廣東省深圳市某中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

南實集團麒麟中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期開學(xué)考試

九年級數(shù)學(xué)試題2024年9月

注意事項：

1.全卷共4頁.

2.考試時間為90分鐘，滿分100分.

3.答題時，考生務(wù)必將姓名、班級、考號、考試科目、試卷類型用2B鉛筆填涂在答題卡上，

并用黑色簽字筆填寫相應(yīng)信息.請考生按要求在答題卷規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷

上答題一律無效.

第I卷（選擇題共24分）

一、選擇題（8小題，每小題3分，共24分）

1.下列分式是最簡分式的是（）

2a2aa+ba2-ab

A.---B.—C.—3------yD.—

3a~b4ba~+b~a"-b2

2.已知關(guān)于x的一元二次方程機/-4x-2=0有兩個不相等的實數(shù)根，則加的取值范圍是（）

A.m>—2B.m>—2C.機N-2且加w0D.機>一2且機/0

3.下列說法：①四邊相等的四邊形一定是菱形；②順次連接矩形各邊中點形成的四邊形一定是正方形；③對

角線相等的四邊形一定是矩形④經(jīng)過平行四邊形對角線交點的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩

部分.其中正確的有（）個.

A.4B.3C.2D.1

4.在4x4的正方形網(wǎng)格中，點4民。均為小正方形的頂點，老師要求同學(xué)們作邊NC上的高.現(xiàn)有的工具

只有無刻度的直尺和圓規(guī)，兩同學(xué)提供了如下兩種方案，對于方案I,n,下列說法正確的是（）

方案II

①以點5為圓心適當(dāng)長為半徑畫弧，交AC于點、D,E；①按如圖方式取點尸，點尸為小正方形的頂點；

②連接AP交邊/C于點。.8。即為所求.BG

②分別以點2E為圓心，大于長為半徑畫弧，兩

即為所求.

弧交于點尸；

③連接5廠，交邊NC于點G.

A.i可行、ii不可行B.i不可行、n可行c.I、ii都可行D.I、n都不可行

5.某個正六邊形螺帽需要擰4圈才能擰緊，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通過轉(zhuǎn)動扳手的手柄來轉(zhuǎn)動螺帽（如

圖所示）.以此方式把這個螺帽擰緊，他一共需要轉(zhuǎn)動扳手的次數(shù)是（）

A.4B.16C.24D.32

6.若平行四邊形的一邊長為8cm,一條對角線的長為6cm,則另一條對角線長X的取值范圍為（）

A.2cm<x<14cmB.5cm<x<11cmC.10cm<x<22cmD.4cm<x<28cm

7.如圖，在平行四邊形紙片48co中，對角線NC與8。相交于點瓦NAE5：二45。,50=4,將紙片沿對角

線NC對折，使得點8落在點8'的位置，連接￡■',則。8'的長為（）

BC尸---------C

A.272B.2GC.472D.V5

8.如圖，在正方形48c。中，￡是邊40中點，尸是邊48上一動點，G是所延長線上一點，且

GF=EF.若40=4,則￡6?+。62的最小值為（）

AED

BC

A.52B.60C.68D.76

第H卷（非選擇題共76分）

二、填空題（5小題，每小題3分，共15分）

V2-1

9.已知分式/、/、，當(dāng)》=___________時，分式的值為0.

（x-2）（1）

:加x+2相交于點Z1-1?，-1]

10.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點5（-4,0）的直線y=左％+6與直線歹二

則不等式加工+2<kx+b<0的解集為.

11.對于實數(shù)加、n,定義運算"※"：加※〃=機〃+例如，4^2=4x2x（4+2）=48.若西,》2

是關(guān)于x的一元二次方程5x+4=0的兩個實數(shù)根，則項※/=.

12.如圖，△48C中，8c=10,ZC—48=4,40是/氏4c的平分線，CDVAD,則△ADC面積的最

大值為?

13.如圖，在△48C中，NC=90°,Z8=4,8C=2,￡＞是48的中點，點E在邊NC上，將34DE沿DE

翻折，使點4落在點H處，連接//'、A'B,當(dāng)△///是等腰直角三角形時，43的長為.

三、解答題（本大題有7題，其中14題10分，15題6分，16題8分，17題8分，18題8分,

19題9分，20題12分，共61分）

14.用指定方法解下列方程：

（1）2/—5x+l=0（公式法）;

（2）x2-8x+1=0（配方法）.

（2_A\24,

15.先化簡，再求值：-^―---------——且a的值滿足〃+2?！?=0.

、a—4a+4a—2ja—2

16.如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

△48C的頂點都在格點上.

(1)將LABC向右平移6個單位長度得到△44G，請畫出△451G；

(2)畫出△4名。］關(guān)于點o的中心對稱圖形△4與。?；

(3)若將△4BC繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到△a&C2，旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為；

(4)以4民。,。為頂點的四邊形是平行四邊形且點。是歹軸上一點，則點。的坐標(biāo)是

17.如圖，將Y48C。的邊延長至點￡,使AB=BE,連接。瓦EC,QE交于點O.

(1)求證：LABDm4BEC；

(2)連接BD,若NBOD=2NA,求證：四邊形8EC。是矩形.

18.三星堆遺址被稱為20世紀(jì)人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一，昭示了長江流域與黃河流域一樣，同屬中華文明

的母體，被譽為“長江文明之源”.為更好的傳承和宣傳三星堆文化，三星堆文創(chuàng)館一次次打破了自身限定，

讓文創(chuàng)產(chǎn)品充滿創(chuàng)意.已知文創(chuàng)產(chǎn)品“青銅鳥文創(chuàng)水杯”有48兩個系列，Z系列產(chǎn)品比5系列產(chǎn)品的售價

低5元，100元購買Z系列產(chǎn)品的數(shù)量與150元購買5系列產(chǎn)品的數(shù)量相等.按定價銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)B

系列產(chǎn)品按定價銷售，每天可以賣50件，若8系列產(chǎn)品每降1元，則每天可以多賣10件.

(1)4系列產(chǎn)品和5系列產(chǎn)品的單價各是多少？

(2)為了使8系列產(chǎn)品每天的銷售額為960元，而且盡可能讓顧客得到實惠，求8系列產(chǎn)品的實際售價應(yīng)定

為多少元/件？

19.探究不同長方形周長與面積的關(guān)系

【項目化情境與問題】

某學(xué)習(xí)小組在一次參觀畫展時，一同學(xué)發(fā)現(xiàn)作品甲的邊框是矩形，它的長、寬、周長C和面積S分別如圖所

示.根據(jù)以上，這個同學(xué)提出一個有趣問題，任意給定一個矩形/,是否存在另一個矩形8,它的周長和面

積分別是已知矩形A周長和面積的工，即或=邑=」是否成立？

2Q5力2

24

C甲專6

4甲

S甲=96

【項目支架與探究】

為了進一步深入探究提出的問題，小組成員對任務(wù)進行了如下分解，先從最簡單情形入手，再逐次遞進，最后

猜想得出結(jié)論.

探研究小組成員研究過后得知一定存在作品乙的矩形邊框與原作品甲的矩形邊框滿足

究1特殊

J=相=L,則0=__________;S乙=___________.設(shè)作品乙的矩形邊框的長為x,

情況Q邑2乙

寬為y,貝!Jx=__________；y=___________.

探研%在探究1得到作品乙的矩形邊框數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)探究，是否存在作品丙的矩

究特殊

2形邊框是作品乙的矩形邊框周長和面積的使得金=良=!仍然成立？若存在，

情況2QS，2

請求出作品丙的矩形邊框的長和寬.若不存在，請說明理由.

【項目成果】

任意給定一個矩形4,長為加，寬為1（加〉1）,若一定存在另一個矩形5,滿足￡2=還=4，則加的最

QS42

小值是.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點幺（2刀），點8（0,6）,點。（—6,0）,以48、4D為邊作Y4BCD,點E

為5c中點，連接DE、AE.

備用圖

（1）分別求出線段4E和線段所在直線解析式；

（2）點尸為線段ZE上的一個動點，作點8關(guān)于點尸的中心對稱點尸，設(shè)點尸橫坐標(biāo)為a,用含a的代數(shù)

式表示點尸的坐標(biāo)（不用寫出a的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，

①當(dāng)點F移動到△/￡>￡的邊上時，求點P坐標(biāo)；

②M為尸E中點，N為PA中點、,連接〃尸、版.請利用備用圖探究，直接寫出在點尸的運動過程中，

周長的最小值和此時點P的坐標(biāo).

南實集團麒麟中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期開學(xué)考試

九年級數(shù)學(xué)試題

參考答案與試題解析

1.C.2.D.3.C.4.C.

5.C

解：根據(jù)題意的擰1圈需要轉(zhuǎn)動6次，

???正六邊形螺帽需要擰4圈才能擰緊，

.??他一共需要轉(zhuǎn)動扳手的次數(shù)是4x6=24（次），

6.C.

7.A

解：由折疊的性質(zhì)可得，入4BE咨AAB'E,

ZBEA=ZB'EA

???ZAEB=45°

ZBEB'=90°

ZDEB'=90°

?；BD=4,四邊形48C。是平行四邊形，

ED=B'E=2,

B'D=2V2,

8.B

解：過點G作。于〃，過G作交D4的延長線于交直的延長線于N,如圖:

設(shè)AF=x,

?.?四邊形4BC。為正方形，/。=4,點E為4。的中點，

AB=AD=BC=4,ZBAD=ZABC=90°,AE=DE=2,

ZMAB=ZNBA=90°,

又MN〃AB,GHLAB,

NM=NN=90°,AGHA=ZGHB=90°

四邊形AHGM和四邊形BHGN均為矩形，

AGHF=ZEAF=90°,

NGHF=NEAF=90°

在XHGF和AAEF中，JZHF=ZAFE,

GF=EF

￡\HGF^/\AEF(AAS),

:.GH=AE=2,HF=AF=x,

MG=AH=2x,AM=GH=NB=2,

NG=BH=AB-AH=4-2x,

在Rt^EMG中，MG=2x,ME=AM+AE=4,

由勾股定理得：EG-=MG2+ME-=4x2+16,

在RtZ\CGN中，NG=4-2X,CN=BC+NB=6,

由勾股定理得：CG2=NG2+CN2=(4—2x)2+36=4x2—16》+52,

EG2+CG~=8X2-16X+68=8(X-I)2+60,

8(x-l)2>0,

.-.8(X-1)2+60>60,

EG"+CG2>60,

EG?+CG?的最小值為60.

9.-1?.10.-4,<x<——3.

2

11.20解：?.?西,》2是關(guān)于x的一元二次方程/一5%+4=0的兩個實數(shù)根,

匹+%2=5,再％2=4

%※=玉％2(玉+)=4x5=20

12.10

解：如圖：延長4民。。交點于￡,

?/4D平分NA4C,

A

By-\----------^r

/j—D

E

/CAD=ZEAD

?.?CD±AD

/ADC=/ADE=90°

'/ADE=/ADC

在△4?！旰?/。。中，1AD=AD,

ZEAD=/CAD

AADE^AADC(ASA),

,\AC=AE,DE=CD,

:.BE=AC-AB=AE-AB=4,

?.?DE=DC,

一SgDC~2SgEC，

???當(dāng)時，面積最大，

即SaBDC最大面積=%><gxio><4=10,

13.V6+A/2.

解：如圖1,由折疊得，DA=DA"

?.?。是48的中點，

DA=DB=DA',

：./\AA'B是RtAV,且ZAA'B=90°,

MAAE是等腰直角三角形，

EA=EA',ZEA'A=ZEAA'=45°,ZAEA'=90°,

AEAB=90°-45°=45°,

ZC=90°,

BC//EA',

過點8作垂足為M,則BC=ME=2,8M=EC,

在Rt^ABC中，AC=A/42-22=273,

設(shè)EC=x,則W=HW=x,/'E=x+2,ZE=2G—x,

因出S有x+2=2A/3-x,

解得x=G—1,

在RtZXHW中，AB=?BM=6（也-，=仇-6,

如圖2,由題意得，HEC戶是矩形，△Z'B尸是等腰直角三角形,

設(shè)EC=x,則4E=AE=2乒x,CF=BF-BC=x-2,

因止匕有x—2=2Vs—x,

解得x=6+1,

在RtZXHB尸中，A'B=41EC=V2（V3+1）=76+72,

14.解：（1）2%2—5x+1=0,

?：a=2,b=-5,c=1,

A=Z?2—4ac=（—5）2—4x2x1=17>0,

5±V175±V17

/.x=---------=----------

2x24

5+V175-V17

X]=---,x2=---

（2）x~—8x+1=0,

-8x=-1,

x2—8x+16=-1+16,

(x-4>=15,

x—4=±VL5,

x-4=V15或x—4=-V15,

=

%]=4+Jl5,x24—Jl5.

(Q+2)(a2)aa—2

15.解：原式=

("2)2a—2Q(Q+2)

Q+2aQ—2

a—2a—2Q(Q+2)

2a—2

a-2Q(Q+2)

2

a2+2。

a?+2cl—8—0,

a?+2cl=8，

?.?原式=2=工.

84

16.解：(1)如圖，△4月。1即為所求;

(2)如圖，△4與。2即為所求;

（3）旋轉(zhuǎn)中心"的坐標(biāo)為（一3,0）；

（4）點。的坐標(biāo)是（0,6）.

17.證明：（1）在平行四邊形4BCD中，AD=BC,AB=CD,AB//CD,則

又AB=BE,

BE=DC,

：.四邊形BEC。為平行四邊形，

BD=EC.

.,.在△48。與△5EC中，

AB=BE

<BD=EC

AD=BC

:.△4BD0ABEC（SSS）

（2）由（1）知，四邊形BECD為平行四邊形，則?！?gt;=0E,0C=08.

四邊形ABCD為平行四邊形，

ZA=/BCD，即乙4=AOCD.

又ZBOD=2ZA,ZBOD=ZOCD+ZODC,

ZOCD=ZODC,

OC=OD,

:.OC+OB=OD+OE,即=

平行四邊形5ECZ）為矩形.

E

18.解：（1）設(shè)4系列產(chǎn)品的單價是x元/件，則5系列產(chǎn)品的單價是（x+5）元/件,

150

根據(jù)題意得：—

Xx+5

解得：x=10,

經(jīng)檢驗，x=10是所列方程的解，且符合題意,

/.x+5=10+5=15（元）.

答：4系列產(chǎn)品的單價是10元/件，B系列產(chǎn)品的單價是15元/件;

(2)設(shè)8系列產(chǎn)品的實際售價應(yīng)定為p元/件，則每天可以賣50+10(15-y)=(200-10y)件，

根據(jù)題意得：j(200-10v)=960,

整理得：/-20v+96=0,

解得：必=8,先=12,

又：要盡可能讓顧客得到實惠，

y=8?

答：8系列產(chǎn)品的實際售價應(yīng)定為8元/件.

19.解：探究1：C甲=56,S甲=96,

...。乙=28,5乙=48,

???設(shè)長方形乙的長為x,寬為

2(x+y)=28,砂=48,

x+y-14,即x=14-y,

代入xy=48得：(14-j=48,

解得y=6或y=8(不合題意，舍去)，

x=8；

故答案為：28；48；8；6；

探究2：不存在作品丙的矩形邊框是作品乙的矩形邊框周長和面積的工，使得％=鼠=!仍然成立；理由

2Q52

如下：

要使分'成立，

c乙s乙2

.cC728S48

則C丙=3=5=14,S丙=57=5=24，

設(shè)長方形丙兩條鄰邊長分別為a和7-a,

S丙=a,(7-a)=-a~+7a=24,

A=62-4ac=72-4x(-l)x(-24)=-47<0,

方程無解,

???不存在;

7m+1

c+a------

2

【項目成果】設(shè)長方形5的兩邊長分別為C,d則：《

7m

cd——

2

消去d得：2c2-(m+l)c+m=0,

/.A=62-4ac=[一(加+1)]2-4x2xm>0,

解得m<3-2A/2或冽23+2A/2,

*/m>1

/.m的最小值為3+2V2，

故答案為：3+2后.

20.解：（1）???/（2,0）,。（一6,0）,

/.AD=8,

?.?四邊形為平行四邊形，8（0,6）,

.-.C（-8,6）,

?.?點￡為5C的中點，

，￡（-4,6）,

設(shè)AE所在直線的解析式為y=klx+bl,

2kl+4=0

把/（2,0）,￡（—4,6）代入得，,

—4左1+A=6

k——\

解得<1}

匠2

AE所在直線的解析式為y=—x+2；

設(shè)DE所在直線解析式為y=k2x+b2,

_6k2+<=°

把點。（一6,0）,￡（-4,6）代入得，＜

—4k2+年=6

后2=3

解得《

也=18'

DE所在直線解析式為y=3x+18.

(2)所在直線的解析式為y=—x+2,點尸橫坐標(biāo)為a,

點P(a,—a+2),

設(shè)點,

?.?點8關(guān)于點尸的中心對稱點8(0,6),

〃」

?.?ci—__+0,a°十?/2—+6，

22

整理得：X]=2a,%=-2。-2.F(2a,-2a-2)

(3)①當(dāng)點尸在4D上時，

:點尸在4D上,

:.—2d—2=0,

解得〃=—1,

.?.尸(-1,3)；

當(dāng)點尸在。E上時，

vF(2a,-2a-2),且尸在DE上,

—2a—2=3x2a+18,

解得a=-2,

2

y

CEB

綜上，尸(—1,3)或尸

②???幺（2,0