2024-2025學(xué)年滬科版九年級數(shù)學(xué)上冊復(fù)習(xí)：動點的函數(shù)圖象問題（壓軸題）原卷版

動點的函數(shù)圖象問題

?思想方法

I/

數(shù)形結(jié)合思想：所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)

問題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；（2）函數(shù)與圖象

的對應(yīng)關(guān)系；（3所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。

?典例分析

【典例1］如圖，在aABC中，^ACB=90°,AABC=60°,BD=2,CD14B于點D,點E、F、G分別是

邊CD、CA,4。的中點，連接EF、FG,動點M從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點4方向運動（點

M運動到4B的中點時停止）；過點M作直線MPIIBC與線段4C交于點P,以PM為斜邊作Rt△PMN,點N在4B

上，設(shè)運動的時間為t（s）,Rt^PMN與矩形DEFG重疊部分的面積為S,貝口與t之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致為

（）

本題考查幾何動點問題的函數(shù)圖象，正確分段并分析是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意先分段，分為0WtW0.5,

0.5<t<1,1<t<2三段，分別列出三段的函數(shù)解析式便可解決，本題也可只列出。<t<0.5,1<t<2

兩段，用排除法解決.

【解題過程】

解：分析平移過程,

①從開始出發(fā)至PM與點E重合，由題意可知0WtW0.5,如圖,

過點M作MT于點T,

?4=60。，CD1AB,

：.BC=2BD=4,CD=遮BD=2收BT==t,

???乙4cB=90°,MP||BC,

=乙MPA=90°,

???四邊形CTM尸為矩形，

.-.PM=CT=BC—BT=4—t,

-Z.PMN=^B=60°,PN1AB,

…rPM4-t

；.MN=—

:?DN=MN-MD=MN-BD+BM=^,

???E為CD中點,

??.DE=牛=V3,

；.S=DE,DNT

??.S與力的函數(shù)關(guān)系是正比例函數(shù);

②當(dāng)0.5<t<1,即從PM與E重合至點M與點。重合，如圖,

BMDN

由①可得QN=ED=g,DM=2—2t,DN=|t,S矩形=考

??ZPMN==60°,CDLAB,

:.SD=V3MD=2V3—2V3t,

：.ES—ED—SD—2y[3t—V3?

；?ER=-=2t—1,

?.,S=S矩形EDMQ_SAERS=—|(2V3t—V3)(2t—1)=+寫￡一浮

此函數(shù)圖象是開口向下的二次函數(shù)；

③當(dāng)l<tW2,即從點M與點。重合至點M到達終點，如圖，

BDMNGA

由①可得DN=|t,MN=?,

■:AD=近CD=6,DG=^AD=3,

3

??.NG=DG-DN=3--t,

??.QF=NG=3-|3

??,PQ專巡-當(dāng)，

,??收=51=1一3，

.=(HQ+MN)XQN=(l-lf+i^)xV3=_烏+3V3

??.s與t的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)，

綜上，只有選項A的圖象符合，

故選：A.

?學(xué)霸必刷

1.(2024?四川廣元?二模)如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=2cm,動點M自點/出發(fā)沿AB方向以

每秒1cm的速度向點B運動，同時動點N自點/出發(fā)沿折線2D—DC—CB以每秒2cm的速度運動，到達點8

時運動同時停止.設(shè)aAMN的面積為y(cm2),運動時間為無(秒)，則下列圖象中能大致反映y與x之間

的函數(shù)關(guān)系的是()

DC

AM-*,B

2.（22-23九年級上?安徽合肥?期中）如圖，在△2BC中，ZC=135°,AC=BC=242,P為BC邊上一動

點，PQIMB交2C于點Q,連接BQ,設(shè)=比，SABPQ=y,則能表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是

()

3.（2024?河北石家莊?二模）如圖所示，△4BC和△DEF均為邊長為4的等邊三角形，點力從點D運動到點

E的過程中，4B和DF相交于點G,4C和EF相交于點H,（S泅GF+SVCH）為縱坐標(biāo)外點4移動的距離為橫坐

標(biāo)心則y與x關(guān)系的圖象大致為（）

DAE

4.（2023?遼寧鐵嶺?模擬預(yù)測）如圖，矩形4BCD中，4B=8cm,AD=12cm,AC與BD交于點0,M是BC

的中點.P、Q兩點沿著BTC—D方向分別從點B、點”同時出發(fā)，并都以lcm/s的速度運動，當(dāng)點Q到達。點

時，兩點同時停止運動.在P、Q兩點運動的過程中，與△OPQ的面積隨時間t變化的圖象最接近的是（）

5.(2023?江蘇南通?模擬預(yù)測)如圖，在矩形4BCD中，AB=4,BC=6,E為中點，動點P從點B開始

沿BC方向運動到點C停止，動點Q從點C開始沿方向運動，與點尸同時出發(fā)，同時停止；這兩點的運

動速度均為每秒1個單位；若設(shè)他們的運動時間為x(s),△EPQ的面積為y,貝Uy與久之間的函數(shù)關(guān)系的圖

像大致是()

cm/s.點P在折線B4C上，且PD1BC于點。.點。運動2s時，點尸與點/重合.△PBD的面積S(cnj2)與

運動時間t(s)的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示，￡是函數(shù)圖象的最高點.當(dāng)S(cm2)取最大值時，PD的長為()

圖1圖2

A.2V3cmB.(1+V3)cmC.(1+2V3)cmD.(2+2V3)cm

7.(2024?安徽?一模)如圖，在四邊形4BCD中，Z4=60°,CDLAD,^BCD=90°,AB=BC=4,動點

P,Q同時從4點出發(fā)，點Q以每秒2個單位長度沿折線a—B—C向終點C運動；點P以每秒1個單位長度沿線

段4。向終點￡（運動，當(dāng)其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動.設(shè)運動時間為久秒，△APQ的面積為y

個平方單位，則y隨x變化的函數(shù)圖象大致為（）

8.（23-24九年級上?浙江溫州?期末）某興趣小組開展綜合實踐活動：在RtaZBC中，ZC=90°,CD=正

,。為力C上一點，動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿CrB—a勻速運動，到達點力時

停止，以DP為邊作正方形DPEF,設(shè)點P的運動時間為ts,正方形DPEF的面積為S,當(dāng)點P由點C運動到點A

時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象，若存在3個時刻以，t2,<t2<t3）

對應(yīng)的正方形。PE尸的面積均相等，當(dāng)%=5以時，則正方形DPEF的面積為（）

9.（22-23九年級上?浙江嘉興?期中）如圖，在Rt^ABC中，NC=90。，AABC=60°,BC=6,點。為力C

中點，點D為線段上的動點，連接。D,設(shè)BD=x,OD2=y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系圖像大致為（）

10.（2024?廣東深圳三模）如圖，在近△ABC中，ZC=90°,AC=12,BC=8,點D和點E分別是4B和4c

的中點，點M和點N分別從點力和點E出發(fā)，沿著力方向運動，運動速度都是1個單位/秒，當(dāng)點N到達

點B時，兩點間時停止運動.設(shè)的面積為S,運動時間為t,則S與t之間的函數(shù)圖象大致為（）

11.（2024?河南南陽?二模）如圖是一種軌道示意圖，其中4、B、C、。分別是菱形的四個頂點,

乙4=60。.現(xiàn)有兩個機器人（看成點）分別從4C兩點同時出發(fā)，沿著軌道以相同的速度勻速移動，其路線

分別為a-B-C和CrDr4若移動時間為t,兩個機器人之間距離為d.則d2與t之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表

示大致為（）

12.（2024?山東聊城?二模）如圖，等邊△ABC與矩形DEFG在同一直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將等邊AABC按箭頭

所指的方向水平移動，平移距離為x,點C到達點尸為止，等邊△28C與矩形DEFG重合部分的面積記為

S,則S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）

13.（2024?河南?模擬預(yù)測）如圖，在等腰直角三角形2BC中，AABC=90°,BD是4C邊上的中線，將△BCD

沿射線B4方向勻速平移，平移后的三角形記為△B1C1%,設(shè)△%的。1與△4BD重疊部分的面積為y,平

移距離為％,當(dāng)點當(dāng)與點4重合時，△Bi。%停止運動，則下列圖象最符合y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

A

14.(23-24九年級上?安徽滁州?期末)如圖，菱形48CD的邊長為3cm,zB=60°,動點P從點B出發(fā)以3cm/

s的速度沿著邊8C—CD—D4運動，到達點4后停止運動；同時動點Q從點B出發(fā)，以lcm/s的速度沿著邊B2

向4點運動，到達點4后停止運動.設(shè)點P的運動時間為尤(s),△BPQ的面積為y(cm2),貝。關(guān)于x的函數(shù)圖

象為()

15.（2023?遼寧盤錦?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形2BCD的頂點/在y軸的正半軸上，頂

點B、C在x軸的正半軸上，D（2,V3）,P（—1,—1）.點M在菱形的邊力。和DC上運動（不與點n,C重

合），過點M作MN||y軸，與菱形的另一邊交于點N,連接PM,PN,設(shè)點M的橫坐標(biāo)為x,2\PMN的面

積為乃則下列圖象能正確反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

16.（22-23九年級上?安徽蚌埠?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點2（2,0）,點8（0,2遮），點C（—3,回,

點P從點。出發(fā)沿。-AfB路線以每秒1個單位的速度運動，點Q從點。出發(fā)沿。TC—B路線以每秒g個單位

的速度運動，當(dāng)一個點到達終點時另一個點隨之停止運動，設(shè)了=「（22,運動時間為t秒，則正確表達y與t

17.（2022?遼寧?中考真題）如圖，在等邊三角形N2C中，BC=4,在RtADEF中,乙EDF=90。,4尸=

30°,DE=4,點、B,C,D,￡在一條直線上，點C,。重合，A48C沿射線方向運動，當(dāng)點8與點￡

重合時停止運動.設(shè)&42C運動的路程為x,AABC與口△￡>￡尸重疊部分的面積為S,則能反映S與x之間

函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

18.（2023?山東聊城?三模）如圖（1）所示，E為矩形力BCD的邊力。上一點，動點P,0同時從點2出發(fā),

點P沿折線BE-ED-DC運動到點C時停止，點Q沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/秒,

設(shè)尸，。同時出發(fā)，秒時，△BPQ的面積為ycm2.已知y與/的函數(shù)關(guān)系圖像如圖（2）（曲線OM為拋物線

的一部分），則下列結(jié)論不正確的是（）

圖⑴圖⑵

A