于胎縣期末)△ABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，其中A(-3,5),B(-5,2),C(-

1,3),直線/經(jīng)過點(diǎn)(0,1),并且與無軸平行，XNB'C與aABC關(guān)于線1對(duì)稱.

(1)畫出AA'B'C，并寫出△?!'B'C三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)：4(-3,-3),BY-5,0),C(-

1,-1)；

(2)觀察圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，寫出點(diǎn)